Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Tích phân tính thể tích thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng I KIẾN THỨC CƠ BẢN  y  f ( x)   Cho hình phẳng H giới hạn đường  y  g ( x)  x  a; x  b  a   Chú ý : Nếu H giới hạn đường viết dạng: b  S  x  h ( y )   H  h( y )  l ( y ) dy   a   x  l ( y) b  y  a; y  b  a V   h ( y )  l ( y ) dy  a  Oy  II CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ (B – 2007) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H giới hạn : y  x ln x , y  , x  e quay quanh trục Ox Giải: x   Phương trình hoành độ giao điểm: x ln x     x   x   x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ln x  du  dx   u  ln x  x 2 2  Khi VOx    x ln xdx   I (*) Tính I   x ln xdx Đặt  dv  x dx v  x 1  dx  du  e e e 3  u  ln x  x ln x e  x  Đặt  I    x ln xdx   J Tính J   x ln xdx 3 31 3 dv  x dx v  x  e e e e x3 ln x e3 x 2e3  Suy J    x dx    31 9 e Thay (2*) vào (*) ta được: VOx    5e3   27 Khi I  e3 2e3  5e3    (2*) 3 27 (đvtt) Ví dụ Xét hình phẳng ( H ) giới hạn ( P) : y  x  x trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng ( H ) : 1) Quanh trục Ox 2) Quanh trục Oy Giải 1) Phương trình hoành độ giao điểm ( P) trục hoành là: x  x  x2    x  Khi thể tích hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox là: 2 0 VOx    y dx    (2 x  x )2 dx    (4 x  x3  x )dx  x3 x5  16    x4     15  2) Phương trình tung độ giao điểm ( P) trục hoành là: y  Ta có ( P) : y  x  x2  x2  x  y   x    y ( P1 )  '   y   y  Suy ra:   x    y ( P2 ) Phương trình hoành độ giao điểm ( P1 ) ( P2 ) : y  Do thể tích hình phẳng ( H ) quay  quanh trục Oy là: VOy       y  1 8 (1  y)  y 8    y dy  4   ydy     3 0    Ví dụ Xét hình phẳng ( H ) giới hạn y  x x  trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng ( H ) : 1) Quanh trục Ox Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 2) Quanh trục Oy Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Giải Giáo viên Nguồn : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn  y  8x 1) +) Ta có y  x   y  x y   8x đối xứng qua trục Ox  y   x Do thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox thể tích khối   tròn xoay quay hình phẳng D '  y  8x ; y  0; x  quay quanh trục Ox +) Ta có phương trình hoành độ giao điểm y  x y  (trục Ox ) là: +) Suy VOx      2 8x   x  x dx    xdx  4 x  16 2) +) Ta có y  x  x  0 y2 y2 , phương trình tung độ giao điểm x  x  là: 8 y2   y  16  y  4 4   y2     y2  y3  94 +) Khi VOy        dy      dy    y    64  192  4     4  4   Nhận xét: Qua ý ví dụ ta nhận thấy, tính thể tích khối tròn xoay tạo quay hình phẳng D  D1  D2 : +) quanh trục Ox mà D1 đối xứng với D2 qua Ox : VOx ( D)  VOx ( D1 )  VOx ( D2 ) +) quanh trục Oy mà D1 đối xứng với D2 qua Oy : VOy ( D)  VOy ( D1 )  VOy ( D2 ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -