xuanmaitp@gmail.com I t×m nguyªn hµm b»ng ®n vµ tc 1/ Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x2 – 3x + x 2x + x2 x −1 f(x) = x ( x − 1) f(x) = x2 f(x) = f(x) = f(x) = ĐS.F(X)= x+ x+ x −3 x x ( x − 1) f(x) = x x −1 f(x) = x 3x − + ln x + C 2x3 − +C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = lnx + + C x ĐS F(x) = x x3 − 2x + + C x 3 2x 3x 4x + + +C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = x − x + C x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C f(x) = sin sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 13 f(x) = 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) e−x ) 18 f(x) = e (2 + cos x x 19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 1 x + sin x + C ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) = − cos x − cos x + C 2x x ĐS F(x) = e − e + C ĐS F(x) = − cos x + C ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x x + +C ln a ln 3 x +1 ĐS F(x) = e + C ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = x − f’(x) = x − x f(4) = x3 +1 x x x 40 ĐS f(x) = − − 3 xuanmaitp@gmail.com + f(1) = x2 f’(x) = x - ĐS f(x) = f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = f '( x) = ax+ x2 + + 2x − x ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b x2 , f '( ) = , f ( ) = , f ( − ) = + + ĐS f(x) = x2 x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ (2 x ∫ (3 − x) ∫ (x dx 10 ∫ x cos xdx 14 ∫ cos 18 dx ∫ cos x + 1) xdx 3x ∫ + 2x 13 ∫ sin 17 dx ∫ sin x e x dx 21 ∫ 25 ∫x 29 ∫ cos 22 ex − 3 + 5) x dx dx x (1 + x ) ∫ − x dx ∫ x + 1.xdx ∫ 19 tan xdx ∫ e tan x dx cos2 x x sin xdx 30 23 ∫ 27 ∫x x − 1.dx 31 Phương pháp lấy nguyên hàm phần ∫ 12 ∫ x.e cot xdx 15 ∫e 20 ∫ 24 ∫ x dx 1− x dx +1 x ∫ 16 − x dx ∫ dx 2x −1 x dx ∫ x +5 ln x ∫ x dx 11 sin x dx x ∫ dx 26 ∫ 1+ x2 − x dx dx ∫ (5 x − 1)dx 28 ∫x 32 e x +1 dx tan xdx cos x x dx x dx − x2 ∫x dx + x +1 x + 1.dx Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I Hay ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ x sin xdx ∫ x ln xdx 10 ∫ ln 14 ∫ xtg 18 ∫x e x ∫ cos x dx 17 ∫ e cos xdx 13 x ∫ x cos xdx xdx xdx x2 dx ∫ ( x + 5) sin xdx ∫ x.e dx ln xdx 11 ∫ x 2 ∫ ( x + x + 3) cos xdx x ∫ ln xdx 12 ∫e ∫ sin x dx ∫ x ln(1 + x )dx ∫ ln( x + 1)dx ∫ xdx 15 19 16 20 x x dx xuanmaitp@gmail.com ∫ x lg xdx 21 22 ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ ln(1 + x) dx x2 ∫x 24 cos xdx TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 ∫ ( x + x + 1)dx e 1 2 ∫ ( x + + + x )dx x x π 1 x + 1dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx x ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx 10 ∫ (e + x + 1)dx x π ∫ ∫ ( x + x x )dx 1 x ∫ (e + x)dx π π ∫ x − dx ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx 2 11 ∫ ( x + x x + x )dx 12 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 1 ∫ (x 13 e2 3 + 1).dx −1 x.dx 14 ∫ x +2 -1 π cos3 x.dx 17 ∫ sin x π π 18 π dx x+2 + x−2 ∫ 21 ( x + 1)dx ∫ 4x + 8x 23 cosx.dx ∫0 + sin x e x − e− x dx 19 ∫ x e + e−x tan x dx cos2 x ∫ 7x − x − dx 16 15 ∫ x 2 25 ∫ (2 x − x − )dx 24 ∫ (2 x + x + 1) dx −1 ∫ x( x − 3)dx 26 −2 27 ∫ ( x − 4)dx −3 ∫ x − 2x dx 29 ∫ x3 1   28 ∫  + dx x  1 x e2 16 31 x + − 7x dx 32 ∫ x x dx  33 ∫  x − e  30 ∫ e dx x  dx  3 x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π ∫ sin xcos xdx ∫ sin xcos xdx π π 3 π π ∫ cot xdx π 10 2012 13 ∫ x( x − 1) dx π sin x 17 ∫ e cosxdx π ∫ x2 x +1 dx cosx 18 ∫ e sin xdx ∫ x − x dx 1 dx 14 ∫ x + 3x + π ∫ tan xdx ∫ x x + 1dx 11 ∫ x − x dx π + 4sin xcosxdx π 0 ∫ x x + 1dx sin x ∫ + 3cosx dx ∫ π ∫ x 12 sinx.cosx.(1+cosx) dx ∫ x2 + 1 dx x +2 19 ∫ e xdx π 15 16 x ∫ (1 + 3x π 2 ) dx 20 ∫ sin xcos xdx π xuanmaitp@gmail.com π 21 ∫ sin xcos xdx π 25 ∫ x − x dx e 29 + ln x dx x ∫ e2 + ln x dx 33 ∫ x ln x e 37 dx x +1 + x ∫ π sin x 22 ∫0 + 3cosx dx 23 π ∫ + 4sin xcosxdx 26 ∫ x x + 1dx 27 ∫ x +1 x dx 34 ∫ x −1 1+ dx x +1 − x x dx 2x +1 ∫ 35 ∫ 39 e 2ln x +1 dx 32 ∫ x e + 3ln x ln x dx x ∫ ∫ e 31 28 ∫ x − x dx dx sin(ln x) dx 30 ∫ x 38 x2 e 0 24 ∫ x x + 1dx x +1 dx x 36 ∫ x x + 1dx π 40 ∫ ( sin ) x + cos xdx 41 ∫ − x dx dx 42 + x2 ∫ 45 x ∫0 (2x + 1)3 dx 2x − ∫0 x2 − 4x + 4dx π x3 dx 50 ∫ x + 2x + sin x dx cos x + π 61 cos3 x sin xdx ∫ π 65 ∫0 cos4 xdx 69 ∫ x (1 − x ) dx π sin x cos x dx ∫ + cos x 73 77 ∫ 4−x 81 ∫ x 2 62 dx − x dx e dx + + 3x + cos x 66 ∫ 74 ∫ (e ∫x 78 82 ∫x 86 ∫ 3 −1 π 64 67 ∫0 cos xdx ∫ sin 2x(1 + sin x2 − dx x)3dx + ln x dx 68 ∫ x π π 71 ∫ sin x dx 72 ∫ sin x + sin x dx ( + sin x ) + cos x π + ln x ln x 75 ∫ dx x 76 ∫ − sin x dx e 79 ∫ 0 π ∫0 + cos x + sin x dx 1+ x4 dx 83 ∫ + x 87 e dx π dx − x +1 dx x + 2x + 60 ∫ + cos x) cos xdx + x2 ∫ 63 ∫ x − x dx xdx x3 2x + dx x + 2x − −2 cos x dx + sin x 59 cos x 70 ∫0 − 5sin x + sin xdx sin x π π π 53 55 ∫ (cos x − sin x)dx 56 ∫ + ln x dx x π 0 4x + 11 dx 49 + 5x + π ∫ cos ∫x π cos x dx − sin x π 48 51 (sin6 x + cos6 x)dx 52 4sin x dx ∫ ∫ 58 ∫ 85 ∫ π 57 ∫ 47 ∫ x − xdx 54 cos4 2xdx ∫ π −1 π + sin 2x ∫0 cos2 x dx −x 44 ∫ e dx 43 ∫ e x +3 dx x dx 2x + ∫ 46 x + x dx 80 + sin x 2 ∫ x2 − x2 dx −1 x + 2x + 84 ∫ 2 88 ∫ dx x x2 + dx xuanmaitp@gmail.com II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv β ∫ @ Dạng α Đặt sin ax    f ( x) cosax dx e ax  u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax    β ∫ f ( x) ln(ax)dx @ Dạng 2: α dx  u = ln(ax)  du = x ⇒ Đặt   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Dạng 3: ∫ e  dx cosax  α e ∫ x ln xdx Ví dụ 1: tính tích phân sau ∫x π ln xdx 2 xdx ∫ π ∫ x.e 3x dx 16 19 ∫ (x + 1).e dx x 13 (2 − x) sin xdx ∫ π ) ln x.dx 21 x 27 ∫ x sin x cos xdx 28 x(2 cos x − 1)dx ∫ ∫x cos x.dx π 14 x sin xdx ∫ 18 ∫ x ln(3 + x III TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π2 25 ∫ sin xdx 29 ∫ xtg xdx ).dx π 22 ∫ (x + x ) sin x.dx 0 0 24 ∫ e sin xdx π ∫ x ln x.dx π 11 x 1 20 ∫ x cos x.dx 0 17 π 23 x cos2 xdx ∫ π ∫ e cos xdx π 10 2 ∫ (1 − x π ∫ e ∫ x ln xdx x xe dx e 15 ln x dx x5 12 ( x − 1) cos xdx ∫ ∫ ln( x + x)dx π 2 ∫ ( x + ) ln xdx x ∫ x tan + 1)dx e ( x + cosx) s inxdx ∫ π e ∫ x ln( x π x 26 x + sin dx ∫ cos x 2x 30 ∫ ( x − 2)e dx xuanmaitp@gmail.com π π 0 sin x cos xdx sin x cos xdx ∫ ∫ π dx ∫ sin x π π dx ∫0 − cos x π cos x π 10 ∫ − cos x dx ∫ ∫ 14 tan xdx ∫0 + sin x dx 11 π π sin x ∫0 + cos x dx cos x π 12 ∫ + cos x dx π cot xdx 15 ∫ tan xdx ∫ sin x + cos x + dx π 0 π π 4 (sin x + cos )dx ∫ 0 π 13 sin x π sin x cos xdx ∫ ∫ + sin x dx π π ∫ cos x 16 sin x dx π IV.BT TỔNG HỢP π 2 ∫ x − x dx ∫ π ∫ x sin x dx cos2x+7 π ∫ sinx+sin x dx cos2x ∫ x − x dx ∫ 10 13 ∫ 2 17 ∫ π 21 ∫ 1− x dx ∫ 14 ∫ 11 ∫ ( x + 1) ln x dx x ∫ xe x + e x + dx xe x + ln ∫ x sin xdx 12 e x e x dx ∫ x +1 ln xdx 16 x dx 2x + + 4x + 22 ∫ e 19 ∫ cos(lnx)dx 20 23 ( PCT KA_B 2012) I= ∫ ∫ ∫ 1 e2 x − Kq I= ln x + C e x 2 ( PCT KD 2012) I= ( x + e ) dx Kq I= ∫ x2 + ln xdx x ∫ ln x dx 24 x + ln x V.ĐỀ THI THỬ ĐH TRƯỜNG PCT-TP dx 2x e −1 e e x dx (e x + 1)3 e3 sinx dx cos x + + ex ln π π (1 + t anx) e2 x dx ∫ 15 ∫ dx 0 18 ln x ( ) dx x e π cot x dx + sin x x ∫ 1+ x dx x e sin x + s inx dx 1+3cosx x dx 1+ x −1 x e2 x + + xe x − 2e x + C ln ∫ dx + ex xuanmaitp@gmail.com π ∫ − cos x.s inx.cos xdx (TP KD 2011) I= π ∫ (TP KB 2011) I= − π 5.(TP KA 2010) I= ∫ π dx cos x(tan x − tan x + 5) 2 Kq I=12/91 Kq I=1/2 sinx.cos3 xdx + cos x + π ∫ π 47 Kq I= + 16 60 6.(TP KA 2012) I= (sin x − x)cos ( x − π ) dx e ∫ 7.(TP KA 2012) e2 ∫ 8.(TP KA 2012) (1 + x.ln x)e x dx x Kq ee x +1 ln xdx x 4e3 + 20 Kq π 9.(HSG 2008- 2009) ∫ (1 + t anx) e2 x dx π Kq e 10.(TP KB 2010) ∫ (1 + x ) + x e3 11.( TP KA 2009) ∫ 13.KB -2011 ∫ dx 2 ln x 388 dx Kq 12.(PCT KA 2010) 35 x + ln x 64 ∫ 1 76 + dx Kq x x 2x + dx x( x + 1) Kq + ln( x + 1) dx x 14.KA-2012 I = ∫ x3 dx 15 KB_2012 I = ∫ x + 3x + 16.KD-2012 I = π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx “CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH”