Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 04) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 04) thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng  cos x dx Bài Tính tích phân sau : 1) I1      sin x sin  x   4  Giải :  2) I   tan x  dx sin x  sin x  3cos x  cos x dx 1) I1      sin x sin  x   4     cos x cos x cot x dx dx   dx       sin x  sin x  cos x    cot x sin x sin x sin x    6 4  dx   +) Đặt t  cot x  dt   ; Đổi cận x   t  x   t  sin x 4 +) Ta có: I1   +) Khi I1   t2 t 1 1   dt   dt    t    dt 1 t t 1 t 1  1  3  t2  1    t  ln t    2   ln 2 1 +) Vậy I1  2   ln 1 dx  x :  t :  cos x 1 1  t 3 7t   6(t  1)  t       I2   dt    t   dt  t   dt      t    dt   t  2t  t  2t   (t  1)(t  3)  t  t 1  0 0 0 +) Đặt t  tan x  dt   t2     2t  6ln t   ln t     ln  6ln 2 0 Bài Tính tích phân sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   dx cos x  sin x  cos x  dx 2) I     2sin x  cos x 1) I1    3) I   2 sin x 4) I   dx cos6 x 5) I    sin x  cos x  dx     sin x sin xdx  sin x  cos x  6) I    dx sin x.cos3 x Giải :  dx cos x(sin x  cos x) 1) I1   Cách trình bày 1:   6 dx dx +) Ta có : I1    cos x(sin x  cos x) cos x(tan x  1) +) Đặt t  tan x  dt  +) Khi I1  3  +) Vậy I1  ln dx  ; Đổi cận x   t  x   t  cos x dt 3  ln t  03  ln t 1 3 3     dx dx d (tan x  1) 3  ln    ln tan x   cos x(sin x  cos x) cos x(tan x  1) tan x  6 Cách trình bày 2: I1   dx  2) I     2sin x  2cos x  Đặt t  tan x  dt  dx   tan x  tan x  cos2 x    tan  dx x  tan x  cos x dx  ; Đổi cận x    t  1 x   t  cos x dt (t  1)  (t  3)  1  t 3   dt     Khi I   dt  ln t  4t  1 (t  1)(t  3) 1  t  t   t 1 1 0   3 3) I    sin x sin x  cos x dx    0  ln 2 1  cos3 x  sin x dx    tan x   tan x  tan x  dx cos x  3dx dx dt   dt  2  cos x cos x ; Đổi cận x   t  x    t  +) Đặt t  tan x     tan x  t   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân t 1 1 1 1 1  +) Khi I   dt      dt       31 t 1t t   t 2t  32 4    4 sin x sin x dx 4) I   dx     tan (1  tan x)d tan x 2 cos x cos x cos x cos x 0    tan x tan x     tan x  tan x d tan x       15  3    2 5) I    sin xdx  sin x  cos x    4 sin xdx sin x 1  cot x      sin xdx sin x 1  cot x  3   dx sin x 1  cot x       d (1  cot x) 1  cot x   2 1  cot x    3 Vậy I  8 ( Ngoài bạn tính I theo Cách sau :   I5     sin x  cos x    4 Đặt t  x  I5  3 2     sin xdx sin xdx      sin  x        dt  dx x :     t :  2 sin xdx  3 sin x    4    3 Khi đó: 3 3   3  34  sin  t   4 dt d sin t      dt  sin t  cos t dt       cot t    ) sin t  sin t   sin t  sin t   2sin t   2 2      3 dx dx 1 dx  tan x dx    6) I   2    tan x cos2 x  sin x.cos x  tan x.cos x  tan x cos x cos x  4 +) Đặt t  tan x  dt    dx x :  t :1  cos x 3  1 t2 t2  1  dt     t  dt   ln t     ln +) Khi I   t t  1  1  Nhận xét: +) Ba ý I3 , I , I5 biểu thức dấu tích phân đơn giản, nên ta sử dụng kĩ thuật vi phân  +) Ở tích phân I đổi lại đề (đổi lại cận) I    đổi I   sin xdx  sin x  cos x  cách làm việc biến  sin xdx  sin x  cos x   sin xdx sin x 1  cot x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt không xác sin x  x  Lúc ta biến Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)   đổi theo cos x sau I    sin xdx  sin x  cos x   Nguyên hàm – Tích phân  sin xdx cos x  tan  1   sin xdx cos3 x  tan  1  tan xdx cos x  tan  1  …Nếu tiếp tục đổi lại cận I   sin xdx  sin x  cos x  cách biến đổi theo cos x không xác Song Cách phát huy tác dụng Ngoài ta cách giải khác (sẽ nói kĩ lớp tích phân đặc biệt) Bài Tính tích phân sau:   sin x dx (2  tan x)3 cos5 x 1) I1    tan x 2) I   cos x  cos x  dx 3) I      dx 4) I   sin x  3cos x sin x dx 5sin x cos x  cos x  tan x 6) I   dx  cos x sin x 5) I   dx cos x.(1  sin x) Giải   sin x tan x 1) I1   dx   dx (2  tan x)3 cos5 x (2  tan x)3 cos x 0 +) Đặt t   tan x  dt   tan x tan x dt  x :  t :  dx  dx   2 cos x cos x  tan x tan x  t dt    1 +) Khi đó: I1   dx        dt       (2  tan x) cos x t 2 1t t  2 t t 1 +) Vậy I1    3 2) I    tan x  cos x  cos x    2 cos x cos x   cos x   +) Đặt t   tan x  t   tan x  tdt  +) Khi đó: I   tdt  t tan x dx   dx    tan x cos x  tan x dx tan t   dt x :  t :  cos t  dt  t  2 +) Vậy I     sin x dx cos x   cos x sin x    sin x sin x   sin x sin x dx  3) I     5sin x cos x  cos x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)     Nguyên hàm – Tích phân dx  sin x 5cot x  cot x 1  cot x    dx sin x  cot x  5cot x  cot x  dx   Đặt t  cot x  dt   x :  t :  Khi : I  sin x  2t dt  5t  2t 1 A B C       A(t  2)(2t  1)  Bt (2t  1)  Ct (t  2) 2t  5t  2t t (t  2)(2t  1) t t  2t  Ta phân tích Lần lượt chọn x 0; 2;  1 ta được: A  ; B  C   , suy ra: 3 1  1  I3      dt   ln t  ln t   ln 2t     2t 6(t  2) 3(2t  1)  2 1  ln  ln(  2)  ln(2  1) 3  dx sin x  3cos x 4) I   Phân tích hướng giải: Ta nhận thấy biểu thức dấu tích phân 1   2 2 sin x  3cos x cos x.(tan x  3) sin x.(1  3cot x)  Nghĩa ta đưa tích phân hai dạng  f (tan x) dx (7*1) cos x   f (cot x) dx sin x (7*2) đảm bảo biểu thức dấu tích phân có nghĩa miền cần  ;   Song “trở ngại” toán cận x  x   làm cho cot x tan x nghĩa nên ta   không chuyển I dạng (7*1) (7*2) để nguyên miền cận 0;  Chỉ cần miền cận  2  ta chuyển dạng (7*2) miền cận ta đưa dạng (7*1) Điều khiến ta nghĩ tới việc tách cận để “khắc phục” điều nói Vì ta có lời giải sau: Giải :    dx dx dx   2 2   sin x  3cos x sin x  3cos x  sin x  3cos x I4     dx dx   A B 2  cos x.(tan x  3)  sin x.(1  3cot x)   dx cos x.(tan x  3) +) Tính A   dx  dt Đặt t  tan x  dt  cận x   t  ; x   t  Khi A   2 cos x t 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân    Đặt t  tan u với u    ;   dt  du  3(1  tan u )du cos u  2  Đổi cận t   u  ; t   u   Suy A     3(1  tan u ) 36 3 du  du  u   3(1  tan u ) 3 18  +) Tính B    dx sin x.(1  3cot x) dx   dt cận x   t  ; x   t  Khi B   sin x  3t Đặt t  cot x  dt   du 1     (1  tan u )du tan u với u    ;   dt  cos u 3  2  Đổi cận t   u  ; t   u  Đặt t      tan u 33 3 3 Suy B  du  du  u    3  tan u Vậy I  3 3 3   18   4 sin x tan x dx  dx 2  cos x (1  sin x ) cos x (sin x  cos x ) 0 5) I     tan x dx (1  tan x).tan x dx   2 2  cos x (tan x  1) cos x (tan x  1) cos x 0 Đặt t  tan x  dt  dx  ; Đổi cận x   t  x   t  cos x (1  t ).t t3  t 4t    dt  dt    t    dt 2  (t  1) t  2t  t  2t   0 0 1 Khi I   1   4(t  1)      t   dt   t    dt   (t  1)  t  (t  1)   0  t2     2t  4ln t       4ln t 1  2 Vậy I    4ln 2   tan x dx  6) I   0  cos x  tan x tan x tan xdx dx    tan x cos x   cos x   1  cos x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Đặt t   tan x  dt  Nguyên hàm – Tích phân tan xdx tan xdx dt    ; Đổi biến x   t  x   t  2 cos x cos x t  dt   1   1  dt   t  2ln t    ln t 2 2 t  2 2 3 Khi I     1) I1   Bài Tính tích phân sau:  dx 2) I   sin x.cos5 x  sin x  sin x cot xdx sin x Giải  dx 1) I1    sin x.cos5 x  Phân tích hướng giải: Tích phân có dạng I   m n   ta nghĩ tới việc biến đổi tích phân dạng   dx (với m  3; n  ) m n sin x.cos x f (tan x)dx (7*1) dạng cos x    f (tan x)dx cos x (7*2) Trong lời giải toán ta chọn cách đưa dạng (7*1) Giải:    3 dx  I1    dx sin x.cos x   sin x    cos x cos x       3  dx   tan d tan x  4 tan x 3  tan x cos x  4   1 4  2) I    sin x  sin x cot xdx sin x   +) Biến đổi I     sin x  sin x cot x cot x dx dx    dx    cot x cot x sin x sin x sin x sin x sin x   3 3 dx dx   dt sin x sin x   +) Đổi cận x   t  ; x t 0 3 +) Đặt t  cot x  dt   +) Khi I   3 3 3 t t.(dt )    t dt   t  ( x  x)e dx x x  e Bài Tính tích phân sau: I   x Giải : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ( x  x )e x ( x  x )e x ( x  x )e x xe x ( x  1)e x dx  dx  dx  0 0 xe x  0 xe x  dx x  e x x x e x +) Đặt t  xe   dt  (1  x)e x dx ; Đổi cận x   t  x   t  e  1 I5   +) Khi I  e 1  1 t 1 dt  t e 1  1 e 1  1 1  dt   t  ln t   e  ln(e  1)  t Vậy I5  e  ln(e  1)   2sin x dx (B – 2003)  sin x 1) I1   Bài Tính tích phân sau:  sin x.cos x dx (B – 2005)  cos x 2) I   3) I   x  e x  x 2e x dx (A – 2010)  2e x Giải   2sin x dx (B – 2003) 1) I1    sin x  dt  cos x dx ; Đặt t   sin x  dt  2cos xdx  cos xdx  x :   sin x Ta có: I1   t :1   I1  2 1 dt  ln