Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 10 D NG TÍCH PHÂN TH Nguyên hàm – Tích phân NG G P ( Ph n 01) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng 10 d ng tích phân th ng g p (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Tính tích phân sau: 2x 1 dx 2) I   1 2x 1 4 1) I1   x  x dx (B – 2013) 3) I   4x 1 dx (D – 2x 1  2011) x4  x   1 x3  x  dx 4) I    1 7) I  5) I   x dx 64 x 1  8) I8   dx x x 4 dx x  x (A – 2003) 6) I  31  9) I   x dx x 1 xdx 1 2x 2 10) I10   xdx x  x2  Gi i: 1) I1   x  x2 dx (B – 2013) t t   x2  t   x2  2tdt  2 xdx  xdx  tdt ; +) i c n x :  t :  2 1 t3  +) Khi I1    t.tdt   t dt  31 2 +) V y I1  2) I   1 2 1 2x 1 dx 2x 1 t t  x   t  x   tdt  dx ; +) i c n x :  t :1  3  t2 3 t t2   dt    t    I2   tdt   dt    t  ln(t  1)    ln t 1 t 1  1 t 2  1 1 +) V y I   ln 3) I   +) 4x 1 dx (D – 2011) 2x 1  tdt  dx t t  2x   t  2x 1   ; 2 x  t   I3   i c n x :  t :1  3  2t 3 2(t  1)  2t  3t 10    dt    2t  4t    2t  5t  10 ln(t  2)   dt tdt     t2 t2 t2 1  1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 34  10 ln 3 34  10ln 3 +) V y I  2 x4  x   x4 x 1   dx     x3  x  x  x3  x  1 x 1  4) I          2 x dx  dx  dx   A B (*)    x3 x 1 1  2 dx    x2 x3 +) Tính B   (1) x dx x 1 1 +) Tính A   dx  2tdt t t  x 1  t  x 1   ; x  t 1 i c n x :1  t :  1  t3 t2  11 t t (t  1).2tdt    ln (2)  2  dt  2  t  t   dt    2t  2ln(t  1)    t 1 t 1  1 t 3 0 0 0  A  Thay (1); (2) vào (*) ta đ 5) I   +) dx x x2  c: I  97  ln 24 (A – 2003) tdt  xdx t t  x2   t  x2    2 ; x  t  +) Khi I    dx x x2    xdx x2 x2  i c n x :  t :  [(t  2)  (t  2)]dt tdt dt    (t  4).t t  4 (t  2)(t  2)  4  1  t 2   dt ln      ln 3  t  t   t2 +) V y I  ln 6) I  31  +) xdx 1 2x  5t dt  2dx  dx   t dt   t t   2x  t   2x   ; x  1 t   i c n x:  31  t :  1 t5     t dt   t4 t9  9545    I6      t  t  dt       41  1 t 144 +) V y I   9545 144 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  1 7) I  x3dx x4  t t  x4   t  x4   3t dt  x3dx  x3dx  t dt ; +)  I7  Nguyên hàm – Tích phân i c n x :  t :1  2 2 3 3 t dt    t2 t dt       t  ln(t  1)    ln     t 1  1 t  4 1 3 +) V y I   ln 64 8) I8   dx x2  x  dx  6t dt tt  x  x  t   ; x  t3   x t 6 ; i c n x :1  64 t :1  2 2  t2  t dt 6t dt  3  dt  I    6 6   t      t  ln t     6ln V y I8   ln  t t t 1  t 1  2 2 1 1 Nh n xét: Trong toán đ ng th i xu t hi n c n b c c n b c nên tìm cách đ i bi n đ đ ng th i m t c hai c n Khi ta s ngh t i vi c đ t t  x hay x  t (  BCNN(2;3) ) b Nh v y g p I   f ( m g ( x), n g ( x))dx ta đ t t  k g ( x) v i k BCNN c a m n a 1 x dx   x 1 9) I   x 1  x 1    x  dx   1 x 1 x dx   x2 x 1 x dx 1 t 2t dt  x2 dx   dt  t    x3   3x2 dx  (t  1) (t  1)2 x x t 1 i c n x :  t :  Khi : t t  1 +) I9   ln    (t  1)2 t t 1 tdt  1 dt  t 1  3 dt  (t 1)(t  1)   t 1    t 1  t   dt  ln t  3  2 +) V y I  ln 10) I10     1 2 xdx x  x2  Nh n xét: N u đ t t  x2   t  x2   tdt  xdx nh ng ta không chuy n đ Khi ta ngh t i vi c nhân liên h p C th ta có l i gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 c x theo t - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) I10   x  x2     x x  x2  dx xdx x  x2  x  x2     Nguyên hàm – Tích phân 2 1   x x  x2  dx   x2 dx   x x2  1dx 1  x3  I   I 3 (1) Tính I   x x2  1dx t t  x2   t  x2   tdt  xdx x :1  t :  3 I   t.tdt   t dt  t3  (2) T (1) (2)  I10   3 Chú ý: Do x  x2   v i x  1; 2 nên ta có th nhân c t m u c a bi u th c tích phân v il ng liên h p x  x2  N u tình hu ng bi u th c ta nhân có th b ng ta không đ phép bi n đ i nh th Các b n có th tham kh o tr c ng h p qua tích phân I Bài Bài Tính tích phân sau:   sin x 1) I1   cos x  4sin x  3) I    sin x  2 sin x  sin x dx  sin x 2) I   dx (A – 2006)   4) I   cos x sin xdx   cos3 x sin x cos5 xdx Gi i:  sin x 1) I1   cos x  4sin x +) dx t t  cos2 x  4sin x   3sin x  t   3sin x  2tdt  6sin x cos xdx  sin xdx  tdt 2 tdt 2 2    dt  t  i c n x :  t :1   I1   31 t 31 3 +) V y I1   sin x  sin x dx  sin x 2) I   +) t t   sin x  t   sin x  2tdt   cos xdx  cos xdx  2tdt  i c n x   t  x   t  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  sin x  sin x (1  t )t 72  t4  t2   cos xdx  2 tdt dt  4  t    dt 2   sin x 1 t t 9 t 9  0 0 +) Khi I   1  t3 t 3   100   dt  4 t   12     48ln   8t  12ln    t 3 0  t  t   3  +) V y I   3) I  100  48ln   sin x     cos x sin xdx   +) Tính A    sin xdx   +) Tính B   sin xdx    2   cos x sin xdx  A B (*)  cos x  x sin x    dx      0  2 (1)  cos x sin xdx t t   cos x  t   cos x  2tdt   sin xdx ; 2  B   t.tdt   t dt  1 2t   (2) 3 i c n x:   t :  c: I  Thay (1), (2) vào (*) ta đ   2 (Các b n có th trình bày :  I3    sin xdx  2    cos x  cos x sin xdx   dx  2    cos xd (1  cos x)  2  x sin x     (1  cos x)3    ) 4 2   4) I    cos3 x sin x cos5 xdx +) 6t dt  3cos x sin xdx  sin x cos xdx  2t 5dt 6 cos cos t x t x       t  cos x   t i c n x :   t :     I4  1  t t13  12  cos3 x cos3 x sin x cos xdx   t (1  t ).2t 5dt 2 (t  t 12 )dt       13  91 0 12 91 Bài Tính tích phân sau: +) V y I   1) I1   sin x sin x  cos6 x dx 2) I  e3   ln x dx x  ln x 3) I  e 1  e1  ln ( x  1) dx ( x  1).ln( x  1) Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  sin x 1) I1   sin x  cos6 x dx   +) Ta có I1   sin x  cos6 x +)  sin x sin x sin x dx   dx  3sin x  sin x dx   t t   3sin 2 x  t   3sin 2 x  2tdt  12sin x cos xdx  sin xdx   tdt  i c n x   t  x   t  1  2 +) Khi I1  2   tdt    dt  t  t   31 3 2 +) V y I1  2) I  e3  +)  ln x dx x  ln x dx  tdt  x t t   ln x  t   ln x   ; 2 ln x  t   i c n x :1  e3 t :1  2  t3   (t  1) tdt   (4  t )dt   4t    t 31  1  I2   +) V y I  3) I  +) e 1  e1  ln ( x  1) dx ( x  1).ln( x  1) t t   ln ( x  1)  t   ln ( x  1)  tdt  ln( x  1) dx ; x 1 i c n x : e   e  t: 2 +) Khi I    e 1  e1  ln ( x  1) ln( x  1) dx  ln ( x  1) x 1 (t  1)  (t  1)  dt  (t  1)(t  1)   1  +) V y I    ln Hocmai.vn – Ngôi tr   1   t  t  tdt   t2  t  dt     1  t t 1    dt 1   1   t 1  t   dt   t  ln t    2   ln  1 3 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) ln 1) I1  Bài Tính tích phân sau:  ex 1 ex  ln Nguyên hàm – Tích phân ln 2) I  dx  (e e xdx x  1) e x  Gi i: e 1 ln x  1) I1  ex  ln dx t t  e x   t  e x   2tdt  e xdx i c n x  ln  t  x  ln8  t  +) +)  t 1     2 dt       ln V y I1   ln dt   2t  ln  t 1 t   t 1  2  2 ln  (e 2) I  e xdx x  1) e x  t t  e x   t  e x   2tdt  e xdx x :  ln t :  +) 2 dt 2tdt  I2       t t t t 2  1 +) V y I   Bài Tính tích phân sau:  1) I1   4) I  2014 dx  2) I   x2 20142  x2 dx 3) I  dx 5) I  x 1 2   x2 dx 6) I  1 x  x2  x2 dx e x2 3 x dx 7) I  x dx  3ln x Gi i: 1) I1   dx  x2 Cách trình bày 1:  3dt dx       cos t t x  tan t ( v i t    ;  )    2 3   x2   tan x    cos t cos t  i c n x   t  x   t  Khi     dt cos t 4 1  1  sin t     I1   dt  d sin t  ln    sin t  sin t   sin t cos t  sin t cos t cos t 4 3dt  V y I1  ln     ln    Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Cách trình bày 2:  x I1   x2 x   x2  x2 dx     ln x   d x   x2 x   x2 Nguyên hàm – Tích phân 3  x2   ln   2014  2) I  20142  x2 dx +)     dx  2014cos tdt t x  2014sin t (v i t    ;  )   2  2   2014  x  2014 cos t  2014cos t  i c n x   t  x  2014  t     2 0 +) Khi I   2014cos t.2014cos tdt  20142  cos tdt  2028098 (1  cos 2t )dt   2  2028098  t  sin 2t   1014049 V y I  1014049  0 3) I   +) x2  x2 dx     dx  cos tdt t x  2sin t v i t    ;    ;  2   x  cos t    i c n x   t  x   t     4sin t.2cos tdt   2  3 +) Khi I     sin tdt  2 (1  cos 2t )dt   t  sin 2t   2cos t  0 0 +) V y I  4) I   Cách 1: 2  3 dx x2  sin tdt  dx  cos t       3  t x v i t  0;    ;    x :  t :  cos t  2    x2   tan t   Khi I     sin tdt dt   cos t.tan t  cos t 4 gi i ti p I ta có th đ i bi n ho c dùng k thu t vi phân C th : Cách 1.1: t u  sin t  du  cos tdt t :   3 Suy I    Hocmai.vn – Ngôi tr  cos tdt cos tdt   cos t   sin t ng chung c a h c trò Vi t   x : du  1 u 2  2  2 du  1   (1  u)(1  u)     u   u  du 2 2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 u  ln 1 u Nguyên hàm – Tích phân  ln(2    2) 2 V y I  ln(2    2) Cách 1.2:       cos tdt cos tdt  (1  sin t )  (1  sin t ) cos tdt  cos tdt cos tdt  I4         2 (1  sin t )(1  sin t )   sin t   sin t   cos t  (1  sin t )(1  sin t )   4 4   3   d (1  sin t ) d (1  sin t )  1  sin t      ln  sin t   sin t   sin t      ln(2    2) Cách 2: I4  dx  x 1 2 ( x  x2  1)dx  ( x  x  1) x  2  d ( x  x2  1) ( x  x  1)  ln( x  x2  1)  ln(2    2) Cách 3: (Cách trình bày khác c a Cách ) Cách trình bày 3.1:  t 1 dx  2t dt t2 1  2 2  t t  x  x   x   t  x  x   (t  x)  x  2 2t  x2    t     t     2t  2t   x :  t :1    , : t 1 dt 2 2 dt I   2t2    ln t t 1 t 1 1 2t Cách trình bày 3.2: 2 1  ln(2    2)  x  x  x2   dx dx  t t  x  x2   dt  1   2   x x 1   x :  t :1    , : I  2  1 5) I  2  t x2  dt  ln t t dx  2 1 dx x2   dt t  ln(2    2) x2 dx  x2     dx  cos tdt t x  sin t v i t    ;    c n t :    2 x cos t       I5     sin t.cos tdt  cos x sin x     1   sin tdt    dt   x   cos t  2 0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) x2  6) I   x2 Nguyên hàm – Tích phân dx  dt dx  cos t     t x  tan t v i t    ;    3  2    x2  3(1  tan t )   cos t cos t  c n t :    I    tan t sin t dt   dt cos3 t cos t cos t t u  sin t  du  cos tdt c n u :    2 sin t.cos t sin t.cos tdt dt  I 24    3 2  t t cos (1 sin )  0 2  u du (1  u )2 1  (u  1)  (u  1) 1 1  u2 u2 1           Mà ta có: 2 2 2 2 (1  u ) (u  1) u  (u  1) (u  1) u   (u  1) (u  1) u     I6   1 1     2(u  1)  (u  1) (u  1)  2  1   u 1 1  2  ln 2 du      ln  u  (u  1)2 (u  1)    2  u  u 1 u  1   2 2 V y I  ln 2 e 7) I  x dx  3ln x t t  ln x  dt  dt dx x :1  e t :  Khi I   x  3t du  dt        cos u tan u v i u    ;    t t t :  u :   2   3t   cos u Cách 1:   I7     1 cos udu 1 3 1  du d sin u       d sin u     cos u cos u (1  sin u )(1  sin u )   sin u  sin u  3  sin u  ln  sin u Hocmai.vn – Ngôi tr   ln(2  3) ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1  3t  d t   t 1 dt 1   dt       30 30 2 t t  t t  t  3    0  2 t   t dt Cách 2: I   Nguyên hàm – Tích phân 2 t   1  t ln t  3  ln(2  3) Bài Tính tích phân sau: x 2) I   1) I1    x  3x2 dx 0 x  4x  dx Gi i: 1 0 1) I1    x  3x2 dx    3( x2  x  1)dx    3( x  1) dx +) +)     dx  cos t sin t v i t    ;    t x 1   2   3( x  1)   4sin t  cos t  cos t  cos t   i c n x   t   ; x 1 t  cos tdt  +) Khi I1   2cos t 3   V y I1   cos tdt    1 2   (1  cos 2t )dt   t  sin 2t      3 2  x 2) I   x  4x  dx  Phân tích h ng gi i: Khi g p d ng tích phân   Ax  B ax  bx  c  ta s ngh t i vi c kh x t đ đ a tích phân v d ng c b n ta c n tính tích phân  dx x  4x   dx ( x  2)2  dx mà ax2  bx  c  u  k dx   ax2  bx  c V m t ph V i s li u toán ng pháp ta bi t s đ t x   tan t Song c n c a toán x  x  làm cho vi c tìm t t ng ng g p khó kh n Lúc ta s kh c ph c b ng vi c s d ng k thu t vi phân Các b n s th y rõ u qua l i gi i sau: 1 1  2x  4  2x  x dx dx   dx   dx  2 Gi i: I    A 2B x2  x  x  4x  x2  x  x2  x  0 1 2x  d ( x2  x  5)      10  dx x x 0 x2  x  0 x2  x  +) Tính A  +) Tính B   1 dx x2  x  Hocmai.vn – Ngôi tr  dx ( x  2)2  ng chung c a h c trò Vi t   x   ( x  2)   x   ( x  2)2  ( x  2)  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 dx - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   d x   ( x  2)  x   ( x  2)    ln x   ( x  2)   ln Nguyên hàm – Tích phân  10 2  10 2 Chú ý: Cách kh x cho toán đ c làm t ng quát nh sau A      2ax  b   D Ax  B A d (ax2  bx  c) dx a  ax2  bx  c dx   ax2  bx  c dx  2a  ax2  bx  c  D ax2  bx  c V y I  10   2ln 1) I1   Bài Tính tích phân : x dx 2) I   1 x x 4) I   dx (1  x )  x 3 dx 5) I   x  4x  3 3) I   dx x  x3 3 x dx 2 x  2 x Gi i: 1) I1   x dx 1 x x t t   x x  t   x x  x x  t   x3  (t  1)2  3x2 dx  4t (t  1)dt  x2 dx  t (t  1)dt 3 3 t (t  1)dt 4  t3  80   (t  1)dt    t   i c n x :  t :1  , đó: I1   t 31 31  1 2) I   dx (1  x )  x3 3 Phân tích h ng gi i: V y đ ch nh đ c vi phân ta ph i bi n đ i I   N u đ t t   x3  t   x3  t dt  x2 dx nh ng x2 d ta i m u s không rút đ dx (1  x3 )  x3  x2 dx x2 (1  x3 )  x3 c theo t giá nh x2 d i m u s song v n có x2 dx đ nh ng c n x  ta không tìm đ c c n t t t nên ta “kh c ph c” b ng cách tính nguyên hàm r i sau m i th c n (k thu t d u c n) Gi i: dx dt dt Tính nguyên hàm: I   t x   dx    I    3 t t 1  (1  x ) (1  x ) t 1    t  t  ch nh vi phân T ta ngh t i vi c đ t x  hay I    t t dt  1 t  Hocmai.vn – Ngôi tr 3 ng ng t u  t   u3  t   u du  t 2dt ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân u du du x x  I       C  C   C  I2  3 3 u u u u  x3  x3 t 1 (có th dùng k thu t vi phân đ tính : I    t t dt  1 t   +) Cách trình bày 1: ( i bi n l n) +) Cách trình bày 2: ( i bi n l n) 1  3 (t  1) d (t  1)  C )  3 t 1 dx   ( a  bx ) Nh n xét: Tích phân I có d ng t ng quát  c  dxn n m n ta gi i b ng hai cách trình bày: sau đ t u  n c  dt n t (ta gi i I theo cách trình bày này) t x n t t c  dxn (th c ch t g p b x c đ i bi n c a cách 1) 3  3) I  dx x  x3 3 t t Gi i: 6t dt 2t dt  x3  x3 2  t3        x x dx x dx x x3 t3 1 (t  1)2 (t  1)2 i c n x 1 t 1 ; x  Khi I  1 x6 2 x x x2  x  3 dx 4) I   3 x2 dx  t  3    2t dt (t  1) 2    t  t 1   t2 tdt  1 3  1 43 3 dx ( x  1)( x  3) t t  x 1  x  x 1  x  dx dx  2dt   dt    dx  t    dx  t ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3)  x 1 x   x :  t :1    Khi đó: I  2  1 dt  ln t t 2 1  ln 2 1 x dx 2 x  2 x 5) I   Phân tích h ng gi i: Khi g p tích phân này, vi c đ t t   x ho c t   x s khó đ a đ c m t l i gi i hoàn ch nh Lúc ph n l n b n s ngh t i k thu t nhân liên h p ngh a ta s bi n đ i x I5     2 x  2 x 2 x  2 x   2 x  2 x  dx   x  2 x  2 x 2x  dx  2 0    x   x dx đ a v tích phân đ n gi n d tính Song n u ý t i c n c a toán ta s th y phép bi n đ i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x   x  t i c n x  Tích phân ban đ u không xác  tích phân sau bi n đ i (b qua b c trung gian) I  0  x dx 2 x  2 x   x   x dx hoàn toán xác đ nh Nh v y ch có trình bi n đ i trung gian có “v n đ ” – lí c n [0; 2] N u mu n ti p t c theo h ng ta ta s có m t gi i pháp b qua c n c a tích phân b ng k thu t d u c n – tính nguyên hàm sau th c n Ngoài toán ta có th gi i b ng cách đ t t   x   x Các b n xem l i gi i chi ti t cho toán qua cách khác nhau: Gi i: Cách 1: (Dùng k thu t d u c n – tính nguyên hàm sau th c n)        xd (2  x)    xd (2  x)    dx  2    x   x dx (2  x)  x  (2  x)  x C (2  x)  x  (2  x)  x 84 x dx   3 2 x  2 x Suy I   V y I5   x 2 x  2 x x dx   2 x  2 x 2 x  2 x Ta có I   84 Cách 2: t t  2 x  2 x t  4t  t    x  (t  4)  4(4  x )  4t (t  4)dt  8 xdx  xdx   dt 2 2 2 i c n x 0t  2 ; x 2t  2 2   t  4t  1  t3 Khi I     dt    (t  4)dt    4t  2 t   2 2 2 V y I5   84 84 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 1  3t 2 0  1 2 d t   t 1 1 dt 1 1 3   dt       1 2 30 30 1 2 1 2 t t  t t  t  3 3   3  1 3 0  1 2 t  3  t 1 dt Cách 2: I 7   Nguyên hàm – Tích phân 1 2 t  3  1 1 1 2  t ln t  3 3  0 1 ln(2  3) 3 1 Bài 6 Tính các tích phân sau: x 4 1 2) I 2   1) I1   1 ...  3 1 t  3 2 3 3  0   1 2t 2 dt (t 3  1) 2 2 2   3  t  t 1  1  2 1 t2 tdt  1 4 3 3 1  1 3 9 1 43 9 3 3 dx ( x  1) ( x  3) t t  x 1  x  3 x 1  x  3 dx dx 1  2dt  1  dt    dx  t    dx  t 2 ( x  1) ( x  3) 2 ( x  1) ( x  3) ( x  1) ( x  3)  2 x 1 2 x  3  và x : 0  1 thì t :1  3  2  2 Khi đó: I 4  2 2 2  1 3 2 dt  2 ln t t 2 2 1 3  2 ln 2 2 1 ... Nguyên hàm – Tích phân 1 u 2 du du 1 x x  I   3   2   C  C   C  I2  3 3 3 3 u u u u 1  x3 1  x3 t 1 (có th dùng k thu t vi phân đ tính : I    2 t t dt 3  1 3 t 3  1  +) Cách trình bày 1: ( i bi n 2 l n) +) Cách trình bày 2: ( i bi n 1 l n) 1 0 4  3 1 3 1 (t  1) d (t 3  1)  C )  3 3 3 t 1 dx   ( a  bx ) Nh n xét: Tích phân I 2 có d ng t ng quát là  1 c  dxn n... x ) 1  x 3 3 2 dx 5) I 5   x  4x  3 2 0 3 3) I 3  3 2  1 dx x 2  x3 3 3 x dx 2 x  2 x Gi i: 4 1) I1   0 2 x dx 1 x x t t  1  x x  t 2  1  x x  x x  t 2  1  x3  (t 2  1) 2  3x2 dx  4t (t 2  1) dt 4  x2 dx  t (t 2  1) dt 3 3 3 3 4 t (t 2  1) dt 4 2 4  t3  80   (t  1) dt    t   i c n x : 0  4 thì t :1  3 , khi đó: I1   t 31 31 3  3 1 9 1 2) I 2   0 dx (1 ...  1 0   ln x  2  1 ( x  2) 2  1  ln 0 Nguyên hàm – Tích phân 3  10 2 5 3  10 2 5 Chú ý: Cách kh x cho bài toán trên đ c làm t ng quát nh sau A      2ax  b   D Ax  B A d (ax2  bx  c) dx a 2  ax2  bx  c dx   ax2  bx  c dx  2a  ax2  bx  c  D ax2  bx  c V y I 2  10  5  2ln 3 4 1) I1   Bài 7 Tính tích phân : 0 x dx 0 2) I 2   1 x x 1 4) I 4   1 2 0 dx (1. .. 5 2 dx Gi i: 1 1 1 0 0 0 1) I1   1  6 x  3x2 dx   4  3( x2  2 x  1) dx   4  3( x  1) 2 dx +) +) 2  2    dx  3 cos t sin t v i t    ;    t x 1   2 2 3  4  3( x  1) 2  4  4sin 2 t  4 cos 2 t  2 cos t  2 cos t   i c n x  0  t   ; x 1 t  0 3 0 2 4 cos tdt  +) Khi đó I1   2cos t 3 3   V y I1  0 2  cos tdt  3 2  3 0 2  1 1 2 3   (1  cos 2t )dt... i: dx dt 1 dt Tính nguyên hàm: I   t x   dx   2  I    3 3 3 t t 1 1  (1  x ) (1  x ) t 2 1  3  3 1  3 t  t  ch nh vi phân T đây ta ngh t i vi c đ t x  hay I    t t 2 dt 3  1 t  1 Hocmai.vn – Ngôi tr 3 3 ng ng t u  3 t 3  1  u3  t 3  1  u 2 du  t 2dt ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 19 00 58-58 -12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi... Tính A  1 +) Tính B   0 1 1 dx x2  4 x  5 Hocmai.vn – Ngôi tr  0 dx ( x  2)2  1 ng chung c a h c trò Vi t 1  0  x  2  ( x  2) 2  1  x  2  ( x  2)2  1 ( x  2) 2  1 T ng đài t v n: 19 00 58-58 -12 dx - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1   d x  2  ( x  2) 2  1 x  2... x  1 làm cho vi c tìm t t ng ng g p khó kh n Lúc này ta s kh c ph c b ng vi c s d ng k thu t vi phân Các b n s th y rõ đi u này qua l i gi i sau: 1 1 1 1 1  2x  4  2 1 2x  4 x 4 dx dx   2 dx   dx  2 Gi i: I 2   2  A 2B 2 0 x2  4 x  5 x  4x  5 x2  4 x  5 x2  4 x  5 0 0 0 1 1 2x  4 1 d ( x2  4 x  5) 2      10  5 dx x x 4 5 0 2 0 x2  4 x  5 2 0 x2  4 x  5 1 +)... đó: I1   t 31 31 3  3 1 9 1 2) I 2   0 dx (1  x ) 1  x3 3 3 Phân tích và h ng gi i: V y đ ch nh đ c vi phân ta ph i bi n đ i I   N u đ t t  3 1  x3  t 3  1  x3  t 2 dt  x2 dx 1 0 nh ng x2 d ta i m u s không rút đ dx (1  x3 ) 3 1  x3 1  0 x2 dx x2 (1  x3 ) 3 1  x3 c theo t và giá nh không có x2 d i m u s song v n có x2 dx đ 1 nh ng do c n x  0 ta không tìm đ c c n t t t nên ta