Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Tính tích phân sau:    3 sin x dx cos5 x 1) I1   (cos x  1) cos xdx (A – 2009) 2) I   3) I    dx sin x cos x   4) I   sin x.(sin x sin 3x  cos3 x cos x)dx 5) I    cos3 x dx sin x 6)  cos x ln(sin x  cos x) dx  4sin x  cos x I6      cos x.sin x dx 7) I    cos x  (sin x  cos x)sin x dx sin x  cos6 x sin x 8) I8   dx  4sin x  cos x 9) I   Giải   2 0 1) Ta có : I1   cos xdx   cos xdx  A  B    12 1 2  +) Tính B   cos xdx   (1  cos x)dx   x  sin x   20 2 0  +) Tính A   cos xdx ( m  0; n  ) Đặt t  sin x  dt  cos xdx x :    t :    t5  Khi : A   cos x cos xdx   (1  sin x) cos xdx   (1  t ) dt   (t  2t  1)dt    t  t   5  15 0 0 2 2 2  sin x dx cos5 x 2) I   +) Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; Đổi cận x   t  x   t   1 2  cos x 1 t2  1 1  sin xdx  dt     dt       +) Khi I   5  cos x t t  2t   4t 1t Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   3 3 (sin x  cos x) 1 dx dx   dx   dx    sin x cos4 x   cos4 x sin x cos2 x   cos2 x cos2 x  sin 2 x 4 dx  3) I    sin x cos x       d (2 x)  tan x   1  tan x  d (tan x)     tan x   cot(2 x)    sin x   3 4    34  4) I   sin x.(sin x sin 3x  cos3 x cos x)dx Ta có: sin3 x sin 3x  cos3 x cos3x = sin x(1  cos2 x)sin 3x  cos x(1  sin x) cos3x =  sin x sin 3x  cos x cos3x   sin x cos x  cos x sin 3x  sin x cos3x  = cos x  sin x cos x.sin x  cos x  2sin x cos x.sin x cos x  cos x  sin 2 x cos x  cos x  sin 2 x cos x  cos x(1  sin 2 x)  cos3 x (Trong trường hợp bạn sử lý nhanh kĩ thuật vi phân :    14 cos x I   sin x cos xdx    cos3 xd (cos x)   4 ) 20 0 Nhận xét : Nếu biểu thức dấu tích phân đơn giản, ta bỏ qua bước đổi biến kĩ thuật vi phân  5) I    cos3 x dx sin x +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx x :     t : 1  1 2 cos x  sin x 1 t2 1    cos xdx  cos xdx  dt     1 dt     t   +) Khi I   2     t 1 1t  sin x  sin x t 6  cos x ln(sin x  cos x) dx  4sin x  cos x 6) I   cos x cos2 x  sin x (cos x  sin x)(cos x  sin x)   +) Ta có:  4sin x  cos x  4sin x  (1  2sin x) (1  sin x) (cos x  sin x)(cos x  sin x) cos x  sin x   (sin x  cos x) (sin x  cos x)3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  (cos x  sin x) ln(sin x  cos x) dx +) Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx (sin x  cos x)3 +) Do I   Đổi cận x   t  x    t  , suy I  dt  du  u  ln t  ln t   t Đặt  , I    dt   2t dv  t v    2t  ln +) Vậy I     ln t dt t3 dt 1   ln  t 4t  1 1  ln   ln   8  cos x.sin x cos x.(1  cos x)(1  cos x)sin x dx   dx   cos x.(1  cos x).sin xdx 7) I    cos x  cos x    2 3 2 3 +) Đặt t  cos x  dt   sin xdx ; Đổi cận x   t   ; x t 0 2 t t  11 +) Khi I   t (1  t ).(dt )   (t  t )dt        192 0    2  sin x sin x 2sin x cos x sin x cos x dx   dx  dx  dx 2    4sin x  cos x  4sin x  (1  2sin x) 2(sin x  1) (sin x  1) 0 0 8) I8   +) Đặt t  sin x   dt  cos xdx ; Đổi cận x   t  ; x   t 2 (t  1)dt 1 1   +) Khi I8        dt   ln t      ln 2 t t t  t 1  1 2  (sin x  cos x)sin x dx 6 sin x  cos x 9) I   1  cos x  cos x  sin x  cos x   sin 2 x      4 +) Ta có:  sin x  cos6 x   sin 2 x    cos x   3cos x  4    cos x sin xdx  3cos x +) Suy I   +) Đặt t  cos x  dt  4sin xdx  sin xdx   1 dt  ; Đổi cận x   t  x   t  1 4 1  t  dt    11 4         dt   t  ln 3t     ln Khi I     3t   1  3(3t  5)  23  1 Bài Tính tích phân sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   2 2) I   1) I1   (1  sin x)3 sin xdx sin x  cos x 2sin x  1   2sin x   dx Giải  1) I1   (1  sin x)3 sin xdx Cách trình bày 1: +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x   t  x    t 1  1 0 +) Khi I1   (1  sin x)3 sin x.cos xdx  2 (1  t )3 t.dt 2  t  3t  3t  t  dt  t t 3t t  15 15 Vậy I1   2       0 Cách trình bày 2: +) Đặt t   sin x  dt  sin xdx ; Đổi cận x   t  x  2 t4 15 +) Khi I1   t dt   41  t 2 15 Vậy I1    (1  sin x)4 Cách trình bày 3: I1   (1  sin x)3 sin xdx   (1  sin x)3 d (1  sin x)  0 2  2) I     sin x  cos x 2sin x    2sin x   dx     2sin x  1   2sin x     15 2sin x  cos x dx  Phân tích hướng giải : Do tích phân có dạng I   f (sin x) cos xdx nên ta nghĩ tới việc đặt t  sin x   đưa tích phân dạng  f  g ( x),  n  g ( x) g '( x)dx (Dạng – dạng tích phân tìm hiểu trước đó) , đến theo dạng ta đặt u  2t  Song để rút ngắn lời giải, ta gộp công đoạn đặt thành Nghĩa ta đặt t  2sin x  (hoặc nhìn trực diện Dạng ta thấy điều này) Do ta có lời giải chi tiết cho toán sau: tdt  cos xdx   +) Đặt t  2sin x   t  2sin x    ; Đổi cận x   t  x   t  2sin x  t  t 1 t t3  t2  t (t  1)3  4(t  1)  6(t  1)  tdt  dt  dt +) Khi I   0 (t  1)3 0 (1  t )3 (t  1)3 1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân     23   1    dt  t  4ln t      4ln 2 3 2 t  (t  1) (t  1)  t  2(t  1)    23  ln Bài Tính tích phân sau: +) Vậy I    sin x  cos x dx 6 sin x  cos x sin xdx  cos x 1) I1   2) I   Giải  sin xdx  cos x 1) I1   Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt cận t :1  dt dt  I1     1 t 1 t2  du   (1  tan u )du  dt  t  tan u  cos u Đặt cận u :   1  t   tan u     (1  tan u )du 4  I1    du  u   tan u 0 Khi Vậy I1    sin x  cos x dx 6 sin x  cos x 2) I    6 sin x  cos x   sin x +) Ta có:   sin x  cos x  (2sin x  1) cos x   (2sin x  1) cos x (2sin x  1) cos x  I2   dx   dx  3sin x 0  sin x +) Đặt t  sin 2x  dt  2cos 2xdx t :  6t  1 1 1 2t  6tdt dt d (3t  4) ( 3t  2)  ( 3t  2) I  2 dt   dt       dt 0 3t  4  3t 0 3t  0 3t  0 3t  0 ( 3t  2)( 3t  2)  ln  +) Vậy I  ln  3 Bài Tính tích phân sau:    2 1) I1   ln(1  cos x).sin xdx cot x dx   sin x 2) I   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   sin 3x 3) I   dx  cos x sin x dx (sin x  cos x)(2 cos 2 x  3) 4) I   Giải  1) I1   ln(1  cos x).sin xdx Phân tích hướng giải: Ở toán điều nghĩ tới biến đổi sin x  2sin x cos x , tính thông dụng  Khi I1 có dạng  f (cos x).sin xdx (dạng I 9.2 ) với f (cos x)  2ln(1  cos x).cos x nên ta nghĩ tới việc đặt t  cos x t   cos x Trong trường hợp ta chọn cách đặt thứ hai đưa tích phân Dạng quen thuộc mà bạn tìm hiểu trước Giải:   2 0 +) I1   ln(1  cos x).sin xdx   ln(1  cos x).cos x.sin xdx +) Đặt t   cos x  dt   sin xdx Đổi cận x   t  2; x   dt  du   u  ln t t  +) Đặt  dv  (t  1)dt v  t  t    t  Suy I1  2 (t  1) ln tdt 2  t    t2  t   Suy I1    t  ln t     t  dt      t     1     1  2 cot x cos x dx  dx 4    sin x  sin x.(1  sin x) 2) I   4 Phân tích hướng giải:  Sau phép biến đổi ta thấy tích phân có dạng  f (sin x).cos xdx ta nghĩ tới việc  đổi biến t  sin x Song với toán ta hoàn toán biến đổi tiếp để đưa dạng   f (a  b sin k x).sin k 1 x.cos xdx cách nhân tử mẫu với sin x Cụ thể:  I2    sin x cos x dx Khi ta đổi biến cách đặt t  sin x t   sin x Vì 4 sin x(1  sin x) ta có lời giải toán qua hai cách trình bày sau: Cách 1: +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt  t   ; x   t 1 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Suy I  1 dt  t.(1  t )  t 3dt  t (1  t )  dt  t (1  t )  2 2 t4  ln 4 t 1 2 1   t 2  Nguyên hàm – Tích phân   dt t 1   ln Cách 2: +) Đặt t   sin x  dt  4sin x cos xdx  sin x cos xdx  +) Đổi cận x   t  dt  ; x t 2  2 2 4 sin x cos x dt  1  t 1 dx        ln Khi I   4 (t  1)t  t  t  t  sin x(1  sin x)  ln +) Vậy I  ln Nhận xét: +) Sau phần đổi biến Cách bạn gặp dạng tích phân hàm hữu tỉ có dạng tổng quát  dx   x(a  x n ) , việc giải tích phân thực phương pháp tách ghép sau:    dx x n 1dx  1  n xn  n  ln   dx  n n  a.n   x n x n  a  a.n x n  a  x( a  x )  x (a  x )    +) Khi tích phân đưa dạng  f (a  b sin  k x).sin k 1 x.cos xdx ta nghĩ tới việc đặt t  a  sin k x theo Cách  sin 3x dx  cos x 3) I   Phân tích hướng giải: Dưới dấu tích phân có  cos x sin 3x nên ta nghĩ đưa góc x Do ta biến đổi sin 3x  3sin x  4sin3 x  sin x.(3  4sin x)  sin x.(4cos x 1) Khi sin 3x 4cos x   sin x  cos x  cos x  Như với cách biến đổi ta đưa tích phân dạng  f (cos x).sin xdx dùng cách đổi biến  t  cos x , song với toán ta “linh hoạt” đặt t   cos x Vì ta có lời giải sau: Giải:    2 sin 3x sin x.(3  4sin x) 4cos x  dx   dx   sin xdx +) Ta có : I    cos x  cos x  cos x 0 +) Đặt t   cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; Đổi cận x   t  ; x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12   t 1 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 4(t  1)2  4t  8t  3  dt   dt    4t    dt   2t  8t  3ln t   2  3ln t t t 1 1 2 +) Khi I   Vậy I3  2  3ln  sin x dx (sin x  cos x)(2 cos 2 x  3) 4) I   Phân tích hướng giải:  sin 2 x Ta không xa lạ với công thức sin x  cos x   sin 2 x  sin 2 x  cos2 x  2 Vì mẫu số dấu tích phân chuyển hết hàm chứa sin 2x cos2 2x Ở tử  sin x  2sin x cos x Như ta chuyển tích phân dạng  f (sin x).cos xdx Song với   f (sin toán nhìn theo dạng 2 x).sin x cos xdx Qua ví dụ trước ta thấy chuyển tích   f (a  b sin phân dạng k x).sin k 1 x cos xdx ta đặt t  a  b sin k x với toán cụ thể ta đặt t  sin 2 x Vì ta có lời giải toán sau: Giải:   4 2sin x cos x 4sin x cos x dx   dx +) Ta biến đổi I   2  sin x  (2sin x  1)   1  sin x  (2 cos x  3)    +) Đặt t  sin 2 x  dt  4sin x cos xdx  Đổi biến x   t  ; x   t  dt 2t   2(t  2)   t 2   dt       ln +) Khi I   dt  ln t   (2t  1)  t   (2t  1)  t  2t   2t   1 Bài Tính tích phân sau:   ( x  cos x)sin x 1) I1   dx cos x ( x  2sin x  3) cos x dx sin x 2) I      2 3) I   sin x cos xdx 4) I   0 sin x dx  cos x   5) I     cos x  sin xdx 6) I    cos x.ln(1  sin x) dx sin x   3sin x  sin x dx (cos x  3cos x  1)(3  2sin x) 7) I   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt cos 3x dx  sin x 8) I8   Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   x  sin x 9) I   dx  cos x 10) I10    dx 3sin x  sin x   11) I11    2sin x dx (sin x  cos x ) dx cos x  sin x 12) I12     tan x dx 13) I13    cos x 14) I14   4sin x cos x  sin x dx sin x  2sin x    3cos x  2sin x 15) I15   dx 3sin x  cos x  sin x dx cos x 16) I16     sin x  sin x 17) I17   cos x  2sin x  sin x dx (1  cos x )(1  cos x )   3cos x 18) I18   dx Giải      4 4 ( x  2cos x)sin x x sin x sin x x sin x d cos x 1) I1   dx  dx  dx  dx   A  B (*) 2     cos x cos x cos x cos x cos x 0 0  +) Tính A   x sin x dx cos x u  x du  dx   Đặt   sin x sin x d cos x dv  dx v   dx      2 cos x cos x cos x cos x     4   x dx 2 cos xdx 2 d sin x Suy A       cos x 0 cos x cos x (1  sin x) 0  2  1  2 1  sin x      ln d sin x    sin x  sin x   sin x   2  ln(2  2)  ln (1)  +) Tính B   d cos x   ln cos x cos x  2) I      ln 2  (2) Thay (1), (2) vào (*) : I1  2  ln(2  2)  ln  ( x  2sin x  3) cos x x cos x (2sin x  3) cos x dx  dx  dx  A  B (*) 3   sin x sin x  sin x  4  +) Tính A    u  x du  dx   Đặt   cos x cos x d sin x dv  dx v   dx     3 sin x sin x sin x 2sin x   x cos x dx sin x    x dx 1    cot x  Suy A   (1) 2   2sin x   sin x 2 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân   (2sin x  3) cos x  2   dx   +) Tính B      d sin x      2  (2)  sin x sin x   sin x 2sin x      sin x 4 Thay (1) (2) vào (*) ta được: I  2   3) I   sin x cos xdx 1  cos x  cos x +) Ta có : sin x cos x  sin 2 x cos x   4 2 1 1   1  cos x  cos x  cos x  16  2  +) Khi  cos x  cos x  cos x  cos x 16   4 1 1 1 1  4  I   1  cos x  cos x  cos x  dx   x  sin x  sin x  sin x    16  2 16  4 12   64 48  4) I   sin x dx  cos x Cách trình bày 1: +) Đặt t  cos2 x  dt  2sin x cos xdx  sin xdx  dt  Đổi cận x   t  x   t  dt +) Khi I     ln  t  ln 4t  Cách trình bày 2: I    sin x d (4  cos x) dx     ln  cos x 2   cos x  cos x   ln  5) I     cos x  sin xdx 2 Cách trình bày 1: +) Đặt t  cos x  dt   sin xdx ; Đổi cận x   t  x   t 0  1 0 +) Khi I   (2  cos x) cos x.sin xdx  2 (2  t ) t.dt 2   t  4t  4t  dt  t6  19    t  2t   6 0 Cách trình bày 2: +) Đặt t   cos2 x  dt   sin xdx ; Đổi cận x   t  x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt  t 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) 3 t3 19 +) Khi I1   t dt   32 2 Vậy I  Nguyên hàm – Tích phân 19   Cách trình bày 3: I     cos x  sin xdx      cos x  d   cos x    2 2   cos x    19  cos x.ln(1  sin x) dx sin x 6) I     ; x   t 1 2 dt  u  ln(1  t ) du    1 t  Đặt  dt dv   v   t2  t +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  ln(1  t ) dt t2 1 Suy I    t  ln(1  t ) dt 1     ln  2ln     Khi I    dt t  t t 1  t (t  1) 1 2 t   ln  2ln  ln t 1 1  3ln  4ln Vậy I  3ln  4ln   3sin x  sin x sin x.(3  2cos x) dx  dx 2  (cos x  3cos x  1)(3  2sin x ) (2cos x  3cos x )(3  2sin x ) 0 7) I       sin x.(3  2cos x)  sin x cos x dx  dx   sin xdx 2 2    cos x.(3  2cos x)(1  2cos x) cos x (1  2cos x ) cos x (1  2cos x ) 0 Đặt t  2cos x  dt  4sin x cos xdx  sin x cos xdx   Đổi cận x   t  ; x    t   dt 1  t Khi I       dt  ln t (t  1)  t t   t 1  dt  2   ln 2   cos 3x 4cos x  3cos x cos x.(4cos x  3)  4sin x dx  dx  dx  0  sin x 0  sin x 0  sin x cos xdx  sin x 8) I8   2 +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x   t  ; x    t 1  4t 4(t  1)  dt dt  dt  4 dt  4  4  A Khi I8   2  1 t 1 t 1 t 0 0 1 1 dt 1 t2 Tính A   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân du    +) Đặt t  tan u với u    ;   dt   (1  tan u )du cos u  2     tan u   Đổi cận t   u  ; t   u  Khi A   , suy 4A   du  du  u   tan u 0     4 x  sin x x sin x 9) I   dx   dx   dx  A  B  cos x  cos x  cos x 0   4 x x +) Tính A   dx   dx  cos x cos x 0 u  x du  dx   Đặt  dx   dv  v  tan x   2 cos x     4  x sin x  d cos x  Khi A  tan x   dx      ln cos x 2 cos x cos x   sin x d (1  cos x) +) Tính B   dx    dx   ln  cos x  cos x  cos x     ln   ln 2  1   ln  ln   ln 8 Vậy I     2 3  dx dx sin xdx sin xdx   10) I10     3sin x  sin x  sin x.(3  cos x)  sin x.(3  cos x)  (1  cos x).(3  cos x ) Đặt t  cos x  dt   sin xdx   Đổi cận x   t  ; x   t  2 2   dt dt      dt (t  1)(t  1).(3  2t )  2(t  1) 10(t  1) 5(2t  3)  (1  t ).(3  2t ) 0 Khi I10   2 1    ln t   ln t   ln 2t    ln  ln 10 5 2  10  11) I11   dx cos x  sin x Đặt t  sin x làm tương tự I10 ta đáp số I11   108 ln 12 25   2sin x cos x dx  dx  (sin x  cos x) (1  sin x) 0 12) I12   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Đặt t   sin x  dt  2cos xdx  cos xdx  Nguyên hàm – Tích phân dt  ; Đổi cận x   t  ; x   t  2 2 dt 1 Khi I12      2t 2t     tan x sin x sin x  sin x  dx   dx  cos xdx  13) I13     cos xdx    cos x  cos x  cos x    sin x  4 6 6 +) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  I13  2    t  dt     1 t  2 2        dt   t  t 1  t  2   ; x t  Khi  1   (t  1)  (t  1)  t   dt    1 1  1 1 t 1  2 63    dt     ln    ln    (t  1) (t  1) t  t    t 1 t 1 t 1  2    2   14) I14   4sin x cos x  sin x 2sin x cos x.(2sin x  1) dx  0 (sin x  1)(sin x  3) dx sin x  2sin x  +) Đặt t  sin x  dt  2sin x cos xdx ; Đổi cận x   t  ; x    t 1 2t  1 7(t  1)  (t  3)   dt   dt      dt (t  1)(t  3) (t  1)(t  3)  t  t 1  1 Khi I14   1 7 ln t   ln t    ln  ln  2ln  ln  4 4 Chú ý : Ở ta sử dụng kĩ thuật đồng hệ số cách phân tích : a  b  2t   a(t  1)  b(t  3)    a  b  4 a  3b     3cos x  2sin x (3  4sin x) cos x 15) I15   dx   dx 3sin x  cos x  2sin x  3sin x  0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x   t  ; x       t  Khi  sin x sin x(1  cos x)  cos x   2 dx  dx  tan x  sin x dx  1      dx 2    cos x cos x cos x   0 0 16) I16   4 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân  cos x   10  3        dx   tan x  sin x  x   cos x 2 0  0   sin x  sin x 17) I17     3cos x dx    sin x(1  2cos x)   3cos x 4cos x  dx     3cos x sin xdx 2tdt  2tdt  3sin xdx  sin xdx   +) Đặt t   3cos x  t   3cos x   cos x  t    Đổi cận x   t  x   t  2 t 1 1 2 2tdt 4t  7t   +) Khi I17     dt    4t  4t    dt  t t  t    1   4t 2    2t  3t  3ln t     ln 9  27     cos x  2sin x  sin x cos x  2sin x(1  cos x) dx sin x dx   dx   dx   (1  cos x)(1  cos x) 20 (1  cos x).cos x  cos x cos x 18) I18      dx d cos x  x 3 3      tan   1 Vậy I18    cos x cos x  2 cos x  6  Bài Tính tích phân sau: 1) I1    cos x dx   sin x  cos x 2) I   4(sin x  cos x)  cos x dx 2(sin x  cos x  1)  sin x Giải   1) I1   cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x) dx   dx   sin x  cos x   sin x  cos x sin x  cos x  t   Đặt t   sin x  cos x  t   sin x  cos x   x :  t :  (cos x  sin x)dx  2tdt  t3  26 (t  1) t t    I1   2tdt 2 dt 2  t  2t    12 ln  dt 2   t  3t  6ln t    2t t 2 t 2 3  0 0 CHÚ Ý : Việc đặt t   sin x  cos x I1 ta gộp công đoạn đặt t  sin x  cos x u   t   (sin x  cos x) 1  (sin x  cos x)  4(sin x  cos x)  cos x dx   dx 2) I   2(sin x  cos x  1)  sin x 2(sin x  cos x  1)  sin x 0 dt  (sin x  cos x)dx   Đặt t  sin x  cos x   x :  t : 1  1 t2 sin x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) 4t  2t 12  (2t  4) 12 2t  dt   dt   dt   dt   dt 1 1 t t  4t  t  4t  (t  1)(t  5) t  4t  1 1 1 1 2(t  1)  Suy I  Nguyên hàm – Tích phân 0 0  d (t  4t  5)  t 1    2     2ln  ln t  4t    5ln  3ln  dt   t 1 t   t  4t  t 5   1 1  1 0 ( Các bạn phân tích  2t  2t A B      2t  A(t  5)  B(t  1) t  4t  (t  1)(t  5) t  t  A 1  2t Chọn t 1; 5 ta  hay )   t  4t  t  t   B  3 Bài Tính tích phân sau:   4 cos x 1) I1     sin x cos  x      4  2) I   dx   cos  x   8  dx  sin x  cos x 3)   tan x dx 3(1  tan x)  4sin x I3   Giải :   4 (cos x  sin x)(cos x  sin x) cos x  sin x dx   dx 2 sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  1) I1   cos x 1  sin x  cos  x     2  d  sin x  cos x   sin x  cos x    4 dx      sin x  cos x 1 (các bạn trình bày theo cách đặt t  sin x  cos x ) Vậy I1    2) I        cos  x    cos  x   8 4   dx   dx 2  sin x  cos x  sin x  cos x      cos  x   4   1 dx 4     dx    A  B    sin x  cos x  sin x  cos x       +) A      dx dx dx      tan  x      0  sin x  cos x  cos  x    2 cos  x    2      4 8   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 tan  - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân      cos  x   cos  x   4 4   dx   dx +) B      sin x  cos x 0  sin  x   4  Ta B  theo cách sau : Cách :     dt    Đặt t  sin  x    dt  2cos  x   dx  cos  x   dx  4 4 4    Đổi cận x :  Cách :Đặt t   B   t : 2  2  x  dt  dt t : Suy B  ( t :  2 )  2  , suy    3   cos   2t   cos  2t   4    dt   dt   B  B   B  B       cos t  sin t  sin   2t   cos   2t  2  2     cos  x   cos x  sin x 4  dx  dx  sin x  cos x 0  sin x  cos x  Cách : B     d (  sin x  cos x)   ln  20  sin x  cos x Khi I  tan  sin x  cos x 0   1   2    tan x cos x  sin x 3) I   dx   dx 3(1  tan x)  4sin x 3(sin x  cos x)  2sin x 0 dt  (cos x  sin x)dx +) Đặt t  sin x  cos x   sin x  t  Đổi cận x   t  x  +) Khi I     t  2 dt dt   3t  2(t  1) 2t  3t      2t   t  dt  ln  2(t  2)  (2t  1) dt (t  2)(2t  1) 2t  1 65  ln t 2  Bài Tính tích phân sau: sin x  cos3 x dx  sin x I1   Giải  sin x  cos3 x (sin x  cos x)(1  sin x cos x) Ta có I1   dx   dx  sin x  (sin x  cos x) 0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dt  (cos x  sin x)dx  +) Đặt t  sin x  cos x   ; Đổi cận x   t  1 x    t  1 t2 sin x cos x   1 t2 1 dt t 1    3 1  +) Khi I1     dt   1   dt   1    dt 4t 1 t  1  t   1   t  t    1 1 1 t 2  3   t  ln   ln Vậy I1   ln   t   1 4 Bài Tính tích phân sau:   sin  x   4  2) I   dx  sin x   cos x dx sin x  cos x  1) I1   x  cos    2 4 dx 4) I   x   sin      sin x 2 4   3) I    sin x  cos x dx  sin x Giải cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x) 1) I1   dx   dx sin x  cos x  sin x  cos x  0   Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx ; Đổi cận x   t  x    t  1 1 1 1 t   dt   1  dt  t  3ln t   2  3ln Khi I1      t 3 t 3 1      sin  x   sin x  cos x sin x  cos x 4  dx  dx  dx 2) I    sin x 0 (sin x  cos x)2 0 sin x  cos x   d (sin x  cos x)   ln sin x  cos x  sin x  cos x  3) I      ln 2  sin x  cos x sin x  cos x dx   dx  sin x  (sin x  cos x)  4 Đặt t  sin x  cos x  dt  (sin x  cos x)dx Đổi biến x  Khi I     t  x    t 1 dt  t2 dt  2cos udu     Đặt với t  2sin u với u    ;    2  2    t  4cos u  2cos u  2cos u Đổi cận t   u  t   u   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 17 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân   cos udu  Suy I   Vậy I    du  cos u 6 0  x  x x cos    sin  cos 2 4 2 dx  dx 4) I    x  x x     sin  sin x   sin  cos      sin x 2 2 4    1 x x x x  x x dt   cos  sin  dx   sin  cos  dx  2dt 2 2 2 +) Đặt t  sin  cos    2  sin x   t Đổi cận x   t   +) Khi I    x   t  2  2dt  11 t  t   2 0  dt  t2  t   2  t2   ln  dt  t  t 1  t 1 2     2 (t  1)  (t  2) dt (t  1)(t  2)   2 10  2 10  ln Vậy I  ln 7 Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 18 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng - [...]... 1   1  2     2ln  ln t 2  4t  5   5ln 2  3ln 5  dt   2 t 1 t  5  t  4t  5 t 5   1 1  1 0 0 ( Các bạn có thể phân tích 8  2t 8  2t A B     8  2t  A(t  5)  B(t  1) t  4t  5 (t  1)(t  5) t  1 t  5 2 A 1 8  2t 1 3 Chọn t lần lượt bằng 1; 5 ta được  hay 2 )   t  4t  5 t  1 t  5  B  3 Bài 7 Tính các tích phân sau:   4 4 cos 2 x 1) I1    0... tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) 4t 8  2t 12  (2t  4) 12 2t  4 dt   2 dt   2 dt   dt   2 dt 2 1 1 t t  4t  5 t  4t  5 (t  1)(t  5) t  4t  5 1 1 1 1 2(t  1)  2 0 Suy ra I 2  Nguyên hàm – Tích phân 0 0 0 0 0 1  d (t 2  4t  5)  t 1 ...   ln t  1  ln t  1  ln 2t  3   ln 3  ln 2 10 5 5 2  1 10 2  6 11) I11   0 dx 4 cos x  sin 2 x Đặt t  sin x và làm tương tự như I10 ta được đáp số I11   1 108 ln 12 25  4 1  2sin x cos 2 x dx  dx 4  (sin x  cos x) (1  sin 2 x) 2 0 0 4 12) I12   2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến... Đặt t  sin x  cos x   2 sin 2 x  t  1 Đổi cận x  0  t  1 và x  2 +) Khi đó I 3   1  1 5  4 t  2 2 dt dt 1  2  2 3t  2(t  1) 2t  3t  2 5 1 2  2 1  1   2t  1  t  2 dt  5 ln 1 2  1 2(t  2)  (2t  1) dt (t  2)(2t  1) 2 2t  1 1 6 5 2  ln t 2 1 5 6  Bài 8 Tính tích phân sau: sin 3 x  cos3 x dx 3  sin 2 x 0 I1   Giải  sin 3 x  cos3 x (sin x  cos x)(1  sin... 2 10) I10   2   3sin x  sin 2 x  sin x.(3  2 cos x)  sin x.(3  2 cos x)  (1  cos x).(3  2 cos x ) 3 Đặt t  cos x  dt   sin xdx  1  Đổi cận x   t  ; x   t  0 3 2 2 1 2 1 2  1  dt dt 1 4      dt (t  1)(t  1).(3  2t ) 0  2(t  1) 10( t  1) 5( 2t  3)  1 (1  t ).(3  2t ) 0 0 Khi đó I10   2 2 0 1 2 9 6 1    ln t  1  ln t  1  ln 2t  3   ln 3  ln 2 10. ..  x    2 2      4 8   4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4 Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 4 tan  8 2 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân      cos  2 x   cos  2 x   4 4 4   dx   dx +) B     2  sin 2 x  cos 2 x 0 0 2... 0 0 0 4 16) I16   4 4 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4 Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân  cos 2 x 3  1 3  4 10  3  1       dx   tan x  sin 2 x  x   2 cos x 2 2 4 2 0 8  0 4   sin 2 x ... t 1  3 t 1 2   2 0   2 2 0 (t  1)  (t  2) dt (t  1)(t  2) 2   2 2 10  6 2 2 10  6 2 ln Vậy I 4  ln 3 7 3 7 Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | 18 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam 5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng Chủ... đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10. 000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là các khoá học trang bị toàn bộ kiến thức cơ bản theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào một số kiến thức trọng tâm của kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 Là các khóa học... t 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 dt 1 t2 0 Tính A   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân du    +) Đặt t  tan u với u    ;   dt   (1  tan 2 u )du 2 cos u  2 2   4  1  tan 2 u  4 