TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút 2x  có đồ thị (C ) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm đồ thị (C ) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận (C ) nhỏ Câu (1 điểm)  Tính giá trị biểu thức P  sin x.cos3x  cos x biết cos2x  , x    ;0  Câu (2 điểm) Cho hàm số y    Giải phương trình: log ( x  1)  log ( x  2)  log (3 x  2) Câu (1 điểm) Tìm hệ số x5 khai triển (2 x  x )10 (với x  ) Một đoàn tàu có toa chở khách đỗ sân ga Biết toa có chỗ trống Có vị khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với nhau, chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có vị khách nói ( x  1)ln x Câu (1 điểm) Tìm nguyên hàm  dx x Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm A(4;-1;5) điểm B(-2;7;5) Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mp(Oxy) Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60 Gọi M trung điểm DC Tính thể tích khối chóp S.ABM khoảng cách hai đường thẳng SA BM Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), 3  tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;2  , tâm đường tròn nội tiếp K(2,1) Tìm tọa độ đỉnh B biết 2  xB  Câu (1 điểm) Giải bất phương trình x  x   3x  Câu (1 điểm) Cho x, y, z số không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P  x3  y  z  x y z -HẾT -Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên:…………………………………………………SBD:………………………………… VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu Ý 1 (2điểm) y Nội dung 2x  x 1 Điểm TXĐ: R\{-1} y'   x  1 ( x  1) Hàm số đồng biến khoảng (–∞;-1) (-1;+∞) 2x 1 2x 1  ; lim    đường tiệm cận đứng đồ thị x =- Giới hạn: lim x 1 x  x 1 x  2x 1 2x 1  2; lim   đường tiệm cận ngang đồ thị y = lim x  x  x  x  bảng biến thiên x -∞ -1 +∞ y’ + + y +∞ 0,25 0,25 2 0,25 -∞ y 0,25 O -5 x -2   Gọi điểm M  a;2    thuộc đồ thị (C) a 1 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng 1 : x  1 d  M ; 1   a  0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  : y  d  M ;    Suy d  M ; 1   d  M ;    a   a 1 2 a 1 0,25 Dấu xảy a = a = -2 Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ M(0;1) M(-2;3) 16    Vì cos2x   sin 2 x  mà x    ;0  sin x  25   Suy sin x   sin x  sin x cos2x  18 P  sin x.cos3x  cos x    2 25 Điều kiện: x  0,25 (1điểm) 0,25 0,25 0,25 Phương trình  log ( x  1)  log ( x  2)  log (3x  2)  log ( x  1)( x  2)  log (3x  2)  x  (l )  ( x  1)( x  2)  (3x  2)  x  x     x  (tm) Vậy phương trình có nghiệm x  (1điểm) khai triển (2 x  Hệ số i 10 )   C (2 x) 10 x3 i 0 0,25 10 i i 10 x5 C102 28  1  11520 5i 10    10 i 10i i   C (  1) x  10   x  i 0  0,25 0,25 Vì vị khách có lựa chọn lên ba toa tàu , Suy số cách để vị khách lên tàu :  81 Số cách chọn vị khách vị khách ngồi toa C4  Số cách chọn toa ba toa C3  Vị khách lại có cách chọn lên toa lại Suy có 2.3.4=24 cách để toa có vị khách 0,25 24 0,25 Vậy xác suất để toa có vị khách là: P  81  27 (1điểm)  ( x  1)ln x ln x dx   ln xdx   dx x x 0,25  ln xdx  x ln x   xd ln x  x ln x   dx  x ln x  x  C  ln x dx   ln xd ln x  ln x  C2 x Vậy I  x ln x  x  ln x  C 0,25 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí (1điểm) Gọi M(x;y;0) thuộc mặt phẳng Oxy tâm hình vuông 0,25 MA(4  x; 1  y;5) MB(2  x;7  y;5)  MAMB  Vì ABCD hình vuông nên tam giác MAB vuông cân M   0,25  MA  MB (4  x)(2  x)  (1  y )(7  y )  25  x     2 2 (4  x)  (1  y )  25  (2  x)  (7  y)  25  y  0,25 Vậy M(1;3;0) Vì M trung điểm AC BD nên C(-2;7;-5); D(4;-1;-5) (1 điểm) +) Tính thể tích 0,25 S Gọi H trung điểm AD Vì HB hình chiếu SB lên đáy nên (SB;( ABCD))  SBH  600 0,25 K A B I H E Trong tam giác SBHcó SH  BH tan 60  VSABM D a 15 a3 15 (đvtt)  VSABCD  12 M C 0,25 +) Tính khoảng cách: Dựng hình bình hành ABME Vì BM//(SAE)  d  SA, BM   d ( M ,( SAE ))  2d ( D,( SAE ))  4d ( H ,( SAE )) Kẻ HI  AE; HK  SI ,( I  AE, K  SI ) Chứng minh HK  ( SAE )  d ( H ,( SAE ))  HK DE AH a  Vì AHI AED  HI  AE 1 304 a 15     HK  Trong tam giác SHI có 2 2 HK HI SH 15a 19 a 15 Vậy d  SA, BM   19 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí (1 điểm) Gọi D giao AK với đường tròn (I) Phương trình đường thẳng AK là: x+3y-5=0 Ta có KBD  ( ABC  BAC )  BKD A K Nên tam giác KBD cân D I B 0,25 C D Gọi D(5-3a,a) thuộc AK Vì D khác A nên a  Ta có  a  2(l ) 3 2 ID  IA  (5  3a  )  (a  2)  (1  )  (2  2)   a  2  7 1 Suy D  ;  2 2 2 0,25 Gọi B(x;y) (x>3)ta có hệ 25  ( x  )  ( y  2)    x  y  3x  y   IB  IA     2  x  y  x  y  10   DB  DK ( x  )  ( y  )   2  x  4; y  2(tm)  x  y  3x  y     5  x  ; y   (l ) x  y  10    0,25 0,25 Vậy B(4;2) (1điểm) x3  x   3x  x3  3x   3x   2x x  3x   0,25 3x   x x  x 3x    3x     0 (x  3x  2) 1   x  x 3x    3x  2       0 Chứng minh  2  x  x 3x    3x      x   (x  3x  2)    x  2 Suy bất phương trình  Vậy tập nghiệm bất phương trình  ; 2  1 0,25 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí (1điểm) 3 2 Ta có x  y  z  3xyz  ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx)  x3  y  z  3xyz  ( x  y  z ) ( x  y  z )  3( xy  yz  zx )  Giả sử x =min {x,y,z} suy x [0; ]  3xyz  0,25 27 9( xy  yz  zx)  Ta 27  ( xy  yz  zx) 1 13 27 215  13   ( xyz  )2   xyz   ( xy  yz  zx)   ( xy  zx)  yz   x 0,25 64 64 2  có P  x  y  z  x y z  x y z  3xyz  3 2 2 2 13  13   y  z   13  x    yz   x     Vì x  [0; ]      x 2 2    2  215 1   13   x(  x)    x    x  Suy P  64 2 4  2  0,25 215 1   13   1  x(  x)    x    x  , x  0;  Xét f ( x)  64 2 4  2   2 25  1 Hàm số f(x) nghịch biến 0;   f ( x)  f ( )  64  2 Vậy GTLN P 25 đạt x = y = z = 64 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa 0,25