Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, nhỏ chứng minh bất đẳng thức Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 9: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 590 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, nhỏ chứng minh bất đẳng thức 591 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Phương pháp: Biến đổi hai vế nhờ phép toán đại số bản; nhóm nhân tử chung; quy đồng; dựa vào giá trị tuyệt đối;… sau có dùng bất đẳng thức  x  y 2   x  y   2  x  y    y  z    z  x  2  x  y  z    xy  yz  zx   x  y2  z   xy  yz  zx   (*) Từ (*) ta có bất đẩng thức khác hay sử dụng:  xy  yz  zx    xy yz  yz.zx  zx.xy   3xyz  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx     BÀI TẬP MẪU Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  Chứng minh   xy  yz  zx  Lời giải: Ta có 2  xy  yz  zx     xy  yz  zx   x2  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   Lại có   xy  yz  zx   x  y  z   xy  yz  zx  2  x  y    y  z    z  x   xy  yz  zx  Từ suy đpcm Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z Chứng minh 1 1 1 1 y      x  z     x  z x z y x z    592 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải: BĐT tương đương với 1 1 1 1    x  z  y      x  z  x z x z y 1 1     x  z  y   x  z  y x z  x z y   x  z  0 xz  y  x  z  y  x  z  y    x  y  z  xyz Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y  z Bài Cho số thực x  0, y  thay đổi vào thỏa mãn điều kiện: xy ( x  y )  x  y  xy Tìm giá trị lớn biểu thức 1 A  x y Lời giải: Ta có 2 x  y  x  y   x  y  xy   x  y  x  y  xy  x  y  A 3     x y x3 y3 x3 y  xy  Theo giả thiết ta có 2 2 xy ( x  y )  x  y  xy   x  y   3xy   x  y    x  y    x  y   4  x y x y 0 4 A   16 xy  xy  Đẳng thức xảy x  y   Vậy giá trị lớn A 16 Bài Cho x, y, z số thực thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P   x3  y  z    x y  y z  z x  Lời giải : 1  x  1  y   1  y  1  z   1  z  1  x   Ta có x, y, z   0;1   3  x  x  x; y  y  y; z  z  z Từ suy x  y  z  x  y  z   x y  y z  z x   593 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC  P   x3  y  z    x y  y z  z x   Vậy giá trị lớn P  x  y  z  Bài Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1 1    a b c abc Lời giải : Do a, b, c  nên bất đẳng thức tương đương với bc  ca  ab  Theo bất đẳng thức ta có  a  b  c    bc  ca  ab   a  b2  c2    Từ ta có đpcm Bài Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P a b  c   b c  a  c  a  b Lời giải : Ta có b  c  a  b  c   Tương tự b 2  b  c   a  b  c  bc   a    a  a  b  c        c  a  b  c b a  b  bc   a   b  c a bc ca 2 ab Cộng theo vế bất đẳng thức suy c c b  c  c  a  a  b  b  c   a  b  c  4 Đẳng thức xảy a  b  0, c  hoán vị P a 594 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giá trị lớn P Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  cos  a  b  c  Bài Cho a, b, c   0;1 thỏa mãn a  b  c  Lời giải :   2 P lớn nhất( nhỏ nhất) a  b  c nhỏ ( lớn nhất) Tìm giá trị nhỏ a  b  c 3 Ta có a  b  c   a  b  c   Suy GTLN P cos ; xảy 4 abc Tìm giá trị lớn a  b  c giả sử : a  b  c  a  b  c   3c  c  2 Do a, b, c   0;1 nên  a  b  c  a  b  c  2 3  Vậy a  b  c   a  b   2ab  c   a  b   c  c    c   2  Do  c  1 2c  1  1  ; xảy  a, b, c    0, 0,  hoán vị 2  Bài Cho x, y số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  x  y 1  xy  P 2  x  1  y  1 Suy GTNN P cos Lời giải :  x  y 1  xy    x  xy    y  yx Ta có P  2 2  x  1  y  1  x  1  y  1 2 x  y  1  y  x  1 x y    2 2  x  1  y  1  x  1  y  1 Với x, y   x  x  1 2  y  ;0    y  1 595 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Từ suy GTLN P GTNN P  x  1; y  x  0; y  Bài Cho a, b, c  số đôi khác Chứng minh   ab  bc  ca     a  b  b  c  c  a  4   Lời giải : Giả sử c   a, b, c  , a, b, c  ta suy ab  bc  ca  ab 1  2 b  c  b a  c  a2 Vậy ta cần chứng minh  1  ab a b ab    4   4 2   a  b b a   a  b b a    ab a  b a  b  ab  2 0    ab  a  b   a  b ab 2      Vậy ta có đpcm Bài 10 Cho a, b, c  P 1   Tìm giá trị nhỏ biểu thức a c b ab cb  a  b 2c  b Lời giải : 2ac 2ac a c 2ac ac  a  c  a  3c  c  3a    a  c   Ta có b  thay vào P    2ac 2ac ac 2a 2c 2 c a  2a  2c  ac ac Bài 11 Cho a, b, c  1;3 thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b2  c2 596 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải : Cách : Đặt a  x  1; b  y  1; c  z  1; x, y , z   0;2 2 Khi P  a  b  c   x  1   y  1   z  1  x2  y  z   x  y  z     x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z    2  xy  yz  zx   18 Từ x, y , z   0;2    x   y   z      x  y  z    xy  yz  zx   xyz   2  xy  yz  zx   4  xyz  4 xyz  Từ suy P  2  xy  yz  zx   18  14 Đẳng thức xảy  a, b, c   1, 2,3 hoán vị Bình luận : Đặt a  x  1; b  y  1; c  z  để tận dụng tích xyz  Nếu không abc khó đánh giá Cách : Xem phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Bài 12 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức x y2 P z2 Lời giải : Ta có x  y   z   x  y 2  x  y    x  y   12  x  y   3  z    z  3z2 Ta có : P  z      x  y    x  y    P  z  2  2   P  3 z   P  P   z  P  P   Coi phương trình bậc hai với ẩn z , để phương trình có nghiệm 36  'z   P  P  3   P  3 P  P  3     P  23 597 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Với x  2; y  0; z  P  giá trị lớn P 20 66 36 Với x  ; y   ; z  P   giá trị nhỏ P 31 31 31 23 - Bài 13 Cho a, b, c   0;1 Chứng minh 1    3abc 2a 2b 2c Lời giải :  a  1   a   a   a 2a Tương tự : 1  b; c 2b 2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy 1    a  b  c  3 abc  3abc abc  2a 2b 2c Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 14 Cho a, b, c   0;1 a  b  c  Chứng minh 1    ab  bc  ca  a  b  c Lời giải : Không tính tổng quát ta giả sử  a  b  c  Khi c a b a  b  c  b  c  1  b 1  c   bc     2 ab  bc  ca  bc  bc  Mặt khác ab bc ca  ab   bc   ca      1    1   1  ab  bc  ca   ab    bc    ca   1  a 1  b   1  b 1  c   1  c 1  a     ab  bc  ca  Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy đpcm Đẳng thức xảy a  b  1, c  hoán vị Bài 15 Cho a, b  thỏa mãn a  b  Chứng minh 598 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC  a 1 b   2     a b a   b Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 a b   2     a  b  2ab  2ab  a b b a   a  b 2    a  b   a  b 1  2   1       t  t    (*) ; với t  a  b  1;  (Vì  a  b   a  b  ab  a  b   a  b     Và  a  b    a  b2    a  b    Suy t  1;  ) Bất đẳng thức (*) với t  1;  Bài 16 Cho a, b, c  Chứng minh  a  b2  c    a  b  c  a  b  b  c  c  a  Lời giải : Không tính tổng quát ta giả sử b nằm a c , ta xét hai trường hợp Nếu a  b  c  VT   VP , ta có đpcm Nếu c  b  a , vế phải VP   a  b  c  a  b  b  c  c  a    a  b  c  b  a  c  b  c  a     a  b  c  b  a    c  b  c  a   Ta cần chứng minh  a  b  c  b  a    c  b  c  a   a2  b2  c2 Thật bất đẳng thức tương đương với a  2a  2c  b   , Vậy ta có đpcm Bài 17 Cho a, b, c   0;1 Chứng minh a 1  b   b 1  c   c 1  a   Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 599 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC  4bc   b  c   5   Suy P  5    b  c 2   5       5   1 5 1 ,c  hoán vị 2 Bài 31 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  1, y  2, z     Tìm giá trị lớn x y z Đẳng thức xảy a  0, b  biểu thức P   x  1 y   z  3 Lời giải: Từ giả thiết sử dụng bất đẳng thức cô si ta suy y 2 z 3 y2 z3  1 1   2 x y z y z y z x 1 z  x 1 z   1 1   2 y x z x z x z x 1 y  x 1 y     1   2 z x y x y x y Nhân theo vế ba bất đẳng thức ta suy P   x  1 y   z  3  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 Cho a, b, c  Chứng minh  a  b  a  c   abc  a  b  c  1.2 Chứng minh với số thực a, b ta có a 3b 1 1   a  b   b a a b Cho x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1.3 P x  y  xy  x  y  xy  x  y  Chứng minh với a  b  , ta có a   a  b  b  1 1.4 1.5 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1    1 a 1 b 1 c 633 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh 8abc  1.6 1.7 a b c   a bc  b c a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c   a  b  c   Chứng minh Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh ab  a  b  bc  b  c  ca  c  a 3 1    Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c 1.8 Cho a, b, c  thỏa mãn 1.9 bc ca a b   a2 b c Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P P  a  b3  c  a  b  c  abc 1.10 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh 1 4 1         ab bc ca  a  b b  c c  a  1.11 Cho x  2, y  3, z  Tìm giá trị lớn biểu thức xy z   yz x   zx y  xyz Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c   1 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh a d d b bc c a    ab bc ca ad Cho ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh 1 1    2 2 a  2b  b  2c  c  2a  Cho số thực a, b, c có tổng không Chứng minh P 1.12 1.13 1.14 1.15 8a  8b  8c  2a  2b  2c 1.16 Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c    a 1 b 1 c 1 1.17 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b c abc bca cab 1.18 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh 634 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 1       4    a b c abc  ab bc ca 1.19 Cho x, y, z số thực dương có tích Tìm giá trị lớn biểu thức x  y 1 y  z 1 z  x 1 P   2 x  y  y  z  z  x2  1.20 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh  ab2  bc  ca 18    3 3 3 c a b a b c 1.21 Cho a, b, c  thỏa mãn ab  bc  ca  abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức 8a  108b5  16c  P   a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  b  b  c    b  c  a  c    a  c  a  b P  a  b  b  c   a  c  b  c  a  c   a  b  a  c  a  b  b  c 1.22 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c   xyz x  y  z  x  y  z 1.23 Cho x, y, z  Chứng minh x 2 y z   xy  yz  zx    3 1.24 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh x  1 y  1 z  1  x  1 y  1 z  1 1.25 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức P  x y  y z  z x3   x  1   y  1   z  1 1.26 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 13x  y  12 z  Tìm giá trị lớn biểu xy yz zx   thức P  2x  y y  z 2z  x 1.27 Cho a, b, c  Chứng minh  a  b  c 81 abc abc a b c 1.28 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh  2 ab 1  c  1  c    bc 1  a  1  a  ca    b  1  b   a2 b2 1.29 Cho a, b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   b 1 a 1 1.30 Cho x, y, z  thỏa mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  1 y  1 z  1 635 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.31 Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh xyz    xy  yz  zx  BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHAWARS Bất đẳng thức có dạng  a12  a2   an  b12  b2   bn    a1b1  a2b2   anbn 2 , ai , bi  Để chứng minh bất đẳng thức ta xét tam thức bậc n f ( x)    x  bi  i 1   a  a2   an  x   a1b1  a2b2   an bn  x   b12  b22   bn   0, x 2   '   a1b1  a2b2   an bn    a12  a22   an  b12  b22   bn   (đpcm) có số khác Một dạng đặc biệt BĐT hay áp dụng an  a1  a2   an  a12 a22     , số bi  b1 b2 bn b1  b2   bn BÀI TẬP MẪU Bài Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2  y  z  y2  z  x z2  x  y P   y y  2z z z z  2z x x x  y y Lời giải: Sử dụng BĐT Cô si cho số dương ta có x  y  z   x yz  x  2x x x Một cách tương tự ta có y2  z  x  y y; z2  x  y  2z z Đặt a  x x , b  y y , c  z z , ta có abc  Khi ta cần tìm giá trị nhỏ 2a 2b 2c P   b  2c c  2a c  2b Ta có   a2 b2 c2 a  b  c  P        a b  c b c  a c c  b a b  c  b c  a  c c  b               636 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Vậy giá trị nhỏ P xảy x  y  z  Bài Chứng minh với số thực x, y, z  thỏa mãn điều kiện 1    Chứng x y z minh x  y  z  x   y   z  Lời giải: Theo giả thiết ta có x  y 1 z 1   1 x y z Sử dụng BĐT Cauchy – Schawars ta có 1 x 1 y  z     x y z  x   y 1  z 1  x y z  x   y   z   x  y  z Ta có đpcm Đẳng thức xảy x  y  z  Bài Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c     bc  ca  ab 10 Lời giải: Ta có  a  b  c  a2 b2 c2 VT     a  abc b  abc c  abc a  b  c  3abc 1 a  b  c  10 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn giá trị lớn biểu thức Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy shart ta có x 2  y  11   z   1.x  y  z   1    Tìm 2 x  y  y  z  z  x2  P  xy  yz  zx 2  z2  x  y   x  y  z 2 Một cách tương tự ta có  x2  y2  ;  y  z   x  y  z 2 z  x   x  y  z 2 637 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1  x2  y2  z2 1    x  y 1 y2  z2 1 z2  x2 1  x  y  z Suy  x  y  z 2   x  y  z    x  y  z    xy  yz  zx   P  xy  yz  zx  Bài Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    abc 2a  bc 2b  ca 2c  ab Lời giải: Chia hai vế bất đẳng thức cho abc , bđt tương đương với 1   1 2 2 2a bc  b c 2b ca  a c 2c ab  a 2b Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- shacwar cho vế trái ta 1   2 2 2 2a bc  b c 2b ca  a c 2c ab  a 2b  2 2 2 a b  b c  c a  a 2bc  2b ca  2c ab 9   1 2  ab  bc  ca    a  b  c 2  3    Từ ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  Bài Cho a, b số thực thỏa mãn a2  b2  a  b Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2b Lời giải: Ta có 2 1  1  a b  a b  a   b   2  2  1  1  Vậy P  a  2b   a     b    , theo bất đẳng thức Cauchy-shawar 2  2  2 2  1  1  1  2    a     b     1    a     b    2  2  2     10 Từ suy P  638 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC   10  10  Đẳng thức xảy  a; b    ;  10   10 Bài Cho a, b, c không âm thỏa mãn a  2b  3c  hai số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P  ab  bc  ca ab  bc  c Lời giải: Với hai số dương x, y ; sử dụng bđt cô si ta có 1    x y xy 2 x  y2    2 x2  y Sử dụng bất đẳng thức ta có 1 2 P   ab  bc  ca ab  bc  c2 ab  bc  ca  ab  bc  c 2 2   c  ca  2bc  2ab  a  c  c  2b  2   a  c  c  2b a  2b  3c Dấu bẳng xảy a  2; b  1; c  Suy giá trị nhỏ P   Bài Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  1, ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P    a b bc c a ab  bc  ca Lời giải: Giả sử a  b  c 2 P    a b bc a c ab  bc  ca Ta có 2  8    2    a b b c  a b b c  a b b c a  c    Vậy P  10    ac  ac  ab  bc     20 a  c 639 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  ac  ab  bc  GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 20  20   a  c  a  c  4b   a  c    ac  ab  bc  20 20 20     10 1  b 1  3b  1  b 1  3b  1  b   1  3b  2 2 Dấu xảy b  , a  ,c  6  1.1 1.2  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho a, b, c  thỏa mãn    Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c a b c Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y 24 z   z 36 x 25 y Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   2  ab  bc  aa P  15 1.3       1.4 Cho a, b, c  Chứng minh 1.5  a   2b   2c   a  b  c  1    1    1    b   c   a  ab  bc  ca  2 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a 2b2   a  b 2  b2c  b  c  2 c2 a  c  a 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1.6 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  1.7 1  c2  ab c Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1.8  1  1 P  1  x      1  y     y  x  Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2  b2  c  Tìm giá trị nhỏ biểu P   a  b  2 2 2 2       thức P   3a     3b     3c   bc   ca  ab   640 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.9 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu  1 1  x4 y4 z4 thức P           x y z    xy  1 xz  1  yz  1 xy  1  zy  1 zx  1  BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Ta xét dạng bất đẳng thức này,để hiểu cách vận dụng bất đẳng thức này,nó thực công cụ hữu hiệu giải toán bất đẳng thức Cho a, b, c, x, y, z, u , v, t số thực dương Chứng minh a  b3  c3  x  y  z  u  v3  t    axu  byv  czt  Chứng minh: Sử dụng bất dẳng thức Cô si cho số dương ta có a3 x3 u3 3axu    3 3 3 3 3 3 a b c x  y  z u v t a b c   x  y3  z  u  v3  t  Một cách tương tự xây dựng tiếp bất đẳng thức b3 y3 v3 3byv   3 3 3 3 a b c x  y  z u v t a  b3  c   x3  y3  z  u  v3  t  c3 z3 t3    a3  b3  c3 x3  y  z u  v3  t 3czt a 3 b c  x  y  z  u  v  t  Cộng theo vế bất đẳng thức ta có đpcm Do làm toán để vận dụng bất đẳng thức này, ta sử dụng BĐT Cô si theo cách chứng minh BÀI TẬP MẪU Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh 1  a 1  b 1  c   1  abc  Lời giải: Sử sụng BĐT Cô si cho số dương ta có 1     a  b  c 1  a 1  b 1  c  a b c    1 a 1 b 1 c 3 abc 1  a 1  b 1  c  641 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cộng theo vế bất đẳng thức Ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c Bài Cho a, b hai số thực dương Chứng minh 1  a b 1  b    a  a  11  b  2 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức toán Ta có: 1  a 1  a 1  b   1  a b  1  11  1 1  a   1  a  1  1 1  b 1  b   1  b  3 3 3 3 Nhân theo vế ba bất đẳng thức ta suy 3 3 1  a  1  b3   1  a 2b  1  a  1  b  Suy ra: 1  a 2b 1  b2  a  a  11  b3  2 KỸ THUẬT CÔ SI NGƯỢC DẤU Kỹ thuật khai thác để sử dụng BĐT Cô si cho mẫu số phân số, cần có bước chuyển phân số tổng số dương số âm BÀI TẬP MẪU Bài Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c    2 1 b 1 c 1 a Lời giải: Ta có a ab2 ab2  a   a   a  ab 2 1 b 1 b 2b Một cách tương tự ta có 642 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC b c  b  bc;  c  ca 2 1 c 1 a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c    a  b  c   ab  bc  ca   2 1 b 1 c 1 a 2 Do a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c   Đẳng thức xảy a  b  c  Bài Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh a2 b2 c2    a  2b b  2c c  2a Lời giải: Ta có a2 2ab 2ab 2  a   a   a  a b2 2 a  2b a  2b 3 ab Một cách tương tự ta có b2 23 2 c2  b  b c ;  c  c2 a 2 b  2c c  2a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a2 b2 c2    a  b  c  a 2b2  b2 c  c2 a  2 a  2b b  2c c  2a Thật    ab  bc  ca    a  b  c    a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c 3   a 2b  b c  c a    ab  a  b   3 a  b  c  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh 1    a 2 b 2 c 2 Lời giải: Ta có 1 a3 1 a3 a       a  2 a  2 3a Một cách tương tự ta có 1 b2 1 c2   ;   b3  2 c  2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  643 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.2 Cho a, b, c số thực không âm có tổng Chứng minh a b c    2 1 b c 1 c a 1 a b Cho số thực dương a, b, c Chứng minh 1.3 a3 b3 c3  2   a  b  c 2 a b b c c a Cho a, b, c số thực không âm có tổng Chứng minh 1.1 1.4 a2 b2 c2    a  2b3 b  2c c  2a Cho số thực dương a, b, c, d có tổng Chứng minh a 1 b 1 c 1 d 1      b2  c2  d  a PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Một số toán BĐT có điều kiện ràng buộc ta quy dạng lượng giác, BĐT dễ chứng minh Một số dấu hiệu nhận biết đưa toán BĐT dạng lượng giác + Nếu số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  tồn góc tam giác ABC A B C cho a  tan , b  tan , c  tan 2 + Nếu số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc tồn góc tam giác ABC cho a  tan A, b  tan B, c  tan C + Nếu số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c   bc(  (0; 2))(*) tồn góc tam giác ABC thỏa mãn điều kiện (*) + Nếu a  b  c  abc  1, a, b, c   1;1 tồn a  cos A, b  cos B, c  cos C; A  B  C   BÀI TẬP MẪU Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  x  y  z   yz Chứng minh  x  y   x  z  3   x  y  y  z  z  x    y  z  Lời giải: Đặt a  x  y, b  y  z, c  z  x a, b, c số dương 644 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC c  a b abc bc a ,y ,z 2 Điều kiện toán trở thành  c  a  b   a  b  c    b  c  a  a  b  c   a  c  b2  3b2  a  c        2 2     b  a  c  ac(*) Từ coi a, b, c cạnh tam giác có góc B  600 Ta cần chứng minh bất đẳng thức a3  c3  3abc  5b3 BĐT đương đương với  a  c   a  ac  c   5abc  b2 ( a  c)  3abc  5b3  a  c  3ac  5b2 x Sử dụng B  600 ; a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C Ta cần chứng minh bất đẳng thức  sin A  sin C   12sin A sin C  15 Mặt khác ta có AC AC A C sin A  sin C  sin cos  sin  2 2  sin A  sin C  sin A sin C       Ta có đpcm Đẳng thức xảy x  y  z Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a2  b2  c  2abc  Chứng minh a  b  c  abc  Lời giải:   Theo giả thiết suy a, b, c   0; 2 , nên tồn góc A, B, C  0;  cho  2 a  cos A, b  cos B, c  cos C Theo giả thiết suy cos2 A  cos B  cos2C  2cos A cos B cos C  , suy A, B, C đỉnh tam giác nhọn ABC Vậy ta cần chứng minh cos A  cos B  cos C  cos A cos B cos C  A B C  sin sin sin  cos A cos BosC 2 Mặt khác ta lại có  cos B  cos C  cos B cos C   sin A  B C  A cos2    sin 2   Một cách tương tự ta có B C cos A cos C  sin ; cos A cos B  sin 2 645 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nhân theo vế bất đẳng thức trên, ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Cho ab  thỏa mãn a b    Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức b a b a P  a  b2  a  3b Cho x, y số thực thỏa mãn x y  yx   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1   P    y y   2 x x x   Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b2  c  abc  Chứng minh a  b  c  Cho số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh 1    ab bc ca  16 xyz Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z  xyz 13    xy  yz  zx  28 Cho số thực không âm x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  x  y 1  xy  P 2 1  x  1  y  1.7 Cho số thực a1 , a2 , , an thỏa mãn 2   2, i  1, n số thực có tổng không Chứng minh a13  a23   an  2n 1.8 Cho xy  x  y  Chứng minh  2x   y    Cho a, b số thực thỏa mãn a  b2  a  b Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2b 1.10 Cho a, b, c  thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P   a 1 b 1 c 1  5 1.11 Cho a   1;  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  4  4a   a P  4a   a  1.9 646 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 647 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam [...]... đổi và thỏa mãn x  y  1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25 xy 1.7 Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 x 2  2 xy  1 P 2 xy  2 y 2  3 613 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... các số thực x, y không nhỏ hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x2  2 y 2  z 2  x P 3  y3    x2  y 2   x  1 y  1 x, y   3;2 và thỏa mãn 1.24 Cho các số thực x3  y 3  2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y 2 1.25 Cho các số thực không âm a, b, c và không đồng thời bằng không Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 3  b3  16c 3...  bc  ca  và không có hai số nào 2 2 a  2c   đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ab  bc  ca 3 1.50 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  và không có hai số nào 2 a  2c đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ab  bc  ca 1.51 Cho a, b, c  1; 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  1 1... 1 Chứng minh 7  xy  yz  zx   2  9 xyz 1.13 Cho các số thực dương a, b, c thuộc đoạn 1; 2 Chứng minh rằng 1.14 1.15 1.16 1.17 a3  b3  c3  5abc Cho x, y là 2 số thực thay đổi thỏa mãn x 2  xy  y 2  3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  xy  2 y 2 Cho các số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. .. suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi a  b  1; c  2 6 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 Cho x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  x 2  y 2  z 2   4 xyz  9 x  2012 1.2 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;9 và x  max  x, y, z  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P   x  2y y  z z  x 1.3 Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa... đoạn  ;  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 3 P 2  xt   x z  biểu thức P  9     16   xt   x y 2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHAWARS VÀ HOLDER BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Trong Đề thi TSĐH các bài toán BĐT thường cho 3 biến số , nên ta chỉ cần sử dụng chắc 2 kết quả sau Với 2 số không âm a, b ta có ab  ab 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a... kiện  2 2  y  z  yz  2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  z 2 1.39 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn  a  c  b  c   4c2 Tìm giá trị lớn nhất của a b c   b  3c a  3c bc  ca 1.40 Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn ab  bc  ca  1; a  b  c  0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  4 a 3  b3  c3  3abc biểu thức P   a  b  c  a2  b2... Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 34 33 Đẳng thức xảy ra khi x  4, y  1, z  2 34 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 33 Bài 2 Cho các số thực dương x, y, z  (0; 4] và x  y; x  z và thỏa mãn xyz  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y 2  z 2  x  y  z  2  xy  yz  zx  P  f (t )  f (2)  Lời giải:... University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.55 Cho x, y, z  0 thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 P  xy  yz  zx  x y z 1.56 Cho x, y  0 thỏa mãn x  2 y  xy  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2  4  8 y 1 x 1.57 Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 P 2  2 2 a b c ab  bc  ca 1 2... thiên suy ra min f (t )   , khi t  4 2 a  1 a  2 23 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  , khi   4 b  2 b  1 Bài 6 Cho x, y, z là các số thực không âm có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 606 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC P  xy  yz  zx  2 xyz Lời giải: 1 Giả sử x  min( x,