Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu cung cấp các bài toán tích phân với nhiều lời giải khác nhau cho từng bài, qua đó sẽ giúp học sinh có cái nhìn đa chiều hơn, từ đó đúc kết được những cái hay, cái dở trong từng cách giải để rút kinh nghiệm cho bản thân và phát triển tư duy giải toán. Các bài tập trong tài liệu này được phân thành 4 dạng như sau: + I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ + II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ + III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT + IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Đây thực sự chưa phải là những bài toán và cách giải hay nhất, chưa có nhiều bài tập phong phú và đa dạng, song cũng góp phần nhỏ bé nào đó cho các bạn và những bài tập hay và những cách giải đặc sắc hơn.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com (MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) Gửi tặng: www.toanmath.com Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại: + Trang web: www.toanmath.com + Fanpage: www.facebook.com/toanmath + Groups: https://www.facebook.com/groups/toanmath Bỉm sơn 13.03.2011 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I x3 dx x2 Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x tan t dx 1 tan t dt x t Đổi cận x t Khi 0 0 I tan tdt tan t tan t 1 dt tan t tan t 1dt tan tdt tan td tan t 0 d cos t cos t tan t ln cos t ln 0 Nhận xét: Đối với tích phân dạng I R u, u a du, u u x ta đặt u a tan t Cách 2: Phương pháp tích phân phần du xdx u x Đặt ln x 1 xdx dv v x2 Khi I x ln x 1 x ln x 1 dx 3ln 2 ln x 1 d x 1 J Tính J ln x 1 d x 1 d x 1 u ln x 1 du Đặt x2 dv d x v x Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 Khi I 3ln x2 1 ln x2 1 d x ln 0 Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I P x Qn x dx f x Q' x Qn x dx u f x du Đặt Q' x dv Q n x dx v Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số ' Nhận xét: Ta có x x x x 1 x từ ta định hướng giải sau Phân tích I x3 dx x2 x2 x dx x2 x t Đặt t x dt xdx t x Đổi cận x t 4 t 1 1 dt 1 dt t ln t ln 21 t 1 t Cách 4: Phân tích đưa vào vi phân 3 x2 1 x 1 1 2 I d x 1 d x 1 d x 1 x 1 x 1 0 x 1 Khi I 3 d x 1 x2 3 0 d x 1 0 x2 ln x 1 ln Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3 x3 x x d x 1 3 I dx x ln x2 1 ln dx 2 2 2 x x x 0 0 2 Nhận xét: Đây tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức để tách thành tổng tích phân phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất chia đa thức) Ta có x x x 1 x Khi I x3 dx x2 x x2 x dx 0 x 2 d x 1 x 1 3 ln x2 1 ln 2 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 2: Tính tích phân bất định: I Email: Loinguyen1310@gmail.com x3 x3 dx x 1 x dx x2 3x Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x x x x x 3x x 1 Khi x x 3x x x 2 x 1 3x I dx dx x 3x x2 3x x2 x dx x ln x dx 2 2 x x x x x x2 x2 x ln x ln x ln x C 3x 8ln x ln x C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x x x x x 1 x 1 x 3 x x x x 1 x 3 x 3 x 2x 3x 2 3 x 1 x 2 9 x 1 x 3 Khi x x 3x x 1 x 2 3 x 3 3x I dx dx x 3x x 3x 2x x2 x 3 dx dx x ln x ln x2 x C x x x 2 Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x x x x x x x x x 3x 2 x2 3x x x3 Khi I dx dx x 3x x2 3x 7x x2 x 3 dx dx x I1 x 3x 2 Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản x3 9x 9x I dx x dx dx x 3 dx x 3x x 3x x 3x I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I dx dx x 2x 1 x 1 Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com du dx Đặt u x x u 1 Khi I u 1 u2 du u 3u 3u u2 du u du 3u 3ln u C 2 u u u u với u x Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x3 Khi I dx dx x 2x 1 x2 2x 1 x2 x dx x 3ln x C x x 1 x 1 Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích x x x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 x 2 x3 Khi I dx dx x 2x 1 x2 x 1 2x x2 x 2 dx dx x ln x ln x2 x C x 1 x 2x 1 2 Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x x x x 1 x x 1 3x x x x 1 x x 1 3x x3 dx dx x2 2x 1 x2 2x 1 x2 3x x dx dx x I1 x 2x 1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng tích phân đơn giản x3 x3 I dx dx x dx 2 x 2x x x x 1 x2 x 3ln x C x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du 3x dx dx Đặt dv v x 1 x 1 Khi Khi I Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com x3 x2 x3 x2 3 dx 3 dx x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x3 x3 3 x dx x ln x C x 1 x 1 x 1 I Bài 4: Tìm nguyên hàm: I x dx 39 1 x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Phân tích x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2(1 x) 39 39 37 38 39 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x2 I 1 x 37 dx 1 x 38 dx 1 x 39 dx 1 1 C 36 37 36 1 x 37 1 x 38 1 x38 Cách 2: Đặt t x x t dx dt 1 t dt 1 1 1 I 39 dt 38 dt 37 dt C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du xdx dx Đặt v dv 38 39 38 x 1 1 x 1 x dx … đến bạn tự làm Khi I x 38 19 x 138 38 x 1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: I x dx ( x 1)10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 3 Sử dụng đồng thức: x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x3 3 10 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)10 Khi dx dx dx dx I 3 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)10 1 3 1 C ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)9 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t x ta có: x t nên dx dt t 1 (t 3t 3t 1)dt t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt t 10 dt t10 t10 1 3 1 C ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)9 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du x dx dx Đặt dv v 10 x 1 x 1 Khi x2 1 I x3 dx x 19 x 1 A dt I1 đến rùi ta tính I1 phương pháp tích phân phần phân tích x x 1 x 1 x 1 Nhận xét : - Đối với 3, mà ta sử dụng phương pháp đồng thức giải hệ thật nan giải phải không, thể mà lựa chọn phương pháp mà hiệu nhanh đích Qua 3, ta ý P x - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I dx đặt t x a phương pháp hiệu n x a - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I P x Qn x dx f x Q' x Qn x dx ta sử dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc x a n 1, u f x du Đặt: Q' x dv Q n x dx v Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I dx x x3 dx x 1 x HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử mẫu cho x I dx x x3 3 dx xdx x 1 x x 1 x 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com x2 t Đặt t x dt xdx Cách 3: Biến đổi số Đặt x tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử 1 x – x Khi I dx x x 0 x dx Bài 12: Tính tích phân sau: I dx x d 1 x 1 x ln x 3 ln x2 ln 2 0 dx x x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: x x x2 x2 x 1 1 x2 x2 1 3 2 x x 1 x ( x 1) x x( x 1) x x( x 1) x x x 1 Khi 2 1 1 x 1 2 I dx dx dx ln x ln x ln ln 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 Cách 1.2: Phân tích: x x x 1 x 1 x x3 2 x4 x x x x x x2 x x 3 2 x x ( x 1) x ( x 1) x 1 x x 1 x 1 tự làm Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích phương pháp biến đổi số 2 1 Phân tích I dx 2 dx x x x 1 x 1 x x t Đặt t x dx dt t2 x t Đổi cận x t Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 t3 t2 Khi I t dt dx đến lại trở thành 1, bạn mà làm 1 t 1 1 t2 t2 Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đổi biển số 2 x I dx dx x 1 x 1 x x dt xdx x t Đổi cận x t Đặt t x 1 1 1 t 5 Khi I ln dt ln ln 2 2 t 1 t 1 t t 1 t 1 2 t t 1 Hoặc bạn đặt u t phân tích t t 1 đồng thức dt Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đưa vào vi phân 2 x 1 I dx d x2 x x 1 x 1 x 1 x x 2 2 x 1 x 1 1 2 d x 1 d x 1 2 d x2 x x 1 21 x x x 1 1 dx dx ôi đến lại thành cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x 1 Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức A B C Dx E đến đồng thức hai vế để giải hệ tìm I A, B, C , D, E nhiên x x x 1 x x 1 x việc giải hệ phức tạp thể trường hợp ta nên làm theo cách 1, cách cách hiệu Cách 6: Đặt x tan u dx tan 1 dt … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I dx x 1 Giải: Nhận xét: x x 1 x x 1 Cách 1: Dựa vào nhận xét ta sử dụng đồng thức: x x 1 x x 1 x 1 Khi I x2 x 1 dx dx I1 I x 1 x x 1 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 d x 1 Tính I1 cách đặt t x I1 x3 1 x 1 (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 1 1 2x 1 x 1 dx Ta có I dx dx 2 x x 1 20 1 x x 1 x 2 Cách 2: Đồng thức A Bx C A x x 1 Bx C x 1 Xét x 1 x 1 x x 1 Đến ta đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng x 1 A ; x C ; x B …Bạn tự giải tiếp 3 Kết ta I ln 3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 dx dx d x 1 I x x 1 0 x 1 x 12 x 1 3 x 1 x 1 Tính I phân tích x Đặt x t dx dt x t Đổi cận x t 2 2 t 3t 3 t 3t dt t 3 dt dt 2 31 t t 3t t t 3t 3 t t 3t 2 dt d t 3t 3 dt 3 t t 3t 21 t 4 dt t2 11 2t ln arctan ln t 3t 3 1 3 3x x x Bài 15: Tính tích phân bất định: I dx x 50 Giải : Cách 1: Biến đổi số x t Đặt x t dx dt 3 t t 2 t 3x x x Khi I dx dt 50 t 50 x 2 Cách 2: Đồng tử thức chứa nghiệm mẫu thức 10 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 I 3 t tdt t dt t 8 3 3 Email: Loinguyen1310@gmail.com Cách 3: Phương pháp biến đổi số Ta có I sin x sin x cos x sin x sin x cot xdx dx sin x sin x Nhận xét: Hàm dấu tích phân hàm lẻ cos Đặt t sin x dt cos xdx t x Đổi cận x t 3 Khi I 3 t t dt t4 3 t dt 1 t 1 dt u u du 2 t t t t u Đổi cận u t 3 0 3 u4 Khi I u du 2 3 3 3 Đặt u 3 Bài 15: ( Đề 104 IVa) Tính tích phân sau: I sin dx x cos x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng thức sin x cos2 x Khi 3 3 3 3 2 8 dx sin x cos x 4 I dx dx tan x cot x 2 2 2 sin x sin x cos x sin x cos x cos x 8 8 Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 53 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 3 d 2x dx dx 4 2 2 cot 2 x 4 I 2 2 sin x cos x sin x sin x 8 8 Cách 3: Phương pháp biến đổi số 1 tan x t dx … Đặt t tan x dt cos x sin x tan x t 3 3 3 Bài 16: Tính tích phân sau: I cos2 xdx sin x cos x Giải: Cách 1: Đồng thức Ta phân tích: cos2 x A sin x B cos x (sin x cos x) C sin x cos x A 3B C ( 3B C ) cos x ( B A) sin x cos x A C sin x B A B A C C cos2 x cos x sin x 4 sin x cos x 4(sin x cos x) 1 13 dx sin x Khi I cos x cos x sin x 4 I1 Tính: J dx sin x I1 20 cos x x ln tan 2 6 sin x 3 dx 1 3ln x sin x ln tan I cos x 8 2 60 4 Cách 2: Tích phân liên kết 54 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Sử dụng tích phân liên kết J cos xdx sin x cos x I J 1 3ln Giải hệ ln I I J cos2 xdx sin xdx tích phân liên kết thường J Tổng quát: I A sin x B cos x A sin x B cos x cos6 x dx Bài 17: Tính tích phân sau: I sin x Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân cos6 x cos x.cos4 x 4 Phân tích 1 tan x tan x tan x 4 sin x sin x tan x Khi cos x dx tan x tan x dx tan xdx tan xdx sin x 4 4 I I1 I2 Tính I1 tan xdx tan x tan x tan x 1 1 dx tan tan 1 dx tan x 1 dx 2 tan xd tan x tan x x 4 Tính I tan x 1 1 dx tan x 1 dx dx tan x x … tự giải 4 4 Cách 2: 2 cos x cos x 1 sin x cos x cos x sin x cos2 x sin x Phân tích cot x 2cot x cos x 4 sin x sin x sin x sin x Khi 55 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 I cot x dx cot xdx cos xdx sin x 4 4 12 cot xd cot x 1 dx 1 cos x dx 2 sin x cot x 1 sin x 5 23 cot x 1 x 2 12 Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn sin va cos nên ta đặt t tan x cách dài phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé! Bài 18: Tính tích phân sau: I cos3 x sin x.cos5 xdx Giải: I cos3 x cos3 x.sin x.cos2 xdx cos x t Đặt cos x t cos x t sin x.cos xdx 2t dt 3 t x Đổi cận 2 t x 1 t t13 12 Khi I t 1 t t dt t t12 dt 13 91 0 Hoặc : Đặt cos3 x t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 0 I cos3 x cos3 x.sin x.cos xdx cos x cos3 xd 1 cos3 x cos3 x 1 cos3 x 1d 1 cos3 x 0 cos3 x 1 cos3 x d 1 cos3 x cos3 xd 1 cos3 x 56 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com sin x.cos x dx cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích sin x.cos x sin x.cos2 x dx dx x x cos cos 0 I dt sin xdx Đặt t cos x cos x t t x Đổi cận 2 t x Khi I 2 t 1 t 2 t2 1 dt t dt 2t ln t 2 1 2 t ln 1 Cách 2: 1 cos2 x 1 sin x.cos x sin x.cos x d cos x I dx dx cos cos cos x x x 0 cos2 x 1 cos x ln cos x ln d cos x sin x cos x 0 0 Chú ý: d cos x d 1 cos x ta đặt t cos x Tổng quát: I a sin x.cos x dx ta đặt t b c.cos x t cos x b c.cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn: tan x 10 dx ln Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I cos x HD: Cách 1: Biến đổi cos x cos x sin x 1 tan x cos x Đặt t tan x Hoặc sử dụng công thức cos x tan x tan x Tổng quát: 57 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com a tan x dx với a, b b cos x I Biến đối b cos x b cos2 x sin x b 1 tan x cos x đặt t tan x Mở rộng a tan x dx với a, b, c, d 2 b sin x c sin x cos x d cos x I Biến đổi b sin x c sin x cos x d cos x b tan x c tan x d cos2 x đặt t tan x dx cos x Bài 2: (ĐH AN– 1998): Tính tích phân sau: I Cách 1: 4 dx dx 1 tan x d tan x tan x tan x I 2 cos x cos x cos x 0 Cách 2: Biến đổi số dx dx dx 1 tan x 2 cos x cos x cos x cos x Đặt t tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u cos2 x dv dx cos x I Bài 3: (Đề 84.IVa) Tính tích phân sau: I I dx sin x dx sin x cot x ) 1 cot x d cot x (cot x sin x 4 d cot x Bài 4: Tính tích phân sau: I cos2 x.cos2 xdx HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết 58 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 5: Tính tích phân sau: I Email: Loinguyen1310@gmail.com sin x sin x cos x dx HD: sin x cos x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 1 sin x 4cos4 x 4 Từ ta có cách sau Cách 1: Biến đổi I sin x sin x cos x dx cos x 1 sin x dx đặt t sin x t sin x biến đổi vi phân trực tiếp I sin x sin x cos x dx cos x 1 sin x dx d 1 sin x 1 sin 2x đặt t tan x Cách 2: Biến đổi I sin x sin x cos x dx cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x dx sin x cos x dx Đặt t sin x cos x biến đổi vi phan trực tiếp Cách 3: Biến đổi I Đặt t x sin x sin x cos x dx cos x dx cos x 4 Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I sin x dx cos6 x HD: sin x 1 dx tan x dx tan x 1 tan2 x d tan x cos x cos x cos x 42 Đs: 15 Ta có Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I sin x cos x dx sin x cos x HD: 59 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 I Email: Loinguyen1310@gmail.com d cos x sin x 4 dx dx ln cos x cos x cos x 4 4 ln Bài 8: Tính tích phân sau: I tan xdx HD: Đặt t tan x dt (tan x 1) dx x t Đổi cận: x t 1 4 t t t dt 13 dt t4 t2 Vậy I tan xdx t du 15 t 1 5 0 0 t 1 0 Bài 9: Tính tích phân sau: I cos5 xdx 15 sin x cos3 x dx cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I HD: 2 t 1 1 ln 2 cos x I d 1 cos x dt t ln t 2 cos x 21 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I tan xdx HD: I tan xdx tan x sin xd tan x tan x 1 cos x d tan x tan x d tan x tg x tan x 1 d tan x tan x tan x x C tan xd tan x tan x 3sin x cos x dx 2 3sin x cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I Đs: I ln 60 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I ln 1 tan x dx Giải: Cách 1: dx dt Đặt x t tan t 1 tan x tan t tan t tan t x t Đổi cận x t Khi I ln dt ln 2dt ln 1 tan t dt (ln 2) I I ln tan t 0 Cách 2: Ta có sin x cos x I ln 1 tan x dx ln dx ln sin x cos x dx ln cos x dx cos x 0 0 ln cos x dx ln cos x dx 4 0 J 1 Tính J ln cos x dx ln dx ln cos x dx ln x ln cos x dx ln K 2 4 4 0 0 K Đặt t x dt dx Khi K ln cos t dt ln cos x dx 0 Khi I ln Cách 3: Tích phân phần 61 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com u ln 1 tan x Đặt …Bạn đọc tự giải dv dx Bài 2: Tính tích phân: I ln 1 x x2 dx HD: Đặt x tan t ta I ln 1 tan t dt ; đặt t x ta I 4 0 ln tan u du ln 0 du I Bài 3: Tính tích phân sau: I ln( x 1) x 1 x 1 dx Giải: Cách 1: dt x dx t 1 dt dx Đặt t x 1 x t 12 x t Đổi cận x t Khi 3 (t 1) ln t ln t I 2 dt dt ln td ln t ln t ln ln2 2 (t 1) t t Cách 2: Đặt t x bạn đọc tự giải xdx sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: Đặt t x Cách 2: Biến đổi sin x cos x 2cos2 x , tích phân phần 2 4 1 3 I x.sin x.cos xdx xd cos x x cos x cos3 xdx 30 3 0 62 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com sin3 x 1 1 sin x d sin x sin x 30 3 0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau: I 1 sin x e x cos x dx o ex cos2 x e x sin x dx e cos x dx Giải: Cách 1: x x sin x x sin x e dx sin x e dx e dx e x dx e x dx x cos cos cos cos x x x x 0 cos I2 Ta có: I I1 e x dx x 0 cos2 u e x du e x dx Đặt: dv dx x v tan x cos Áp dụng công thức tính tích phân phần x x x e x dx I1 e x tan tan e x dx e tan e x dx x 20 2 cos2 0 x x cos 2 sin sin x 2 e x dx tan x e x dx Tính: I e x dx 0 x cos x cos 2 Tính: I1 Vậy I e Cách 2: Ta có: I e cos x x x e sin x x x dx ex d (tan ) ex tan dx cos x 2 0 dx x x x x2 e x tan e x tan dx e x tan dx e x tan e2 20 2 0 63 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Sử dụng định nghĩa: Ta có 1 sin x e x cos x x x ' ' e x sin cos e ex x x x x x x ' x x 2 tan e tan e tan e e tan x x x 2 2 cos2 cos 2 cos 2 2 x Hoặc ta biến đổi: x x sin cos 1 sin x x x 2 1 1 tan tan x cos x 2 2 cos Vậy I x x x tan dx tan e dx 0 2 20 I1 x Tính I1 tan e x dx e2 Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I dx ln x ln x e Cách 1: 1 Đặt f x ln x ln x ' ' x 1 ln x x ln x x ln x Ta có f x F x 2 ln x ln x ln x ln x ln x Khi e2 x e2 e2 I dx e ln x ln x ln x e e Cách 2: e2 e2 e2 e2 e2 dx x e2 dx dx I dx xd ln x ln x e ln x e ln x ln x e ln x e ln x e e Bài 7: Tính tích phân sau I x.sin x cos2 xdx Giải: 1 I x.sin x cos xdx x sin x sin x dx 20 40 du dx u x Đặt: dv sin 3x sin x dx v cos x cos x 64 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 1 x cos x cos x cos 3x cos x dx 3 03 1 1 x 1 cos x cos x sin x sin x 2 18 Cách 2: Đặt x t … bạn đọc tự giải Khi I Chú ý: Qua toán ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta tính Nguyên hàm dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích thương Dạng Tổng Cấu trúc hàm số f x u v u v Hiệu f x u ' v' u v Tích f x u ' v v ' u uv Thương u ' v v'u u f x v2 v ' ' Nguyên hàm F x u v ' ' F x u v ' F x uv ' F x u v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng ex Nguyên hàm F x u x ex Hàm số (đạo hàm) F x u ' x u x e x f x e x F x u x e x F ' x u ' x u x e x f x e ax b F x u x eax b F ' x u ' x au x e ax b f x e F x u x ev v v x F ' x u ' x v ' x u x e f x v v Ví dụ: Tính tích phân sau: I x2ex x 2 ' dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u x e x du xe x x dx dx Đặt du v x 2 x2 65 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Khi I x2 e x xe x dx x 0 I1 u x du dx Tính I1 xe x dx Đặt x x dv e dx v e Khi I1 xe x 1 e x dx xe x e x x Vậy I xe xe x e x x2 Cách 2: Phân tích x x x x 2 x x Khi I x2 x 2 x e dx x 2 x 2 x 2 1 1 ex e dx e dx dx dx x2 0 x 2 x x J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I x e2 x x 1 dx HD: Sứ dụng tích phân phần 1 x e2 x I dx x e2 x d x 1 x 1 1 1 x2 e2 x e2 e2 e2 d x e x xe2 x dx xd e x xe2 x e2 x dx x 1 0 x 1 2 e2 e2 x 2 e2 e 2 x 2 2 x Bài 2: Tính tích phân sau: I x tan x tan tan 2 8 Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I x 1 e x x 1 dx Bài 4: Tính tích phân sau: I esin x 1 x cos x dx e 66 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com e2 Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I 2ln x 2e 2e ln x e LỜI KẾT: Đây thực chưa phải toán cách giải hay, chưa có nhiều tập phong phú đa dạng, song góp phần nhỏ bé cho bạn Tôi hi vọng bạn thích thú tìm thêm tập hay cách giải đặc sắc hơn… Tuy nhiên lực kinh nghiệm thiếu Rất mong bạn học sinh bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp bạn hoàn thiện … Xin chân thành cảm ơn Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa MỤC LỤC I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ……………………………………………… Trang II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ……………………………………………………… Trang 18 III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT…………………………………… Trang 26 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Trang 35 Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại: + Trang web: www.toanmath.com + Fanpage: www.facebook.com/toanmath + Groups: https://www.facebook.com/groups/toanmath 67 [...]... Bài 6: Tính tích phân: I 4 3 2 44 1 x 2 x 5x 4 x 4 2 HD: Phân tích x 4 2 x 3 5 x 2 4 x 4 x 2 x 2 2 Cách 1: Đồng nhất thức Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t x 0 Bài 7: Tính tích phân sau: I 1 2 Hoặc đưa vào vi phân x x 2 dx x 2 3 1 HD: Cách 1: Đặt x tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 17 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694... Loinguyen1310@gmail.com u x Đặt dv xdx 3 2 1 x Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân tích x 2 x 2 1 1 0 Khi đó I 1 0 x 2 dx x 2 1 3 1 0 dx x 2 1 2 1 dx x 2 1 3 II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài tập giải mẫu: 7 3 Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I 0 x 1 3 3x 1 dx Giải: Cách 1: Biến đối số u3 1 x Đặt u 3 3x 1... vi phân bằng cách phân tích t e Bài 3: Tính tích phân sau: I 1 1 1 1 3t 3 3 1 ln x dx x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t 1 ln x t 2 1 ln x 2tdt dx x x 1 t 1 Đổi cận x e t 2 t3 2 2 2 2 1 31 3 1 1 1 Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e Khi đó I 1 ln x dx x 2 2 2 t.2tdt 2 t dt 2 27 Giáo viên: Nguyễn Thành Long. .. (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I dx 3 1 2 x 0 HD: 1 x 1 1 1 1 Phân tích x 1 2 x 1 ta được I 3 2 3 18 2 1 2 x 2 1 2 x 1 2 x Hoặc đặt t 1 2 x Hoặc tích phân từng phần 1 21 13 x2 3 Bài 10: Tính tích phân: I dx ln 2 ln 3 4 2 4 4 1 x x 3x 2 2 HD: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t x 2 Cách 2: Phân tích mẫu x x 4 ... 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I 1 2 4 Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I 1 28 3 3 4 10 231 10 x 3 2x 2 dx 2x 1 2x 1 0 1 3 Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I 3 1 x3 x 1 x 3 12 5 dx 2 ln 2 dx 25 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Bài tập giải mẫu: e ln x 3 2 ln... 2 4 0 20 20 0 0 Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất 1 6 1 Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I x5 1 x3 dx 168 0 3 4 4 Giải: 1 6 1 6 Ta có I x5 1 x3 dx x3 1 x3 x 2 dx 0 0 Cách 1: Đổi biến số 13 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com... - Tích phân trên đưa về dạng I f x 1 2 dx đặt t x dt 1 2 dx x x x x Tương tự ta có thể giải bài toán này 2 1 Tính tích phân sau I 1 x2 1 dx x4 1 1 1 1 2 2 2 1 1 x dx x I dx Đặt u x du 1 2 dx 2 1 x x 1 1 x2 1 x 2 x2 x 2 1 2 (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: 12 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ:... t 2 ) 3 t 2 Tính J1 bằng cách đặt 3 t2 u 3 t 2 u , tính J 2 bằng cách đặt 3 t Bài tập tự giải có hướng dẫn: 7 1 Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân: I 2 x 1 2 dx 2 4 ln 2 2 ln 3 HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t 2 x 1 Hoặc t 2 x 2 Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I x 1 3 3x 2 0 7 Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I x2 3 x 1 0... 34 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 Bài 4: I x x 2 1 e 2 Email: Loinguyen1310@gmail.com dx e2 e x 1 0 HD: Đặt t x 2 1 dt 2 x x2 1 dx Tổng quát: I e f x g x dx mà f ' x kg x ; k R đặt t f x IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Bài tập giải mẫu: 4 Bài 1: Tính tích phân sau: I cos 2 x.cos 2 xdx 0 Giải: Cách 1: Tích phân từng phần du ... Tính tích phân sau I 1 ln 2 x x ln x 1 dx 76 15 HD: e Đặt t ln x 1 hoặc t ln x hoặc biến đổi vi phân I 1 ln 2 x x ln x 1 e dx 1 ln 2 x ln x 1 d ln x hoặc tích phân từng phần ln 2 Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau: I 0 Đs: I e2 x ex 1 dx 2 2 3 e Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân: I = x 1 ln x 1 ln x dx HD: Đặt t = 1 ln x Đs: I 42 2 3 34 Giáo viên: Nguyễn