Đang tải... (xem toàn văn)
Tự thưởng cho mình sau khi đạt được kết quả kiểm tra tốt, và đặt ra những mục tiêu phấn đấu khi bạn đang tụt lại ở phía sau hoặc cần phải cải thiện khả năng học đối với một phần nào đó của môn Toán. Bạn làm hết bài tập trong sách giáo khoa để có được điểm tốt trong môn toán. Dành một lượng thời gian mỗi ngày để làm bài tập.
MATH-EDUCARE www.matheducare.com MATH-EDUCARE MU C LU C Mu.c lu.c `au L`o.i n´oi d¯ˆ Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´ u.c chuˆa’n bi §1 Tˆa.p ho p ´ §2 Quan hˆe v`a Anh xa 11 §3 Lu c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p 15 §4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng 18 §5 Tru.`o.ng sˆo´ thu c 26 u.c 29 §6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´ - a th´ §7 D u.c 35 B`ai tˆa.p 40 Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto 45 §1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto 45 - ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 50 §2 D `eu cu’a khˆong gian v´ecto 56 §3 Co so’ v`a sˆo´ chiˆ §4 Khˆong gian - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto 63 §5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru c tiˆe´p 66 §6 Khˆong gian thu.o.ng 69 B`ai tˆa.p 72 ´ Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a Anh xa tuyˆe´n t´ınh 77 §1 Ma trˆa.n 77 ´ §2 Anh xa tuyˆe´n t´ınh 83 `ong cˆa´u 94 §3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆ §4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u 99 B`ai tˆa.p 105 www.matheducare.com MATH-EDUCARE - i.nh th´ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 113 Chu.o.ng III: D §1 C´ac ph´ep thˆe´ 113 - inh th´ §2 D u.c cu’a ma trˆa.n 116 ´ §3 Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen 121 - i.nh th´ `ong cˆa´u 125 §4 D u.c cu’a tu d¯ˆ u.c 128 §5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´ - i.nh th´ §6 D u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n 135 §7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer 136 §8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu’ Gauss 139 §9 Cˆa´u tr´ uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 144 B`ai tˆa.p 146 `ong cˆa´u 155 uc cu’a tu d¯ˆ Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´ §1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 155 `ong cˆa´u thu c v`a ph´ §2 Khˆong gian ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d¯ˆ u.c 161 `ong cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o c 164 §3 Tu d¯ˆ `ong cˆa´u lu˜ §4 Tu d¯ˆ y linh 168 `ong cˆa´u 172 §5 Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu d¯ˆ B`ai tˆa.p 179 Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto Euclid 188 §1 Khˆong gian v´ecto Euclid 188 ´ xa tru c giao 201 §2 Anh u.ng 214 §3 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´ `e khˆong gian Unita 222 §4 V`ai n´et vˆ B`ai tˆa.p 225 Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234 §1 Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234 - u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆ `e da.ng ch´ınh t˘a´c 237 §2 D www.matheducare.com MATH-EDUCARE §3 Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng 244 §4 Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh 247 §5 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u 252 B`ai tˆa.p 254 - a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh 262 Chu.o.ng VII: D §1 T´ıch tenxo 263 §2 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch tenxo 267 - a.i sˆo´ tenxo 270 §3 D - a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´ §4 D u.ng 275 - a.i sˆo´ ngo`ai 281 §5 D B`ai tˆa.p 290 T`ai liˆe.u tham kha’o 292 www.matheducare.com MATH-EDUCARE `.I NOI ´ D ˆU -` LO A `au v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n o´ tuyˆe´n t´ınh kho’.i d¯ˆ Theo d`ong li.ch su’., mˆon -Da.i sˆ `e sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´ uc cu’a tˆa.p c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Vˆ `eu kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay nghiˆe.m v`a d¯iˆ u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh du ng nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m tr` `au kha’o s´at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ `eu thuˆo.c t´ınh h`ınh ho.c Ngu.`o.i ta c˜ ung c´o nhu cˆ ho.n, d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜ u.a hai v´ecto Xa ho.n, hu.´o.ng nghiˆen c´ u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.n phˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´ uc n`ao d¯´o - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c u Ng`ay nay, D ´.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu c kh´ac nhau, y thuyˆe´t biˆe’u diˆ˜en nh´om, t` u Co ho.c, Vˆa.t l´ y t` u Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´ t´o.i K˜ y thuˆa.t V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’ th`anh mˆo.t mˆon ho.c co so’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´ac gi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆen ng`anh khoa ho.c co ba’n v`a cˆong nghˆe tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c - ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´ `e D D gi´o.i Ch´ ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u viˆe.c tr`ınh b`ay mˆon ho.c n`ay `au v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´ u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆ u.c v`a hˆe Khuynh hu.´o.ng th´ `oi d¯i t´o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr` phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆ˜e tiˆe´p thu Nhu.ng n´o khˆong cho `e d¯i.nh th´ ph´ep tr`ınh b`ay l´ y thuyˆe´t vˆ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘`a ng mˆo.t ngˆon ng˜ u cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e Khuynh hu.´o.ng th´ u hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa `oi ´ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´ tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n `e cˆa´u t´ınh U u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d¯`ˆe cao ve’ d¯e.p t´ınh nhˆ a´t qu´ an vˆ tr´ uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o ng d¯u.o c kha’o s´at Nhu.o c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p www.matheducare.com MATH-EDUCARE tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ ung c´o c´ai l´ y cu’a n´o Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ ung tˆoi th`ı u.u tu.o ng nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´ u hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu tr` `e to´an u.c cao ho.n vˆ tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘`a ng kiˆe´n th´ ung tˆoi biˆen soa.n nh˘`a m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ ach Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o c ch´ tham kha’ o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´ u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c tu nhiˆen v`a cˆong nghˆe cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu nhiˆen, d¯a.i ho.c su pha.m - a.i sˆo´ tuyˆe´n `e D v`a d¯a.i ho.c k˜ y thuˆa.t Cuˆo´n s´ach d¯u.o c viˆe´t trˆen co so’ c´ac b`ai gia’ng vˆ - a.i ho.c Tˆo’ng `eu n˘am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D t´ınh cu’a tˆoi nhiˆ - a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su ho p (nay l`a D - ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999, pha.m D - i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o ng y, Ho´a, Sinh, D 1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´ - a.i ho.c khoa thuy’ v˘an cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D ho.c Tu nhiˆen H`a Nˆo.i u hai hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜a Ch´ ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´ n´oi o’ trˆen Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d` ung d¯ˆe’ gia’ng - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´ D u nhˆa´t uc d¯u.o c ch´ ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´n Tu tu.o’.ng cˆa´u tr´ `eu d¯u.o c nghiˆen c´ s´ach Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆ u.u mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´ uc cu’a d¯ˆo´i tu.o ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto g˘a´n `en v´o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto Euclid v`a khˆong liˆ `en v´o.i nh´om tru c giao O(n) v`a nh´om tru c giao gian v´ecto Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆ `en v´o.i nh´om unita U (n) Kˆe´t qua’ phˆan d¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆ loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o c tiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru c giao ) Theo kinh nghiˆe.m, ch´ ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`ay - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i `e D mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆ www.matheducare.com MATH-EDUCARE `e vˆ `e da.ng chuˆ a’n t˘a´c ho.c, ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an C´ac chu’ d¯ˆ Jordan cu’ a tu d¯`ˆong cˆa´u, da.ng ch´ınh t˘ ong a´c cu’ a tu d¯`ˆ ong cˆ a´u tru c giao, viˆe.c d¯u.a d¯`ˆ `e da.ng ch´ınh t˘ a´c, d¯a.i sˆ o´ tenxo., d¯a.i sˆ o´ d¯ˆ o´i x´ u.ng v` a d¯a.i th` o.i hai da.ng to`an phu.o.ng vˆ sˆ o´ ngo`ai nˆen d` ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆen cao ho.c v` a nghiˆen c´ u.u sinh c´ac ng`anh To´an, Co ho.c v`a Vˆa.t l´ y Ch´ ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n y ´ ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’m `eu c´o phˆ `an b`ai tˆa.p, cu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o c tr`ınh b`ay Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a d¯u.o c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t` u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D - ˆe’ n˘a´m v˜ `an l´ I V Proskuryakov D u.ng kiˆe´n th´ u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜ y phˆ y thuyˆe´t `eu c`ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng tru.´o.c l`am c`ang nhiˆ `an Viˆe.c su’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆ `an hai cu’a n´o l`a cuˆo´n -Da.i sˆ ung t´ac mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo s´ach m`a phˆ o´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c` gia’, Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999 `eu h`anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆan khoa T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ - `am Trung - a.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su D ho.c t`ai n˘ang, D - `ˆon v`a Gi´ao su Nguyˆ˜en Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆ `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ng D da.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen u.ng b`ai gia’ng d¯´o co so’ nh˜ `ong nghiˆe.p vˆ `e nh˜ u.ng T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆ thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach H`a Nˆo.i, 12/1999 www.matheducare.com MATH-EDUCARE Chu.o.ng ˆ´N THU ´.C CHUA ˆ’ N BI KIE Nhiˆe.m vu cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n `an c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho p, quan hˆe., ´anh xa., nh´om, th´ u.c chuˆa’n bi cho phˆ v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´ u.c Tru.`o.ng sˆo´ thu c s˜e d¯u.o c xˆay du ng ch˘a.t ch˜e o’ §5 Nhu.ng u.ng d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trung v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜ ho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay c´ac v´ı du o’ c´ac tiˆe´t §1 - §4 Tˆ a.p ho p `e tˆa.p ho p theo quan d¯iˆe’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa.p ung ta tr`ınh b`ay vˆ Trong tiˆe´t n`ay, ch´ ho p ngˆay tho.” Cu thˆe’, tˆa.p ho p l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa, m`a `an tu c´ac d¯ˆo´i d¯u.o c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru c gi´ac nhu sau: Mˆo.t tˆ a.p ho p l`a mˆo.t su quˆ `an tu.o ng c´o c` ung mˆo.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜ u.ng d¯ˆo´i tu.o ng n`ay d¯u.o c go.i l`a c´ac phˆ tu’ cu’a tˆa.p ho p d¯´o (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a `an g˜ tˆa.p ho p, n´o chı’ diˆ˜en d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆ ui ho.n `an tu.” Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆ `an tu la.i chu.a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.) l`a “quˆ ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho p l`a “tˆa.p” Ngu.`o.i ta c˜ - ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ D ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng d¯a.i ho.c, tˆa.p ho p c´ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho p c´ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜ u in hoa: A, B, C, , X, Y, Z C´ac tˆa.p ho p thu.`o.ng d¯u.o c k´ `an tu’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho p thu.`o.ng d¯u.o c k´ C´ac phˆ y hi.ˆeu bo’.i c´ac ch˜ u in thu.`o.ng: - ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a a, b, c, , x, y, z D www.matheducare.com MATH-EDUCARE `an tu’ cu’a X, ta viˆe´t y ∈ X, v`a d¯o.c l`a “x thuˆo.c X” Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆ “y khˆong thuˆo.c X” - ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆ `an tu’ cu’a n´o D Ch˘a’ng ha.n, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p bo’.i mˆo.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao Ngu.`o.i ta c˜ `an tu’ cu’a n´o Tˆa.p ho p X c´ac phˆ `an tu’ x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´ d¯´o cu’a c´ac phˆ y hiˆe.u l`a X = {x| P(x)}, ho˘a.c l`a X = {x : P(x)} V´ı du.: N = {x| x l`a sˆo´ tu nhiˆen}, Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen }, Q = {x| x l`a sˆo´ h˜ u.u ty’}, R = {x| x l`a sˆo´ thu c} `an tu’ cu’a tˆa.p ho p A c˜ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p X th`ı ta n´oi Nˆe´u mo.i phˆ ung l`a mˆo.t phˆ `om c´ac phˆ `an tu’ x cu’a X A l`a mˆo.t tˆa.p ho p cu’a X, v`a viˆe´t A ⊂ X Tˆa.p A gˆ c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a A = {x ∈ X| P(x)} `a ng nˆe´u mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p n`ay Hai tˆa.p ho p X v`a Y d¯u.o c go.i l`a b˘ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p v`a ngu.o c la.i, t´ c˜ ung l`a mˆo.t phˆ u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X Khi d¯´o ta viˆe´t X = Y `an tu’ n`ao ca’ d¯u.o c k´ Tˆa.p ho p khˆong ch´ u.a mˆo.t phˆ y hiˆe.u bo’.i ∅, v`a d¯u.o c go.i l`a tˆ a.p rˆ o˜ng Ta quy u.´o.c r˘`a ng ∅ l`a tˆa.p cu’a mo.i tˆa.p ho p Tˆa.p ho p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n lo i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu sˆo´ khˆong l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho p www.matheducare.com MATH-EDUCARE C´ac ph´ep to´an ho p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau Cho c´ac tˆa.p ho p A v`a B y hiˆe.u bo’.i A ∪ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau Ho p cu’a A v`a B d¯u.o c k´ A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a.c x ∈ B} Giao cu’a A v`a B d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i A ∩ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B} Hiˆe.u cu’a A v`a B d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i A \ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B} `an b` Nˆe´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o c go.i l`a phˆ u cu’a B A, v`a d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a CA (B) C´ac ph´ep to´an ho p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay: Kˆe´t ho p: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Phˆan phˆo´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Cˆong th´ u.c De Morgan: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B) Gia’ su’ Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho p v´o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜ u.u ha.n hay vˆo ha.n) Khi d¯´o, ho p v`a giao cu’a ho tˆa.p ho p {Ai }i∈I d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau: Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mˆo.t i n`ao d¯´o I}, i∈I Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mo.i i ∈ I} i∈I Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´ u.c De Morgan: X \( X \( (X \ Ai ), Ai ) = i∈I i∈I (X \ Ai ) Ai ) = i∈I i∈I www.matheducare.com MATH-EDUCARE u.c ϕ(α1 ) := π(α1 ) = α1 d¯u.o c suy tru c tiˆe´p t` V´o.i q = 1, d¯˘a’ng th´ u d¯i.nh ngh˜ıa `e trˆen ta c´o cu’a ϕ Gia’ su’ hˆe qua’ d¯˜a d¯u.o c ch´ u.ng minh cho q − Theo mˆe.nh d¯ˆ ϕ(α1 , , αq ) = ϕ(α1 , , αq−1 ) · ϕ(αq ) = (α1 · · · αq−1 ) · αq = α1 · · · αq Nhu vˆa.y, hˆe qua’ c˜ ung d¯´ ung d¯ˆo´i v´o.i q ✷ `e 4.6 xy = yx v´o.i mo.i x ∈ S q (L), y ∈ S r (L) Mˆ e.nh d ¯ˆ Ch´ u.ng minh: Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho p x = α ∈ S (L) = L, y = β ∈ S (L) = L Theo d¯i.nh ngh˜ıa, α ⊗ β − β ⊗ α ∈ A2 Do d¯´o αβ − βα = ϕ((α, β) − (β, α)) = πt((α, β) − (β, α)) = π(α ⊗ β − β ⊗ α) = ∈ S (L) - ˆe’ ch´ `an ch´ D u.ng minh xy = yx ta chı’ cˆ u.ng to’ r˘`a ng (α1 · · · αq )(β1 · · · βr ) = (β1 · · · βr )(α1 · · · αq ), `e 4.4 v`a phˆ `an d¯ˆ `au cu’a ch´ v´o.i mo.i α1 , , αq , β1 , , βr ∈ L Theo Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh `e n`ay, ta c´o thˆe’ tr´ao d¯ˆo’i th´ mˆe.nh d¯ˆ u tu t` u.ng βj m`a t´ıch khˆong thay u.ng αi v´o.i t` `e d¯u.o c ch´ d¯ˆo’i Mˆe.nh d¯ˆ ✷ u.ng minh - i.nh l´ D y 4.7 Gia’ su’ (e1 , , en ) l`a mˆ o hˆe o.t co so’ cu’a K-khˆong gian v´ecto L Khi d¯´ v´ecto sau d¯ˆay lˆa.p nˆen mˆo.t co so’ cu’a khˆ ong gian v´ecto S(L): (ei11 · · · einn : i1 , , in ≥ 0) `an tu’ e1 , , en , ngh˜ıa Ho.n n˜ u.a, d¯a.i sˆo´ S(L) d¯˘a’ ng cˆa´u v´ o.i d¯a.i sˆ o´ d¯a th´ u.c trˆen n phˆ l` a S(L) ∼ = K[e1 , , en ] 277 www.matheducare.com MATH-EDUCARE Ch´ u.ng minh: Go.i K[X1 , , Xn ] l`a d¯a.i sˆo´ d¯a th´ u.c cu’a n ˆa’n, v`a (K[X1 , , Xn ])q `an nhˆa´t bˆa.c q Ta x´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh l`a khˆong gian c´ac d¯a th´ u.c thuˆ u.c η(ej1 , , ejq ) = Xj1 · · · Xjq V`ı d¯a.i η : L(q) → (K[X1 , , Xn ])q x´ac d¯i.nh bo’.i hˆe th´ `on ta.i ´anh sˆo´ K[X1 , , Xn ] giao ho´an, nˆen η d¯ˆo´i x´ u.ng Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a S (q) , tˆ xa tuyˆe´n t´ınh hq : S (q) → (K[X1 , , Xn ])q cho hq (ej1 · · · ejq ) = Xj1 · · · Xjq `eu giao ho´an, nˆen hˆe th´ V`ı c´ac d¯a.i sˆo´ S(L) v`a K[X1 , , Xn ] d¯ˆ u.c trˆen c´o thˆe’ viˆe´t la.i th`anh hq (ei11 · · · einn ) = X1i1 · · · Xnin , d¯´o i1 + · · · + in = q hq l`a mˆo.t to`an cˆa´u, bo’.i v`ı theo cˆong th´ u.c bˆa.c q cu’a c´ac u.c trˆen mo.i d¯o.n th´ `eu thuˆo.c a’nh cu’a hq M˘a.t kh´ac, theo Hˆe qua’ 2.5 v`a Mˆe.nh d¯ˆ `e 4.6, biˆe´n X1 , , Xn d¯ˆ khˆong gian S (q) (L) d¯u.o c sinh bo’.i hˆe v´ecto (ei11 · · · einn : i1 + · · · + in = q) Do d¯´o, dim S (q) (L) ≤ dim(K[X1 , , Xn ])q V`ı thˆe´, to`an cˆa´u hq l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u Hˆe qua’ l`a h = ⊕hq : S(L) → K[X1 , , Xn ] c˜ ung l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh `e 4.4 suy r˘`a ng h(xy) = h(x)h(y) Vˆa.y h l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´ T` u Mˆe.nh d¯ˆ - i.nh l´ ✷ D y d¯u.o c ch´ u.ng minh `ong cˆa´u d¯a.i sˆo´ S(f ) : S(L) → Mˆo˜i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M ca’m sinh mˆo.t d¯ˆ - ´o l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a c´ac d¯ˆ `ong cˆa´u th`anh phˆ `an S q (f ) : S q (L) → S q (M ), S(M ) D (0 ≤ q < ∞), d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau X´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng S˜q (f ) : L(q) → S q (M ), S˜q (f )(α1 , , αq ) = f (α1 ) · · · f (αq ) `on ta.i nhˆa´t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh S q (f ) : S q (L) → Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a S q (L), tˆ S q (M ) cho S˜q (f ) = S q (f ) ◦ ϕ, d¯´o ϕ : L(q) → S q (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng ch´ınh t˘a´c Ta thu d¯u.o c biˆe’u th´ u.c tu.`o.ng minh cho S q (f ) : S q (f )(α1 · · · αq ) = S q (f )(ϕ(α1 , , αq )) = S˜q (f )(α1 , , αq ) 278 www.matheducare.com MATH-EDUCARE = f (α1 ) · · · f (αq ), v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Dˆ˜e d`ang kiˆe’m tra la.i r˘`a ng S(gf ) = S(g)S(f ), v´o.i mo.i c˘a.p ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M, g : M → N Ho.n n˜ u.a S(id ) = id L S(L) Nhˆ a.n x´ et 4.8 Nˆe´u Char(K) = 0, ngu.`o.i ta c´o mˆo.t c´ach kh´ac d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa lu˜ y u.ng S q (L) nhu sau th` u.a d¯ˆo´i x´ To´an tu’ d¯ˆo´i x´ u.ng ho´a S : T q (L) → T q (L) l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa bo’.i hˆe th´ u.c S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) := ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(q) q! σ∈Sq V`ı Char(K) = cho nˆen q! kha’ nghi.ch tru.`o.ng K, v´o.i mo.i q ∈ N Dˆ˜e d`ang ch´ u.ng minh r˘`a ng S = S X´et khˆong gian a’nh cu’a to´an tu’ thay phiˆen ho´a S˜q (L) := Im(S) ⊂ T q (L) `an tu’ cu’a S˜q (L) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x = S(x) Nhu vˆa.y, x ∈ T q (L) l`a mˆo.t phˆ u.ng minh d¯u.o c r˘`a ng, nˆe´u Char(K) = th`ı ph´ep ho p th`anh Ngu.`o.i ta ch´ π S˜q (L) ⊂ T q (L) → S q (L) = T q (L)/Aq - ˘a’ng cˆa´u n`ay chuyˆe’n S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) th`anh α1 · · · αq l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh D Do d¯´o, nh˜ u.ng l˜ınh vu c m`a tru.`o.ng K luˆon luˆon l`a tru.`o.ng sˆo´ thu c ho˘a.c u.c, ngu.`o.i ta thu.`o.ng d` ung d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay: tru.`o.ng sˆo´ ph´ S q (L) := Im(S) ⊂ T q (L), α1 · · · αq := S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) 279 www.matheducare.com MATH-EDUCARE - a.i sˆ D o´ ngo` C˜ ung giˆo´ng nhu o’ tiˆe´t tru.´o.c, c´ac c´ach d¯i.nh ngh˜ıa kh´ac cu’a kh´ai niˆe.m l˜ uy th` u.a ngo`ai v`a d¯a.i sˆo´ ngo`ai, ch´ ung ta cho.n c´ach khˆong phu thuˆo.c v`ao d¯˘a.c sˆo´ cu’a tru.`o.ng K `an tu’ c´o da.ng α1 ⊗ Go.i Bq l`a khˆong gian v´ecto cu’a T q (L) sinh bo’.i c´ac phˆ · · · ⊗ α d¯´o α = α v´o.i c´ac chı’ sˆo´ i = j n`ao d¯´o q i j - i.nh ngh˜ıa 5.1 Khˆong gian thu.o.ng D Λq (L) := T q (L)/Bq d¯u.o c go.i l`a lu˜y th` u.a ngo`ai bˆa.c q cu’a L ´ - i.nh ngh˜ıa 5.2 Gia’ su’ M l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh D η : L(q) → M d¯u.o c go.i l`a thay phiˆen nˆe´u η(α1 , , αq ) = 0, v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L d¯´o αi = αj v´o.i c´ac chı’ sˆo´ i = j n`ao d¯´o Ho p th`anh cu’a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh ch´ınh t˘a´c t = tq : L(q) → T q (L), t(α1 , , αq ) = α1 ⊗ · · · ⊗ αq v`a ph´ep chiˆe´u tuyˆe´n t´ınh π = πq : T q (L) → Λq (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh ξ = ξq : L(q) → Λq (L), ξ(α1 , , αq ) = π(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a lu˜ y th` u.a ngo`ai, ξ l`a mˆo.t ´anh xa thay phiˆen o’ du.ng sau d¯ˆay: V´o.i mo.i ´anh xa d¯a tuyˆe´n Ho.n n˜ u.a, c˘a.p (ξ, Λq (L)) c´o t´ınh phˆ `on y, tˆ t´ınh thay phiˆen η : L(q) → M , d¯´o M l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto bˆa´t k` `o ta.i nhˆa´t mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh h : Λq (L) → M l`am giao ho´an biˆe’u d¯ˆ 280 www.matheducare.com MATH-EDUCARE ξ ✲ L(q) Λq (L) ✠ ❅ ❅η ❅ ❘ ❅ h M, t´ u.c l`a η = h ◦ ξ Dˆ˜e thˆa´y r˘`a ng B = ⊕∞ a mˆo.t id¯ˆean cu’a d¯a.i sˆo´ T ∗ (L) Do d¯´o q=0 Bq l` q ∞ q Λ(L) := T ∗ (L)/B = ⊕∞ q=0 T (L)/Bq = ⊕q=0 Λ (L) l`a mˆo.t d¯a.i sˆo´ trˆen K - inh ngh˜ıa 5.3 Λ(L) d¯u.o c go.i l`a d¯a.i sˆ D o´ ngo`ai cu’a khˆong gian v´ecto L T´ıch Λ(L) cu’a ω ∈ Λq (L) v`a η ∈ Λr (L) d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a ω ∧ η ∈ Λq+r (L), v`a d¯u.o c go.i l`a t´ıch ngo`ai cu’a ω v`a η `e 5.4 Mˆ e.nh d ¯ˆ ξ(α1 , , αq ) ∧ ξ(αq+1 , , αq+r ) = ξ(α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ), v´ o.i mo.i α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ∈ L Ch´ u.ng minh: Go.i ∧ : Λq (L) × Λr (L) → Λq+r (L) l`a (ha.n chˆe´ cu’a) t´ıch d¯a.i `o giao ho´an sˆo´ Λ(L) Ta c´o biˆe’u d¯ˆ L(q) × L(r) × tq ×tr L(q+r) tq+r ❄ T (L) × T (L) q r ⊗ πq ×πr ❄ ✲ T q+r (L) πq+r ❄ Λ (L) × Λ (L) q ✲ r ∧ ❄ ✲ Λq+r (L) , 281 www.matheducare.com MATH-EDUCARE T` u d¯´o ∧(πq × πr )(tq × tr ) = πq+r tq+r × Mˆo.t m˘a.t, ta c´o ∧(πq × πr )(tq × tr )((α1 , , αq ), (αq+1 , , αq+r )) = ∧(πq × πr )(α1 ⊗ · · · ⊗ αq , αq+1 ⊗ · · · ⊗ αq+r ) = ∧(ξ(α1 , , αq ), ξ(αq+1 , , αq+r )) = ξ(α1 , , αq ) ∧ ξ(αq+1 , , αq+r ) M˘a.t kh´ac πq+r tq+r × ((α1 , , αq ), (αq+1 , , αq+r )) = πq+r tq+r (α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ) = πq+r (α1 ⊗ · · · ⊗ αq ⊗ αq+1 ⊗ · · · ⊗ αq+r ) = ξ(α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ) `e d¯u.o c ch´ Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh ✷ Hˆ e qua’ 5.5 ξ(α1 , , αq ) := π(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) = α1 ∧ · · · ∧ αq , v´ o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Ch´ u.ng minh: Hˆe qua’ d¯u.o c ch´ u.ng minh b˘`a ng quy na.p theo q V´o.i q = 1, d¯˘a’ng th´ u.c ξ(α1 ) := π(α1 ) = α1 d¯u.o c suy tru c tiˆe´p t` u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a `e trˆen ta c´o ξ Gia’ su’ hˆe qua’ d¯˜a d¯u.o c ch´ u.ng minh cho q − Theo mˆe.nh d¯ˆ ξ(α1 , , αq ) = ξ(α1 , , αq−1 ) ∧ ξ(αq ) = (α1 ∧ · · · ∧ αq−1 ) ∧ αq = α1 ∧ · · · ∧ αq Nhu thˆe´, hˆe qua’ c˜ ung d¯´ ung d¯ˆo´i v´o.i q ✷ 282 www.matheducare.com MATH-EDUCARE `e 5.6 ω ∧ η = (−1)qr η ∧ ω v´o.i mo.i ω ∈ Λq (L), η ∈ Λr (L) Mˆ e.nh d ¯ˆ Ch´ u.ng minh: Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho p ω = α ∈ Λ1 (L) = L, η = β ∈ Λ1 (L) = L Ta s˜e ch´ u.ng minh r˘`a ng α ∧ β = −β ∧ α, Thˆa.t vˆa.y, theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a Λ2 (L) ta c´o α ∧ α = β ∧ β = Do d¯´o = (α + β) ∧ (α + β) = α ∧ α + α ∧ β + β ∧ α + β ∧ β = α ∧ β + β ∧ α - ˆe’ ch´ `an ch´ D u.ng minh ω ∧ η = (−1)qr η ∧ ω ta chı’ cˆ u.ng to’ r˘`a ng (α1 ∧ · · · ∧ αq ) ∧ (β1 ∧ · · · ∧ βr ) = (−1)qr (β1 ∧ · · · ∧ βr ) ∧ (α1 ∧ · · · ∧ αq ), `e 5.4 v`a phˆ `an d¯ˆ `au cu’a ch´ v´o.i mo.i α1 , , αq , β1 , , βr ∈ L Theo Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh `e n`ay, mˆo˜i lˆ `an tr´ao d¯ˆo’i th´ u.ng βj d¯´ u.ng s´at n´o th`ı t´ıch ngo`ai u.ng αi v´o.i t` mˆe.nh d¯ˆ u tu t` - ˆe’ biˆe´n d¯ˆo’i α1 ∧ · · · ∧ αq ∧ β1 ∧ · · · ∧ βr th`anh β1 ∧ · · · ∧ βr ∧ α1 ∧ · · · ∧ αq d¯ˆo’i dˆa´u D `an thu c hiˆe.n qr lˆ `e d¯u.o c ch´ `an tr´ao d¯ˆo’i nhu thˆe´ Mˆe.nh d¯ˆ ta cˆ ✷ u.ng minh `e trˆen l`a Mˆo.t hˆe qua’ hiˆe’n nhiˆen cu’a mˆe.nh d¯ˆ ασ(1) ∧ · · · ∧ ασ(q) = sgn(σ)α1 ∧ · · · ∧ αq , v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L, σ ∈ Sq Trˆen co so’ d¯´o, ta c´o d¯i.nh l´ y sau d¯ˆay - i.nh l´ D y 5.7 (i) Λq (L) = v´ o.i mo.i q > n = dimK L (ii) Gia’ su’ (e1 , , en ) l`a mˆo.t co so’ cu’ a khˆ o, v´ o.i ≤ q ≤ n, ong gian v´ecto L Khi d¯´ hˆe v´ecto sau d¯ˆay lˆa.p th`anh mˆ ong gian v´ecto Λq (L): o.t co so’ cu’a khˆ (ei1 ∧ · · · ∧ eiq : ≤ i1 < · · · < iq ≤ n) n N´oi riˆeng, dimK Λq (L) = q 283 www.matheducare.com MATH-EDUCARE Ch´ u.ng minh: Do t´ınh d¯a tuyˆe´n t´ınh cu’a t´ıch ∧, khˆong gian v´ecto Λq (L) d¯u.o c sinh bo’.i c´ac v´ecto ei1 ∧ · · · ∧ eiq , v´o.i ≤ i1 , , iq ≤ n `an tu’ nhu vˆa.y c´o ´ıt nhˆa´t hai chı’ sˆo´ n`ao d¯´o b˘`a ng (i) Nˆe´u q > n th`ı mˆo˜i phˆ `an tu’ n´oi trˆen d¯ˆ `eu b˘`a ng Do d¯´o nhau: i = i v´o.i s = t V`ı thˆe´, tˆa´t ca’ c´ac phˆ s t Λq (L) = (ii) Nˆe´u q = n, theo l´ y thuyˆe´t d¯i.nh th´ u.c, c´o nhˆa´t mˆo.t ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh, `on ta.i nhˆa´t ´anh thay phiˆen det : L(q) → K cho det(e1 , , en ) = Do d¯´o, tˆ xa tuyˆe´n t´ınh det : Λq (L) → K `om mˆo.t v´ecto e1 ∧ · · · ∧ en l`a cho det(e1 ∧ · · · ∧ en ) = T` u d¯´o suy hˆe chı’ gˆ mˆo.t co’ so’ cu’a khˆong gian v´ecto Λq (L) Nhu thˆe´ dim Λq (L) = Bˆay gi`o x´et tru.`o.ng ho p ≤ q ≤ n Gia’ su’ c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh a(i) ei1 ∧ · · · ∧ eiq = 0, (i) d¯´o (i) = (i1 , , iq ), ≤ i1 < · · · < iq ≤ n, a(i) ∈ K V´o.i mˆo˜i bˆo chı’ sˆo´ cˆo´ d¯i.nh (j) = (j1 , , jq ) tho˜a m˜an j1 < · · · < jq , ta cho.n jq+1 , , jn cho (j1 , , jq , jq+1 , , jn ) l`a mˆo.t ho´an vi n`ao d¯´o cu’a (1, 2, , n) Nhˆan ngo`ai hai vˆe´ cu’a `au hˆe´t c´ac sˆo´ ha.ng d¯˘a’ng th´ u.c trˆen v´o.i ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn ta thu d¯u.o c mˆo.t tˆo’ng v´o.i hˆ ei1 ∧ · · · ∧ eiq ∧ ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn b˘`a ng 0, v`ı c´o c´ac chı’ sˆo´ tr` ung l˘a.p, loa.i tr` u mˆo.t sˆo´ ha.ng nhˆa´t v´o.i c´ac chı’ sˆo´ khˆong tr` ung l˘a.p a(j) ej1 ∧ · · · ∧ ejq ∧ ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn = Hay l`a ±a(j) e1 ∧ · · · ∧ en = Do d¯´o a(j) = Nhu vˆa.y, hˆe v´ecto (ei1 ∧ · · · ∧ eiq : ≤ i1 < · · · < iq ≤ n) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh - inh l´ ✷ u.ng minh Λq (L) D y d¯u.o c ch´ `ong cˆa´u d¯a.i sˆo´ Λ(f ) : Λ(L) → Mˆo˜i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M ca’m sinh mˆo.t d¯ˆ - ´o l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a c´ac d¯ˆ `ong cˆa´u th`anh phˆ `an Λq (f ) : Λq (L) → Λq (M ), Λ(M ) D 284 www.matheducare.com MATH-EDUCARE (0 ≤ q < ∞), d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau X´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen ˜ q (f ) : L(q) → Λq (M ), Λ ˜ q (f )(α1 , , αq ) = f (α1 ) ∧ · · · ∧ f (αq ) Λ `on ta.i nhˆa´t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Λq (f ) : Λq (L) → Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a Λq (L), tˆ ˜ q (f ) = Λq (f ) ◦ ξ, d¯´o ξ : L(q) → Λq (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n Λq (M ) cho Λ t´ınh thay phiˆen ch´ınh t˘a´c Ta thu d¯u.o c biˆe’u th´ u.c tu.