t  ln  21 t  sin x.cos x dx (B – 2005)  cos x 2) I     cos x.sin x dx ; Đặt t   cos x  dt   sin xdx x :  Ta có: I   t :   cos x 2  t2 (t  1)2 1  (dt ) 2  t    dt    2t  ln t t t 2 1  I  2 3) I   2   1  2ln 1 x  e x  x 2e x dx (A – 2010)  2e x x (1  2e x )  e x e x dx x3 dx  x dx   I  I Ta có : I   x x    2e  2e 3 0 1 1 e x dx Tính I    2e x Khi đó: I  1 e  x x x Đặt t   2e  dt  2e dx  e dx  dt  ln t t 1 e dt x :  t :   2e 1 2e  1 2e   ln  I3   ln 3 Bài Tính tích phân sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) e e ln(ex) 1) I1   dx  x ln x 2) I   Nguyên hàm – Tích phân x3    x  1 ln x  x ln x ( x3  1) ln x  x  dx 3) I    x ln x dx (3x3  1) ln x  3x  dx 4) I    x ln x e e   x sin x  x cos x  sin x  5) I   dx x sin x  (sin x  cos x  1)  (2 x cos x  1) ln x dx sin x  x ln x 2 6) I    x ln x  x ln x  x  dx x  x ln x e 7) I   2ln x  ln x dx x( x  ln x) e 8) I8    9) I    2( x  1) tan x  x(2 tan x  x) dx x(2 tan x  x) ( x 2e x  x  1)e x dx xe x  1 10) I10   ( x  x )e x 11) I11   dx x  e x 12) I12   x 1 dx x e  2x x  cos x  x sin x dx 13) I13    ( x  cos x) 14) I14   x x  ln x e2 x  e2 x 15) I15   x x dx xe  e 16) I16    x  ln x   dx x   ln x dx ( x ln x  2) Giải e ln(ex) dx  x ln x 1) I1   +) Vì (1  x ln x) '  2ln x   2(1  ln x)  2ln(ex) nên ln(ex) d (1  x ln x) 1 dx    ln  x ln x  ln(1  2e)  x ln x 1  x ln x 2 1 e e e I1   +) Vậy I1  ln(1  2e) e 2) I   x3    x  1 ln x  x ln x e dx   x3 (2  x ln x)   ln x  ln x   dx    x3  dx  x ln x  x ln x  1 e e  e2  e2 d (2  x ln x)  x  ln   x dx      ln  x ln x   2  x ln x  1 1 e e e2  e2  ln Vậy I  CHÚ Ý: Nếu biểu thức dấu tích phân đơn giản, bạn bỏ qua bước đổi biến kĩ thuật vi Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân  u' du  dx    ln u   ?  u  u phân Ở I ta sử dụng : I   ( x3  1) ln x  x  x (2  x ln x)   ln x  ln x dx  dx   x dx   dx 1   x ln x  x ln x  x ln x 1 e e 3) I  e e e  d (2  x ln x)  x3 e3  e2   x dx      ln  x ln x    ln  x ln x  1 1 e e (3x3  1) ln x  3x  dx 4) I    x ln x e bạn làm tương tự I ta đáp số I  e3   ln(1  e)   2 x sin x  x cos x  sin x  2( x sin x  1)( x sin x  1)  ( x cos x  sin x) dx   dx x sin x  x sin x  2 5) I     sin x  x cos x dx  A  B x sin x    ( x sin x  1)dx      2 0 +) Tính A   ( x sin x  1)dx   x sin xdx   dx     u  x du  dx    Đặt  , suy A   x cos x 02   cos xdx  x 02   sin x 02    2 dv  sin xdx v   cos x    sin x  x cos x d ( x sin x  1)   +) Tính B   dx    ln x sin x  02  ln   1 x sin x  x sin x  2  0   Vậy I     ln   1 2    (sin x  cos x  1)  (2 x cos x  1) ln x cos x.(sin x  x ln x)   cos x  ln x dx   dx 6) I   sin x  x ln x sin x  x ln x   6     2  cos x  ln x d (sin x  x ln x)   cos xdx   dx   cos xdx   sin x  x ln x   sin x  x ln x   2 6    2sin x  ln sin x  x ln x  2   ln 1  ln  2    ln 6 x ln x  x ln x  x  ( x  x ln x) ln x  ( x  1) dx   dx 7) I   x  x ln x x  x ln x 1 e e e e 1   ln xdx   x 1 dx  A  B x( x  ln x) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dx  e u  ln x du  e e +) Tính A   ln xdx Đặt   x , Suy A  x ln x   dx  e  x  dv  dx v  x 1  e e 1 e x 1 x dx  d ( x  ln x)  ln x  ln x e  ln(e  1) +) Tính B   dx   1 x  ln x x( x  ln x) x  ln x 1 e Vậy I   ln(e  1) 2ln x  ln x dx x( x  ln x) e 8) I8   +) Đặt t  ln x  dt  dx ; Đổi cận x   t  ; x  e  t  x 2t  t et  2t  (et  t ) et  2t +) Khi I8   t dt   dt  0 et  t dt  0 dt e t et  t 0 1 1 d (e t  t )   dt  ln(et  t )  t   ln(e  1)  t e t 0 1   9) I     2( x  1) tan x  x(2 tan x  x) (2 x tan x  x )  (2 tan x  x tan x) dx   dx x(2 tan x  x) x tan x  x  4   3     dx   tan x  x tan x dx  A  B x tan x  x    +) Tính A   dx  x 3   12  +) Tính B     tan x  x tan x d (2 x tan x  x ) dx   ln x tan x  x 2  x tan x  x x tan x  x  Vậy I   12  ln    ln 16(  3) 9(  8) 16(  3) 9(  8) ( x 2e x  x  1)e x ( x 2e2 x  xe x  1)  (e x  1) dx  dx 10) I10   0 xe x  xe x  1 ( xe x  1)2  (e x  1) ex 1 x dx  ( xe  1) dx  dx  A  B x x   xe  xe  0 1  1 1 1 +) Tính A   ( xe x  1)dx   xe x dx   dx   xe x dx  x    xe x dx 0 0 u  x du  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Khi A   xe x   e x dx   e  e x   e  (e  1)  1 0 1  1 dx x  x e 1 e   e dx   ln x  x +) Tính B   x dx    1 xe  e 0 x x x x e e Vậy I10   ln(e  1) 1 x 1  ln e 1  1  ln(e  1) e ( x  x )e x ( x  x )e x ( x  x )e x ( x  x )e x x 2e x ( x  x)e x dx dx  dx  dx  dx  0 0 x2e x  0 x2e x  0 x  e x x 2e x  x  x e x x +) Đặt t  x e   dt  ( x  x)e d ; Đổi cận x   t  x   t  e  1 11) I11   +) Khi I11  e 1  t 1 dt  t e 1  1 1 e 1  1 1  dt   t  ln t   e  ln(e  1)  t Vậy I11  e  ln(e  1) 12) I12   2  x 1 ( x 2e x  x)  ( x 2e x  2) 1 x 2e x  dx  dx  dx  dx   x x x   x e  2x 21 x e  2x 21 x e  2x    x 2   x e  d e    1 2 x   1  x dx   1   x1    ln e x    2 x ex    ex   2   x x      1 e2   ln 2 e2 1 e2   ln 2 e2 Vậy I12    cos x  cos x  x sin x  2 d 1  cos x  x sin x x   x dx   dx     13) I13   2 cos x cos x  cos x   ( x  cos x )     1     3   x x  x      3  2 Vậy I13  14) I14    x  ln x  x x  ln x  dx   x  ln x    dx  x 1 x x  ln x   Vậy I14  ln 15) I15    3  2  dx x 1 1 x  1 x x  ln x dx 4  x 1 4 d x  ln x dx dx x x    dx      ln x x  ln x x x  ln x x  ln x 1     ln  ln  ln x  e2 x dx xe x  e2 x Ta có: I15   x  e2 x x  e x  e x (1  e x ) dx  e x d (x  ex ) x dx  dx   dx  e dx  0 e x ( x  e x ) 0 e x 0 x  e x 0 0 x  e x xe x  e2 x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 1 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1      x  ln x  e x     ln(1  e) Vậy I15    ln(1  e) e e  e 0 e2 16) I16   x   ln x dx ( x ln x  2) e2 e2 e2 x   ln x x2  ln x dx   dx   dx  A  B (*) +) Ta có I16   2 ( x ln x  2) ( x ln x  2) ( x ln x  2) 1 e 2   e e e2 d  ln x   x2 1 x +) Tính A   (1) dx   x x dx      2 2 ( x ln x  2) 2e  2 2 1   ln x   ln x    ln x   x1 x x   2 e2 e2 e2  ln x d ( x ln x  2) 1 dx      +) Tính B   (2) 2 ( x ln x  2) ( x ln x  2) x ln x  2 2e  1 +) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I16  Bài Tính tích phân sau:   ( x  1)sin x  x sin x dx  cos x 3 1) I1   2) I   x  2sin x.(cos x  x sin x) dx  sin x sin 3x Giải :     ( x  1)sin x  x sin x x sin x.(1  2cos x)  sin x sin x dx   dx   x sin xdx   dx  A  B  2cos x  2cos x  2cos x 0 0 3 1) I1   (*)  u  x du  dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x +) Tính A   x sin xdx   Khi A   x cos x 03   cos xdx       sin x 03    (1)  3 sin x 2sin x cos x dx   dx  cos x  cos x 0 +) Tính B   Đặt t   2cos x  dt  2sin xdx  sin xdx   dt  cận x :  t :  2 3 t  dt   1   1   dt   t  ln t    ln Khi B   t 2 2 t  2 2 3 Thay (1), (2) vào (*) ta được: I1  (2) 1    ln 2  2) I   x  2sin x.(cos x  x sin x) dx  sin x sin 3x Ta có: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x  2sin x.(cos x  x sin x)  x.(4sin x  1)  sin x   1  cos x   cos x sin 2 x  cos x (4sin x  1) cos x  sin x sin x   cos x  cos x        2 4    3  x.(4sin x  1)  sin x x sin x   dx    dx   dx    A  B  (*) Khi I   2 2 (4sin x  1) cos x (4sin x  1) cos x  0  cos x    u  x du  dx  Đặt  dx   dv  v  tan x  cos x  x +) Tính A   dx cos x   sin x  d cos x  Khi A  x tan x   dx     ln cos x cos x cos x  3     ln (1)    sin x cos x 3 sin x tan x cos x +) Tính B   dx  dx  d tan x 2   4sin x  (4sin x  1) cos x  tan x   0 cos x cos x  d 1  tan x     ln  tan x 1  tan x    ln (2)    3  ln  ln   Thay (1) (2) vào (*) ta được: I    ln 5   Bài Tính tích phân sau:   1) I1   e 4) I   x  sin x  sin x dx x  cos x 2 x  (1  2ln x) x  ln x x e 2  x ln x  dx  x ln x dx x  x ln x x  sin x  3cos x  2sin x dx x  cos x 2) I   5) I   1  ln x dx x  ln x e 3) I   e x (3x  2)  x  dx x e ( x  1)  x  6) I   Giải    x  sin x  sin x x  cos x  cos x  sin x  sin x ( x  cos x)( x  cos x)   sin x 1) I1   dx   dx   dx x  cos x x  cos x x  cos x 0 2 2 2 2   x2  2    ln    sin x  ln x  cos x    0   2 x  sin x  3cos x  2sin x x  4cos x  sin x  cos x  2sin x dx   dx 2) I   x  2cos x x  2cos x 0 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  2 ( x  2cos x)( x  2cos x)   2sin x  2sin x  dx   ( x  cos x)dx   dx x  2cos x x  cos x 0     2  d ( x  cos x)  x   ln   ( x  cos x)dx      2sin x  ln x  cos x   x  cos x  0 0 2  x ln x ( x  x ln x)   x 1 x   dx  dx   1  dx 2  x  x ln x x  x ln x x  x ln x  1 1 e e 3) I       1  1  e e 4) I   e 1  1  e  ln x    e e d x    x  ln  ln x   e  ln(e  1) x x dx  dx     1 1 1 x  1  ln x   ln x x x  x  (1  2ln x) x  ln x x  x ln x  e dx   x  x ln x  ln x   x  x x  x  ln x   x  ln x   x.( x  1) dx dx   x  x  ln x  e   e 1 e e e 1  1  d  x  ln x  x 1 dx  2e  1 x    dx   dx        1  x2  x  ln x 2  1 x2 1  x  ln x 2  x x  ln x  e2  e x  x  ln x      x   ln x  e e e  ln x  ln x x2 x2 dx  dx  5) I   1 ( x  ln x)( x  ln x) 1  ln x  ln x  dx x  ln x 1  1   x  x   e   ln x  dt     dx  ln x  x  x  +) Đặt t   ; Đổi cận x   t  ; x  e  t   x e  ln x  t   x 1 Suy I  e  1 dt  (2  t ).t e  1  t 1    dt  ln t 2 t t 2 1 1 e e 1  ln e 1 e x (3x  2)  x  dx x x 1 e ( x  1)  6) I   Phân tích toán: Dễ dàng nhận thấy cấu trúc mẫu số thuộc dạng nên việc biến đổi: e x (3x  2)  x  e x ( x  1)  x   e x (2 x  1) e x (2 x  1)   1 x e x ( x  1)  x  e x ( x  1)  x  e ( x  1)  x  f ( g ( x)).g '( x) e2 (2 x  1) chưa có dạng Vậy làm để chuyển x g ( x) e ( x  1)  x  dạng trên? Câu trả lời thường chia tử mẫu cho đại lượng thích hợp Lúc có lựa Lúc ta nhận thấy chọn: Chia cho e x ; Chia cho x  hay chia cho Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt x  ? Và việc nháp sau giúp ta biết lựa Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân e x (2 x  1) e x x   ' g '( x) e x (2 x  1) x     chọn phù hợp toán x  x g ( x) e ( x  1)  x  e x x   ex x 1  (ở f ( g ( x))  ) Như ta có lời giải sau: Giải:   e x ( x  1)  x   e x (2 x  1) e x (2 x  1) dx  dx  2 2 e x ( x  1)  x  dx  A  B e x ( x  1)  x  5 Ta có : I   5 +) Tính A   dx  x  e x (2 x  1) ex x 1  ' e x (2 x  1) x  dx   x dx  2 x dx +) Tính B   x x 1 x 1  x 1  e ( x  1)  e e  5  2 Vậy I   2ln    2ln e d ex x 1  ex x 1   x x    2ln 2e5  e2  2e5  e2  Nhận xét: Ở I , I , I I sau tách thành hai tích phân ta tích phân dạng    f ( g ( x)).g '( x) ta nghĩ tới việc chia tử mẫu cho lượng thích hợp để đưa dạng g ( x) Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng - [...]... 3  x x  x      3 3  2 Vậy I13  4 14) I 14   1  x  ln x  1 x 2 x  ln x  4 dx   1 2 x  ln x    dx  x 1 x 2 x  ln x   Vậy I 14  ln 1 15) I15   0 2  3 3  2  3 dx x 1 1 x  1 x 2 x  ln x dx 4 4  x 1 4 4 4 d 2 x  ln x dx dx x x    dx      ln x 1 2 x  ln x x 1 2 x  ln x 2 x  ln x 1 1 4    4  ln 1 4 2  ln 2 4 2  ln 2 x  e2 x dx xe x  e2 x 1 Ta có:... Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x  2sin x.(cos x  2 x sin x)  x.(4sin 2 x  1)  sin 2 x   1 1  cos 4 x  1  cos 2 x sin 2 2 x  cos 2 x (4sin 2 x  1) cos 2 x 1  sin x sin 3 x  1  cos 4 x  cos 2 x        2 2 4 4    3  3 x.(4sin x  1)  sin 2 x x sin 2 x   dx  4   dx   dx   4  A  B  (*) Khi đó I 2  4  2 2 2 2 2 (4sin x  1) cos x (4sin x  1) cos x  0 0 ... Tính B   dx  2 dx  2 d tan x 2 2 2   2 4sin x  1 (4sin x  1) cos x 1  5 tan x 2   0 0 0 cos x cos 2 x 3  2 1 3 d 1  5 tan x  1    ln 1  5 tan 2 x 2 5 0 1  5 tan x  5  3 0 4  ln 2 5 (2) 4    4 3 4  ln 2  ln 2   Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I 2  4   ln 2 5 3 5  3  Bài 9 Tính các tích phân sau:   2 1) I1   0 e 4) I 4   x  sin x  sin x dx x  cos x 2 2 0 2... 2 4 4   3 3     dx   4 2 tan x  2 x tan 2 x dx  A  B 2 x tan x  x 2 4  3   4 +) Tính A   dx  x 3   12 4  3 +) Tính B     3 2 tan x  2 x tan x d (2 x tan x  x 2 ) dx   ln 2 x tan x  x 2 2 2  2 x tan x  x 2 x tan x  x  2 4 Vậy I 9   12  ln  3  4  ln 16(  6 3) 9(  8) 4 16(  6 3) 9(  8) ( x 2e x  2 x  1)e x ( x 2e2 x  2 xe x  1)  (e x  1) dx  dx 10) ... Anh Tuấn – Thanh Tùng) 1 Nguyên hàm – Tích phân Khi đó A  1  xe x   e x dx  1  e  e x  1  e  (e  1)  2 1 1 0 0 0 1  1 1 dx x  x e 1 1 e   e dx   ln x  x +) Tính B   x dx    1 1 xe  1 e 0 0 x 0 x x x e e Vậy I10  1  ln(e  1) 1 1 x 1 1  ln 0 e 1  1  ln(e  1) e ( x 4  2 x 3 )e x ( x 4  2 x 3 )e x ( x 4  2 x 3 )e 2 x ( x 4  2 x 3 )e 2 x x 2e x ( x 2  2 x)e...   2ln e d ex x 1  1 ex x 1  1  x 5 x  1  1  2ln 2 2e5  1 e2  1 2e5  1 e2  1 Nhận xét: Ở I 3 , I 4 , I 5 và I 6 sau khi tách thành hai tích phân ta không có được tích phân dạng    f ( g ( x)).g '( x) khi đó ta nghĩ tới việc chia cả tử và mẫu cho một lượng thích hợp để đưa về dạng trên g ( x) Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn... I 6   Phân tích bài toán: Dễ dàng nhận thấy cấu trúc dưới mẫu số thuộc dạng 8 nên việc đầu tiên chúng ta sẽ biến đổi: e x (3x  2)  x  1 e x ( x  1)  x  1  e x (2 x  1) e x (2 x  1)   1 x e x ( x  1)  x  1 e x ( x  1)  x  1 e ( x  1)  x  1 f ( g ( x)).g '( x) e2 (2 x  1) chưa có dạng Vậy làm thế nào để chuyển nó về x g ( x) e ( x  1)  x  1 dạng trên? Câu trả lời thường là...  sin x  3cos x  2sin x x  4cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x dx   dx 2) I 2   x  2cos x x  2cos x 0 0 2 2 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  2 2 ( x  2cos x)( x  2cos...    2 2  d ( x  2 cos x)  x 2  2  ln   ( x  2 cos x)dx      2sin x  ln x  2 cos x   8 4 x  2 cos x  2 0 0 0 2 2 1  x 2 ln x ( x  x 2 ln x)  1  x 1 x   dx  dx   1  dx 2 2  x  x ln x x  x ln x x  x 2 ln x  1 1 1 e e 3) I 3       1  1  e e 4) I 4   e 1  1 1  e  ln x    e e d 2 x    x  ln 1  ln x   e  ln(e  1) x x dx  dx     1... lúc, mọi nơi Tiết kiệm thời gian đi lại Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm 4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10. 000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