ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN HỮU VIỆT HƯNG Giáo trình ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Lý thuyết tập) Bài tập lớn môn cấu trúc TEX Lê Hoàng Long A08232, Trần Quang Bôn A08361 TM18 - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Hà Nội, Tháng 12 năm 2008 Mục lục NE T Tập hợp Quan hệ Ánh xạ Lực lượng tập hợp Nhóm, Vành Trường Trường số thực Trường số phức Đa thức Bài tập THS 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 VIE TM A Chương Không gian vectơ 1.1 Khái niệm không gian véctơ 1.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.3 Cơ sở số chiều không gian véctơ 1.4 Không gian - Hạng hệ véctơ 1.5 Tổng tổng trực tiếp 1.6 Không gian thương 1.7 Bài tập Chương Ma trận ánh xạ tuyến tính 2.1 Ma trận 2.2 Ánh xạ tuyến tính 2.3 Hạt nhân ảnh đồng cấu 2.4 Không gian véctơ đối ngẫu 2.5 Bài tập Trang 10 14 15 21 23 28 33 37 37 41 45 51 53 56 58 63 63 68 77 81 87 Chương Định thức hệ phương trình tuyến tính 93 3.1 Các phép 93 i Mục lục 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Định thức ma trận Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên Định thức tự đồng cấu Các tính chất sâu định thức Định thức hạng ma trận Hệ phương trình tuyến tính - Quy tắc Cramer Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp khử Gauss Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Bài tập Chương Cấu trúc tự đồng cấu 4.1 Véctơ riêng giá trị riêng 4.2 Không gian ổn định tự đồng cấu thực phức 4.3 Tự đồng cấu chéo hoá 4.4 Tự đồng cấu lũy linh 4.5 Ma trận chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu 4.6 Bài tập Chương Không gian vectơ Euclid 5.1 Không gian véctơ Euclid 5.2 Ánh xạ trực giao 5.3 Phép biến đổi liên hợp phép biến đổi đối xứng 5.4 Vài nét không gian Unita 5.5 Bài tập Chương Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 6.1 Khái niệm dạng song tuyến tính dạng toàn phương 6.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 6.3 Hạng hạch dạng toàn phương 6.4 Chỉ số quán tính 6.5 Dạng toàn phương xác định dấu 6.6 Bài tập 96 100 103 106 111 112 114 118 120 127 127 131 133 137 140 146 152 152 162 173 179 182 189 189 192 197 200 204 205 Chương Đại số đa tuyến tính 211 7.1 Tích tenxơ 212 ii Đại số tuyến tính 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Các tính chất tích tenxơ Đại số tenxơ Đại số đối xứng Đại số Bài tập Tài liệu tham khảo 215 217 221 226 234 VIE TM A THS NE T 236 Lời nói đầu T heo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Về sau, để hiểu thấu đáo cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian véctơ ánh xạ tuyến tính Người ta có nhu cầu khảo sát không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, đo độ dài véctơ góc hai véctơ Xa hơn, hướng nghiên cứu dẫn tới toán phân loại dạng toàn phương, tổng quát phân loại tenxơ, tác động nhóm cấu trúc Ngày nay, Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân Lý thuyết biểu diễn nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật Vì thế, trở thành môn học sở cho việc đào tạo giáo viên trung học, chuyên gia bậc đại học đại học thuộc chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Đã có hàng trăm sách Đại số tuyến tính xuất toàn giới Chúng nhận thấy có hai khuynh hướng chủ yếu việc trình bày môn học Khuynh hướng thứ bắt đầu với khái niệm ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính, tới khái niệm trừu tượng không gian véctơ ánh xạ tuyến tính Khuynh hướng dễ tiếp thu Nhưng không cho phép trình bày lý thuyết định thức hệ phương trình tuyến tính ngôn ngữ cô đọng đẹp đẽ Khuynh hướng thứ hai trình bày khái niệm không gian véctơ ánh xạ tuyến tính trước, áp dụng vào khảo sát định thức hệ phương trình tuyến tính Ưu điểm phương pháp đề cao vẻ đẹp tính quán cấu trúc đối tượng khảo sát Nhược điểm xét tính độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, thật người ta phải đối mặt với việc giải hệ phương trình tuyến tính Cách trình bày có lý Theo kinh nghiệm nên chọn cách trình bày thứ hai cho sinh viên có khả tư trừu tượng tốt có mục đích hướng tới mặt kiến thức cao toán Mục lục VIE TM A THS NE T Cuốn sách biên soạn nhằm mục đích làm giáo trình sách tham khảo cho sinh viên, sinh viên cao học nghiên cứu sinh ngành khoa học tự nhiên công nghệ trường đại học khoa học tự nhiên, đại học sư phạm đại học kỹ thuật Cuốn sách viết sở giảng Đại số tuyến tính nhiều năm cho sinh viên số khoa trường Đại học Tổng hợp (nay Đại học khoa học Tự nhiên) Hà Nội số trường đại học sư phạm Đặc biệt, giảng giáo trình năm học 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000 cho sinh viên ngành Toán, Cơ, Lý, Hoá, Sinh, Địa chất, Khí tượng thuỷ văn Chương trình đào tạo Cử nhân khoa học tài năng, Đại học khoa học Tự nhiên Hà Nội Chúng chọn khuynh hướng thứ hai hai khuynh hướng trình bày nói Tất nhiên, với đôi chút thay đổi, sách dùng để giảng Đại số tuyến tính theo khuynh hướng trình bày thứ Tư tưởng cấu trúc nhấn mạnh mạch sách Mỗi đối tượng nghiên cứu mối tương quan với nhóm phép biến đổi bảo toàn cấu trúc đối tượng đó: Khảo sát không gian véctơ gắn liền với nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, K ), không gian véctơ Euclid không gian véctơ Euclid định hướng gắn liền với nhóm trực giao O(n) nhóm trực giao đặc biệt SO(n), không gian Unita gắn liền với nhóm unita U (n) Kết phân loại dạng toàn phương phụ thuộc vào việc trình phân loại tiến hành tác động nhóm (tuyến tính tổng quát, trực giao ) Theo kinh nghiệm, giảng hết nội dung sách giáo trình tiêu chuẩn Đại số tuyến tính cho sinh viên trường đại học, sinh viên chuyên ngành toán Các chủ đề dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu, dạng tắc tự đồng cấu trực giao, việc đưa đồng thời hai dạng toàn phương dạng tắc, đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số nên dùng để giảng chi tiết cho sinh viên cao học nghiên cứu sinh ngành Toán, Cơ học Vật lý Chúng cố gắng bình luận ý nghĩa khái niệm ưu khuyết điểm phương pháp trình bày Cuối chương có phần tập, tuyển chọn chủ yếu từ sách tiếng ``Bài tập Đại số tuyến tính'' I V Proskuryakov Để nắm vững kiến thức, độc giả nên đọc kỹ phần lý thuyết trước làm nhiều tốt tập cuối chương Việc sử dụng sách đặc biệt thuận lợi người đọc coi phần một sách mà phần hai Đại số đại cương tác giả, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội ấn hành năm 1998 tái năm 1999 Tác giả chân thành cảm ơn Ban điều hành Chương trình đào tạo Cử nhân Đại số tuyến tính Mục lục khoa học tài năng, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, đặc biệt Giáo sư Đàm Trung Đồn Giáo sư Nguyễn Duy Tiến, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả giảng dạy cho sinh viên Chương trình ba năm qua viết sách sở giảng Tác giả mong nhận giáo độc giả đồng nghiệp thiếu sót khó tránh khỏi sách Hà Nội, 12/1999 Đại số tuyến tính .NE T TM18 Nhóm Trần Quang Bôn A08361 & Lê Hoàng Long A08232 Đ VIE TM A THS ây tập lớn môn Hệ thống TEXđược thực , Lê Hoàng Long & Trần Quang Bôn, vào tháng cuối năm 2008 với TEXLive 2007 Nguyên thủy sách biên dịch LATEX, nhiên xu chuyển dần sử dụng LATEX 2ε để đạt hiệu cao việc trình bày trang sách Thầy Nguyễn Quốc Thắng, học trò tác giả Nguyễn Hữu Việt Hưng, người trực tiếp dùng chương trình dịch C thông dụng hồi bison flex để chuyển từ văn gõ Word LATEX Thầy Nguyễn Quốc Thắng giao cho chúng tôi, nhóm 9, thực nhiệm vụ cách mạng Khi thực công việc thầy Nguyễn Quốc Thắng làm với ngôn ngữ đại hơn, C thông qua CsTools47m Tôi, Lê Hoàng Long, chịu trách nhiệm viết chương trình dịch từ văn dịch LATEXkiểu cũ sang văn biên dịch LATEX 2ε đại người đồng Trần Quang Bôn có nhiệm vụ viết thêm mô đun tạo hình để có sách nhiều màu sắc Hôm nay, 00:46,Sunday 3rd April, 2011, ngày nộp báo cáo môn Hệ thống TEX Chiều ngày 29-3-2011, lúc 18h41, thầy Nguyễn Quốc Thắng liên hệ với qua Yahoo!, cho biết sách mà thực bị lỗi chương 2, số định lý ví dụ bị đẩy xuống cuối chương sau phần tập Thầy cho biết số bạn sinh viên học môn Đại số tuyến tính học kỳ nhóm năm học 2010-2011 sau in tháng 11 năm 2008 phản ánh việc với thầy nên thầy yêu cầu sửa lại chỗ khiếm khuyết Việc chỉnh sửa tốn khoảng phút, phút dùng để tái khởi động hệ thống biên dịch, giây để sửa lỗi mà bạn phần thời gian lại để biên dịch Đó sức mạnh LATEXvới TEXLive 2009 Chúng tin bạn đọc cảm thấy thích thú với trang trí nho nhỏ Mục lục nội dung toán học sâu sắc mà sách đem lại Lê Hoàng Long, hoanglong1712@yahoo.com Trần Quang Bôn, bontq@yahoo.com Hà Nội, 01:34,Sunday 3rd April, 2011 Đại số tuyến tính Kiến thức chuẩn bị N THS 0.1 Tập hợp NE T hiệm vụ chương trình bày dạng giản lược số kiến thức chuẩn bị cho phần lại sách: Tập hợp, quan hệ, ánh xạ, nhóm, vành, trường, đa thức Trường số thực xây dựng chặt chẽ §5 Nhưng tính chất quen thuộc với học qua chương trình trung học phổ thông, nói tới trường ví dụ tiết §1 - §4 VIE TM A Trong tiết này, trình bày tập hợp theo quan điểm "Lý thuyết tập hợp ngây thơ" Cụ thể, tập hợp khái niệm "nguyên thuỷ", không định nghĩa, mà hiểu cách trực giác sau: Một tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó; đối tượng gọi phần tử tập hợp (Tất nhiên, mô tả nói định nghĩa tập hợp, diễn đạt khái niệm tập hợp qua khái niệm gần gũi "quần tụ" Tuy vậy, thân khái niệm quần tụ lại chưa định nghĩa.) Người ta thường gọi tắt tập hợp "tập" Để có số ví dụ, xét tập hợp sinh viên trường đại học, tập hợp xe tải công ty, tập hợp số nguyên tố Các tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, , X, Y, Z Các phần tử tập hợp thường ký hịêu chữ in thường: a, b, c, , x, y, z Để nói x phần tử tập hợp X, ta viết x P X đọc "x thuộc X" Trái lại, để nói y không phần tử X, ta viết y R X, đọc "y không thuộc X" Để xác định tập hợp, người ta liệt kê tất phần tử Chẳng hạn, A = t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u Người ta xác định tập hợp tính chất đặc trưng P(x) Mục lục phần tử Tập hợp X phần tử x có tính chất P(x) ký hiệu X = tx| P(x)u, X = tx : P(x)u Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp X ta nói A Ví dụ 0.1.1 N Z Q R = = = = tx| tx| tx| tx| x số tự nhiênu, x số nguyên u, x số hữu tỷu, x số thựcu tập hợp X, viết A € X Tập A gồm phần tử x X có tính chất P(x) ký hiệu A = tx P X | P(x)u Hai tập hợp X Y gọi phần tử tập hợp phần tử tập hợp ngược lại, tức X € Y Y € X Khi ta viết X = Y Tập hợp không chứa phần tử ký hiệu H, gọi tập rỗng Ta quy ước H tập tập hợp Tập hợp rỗng tiện lợi, đóng vai trò số không làm toán với tập hợp Các phép toán hợp, giao hiệu hai tập hợp định nghĩa sau Cho tập hợp A B Hợp A B ký hiệu A Y B định nghĩa sau: A Y B = tx| x P A x P B u Giao A B ký hiệu A X B định nghĩa sau: A X B = tx| x P A x P B u Hiệu A B ký hiệu AzB định nghĩa sau: AzB = tx| x P A x R B u Nếu B € A AzB gọi phần bù B A, ký hiệu CA (B) Các phép toán hợp, giao hiệu có tính chất sơ cấp sau đây: Đại số tuyến tính 0.1 Tập hợp Kết hợp: (A Y B) Y C = A Y (B Y C), (A X B) X C = A X (B X C) Giao hoán: A Y B = B Y A, A X B = B X A Phân phối: A X (B Y C) = (A X B) Y (A X C), A Y (B X C) = (A Y B) X (A Y C) Công thức De Morgan: X z(A Y B) = (X zA) X (X zB), X z(A X B) = (X zA) Y (X zB) ¤ Ai = tx| x P Ai với i I u, Ai = tx| x P Ai với i P I u £ iPI THS iPI NE T Giả sử Ai tập hợp với i thuộc tập số I (có thể hữu hạn hay vô hạn) Khi đó, hợp giao họ tập hợp tAi uiPI định nghĩa sau: Ta có dạng tổng quát công thức De Morgan: ¤ X z( iP I £ iP I iPI ¤ Ai ) = iPI TM A X z( £ Ai ) = (X zAi ), (X zAi ) Việc sử dụng rộng rãi khái niệm tập hợp dẫn tới số nghịch lý Một số nghịch lý Cantor sau Ta nói tập hợp X bình thường X R X Xét tập hợp VIE X = tX | X tập bình thườngu Nếu X P X theo định nghĩa X , tập bình thường Do đó, theo định nghĩa tập bình thường, X R X Trái lại, X R X , X tập không bình thường, X P X Cả hai trường hợp dẫn tới mâu thuẫn Để tránh nghịch lý loại vậy, người ta không dùng khái niệm tập hợp để "những thực thể lớn" Ta nói "lớp tất tập hợp", không nói "tập hợp tất tập hợp" Theo quan niệm X lớp không tập hợp Vì thế, ta tránh nghịch lý nói Phần lại tiết dành cho việc trình bày sơ lược lượng từ phổ biến lượng từ tồn Ta thường cần phải phát biểu mệnh đề có dạng: "Mọi phần tử x tập hợp X có tính chất P(x)" Người ta quy ước ký hiệu mệnh đề Đại số tuyến tính Mục lục sau: @x P X, P(x) Dãy ký hiệu đọc "Với x thuộc X, P(x)" Ký hiệu @ gọi lượng từ phổ biến Tương tự, ta hay gặp mệnh đề có dạng: "Tồn phần tử x X có tính chất P(x)" Mệnh đề quy ước ký hiệu sau: Dx P X, P(x) Dãy ký hiệu đọc "Tồn x thuộc X, P(x)" Ký hiệu D gọi lượng từ tồn Mệnh đề "Tồn phần tử x X có tính chất P(x)" viết sau: D!x P X, P(x) Lượng từ phổ biến lượng từ tồn có mối quan hệ quan trọng sau Gọi P phủ định mệnh đề P Ta có @x P X, P(x)  Dx P X, P(x), Dx P X, P(x)  @x P X, P(x) Chúng đề nghị độc giả tự chứng minh khẳng định xem tập 0.2 Quan hệ Ánh xạ Tích trực tiếp (hay tích Descartes) hai tập hợp X Y tập hợp sau đây: X  Y = t(x, y)| x P X, y P Y u Trường hợp đặc biệt, X = Y , ta có tích trực tiếp X  X tập X với Định nghĩa 0.2.1 Mỗi tập R tập hợp tích X  X gọi quan hệ hai X Nếu (x, y) P R ta nói x có quan hệ R với y, viết xRy Ngược lại, (x, y) R R ta nói x quan hệ R với y, viết xRy Chẳng hạn, R = t(x, y) P Z  Z | x chia hết cho y u, 6R2, 5R3 Các quan hệ tương đương thường ký hiệu dấu  10 Đại số tuyến tính 0.2 Quan hệ Ánh xạ Định nghĩa 0.2.2 Quan hệ hai R X gọi quan hệ tương đương có ba tính chất sau đây: (a) Phản xạ: xRx, @x P X @x, y P X Bắc cầu: Nếu xRy, yRz, xRz, @x, y, z P X (b) Đối xứng: Nếu xRy, yRx, (c) Giả sử  quan hệ tương đương X Lớp tương đương theo quan hệ  phần tử x P X định nghĩa sau: P X | x  yu € X .NE T [x] = ty Bổ đề 0.2.3 Giả sử  quan hệ tương đương Khi đó, với x, y lớp [x] [y] trùng nhau, rời (tức [x] X [y] = H) P X, VIE TM A THS Chứng minh: Giả sử [x] X [y]  H Ta chứng minh [x] = [y] Lấy phần tử z P [x] X [y] Ta có x  z y  z Do tính đối xứng quan hệ tương đương, x  z kéo theo z  x Giả sử t P [x], tức x  t Do tính bắc cầu, z  x x  t kéo theo z  t Tiếp theo, y  z z  t kéo theo y  t Nghĩa t P [y] Như vậy, [x] € [y] Do vai trò lớp [x] [y], ta có bao hàm thức ngược lại, [y] € [x] Vậy [x] = [y] l Theo bổ đề này, y P [x] y P [x] X [y]  H, [x] = [y] Vì thế, ta dùng từ lớp tương đương để lớp tương đương phần tử lớp Mỗi phần tử lớp tương đương gọi đại biểu lớp tương đương Dễ dàng thấy X hợp rời rạc lớp tương đương theo quan hệ  (Nói cách khác, X hợp lớp tương đương theo quan hệ , lớp rời nhau.) Người ta nói X phân hoạch lớp tương đương Định nghĩa 0.2.4 Tập hợp lớp tương đương X theo quan hệ  gọi tập thương X theo  ký hiệu X/ Ta nói X toàn phần (hay tuyến tính) quan hệ ¤ với x, y P X, x ¤ y y ¤ x Khi ¤ gọi quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) X Chẳng hạn, trường số hữu tỷ Q tập toàn phần quan hệ thứ tự ¤ thông thường Một ví dụ khác: X tập hợp tất tập tập A đó, X theo quan hệ bao hàm Đây thứ tự toàn phần tập A chứa nhiều phần tử Đại số tuyến tính 11 Mục lục Ví dụ 0.2.5 Giả sử n số nguyên dương Ta xét tập X = Z quan hệ sau đây:  = t(x, y) P Z  Z | x
y chia hết cho nu Rõ ràng quan hệ tương đương Hơn x  y x y có phần dư phép chia cho n Vì thế, Z / tập có n phần tử : Z / = t[0], [1], , [n
1]u Nó gọi tập số nguyên modulo n, thường ký hiệu Z /n Định nghĩa 0.2.6 Giả sử ¤ quan hệ hai X Nó gọi quan hệ thứ tự có ba tính chất sau đây: (a) Phản xạ: x ¤ x, (b) (c) @x P X Phản đối xứng: Nếu x ¤ y y ¤ x x = y, @x, y P X Bắc cầu: Nếu x ¤ y, y ¤ z, x ¤ z, @x, y, z P X Tập X trang bị quan hệ thứ tự gọi tập Nếu x đứng trước y, hay x nhỏ y ¤ y, ta nói x Bây ta chuyển qua xét ánh xạ Người ta thường mô tả ánh xạ cách trực giác sau Giả sử X Y tập hợp Một f từ X vào Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x P X với phần tử xác định y = f (x) P Y Ánh xạ ký hiệu f : X Ñ Y Tất nhiên mô tả nói định nghĩa chặt chẽ, ta quy tắc Nói cách khác, định nghĩa nói quy tắc tên gọi khác ánh xạ Ta khắc phục điều cách đưa định nghĩa xác cồng kềnh ánh xạ sau Mỗi tập R tích trực tiếp X  Y gọi quan hệ X Y Quan hệ R gọi từ X vào Y có tính chất sau: với x P X có y P Y (x, y) P R Ta ký hiệu phần tử y = f (x) Khi R = t(x, f (x))| x P X u Ánh xạ thường ký hiệu f : X Ñ Y quan hệ R gọi đồ thị ánh xạ f Các tập X Y gọi tập nguồn tập đích ánh xạ f Tập hợp f (X) = tf (x)| x P X u gọi tập giá trị f 12 Đại số tuyến tính 0.2 Quan hệ Ánh xạ Giả sử A tập X Khi đó, f (A) = tf (x)| x P Au gọi A f Nếu B tập Y , f
1 (B) = tx P X | f (x) P B u gọi nghịch ảnh B f Trường hợp đặc biệt, tập B = ty u gồm điểm y P Y , ta viết đơn giản f
1 (y) thay cho f
1 (ty u) Định nghĩa 0.2.7 (a) Ánh xạ f : X (x, x1 P X) f (x)  f (x1 ) ÑY gọi đơn ánh với x (b) Ánh xạ f : X Ñ Y gọi toàn ánh với y phần tử x P X cho f (x) = y PY  x1 , tồn (ít nhất) NE T (c) Ánh xạ f : X Ñ Y gọi song ánh (hay tương ứng một-một) vừa đơn ánh vừa toàn ánh TM A THS Giả sử f : X Ñ Y song ánh Khi đó, với y P Y tồn phần tử x P X cho f (x) = y Ta ký hiệu phần tử x sau: x = f
1 (y) Như thế, tương ứng y ÞÑ x = f
1 (y) xác định ánh xạ, ký hiệu f
1 : Y Ñ X gọi ánh xạ ngược f Hiển nhiên, f
1 song ánh, (f
1 )
1 = f Cho ánh xạ f : X Ñ Y g : Y Ñ Z Khi ánh xạ h : X Ñ Z xác định h(x) = g(f (x)), @x P X, gọi ánh xạ tích (hay ) f g, ký hiệu h = gf h = g  f Chúng đề nghị độc giả tự chứng minh hai mệnh đề sau Gọi idX : X VIE Mệnh đề 0.2.8 Hợp thành hai đơn ánh lại đơn ánh Hợp thành hai toàn ánh lại toàn ánh Hợp thành hai song ánh lại song ánh Ñ X X, xác định sau idX (x) = x, @x P X Mệnh đề 0.2.9 (i) Giả sử f : X Ñ Y g : Y Ñ Z ánh xạ Khi đó, gf đơn ánh f vậy; gf toàn ánh g (ii) Ánh xạ f : X Ñ Y song ánh tồn ánh xạ g : Y cho gf = idX , f g = idY Đại số tuyến tính Ñ X 13 Mục lục 0.3 Lực lượng tập hợp Đối với tập hợp hữu hạn, cần xét xem tập có nhiều phần tử hơn, người ta đếm số phần tử chúng Nhưng động tác đơn giản không thực tập có vô hạn phần tử Để so sánh "số lượng phần tử" tập vô hạn, người ta trở lại với cách làm người nguyên thuỷ chưa biết đếm Cụ thể là, muốn xem số rìu tay có đủ cho người hay không người ta phát cho người rìu, tức lập tương ứng tập hợp người tập hợp rìu Định nghĩa 0.3.1 Ta nói tập hợp X lực lượng với tập hợp Y tồn song ánh từ X vào Y Rõ ràng quan hệ lực lượng quan hệ tương đương Giả sử tập A có n phần tử Điều có nghĩa có tương ứng một-một phần tử A với số tự nhiên 1, 2, 3, , n Nói cách khác, A có n phần tử lực lượng với tập hợp t1, 2, 3, , nu Sau khảo sát lớp tập hợp vô hạn có "ít phần tử nhất", tập đếm Định nghĩa 0.3.2 Tập X gọi đếm lực lượng với tập hợp N số tự nhiên Chẳng hạn, Z tập đếm Thật vậy, ánh xạ f : N công thức Ñ Z xác định f (2n
1) =
n + 1, f (2n) = n (n = 1, 2, 3, ) song ánh Tương tự, tập hợp số tự nhiên chẵn tập hợp số tự nhiên lẻ tập đếm Các ví dụ cho thấy tập vô hạn có lực lượng với tập thật Ta có Chứng minh: Giả sử A = ta1 , a2 , a3 , u tập Mệnh đề 0.3.3 Mỗi tập vô hạn tập đếm tập đếm đếm được, B tập vô hạn A Gọi i1 số tự nhiên nhỏ 14 Đại số tuyến tính 0.4 Nhóm, Vành Trường cho ai1 P B, i2 số tự nhiên nhỏ cho ai2 P B ztai1 u Một cách quy nạp, in số tự nhiên nhỏ cho ain P B ztai1 , ai2 , , ain
1 u Bằng cách đó, phần tử B xếp thành dãy vô hạn B = tai1 , ai2 , , ain , u Nói cách khác, có song ánh N đếm Ñ B đặt n tương ứng với Như B l n NE T Mệnh đề 0.3.4 Tích trực tiếp hai tập đếm tập đếm THS Chứng minh: Không giảm tổng quát, ta cần chứng minh N  N đếm Ta xếp tất phần tử (a, b) N  N thành dãy vô hạn cách sau Trước hết ta xếp cặp (a, b) với a + b = Giả sử xếp xong cặp (a, b) với a + b = n
1, ta xếp tiếp cặp (a, b) với a + b = n, cặp (a, b) xếp trước cặp (a1 , b1 ) a + b = a1 + b1 = n a   a1 Như vậy, N  N tập đếm l Hệ 0.3.5 Tập hợp Q số hữu tỷ tập đếm VIE TM A Chứng minh: Ta chứng minh tập hợp Q + số hữu tỷ dương đếm Do Q = Q
Y t0u Y Q + lực lượng với Z = N
Y t0u Y N , Q
tập hợp số hữu tỷ âm N
tập hợp số nguyên âm Vì Q đếm Mỗi số hữu tỷ dương biểu thị dạng phân số pq , p, q P N cặp p, q nguyên tố Tương ứng pq ÞÑ (p, q) song ánh từ Q + lên tập tích trực tiếp N  N Do đó, theo hai mệnh đề Q + tập đếm l Chúng ta thừa nhận kết sau đây, muốn chứng minh ta cần hiểu biết sâu sắc số thực Mệnh đề 0.3.6 Tập hợp R số thực tập không đếm Người ta nói tập hợp số thực có lực lượng continum 0.4 Nhóm, Vành Trường Các khái niệm nhóm, vành trường giới thiệu tiết dừng mức đủ dùng cho diễn đạt phần sau sách Đại số tuyến tính 15 Mục lục Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ :GGÑG gọi phép toán hai (hay luật hợp thành) G Ảnh cặp phần tử (x, y) P G  G ánh xạ  ký hiệu x  y, gọi tích hay hợp thành x y Định nghĩa 0.4.1 Một nhóm tập hợp khác rỗng G trang bị phép toán hai  thoả mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Phép toán có tính kết hợp: (x  y)  z = x  (y  z), @x, y, z P G (G2) Có phần tử e P G, gọi phần tử trung lập, với tính chất x  e = e  x = x, (G3) Với x P G, tồn phần tử x1 @x P G P G, gọi nghịch đảo x, cho x  x1 = x1  x = e Nhận xét: Phần tử trung lập nhóm Thật vậy, e e1 phần tử trung lập nhóm G e = e  e1 = e1 Với x P G, phần tử nghịch đảo x1 nói mục (G3) Thật vậy, x11 x12 phần tử nghịch đảo x x11 = x11  e = x11  (x  x12 ) = (x11  x)  x12 = e  x12 = x12 Trong nhóm có luật giản ước, tức xy =xz xz =yz ùñ ùñ y = z, x = y Thật vậy, để có luật giản ước, cần nhân hai vế đẳng thức x  y = x  z với nghịch đảo x1 x từ bên trái, nhân hai vế đẳng thức x  z = y  z với nghịch đảo z z từ bên phải Nếu phép toán  có tính giao hoán, tức x  y = y  x, 16 @x, y P G, Đại số tuyến tính 0.4 Nhóm, Vành Trường NE T G gọi nhóm giao hoán (hay ) Theo thói quen, luật hợp thành  nhóm abel thường ký hiệu theo lối cộng " + " Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu x + y gọi tổng x y Phần tử trung lập nhóm gọi phần tử không, ký hiệu Nghịch đảo x (xác định điều kiện (G3)) gọi phần tử đối x, ký hiệu (
x) Trường hợp tổng quát, phép toán  nhóm thường ký hiệu theo lối nhân "  " Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu x  y, hay đơn giản xy, gọi tích x y Phần tử trung lập nhóm gọi phần tử đơn vị Phần tử nghịch đảo x ký hiệu x
1 V í dụ: (a) Các tập hợp số Z , Q , R lập thành nhóm abel phép cộng THS (b) Các tập Z  = t1u, Q  = Q zt0u, R  = R zt0u làm thành nhóm abel phép nhân (c) Ta định nghĩa phép cộng Z /n sau: [x] + [y] = [x + y] TM A Dễ kiểm tra phép toán không phụ thuộc đại biểu lớp tương đương [x] [y] Hơn nữa, Z /n với phép cộng nói lập thành nhóm abel VIE (d) Mỗi song ánh từ tập hợp t1, 2, , nu vào gọi phép (hay phép hoán vị) n phần tử Tập hợp Sn tất phép n phần tử làm thành nhóm phép hợp thành ánh xạ (α  β)(i) = α(β(i)), @α, β P Sn, ¤ i ¤ n Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Đây nhóm không abel n ¡ (Xem chi tiết Chương III.) (e) Trong Chương II khảo sát lớp nhóm không abel quan trọng môn Đại số tuyến tính, nhóm GL(V ) biến đổi tuyến tính không suy biến không gian véctơ V Định nghĩa 0.4.2 Giả sử G G1 nhóm (với phép toán viết theo lối nhân) Ánh xạ φ : G Ñ G1 gọi đồng cấu nhóm φ(xy) = φ(x)φ(y), Đại số tuyến tính @x, y P G 17 [...]... và được định nghĩa như sau: A Y B = tx| x P A hoặc x P B u Giao của A và B được ký hiệu bởi A X B và được định nghĩa như sau: A X B = tx| x P A và x P B u Hiệu của A và B được ký hiệu bởi AzB và được định nghĩa như sau: AzB = tx| x P A và x R B u Nếu B € A thì AzB được gọi là phần bù của B trong A, và được ký hiệu là CA (B) Các phép toán hợp, giao và hiệu có các tính chất sơ cấp sau đây: 8 Đại số tuyến. .. chúng ta sẽ khảo sát một lớp nhóm không abel rất quan trọng đối với môn Đại số tuyến tính, đó là nhóm GL(V ) các biến đổi tuyến tính không suy biến trên không gian véctơ V Định nghĩa 0.4.2 Giả sử G và G1 là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân) Ánh xạ φ : G Ñ G1 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu φ(xy) = φ(x)φ(y), Đại số tuyến tính @x, y P G 17 ... continum 0.4 Nhóm, Vành và Trường Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong tiết này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của cuốn sách Đại số tuyến tính 15 Mục lục Giả sử G là một tập hợp Mỗi ánh xạ :GGÑG được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên G Ảnh của cặp phần tử (x, y) P G  G bởi ánh xạ  sẽ được ký hiệu là x  y, và được gọi là tích... trái, và nhân hai vế của đẳng thức x  z = y  z với nghịch đảo z 1 của z từ bên phải Nếu phép toán  có tính giao hoán, tức là x  y = y  x, 16 @x, y P G, Đại số tuyến tính 0.4 Nhóm, Vành và Trường NE T thì G được gọi là một nhóm giao hoán (hay ) Theo thói quen, luật hợp thành  trong một nhóm abel thường được ký hiệu theo lối cộng " + " Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu là x + y và được... các số tự nhiên chẵn và tập hợp các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được Các ví dụ trên cho thấy một tập vô hạn có thể có cùng lực lượng với một tập con thật sự của nó Ta có Chứng minh: Giả sử A = ta1 , a2 , a3 , u là một tập Mệnh đề 0.3.3 Mỗi tập con vô hạn của một tập đếm được cũng là một tập đếm được đếm được, và B là một tập con vô hạn của A Gọi i1 là số tự nhiên nhỏ nhất 14 Đại số tuyến tính. .. có tính chất P(x) được ký hiệu là X = tx| P(x)u, hoặc là X = tx : P(x)u Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là một phần tử của tập hợp X thì ta nói A Ví dụ 0.1.1 N Z Q R = = = = tx| tx| tx| tx| x là số tự nhiênu, x là số nguyên u, x là số hữu tỷu, x là số thựcu là một tập hợp con của X, và viết A € X Tập con A gồm các phần tử x của X có tính chất P(x) được ký hiệu là A = tx P X | P(x)u Hai tập hợp X và. .. nói x có quan hệ R với y, và viết xRy Ngược lại, nếu (x, y) R R thì ta nói x không có quan hệ R với y, và viết xRy Chẳng hạn, nếu R = t(x, y) P Z  Z | x chia hết cho y u, thì 6R2, nhưng 5R3 Các quan hệ tương đương thường được ký hiệu bởi dấu  10 Đại số tuyến tính 0.2 Quan hệ và Ánh xạ Định nghĩa 0.2.2 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là một quan hệ tương đương nếu nó có ba tính chất sau đây: (a) Phản... phổ biến và lượng từ tồn tại Ta thường cần phải phát biểu những mệnh đề có dạng: "Mọi phần tử x của tập hợp X đều có tính chất P(x)" Người ta quy ước ký hiệu mệnh đề đó như Đại số tuyến tính 9 Mục lục sau: @x P X, P(x) Dãy ký hiệu trên được đọc là "Với mọi x thuộc X, P(x)" Ký hiệu @ được gọi là lượng từ phổ biến Tương tự, ta cũng hay gặp các mệnh đề có dạng: "Tồn tại một phần tử x của X có tính chất... nếu a + b = a1 + b1 = n và a   a1 Như vậy, N  N là một tập đếm được l Hệ quả 0.3.5 Tập hợp Q các số hữu tỷ là một tập đếm được VIE TM A Chứng minh: Ta sẽ chứng minh tập hợp Q + các số hữu tỷ dương là đếm được Do đó Q = Q
Y t0u Y Q + cùng lực lượng với Z = N
Y t0u Y N , trong đó Q
là tập hợp các số hữu tỷ âm và N
là tập hợp các số nguyên âm Vì thế Q là đếm được Mỗi số hữu tỷ dương được biểu... tập hợp kia và ngược lại, tức là X € Y và Y € X Khi đó ta viết X = Y Tập hợp không chứa một phần tử nào cả được ký hiệu bởi H, và được gọi là tập rỗng Ta quy ước rằng H là tập con của mọi tập hợp Tập hợp rỗng rất tiện lợi, nó đóng vai trò như số không trong khi làm toán với các tập hợp Các phép toán hợp, giao và hiệu của hai tập hợp được định nghĩa như sau Cho các tập hợp A và B Hợp của A và B được