`o.ng minh cho Λq (f ) : Λq (f )(α1 ∧ · · · ∧ αq ) = Λq (f )(ξ(α1 , , αq )) ˜ q (f )(α1 , , αq ) = Λ = f (α1 ) ∧ · · · ∧ f (αq ), v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Dˆ˜e kiˆe’m tra la.i r˘`a ng Λ(gf ) = Λ(g)Λ(f ), v´o.i mo.i c˘a.p ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M, g : M → N Ho.n n˜ u.a Λ(id ) = id L Λ(L) Nhˆ a.n x´ et 5.8 Nˆe´u Char(K) = 0, ngu.`o.i ta c´o mˆo.t c´ach kh´ac d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa lu˜ y th` u.a ngo`ai Λq (L) nhu tr`ınh b`ay du.´o.i d¯ˆay C´ach n`ay thu.`o.ng d¯u.o c c´ac nh`a gia’i t´ıch ung v`a h`ınh ho.c vi phˆan u.a d` To´an tu’ thay phiˆen ho´a Alt : T q (L) → T q (L) l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa bo’.i hˆe th´ u.c Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) := (sgnσ)ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(q) q! σ∈Sq - iˆ `eu kiˆe.n Char(K) = d¯a’m ba’o cho q! kha’ nghi.ch tru.`o.ng K Dˆ˜e d`ang thu’ D la.i r˘`a ng Alt2 = Alt X´et khˆong gian a’nh cu’a to´an tu’ thay phiˆen ho´a ˜ q (L) := Im(Alt) ⊂ T q (L) Λ 285 www.matheducare.com MATH-EDUCARE ˜ q (L) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ω = Alt(ω) `an tu’ cu’a Λ Nhu thˆe´, ω ∈ T q (L) l`a mˆo.t phˆ Ngu.`o.i ta ch´ u.ng minh d¯u.o c r˘`a ng, nˆe´u Char(K) = th`ı ph´ep ho p th`anh π ˜ q (L) ⊂ T q (L) → Λ Λq (L) = T q (L)/Bq - ˘a’ng cˆa´u n`ay chuyˆe’n Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) th`anh α1 ∧ l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh D · · · ∧ αq V`ı thˆe´, Gia’i t´ıch ho˘a.c H`ınh ho.c vi phˆan (l`a l˜ınh vu c m`a tru.`o.ng K luˆon ung d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay: luˆon l`a R ho˘a.c C), ngu.`o.i ta thu.`o.ng d` Λq (L) := Im(Alt) ⊂ T q (L), α1 ∧ · · · ∧ αq := Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) - i.nh ngh˜ıa 5.9 Go.i L∗ l`a khˆong gian d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a L Khi d¯´o mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a D Λq (L∗ ) d¯u.o c go.i l`a mˆo.t q-da.ng (ngo` ai) trˆen L `e sau d¯ˆay gia’i th´ıch cˆa´u tr´ Mˆe.nh d¯ˆ uc cu’a khˆong gian c´ac q-da.ng ngo`ai `e 5.10 Nˆe´u L l`a mˆo.t K-khˆ `eu th`ı Mˆ e.nh d ¯ˆ ong gian v´ecto h˜ u.u ha.n chiˆ Λq (L∗ ) ∼ = Λq (L)∗ , d¯´o vˆe´ pha’i l`a khˆong gian d¯ˆ o´i ngˆ a˜u cu’ a Λq (L) Ch´ u.ng minh: Nhˆa.n x´et r˘`a ng ´anh xa Lq × (L∗ )q → K ((α1 , , αq ), (ϕ1 , , ϕq ) → det( αi , ϕj ) `ong th`o.i c˜ l`a d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen d¯ˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n α1 , , αq , d¯ˆ ung d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen d¯ˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n ϕ1 , , ϕq (O’ d¯ˆay αi , ϕj l`a gi´a tri cu’a ϕj trˆen v´ecto αi ) V`ı thˆe´, n´o ca’m sinh ´anh xa song tuyˆe´n t´ınh Λq (L) × Λq (L∗ ) → K (α1 ∧ · · · ∧ αq , ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕq ) → det( αi , ϕj ) 286 www.matheducare.com MATH-EDUCARE ´ `an tu’ cu’a Λq (L∗ ) nhu mˆo.t da.ng tuyˆe´n t´ınh trˆen Anh xa n`ay cho ph´ep xem mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a Λq (L)∗ Λq (L), t´ u.c l`a nhu mˆo.t phˆ Go.i e1 , , en l`a mˆo.t co so’ cu’a L v`a e1 , , en l`a co so’ d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a L∗ Su’ du.ng `ong nhˆa´t n´oi trˆen ta thˆa´y co so’ (ej1 ∧ · · · ∧ ejq | j < · · · < j ) ch´ınh l`a d¯ˆo´i ph´ep d¯ˆ q ngˆa˜u cu’a co so’ (ei1 ∧ · · · ∧ eiq | i1 < · · · < iq ) Thˆa.t vˆa.y, (ei1 ∧ · · · ∧ eiq , ej1 ∧ · · · ∧ ejq ) → det( eik , ej ) Vˆe´ pha’i b˘`a ng v`a chı’ i1 = j1 , , iq = jq v`a b˘`a ng c´ac tru.`o.ng ho p ✷ kh´ac Nhu thˆe´ Λq (L∗ ) ∼ = Λq (L)∗ V´ı du 5.11 X´et khˆong gian v´ecto thu c L = Rn v´o.i co so’ ch´ınh t˘a´c (e1 , , en ): e1 e2 e n = (1, 0, , 0)t , = (0, 1, , 0)t , = (0, 0, , 1)t `eu kiˆe.n sau Go.i (dx1 , , dxn ) l`a co so’ d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a (Rn )∗ d¯u.o c x´ac d¯i.nh bo’.i hˆe d¯iˆ dxi (ej ) = δji , (1 ≤ i, j ≤ n) `eu biˆe´n.) (C´ach k´ y hiˆe.u n`ay c´o co so’ t` y thuyˆe´t vi phˆan cu’a h`am nhiˆ u L´ Ta x´et khˆong gian Λq (Rn ∗ ) ∼ = Λq (Rn )∗ c´ac q-da.ng trˆen Rn N´o c´o mˆo.t co so’ l`a hˆe v´ecto sau d¯ˆay (dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq |1 ≤ i1 < < iq ≤ n) Mˆo˜i v´ecto ω ∈ Λq (Rn ∗ ) c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua co so’ d¯´o: ai1 , ,iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , ω= 1≤i1 < [...]... |z|(cos ϕ + i sin ), t = |t|(cos ψ + i sin ) Khi d¯´o zt = |z||t|[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin )] = |z||t|(cos(ϕ + ) + i sin(ϕ + )) N´oi c´ach kh´ac |zt| = |z||t|, arg(zt) = arg(z) + arg(t), `eu kiˆe.n d¯ˆe’ c´o d¯˘a’ng th´ trong d¯´o d¯iˆ u.c cuˆo´i l`a arg(z) v`a arg(t) d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa N´oi riˆeng, ta c´o z n = (| z|(cos ϕ + i sin )) n = |z|n (cos nϕ + i sin n ). .. cˆo.ng l`a 0 = (0 , 0) D Phˆ 1 = (1 , 0) Nghi.ch d¯a’o cu’a sˆo´ ph´ u.c (a, b) = 0 l`a (a, b)−1 = ( a2 a −b , 2 ) 2 + b a + b2 30 www.matheducare.com MATH-EDUCARE Nhˆ a.n x´ et: Theo d¯i.nh ngh˜ıa, hai sˆo´ ph´ u.c (a, b) v`a (c, d) b˘`a ng nhau nˆe´u v`a chı’ nˆe´u a = c, b = d Ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0 )( b, 0) = (ab, 0) N´oi c´ach kh´ac, ´anh xa ι : R → C, a → (a, 0) `ong nhˆa´t sˆo´... −1 ta c´o: (a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, a + bi (a + bi)(c − di) = c + di c2 + d2 ac + bd (bc − ad)i = 2 + 2 , c + d2 c + d2 u.c l`a c = 0 ho˘a.c d = 0) (v´o.i c + di = 0, t´ Tuy nhiˆen, vˆa˜n c`on mˆo.t cˆau ho’i: “Vˆa.y i l`a c´ai g`ı ?” - ˆe’ tr´anh t`ınh tra.ng kh´o su’ n`ay ta h˜ay d¯ˆ `ong nhˆa´t a + bi v´o.i c˘a.p sˆo´ thu c (a, b) D Nh˜ u.ng... x´et r˘`a ng d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯a th´ u.c f (X) v`a g(X) ta c´o deg(f (X)g(X )) = deg f (X) + deg g(X) T´ınh chˆa´t n`ay dˆa˜n t´o.i su kiˆe.n K[X] khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong `e d¯ˆ `eu dˆ˜e kiˆe’m tra C´ac kh˘a’ng d¯i.nh c`on la.i cu’a mˆe.nh d¯ˆ ✷ y sau d¯ˆay Ta th` u.a nhˆa.n d¯i.nh l´ - i.nh l´ D y 7.2 (Ph´ep chia Euclid v´o.i du .) Gia’ su’ f (X) v`a g(X) = 0 l` a c´ ac d¯a th´ u.c `on ta.i duy... (x, x ∈ X) th`ı f (x) = f (x ) ´ `on ta.i ( ıt (b) Anh xa f : X → Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to` an ´ anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆ `an tu’ x ∈ X sao cho f (x) = y nhˆa´t) mˆo.t phˆ ´ (c) Anh xa f : X → Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t song ´ ´.ng mˆ o.t-mˆo.t) anh (hay mˆo.t tu.o.ng u nˆe´u n´o v` u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v` u.a l`a mˆo.t to`an ´anh `on ta.i duy nhˆa´t phˆ `an Gia’ su’ f : X → Y l`a mˆo.t song... hiˆe.u l`a Char(R) V´ı du.: Char(Z) = Char(Q) = 0, Char(Z/n) = n, v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n `a ng 0 ho˘ `e 4.12 Nˆe´u K l`a mˆo.t tru.`o.ng th`ı Char(K) ho˘ Mˆ e.nh d ¯ˆ a.c b˘ a.c l` a mˆ o.t sˆo´ nguyˆen tˆo´ - ˘a.t m · 1 = 1 + 1 + · · · + 1 ∈ K Gia’ su’ n = Char(K) l`a mˆo.t ho p Ch´ u.ng minh: D m sˆo´ v´o.i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n) Dˆ˜e thˆa´y r˘`a ng n · 1 = (r · 1 )( s · 1) = 0 V`ı... c go.i l`a mˆo.t d¯`ˆ ong cˆ a´u nh´ om nˆe´u ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G - `ˆong cˆa´u nh´om ϕ chuyˆe’n d¯o.n vi e cu’a G th`anh d¯o.n vi e cu’a G : Nhˆ a.n x´ et: D ϕ(e) = e 20 www.matheducare.com MATH-EDUCARE `an tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anh phˆ `an tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x): N´o c˜ ung chuyˆe’n phˆ ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 , ∀x ∈ G - inh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆ `ong cˆa´u nh´om d¯ˆ `ong th`o.i l`a... y) → x + y, v`a ph´ep nhˆan · : R × R → R, (x, y) → xy, `eu kiˆe.n sau d¯ˆay: thoa’ m˜an ba d¯iˆ 21 www.matheducare.com MATH-EDUCARE (R 1) R l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng (R 2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa´t kˆe´t ho p: (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R `e hai ph´ıa d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng: (R 3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo´i vˆ (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R V`anh R d¯u.o c... d¯ˆay - i.nh ngh˜ıa 6.1 Mˆo.t c˘a.p c´o th´ D u tu hai sˆo´ thu c (a, b) d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´ u.c Tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´ u.c d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i C: C = {(a, b)|a, b ∈ R} Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan c´ac sˆo´ ph´ u.c nhu sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) `e sau d¯ˆay d¯u.o c kiˆe’m tra mˆo.t c´ach dˆ˜e d`ang Mˆe.nh... D y 7.2 (Ph´ep chia Euclid v´o.i du .) Gia’ su’ f (X) v`a g(X) = 0 l` a c´ ac d¯a th´ u.c `on ta.i duy nhˆ cu’a v` anh K[X] Khi d¯´o tˆ a´t c´ ac d¯a th´ u.c q(X) v`a r(X) trong K[X] sao cho f (X) = g(X)q(X) + r(X), trong d¯´o deg r(X) < deg g(X) 35 www.matheducare.com