Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) D NG BDT- GTLN - NN NG C P B C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng D ng đ ng c p b c (ti p theo) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho x, y, z s th c d có th n m v ng ki n th c ng th a mãn x  y   z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P  x y z2    x  yz y  zx z  xy Gi i Ta có: z  xy  x  y   xy  ( x  1)( y  1) x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1) T ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1) Khi P  x y z2  x2  y2  x  y z2      ( x  y)( y  1) ( x  y)( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y)( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1)  ( a  b) 2 a  b  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng  ,ta có: ab  (a  b)   ( x  y) 2 x y     2 ( x  1)( y  1)  ( x   y  1)  ( x  y  2)  4 ( x  y)  x y z2  2 4( z2  2) 4( z2  2)       f ( z) v i z  Suy P  ( x  y  2) ( x  y  2) x  y  ( x  y  2) z  ( z  1) ( x  y) 4 4( z2  2) 8( z  2) 6( z  3)  Xét hàm s f ( z)  v i z  Ta có f '( z)   ;   2 z  ( z  1) ( z  1) ( z  1)3 ( z  1)3 f '( z)   z  B ng bi n thiên Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T b ng bi n thiên, suy P  f ( z)  13 D u “=” x y BDT- GTLN - NN  x  y; z   x  y    x  y 1  z z  13 , x  y  z  Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x2  y2  z2  V y P đ t giá tr nh nh t b ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( y  z  x)  xyz Gi i: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b  2(a  b2 ) ab  P  2( y  z  x)  xyz  Xét hàm s   2( y2  z2 )  x  x y2  z2 2 a  b2 , ta đ c:   2(1  x2 )  x  x.(1  x2 )  2(1  x2 )  x3  x  f ( x) 2 f ( x)  2(1  x2 )  x3  x v i  x  2 Ta có f '( x)  2 x  x2  27 x  (27 x2  5)  x2 x   2  x2 0  x  1  Khi f '( x)   x  (27 x2  5)  x2  27 x2    x (3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)   B ng bi n thiên   10 T b ng bi n thiên suy P  f ( x)  f    3 10 10 Khi x  ; y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P 3 3 Bài Cho a , b, c s th c không âm đôi m t phân bi t th a mãn ab  bc  ca  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  1   2 (a  b) (b  c) (c  a ) Gi i: Bi n đ i P ta đ c: 1 1  1 1    P          2  2 (a  b) (b  c) (c  a )  a  b b  c c  a   a b b c b c c a c a a b  1  1  c a  a bbc            (a  b)(b  c)(c  a )  a  b b  c c  a   a b b c c a  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a  c  a  Không m t tính t ng quát gi s a  b  c  ta có ab  bc  ca   b  c  b ab   Áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y)2  xy , ta đ c: 1   1  ba 4   1          a  b  b  c c  a  a  b (b  c)(c  a ) (a  c)(b  c) ab  a b b c c a  c  c    1  Suy P  D u “=” x y     b   hoán v a  b b  c c  a  a   ab  V y giá tr nh nh t c a P Bài Cho s th c d ng th a mãn x  y   z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x3 y3 ( x  yz)( y  xz)( z  xy)2 Gi i Ta có: z  xy  x  y   xy  ( x  1)( y  1) P x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1) T Khi P  ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1) x3 y3 ( x  y)2 ( x  1)3 ( y  1)3 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng (a  b)2  4ab a  b  c  3 abc , ta đ ( x  y)2  xy x   Suy P  x x x2 27 x2  1  33  ( x  1)3  T 2 4 x3 y3  ( x  y) ( x  1)3 ( y  1)3 c: ng t : ( y  1)3  27 y2 4 x3 y3  2 27 x 27 y 729 xy 4 4 V y giá tr nh nh t c a P b ng 729 729 Bài Cho x, y, z s th c th a mãn 5 x  5 y  5 z  Ch ng minh r ng: Khi x  y  z  P  25x 25 y 25x 5x  y  5z    x  y  z y  z  x z  x y Gi i a  5x   a2 b2 c2 a bc 1    t b  y  ,    P  a  bc b  ca c  ab a b c c  z   1 1 1 Ta có: (a  b  c)  (a  b  c)      3 abc 3  a b c a b c 1 b  c a 1 a (b  c) a2 a2 a a2  a   bc      Bi n đ i     b c a bc a a 1 a  bc a  a (b  c)  b  c a  b  c  a 1 a 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T ng t ta có: BDT- GTLN - NN b2 b2  b c2 c2  c   b  ca a  b  c  c  ab a  b  c  ( a  b  c) a  b  c  (a  b  c) M t khác a  b2  c  a  b  c 1 (a  b  c)  (a  b  c) a bc 3 P  (a  b  c)  a  b  c 1 3(a  b  c  1) Suy P  1  1 2  a bc  (a  b  c)    ( a  b  c)      3(a  b  c  1)   3.(9  1)  Hay P  a bc D u “=” x y a  b  c   x  y  z  log5 Chú ý: Có th đ t t  a  b  c  , r i dùng hàm s ch ng minh hàm f (t )  t  3t t  3(t  1) có giá tr nh nh t t  , ta đ c u ph i ch ng minh Bài Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x2  y2  z2  xyz  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  xy  yz  zx  xyz Gi i Theo nguyên lý Dirichlet ba s (2 x 1);(2 y 1);(2 z  1) t n t i hai s d u, không m t tính t ng quát gi s : z (2 x  1)(2 y  1)   xy  2( x  y)    xyz  2( x  y) z  z   xz  zx  xyz  (1) 1 z M t khác, ta có:  z2  xyz  x2  y2  xyz  xy  xy( z  1)  xy  (2) z 1 z C ng t ng ng hai v c a (1) (2) ta đ c: P    2 1 Khi x  y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P b ng 2 Bài Cho s th c d ng x, y, z th a mãn x4   y2  1  z4  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  y  x  z   x  y  z2  2 Gi i ( a  b) a  b2  a  b2 2 2 (suy t 2(a  b )  (a  b)  4ab ) ta đ c: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab  y2   x  z  1   y2  x2  z2  P 2 x  y  z 1 x  y  z2  2 T gi i thi t ta có  x4   y2  1  z4   x2  y2  z2  1 , suy  x2  y2  z2  2 t t  x  y  z    t  1 Xét hàm s f  t   t   ; t  Ta có f '  t     v i t  1;5 t t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 21 Suy f (t ) đ ng bi n 1;5 , P  f (t )  f  5    5  21 x  z  ng th c x y  V y max P   y  Bài Cho s th c d ng a , b, c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a  b  c   a  1 b  1 c  1 Gi i P 2  ( x  y)2 Áp d ng AM – GM d ng x  y  , ta có: 2 a b c 2 2  a  b 1  2  c  1  2  a  b  c  1  M t khác theo AM – GM có: a   b   c   3  a  1 b  1 c  1   a  1 b  1 c  1 V y t đó: P   a  b  c  3  27 54  a  b  c   a  b  c  3 t t  a  b  c  1, t  Lúc P  f  t   162 54 Ta có: f   t      t t t  2 t  2 Lúc đó: f   t    162    t    81t  t  t  t t  2 1 P 4 V y giá tr l n nh t c a P  đ t đ c t  Lúc a  b  c  Bài Cho s th c d ng x, y, z th a x2  y2  z2  L p BBT ta suy f  t   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  x2  xy y2  yz z2  zx    z2  x2  y2 Gi i Áp d ng b t đ ng th c d ng 2(a  b )  (a  b)2 hay a  b  2(a  b2 ) , ta đ 2 c: Ta có: x  y   x2  y2     z2  T ng t ta có : y  z    x2  ; z  x    y2  Khi P  2.(3  z2 ) 2.(3  x2 ) 2.(3  y2 ) x( x  y) y( y  z) z( z  x)      x y z  z2  x2  y2  z2  x2  y2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 3  t   BDT- GTLN - NN   , t  0; (*) Th t v y: 5t 2 2 (*)  8(3  t )  (t  5)  (t 1)2  (luôn đúng) ng th c có t  M t khác, ta có: Do đó, áp d ng (*) ta đ c: P   x  y  z Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 3(a  b2  c2 )  (a  b  c)2 hay a  b  c  3(a  b2  c ) , ta đ c: 1  x  y  z   x2  y2  z2   2 D u “=” x y x  y  z  V y max P  2 Bài 10 Cho x, y, z s th c th a mãn x  y2  z2  xyz  P Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( x  y  z)  xyz Không m t tính t ng quát, gi s Gi i: x   x; y; z , xyz   x  M t khác x2  y2  z2   x2   x   3;0 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng y  z  2( y2  z2 ) yz    y2  z , ta đ c:   y2  z2  x2 x3 5x P  2( x  y  z)  xyz  x  2( y  z )  x  x  2(9  x )  x    2(9  x2 ) 2 2 Xét hàm s f ( x)  2 x3 x   2(9  x2 ) v i x  3;0 2 3x2 2 x (3x2  5)  x2  2 x    Ta có f '( x)  2  x2  x2  3x   Khi f '( x)   (3x  5)  x  2 x   2 2  (3x  5) (9  x )  x 2 3x2  x  3x       9 x  111x  327 x  225   x    x2 5 1 25  x   x  1  3;0 3  Ta có f (3)  6 ; f (1)  10 f (0)   f ( x)  f (1)  10  x  1; y  z   x  1  D u “=” x y  2 y  z  x  y  z  V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , x  1 ; y  z  Chú ý: toán có th không c n u ki n xyz  Khi b n tham kh o nh ng b Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c tìm hi u k c gi i sau: h c sau), ta có: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 2( x  y  z)  xyz  x(2  yz)  ( y  z).2  ( x2  ( y  z)2  (2  yz)  4  (2 yz  9)( y2 z2  yz  8) t t  yz , suy ra: P  2( x  y  z)  xyz  (2t  9)(t  4t  8)  f (t ) Gi s x  max  x , y , z   3x2  x2  y2  z2   x2   y2  z2   yz  Ta d dàng ch ng minh đ c (2t  9)(t  4t  8)  10 v i t  Khi ta suy đ Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr y2  z2  hay t  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 c đáp s toán : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -