LIÊN HỆ GIỮA TRỰC TÂM VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC ( Đặng Hải Giang – GV: THCS Thị Trấn Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh ) Tính chất sau trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có nhiều ứng dụng việc giải tập hình học Tính chất: “Khoảng cách từ đỉnh tới trực tâm tam giác hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến cạnh nối hai đỉnh lại”(*) Chứng minh:+) Xét trường hợp ∆ ABC có góc nhọn ( trường A hợp khác tương tự ) Gọi H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp I hình D · · chiếu O BC Vẽ đường kính BD, suy ra: BAD = BCD = 90o ⇒ DA // CH DC // AH; suy AHCD hình bình hành O H ⇒ AH = CD (1) Tam giác BCD có OI đường trung bình ⇒ CD = 2.OI (2) C B Từ (1) (2) suy AH = 2.OI (đpcm) I Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, AC, AB Chứng minh đường thẳng d qua M song song với OA; d qua N song song với OB; d qua P song song với OC qua điểm A Gợi ý: Theo tính chất (*) AH = 2.OM ( H trực tâm ) lại có d1 song song OA nên dễ dàng nhận thấy d qua trung điểm I AH Từ ta chứng minh OMHI hình bình I hành ⇒ d1 qua trung điểm E OH Tương tự d d3 N P qua điểm E O Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Chứng minh H E điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh trung điểm đoạn HA, HB, HC nằm đường C M B D tròn Gợi ý: Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp ∆ ABC Gọi D d1 chân đường cao vẽ từ A; I M thứ tự trung điểm AH BC; IM cắt OH E (h.2) Từ tính chất (*) suy AOMI (h.2) IOMH hình bình hành 1 1 Từ ta có: EI = EM = ED = MI = OA = R ⇒ D, M, I ∈ ( E; R ) Chứng minh tương 2 2 tự điểm lại thuộc đường tròn ( E; R ) B Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có đường cao AN CK ( N ∈ BC; K ∈ AB ) Đường tròn qua ba M điểm B, K, N cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai M Gọi I J trung điểm AC Chứng minh IM ⊥ MB N Gợi ý: Ta nhận thấy đường tròn ngoại tiếp ∆ BKN nhận O BH làm đường kính ( với H trực tâm ∆ ABC ) nên MH ⊥ K MB Do để chứng minh IM ⊥ MB ta cần chứng minh M, H H, I thẳng hàng C A Mặt khác từ tính chất (*) suy OIHJ hình bình hành ( I với J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BKN ) nên IH // OJ Như ta cần chứng minh MH // OJ Để chứng minh MH // OJ ta làm sau: Do JB = JM OB = OM ⇒ JO trung trực MB; suy JO ⊥ MB Mặt khác MH ⊥ MB ( M thuộc đường tròn đường kính BH ) Từ suy ra: MH // OJ Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) Gọi H 1, H2, H3, H4 thứ tự trực tâm tam giác ACD, BCD, ABD, ABC Chứng minh rằng: a) BH1, AH2, CH3, DH4 đồng qui b) Tứ giác H1H2H3H4 tứ giác nội tiếp H3 H4 O1 A B I H1 H2 a D O C Hướng dẫn: a) Gọi a khoảng cách từ O tới CD Từ tính chất (*) suy AH1 = BH2 = 2a.Tứ giác AH1 H2B có AH1 = BH2 AH1 // BH2 (cùng vuông góc với CD ) ⇒ AH1 H2B hình bình hành Chứng minh tương tự CH2H3A, H1DBH4 hình bình hành Từ suy BH 1, AH2, CH3, DH4 đồng qui trung điểm I đường b) Lấy O1 đối xứng với O qua I; suy DOH 4O1 hình bình hành ⇒ O1H4 = OD = R Chứng minh tương tự ta có O1H3 = OC = R; O1H2 = OA = R; O1H1 = OB = R Suy H1H2H3H4 nội tiếp đường tròn (O1; R) M O' Bài 5: Cho đường tròn (O;R) điểm P cố định nằm đường tròn Vẽ tiếp tuyến PA cát tuyến PBC (A, B, C nằm (O;R)).Chứng minh cát tuyến PBC thay đổi trực tâm H ∆ ABC chạy đường cố định A P Gợi ý: Khi BC đường kính H ≡ A; AC đường kính H ≡ B ≡ Q ( hình vẽ ) Từ ta K dự đoán trực tâm H chạy cung tròn qua A, H, R H Q ta có lời giải sơ sau: B Gọi I hình chiếu O BC; K trung O Q điểm AH Lấy O/ đối xứng với O qua trung điểm N I PA suy O/ cố định AOPO/ hình bình hành (1) Từ tính chất (*) suy AOIK hình bình D C hành (2) Từ (1) (2) ta suy PIKO / hình bình hành Suy O/K // PI mà PI ⊥ AH nên O/K ⊥ AH ⇒ O/H = O/A ( không đổi O/ A cố định) ⇒ H ∈ (O/;O/A) cố định Khi I ≡ A H ≡ M; ¼ cố định (đpcm ) I ≡ D H ≡ N (AM = AN = 2R) Vậy H ∈ MN Bài tập tự luyện: Bài 1: Chứng minh rằng: Trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường thẳng Bài 2: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H cố định; ba đỉnh A, B, C chạy đường tròn (O;R) cố định Tìm quỹ tích chân đường cao ∆ ABC Bài 3: Cho hai điểm H, G nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d ( H, G không thuộc d ) Dựng tam giác ABC cho H trực tâm; G trọng tâm cạnh BC nằm đường thẳng d ………………………………………