Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PH Nguyên hàm – Tích phân NG PHÁP GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Ph ng pháp gi i toán tích phân thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài 1: Tính tích phân sau: 1) I1   dx 3x   x  Gi i: 2) I   x3   x dx x3 64 3) I   dx x 2 x tdt  2tdt  6dx  dx    1) +) t t  x   t  x    ; i c n x   t  x   t  3x  t   5 5  1  tdt tdt 2 t  1 dt  +) Khi I1       dt    2  t  (t  1)2  t 1 (t  1) (t  1) 1 t 2  2 1 2   ln t      ln      ln 3 t 1   3 2 +) V y I1    ln 3 1 x  1 x x3 1 x dx   dx   dx  A B 2) I   x3 x3 x3 0 1  x3  27  47 x3  27  27  dx    x2  3x   dx   27 ln +) Tính A     x  x  27 ln x     x3 x3  0 0 1 +) Tính B   1 x dx x3 t t   x  t   x  2tdt  dx  dx  2tdt ; i c n x   t  x   t  0 1   t t2 Khi B   ( ) 2 1      tdt dt  dt 2      (  2)(  2) t t t t   0 1  t 2     2 1    2  2ln dt  2  t  ln t 2 t 2 t    0 47 59 59 Suy I   27 ln   2  2ln 3   54ln  25ln V y I   54ln  25ln 6  6t dt  dx ; i c n x   t  x  64  t  3) +) t t  x  t  x   3   x t ; x t   2  t2  6t dt t2   +) Khi I   6 dt t dt        2t  4ln t    3  24ln     t  2t t2 t2 2 1 1 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Nguyên hàm – Tích phân   I   f g ( x), n g ( x) g '( x)dx ây Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân  d ng tích phân đ u tiên – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ Bài 2: Tính tích phân sau: 2) I   1) I1   x4  x2 dx 1) +) c tìm hi u chi ti t h c sau 1 x dx 1 x Gi i:  dx  cos tdt    t x  sin t v i t    ;     2   x2   sin t  cos t  cos t  i c n x   t  x   t  2    1 2 1  +) Khi I1    sin t  cos t cos tdt   sin t cos tdt sin t.sin 2tdt   2 32 128  0 0 2    cos 2t  cos 4t 2 cos 6t  cos 2t    dt 1  cos 2t  cos 4t   dt   128 2 512      1  2 cos 6t  cos 2t  2     t sin t sin t sin t cos    t dt       512  12 512   1024  +) V y I1   1024 dx  2sin 2tdt    2) +) t x  cos 2t v i t   0;     x  cos 2t cos2 t cos t cos t      2   sin 2t sin t sin t sin t  1 x   i c n x   t  x   t   +) Khi I      cos t  2  2sin 2tdt    cos tdt   (1  cos 2t )dt   2t  sin 2t  4   sin t   +) V y I     6 2  Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân   I   f x2 n , ax2  bx  c dx ây  d ng tích phân th hai – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ c tìm hi u chi ti t 2 Bài 3: Tính tích phân sau: 1) I1   sin x dx  x 2 16 2) I   e  ( x  1)  h c sau x1 x1 x2  dx Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 2 1) I1   sin x dx  x 2 16 +) i c n x t t  x  t  x  2tdt  dx ;  2 16 t   x  2 t      sin t  2tdt   (1  sin t )dt  2(t  cos t ) 2   t   +) Khi I1   +) V y I1   2) I    e  ( x  1) x1 x1 x2   +) dx x 1 x 1 dx dx   t2   2tdt   tdt ( x  1) ( x  1) x 1 x 1 5 i c n x    t  x    t  3 t t  x1 x1  x1 x1 3 dx et +) Khi I   dx     tdt    et dt   et  e  e3  2 t x  ( x  1) x 1 5 2  ( x  1)   3 x 1 ( x  1) e e +) V y I  e2  e3  I   f (sin u, cos u ).u 'dx (v i I1 ) Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân   I   f (eu ).u 'dx (v i I ) u  ax  b (a  0) ây d ng tích phân th t – m t  10 d ng tích phân mà b n s đ c tìm hi u chi ti t h c sau ln10 dx 1) I1    e2 x Bài 4: Tính tích phân sau: 2) I   e xdx   ex Gi i: dx  e2 x 1) I1   +) t t  e2 x  dt  2e2 xdx  e2 xdx  dt e2 ; i c n x   t  x   t  e2 e2 e2 e dx dt 1  t 2e2 +) Khi I1   x    ln    dt  ln e (1  e2 x ) 1 t (1  t ) 1  t t   t  1 e2  1 ln10 2) I   +) 2x e xdx   ex t t   e x  t   e x  3t dt  exdx  exdx  3t dt i c n x   t  x  ln10  t  2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 +) Khi I   +) V y I   Nguyên hàm – Tích phân 1  t2  3t dt  63   3 t    dt   3t  9ln t      54ln  3t t 3 2  2 2  63  54ln 2  I   f (e x )dx ây d ng tích phân th Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân  n m – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ e 1) I1   Bài 5: Tính tích phân sau:  c tìm hi u chi ti t  ln x x  ln x  h c sau 2) I  dx e  lg x x  ln x dx Gi i: e 1) I1   +)   ln x x  ln x  dx t t  ln x  t  ln x  2tdt  dx x i c n x   t  x  e  t  ; +) Khi 2) I  e  lg x x  ln x dx  ln10 e ln x  x  ln x +) t t   ln x  t   ln x  2tdt  +) i c n x   t  x  e  t  +) Khi I  ln10  1 tdt  ln10 t dx 2ln x ln x dx  dx  tdt x x t  dt  ln10  2 2 V y I2  ln10 ln10  Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân I    th sáu – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ f (ln x) dx ây d ng tích phân x c tìm hi u chi ti t h c sau   dx cos x.(sin x  cos x) 1) I1   Bài 6: Tính tích phân sau: 2) I   dx   sin  x   cos x 3  Gi i:    dx dx  tan x dx 1) I1     cos3 x.(sin x  2cos x) 0 cos x.(tan x  2) 0 tan x  cos x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) +) t t   tan x  dt  dx ; cos2 x i c n x   t  x   Nguyên hàm – Tích phân t 2 2  t2   (t  1)2 2  +) Khi I1   dt    t   dt    2t  2ln t     2ln 2 t t 2 1 1 +) V y I1    2ln 2    4 2) I   dx   sin  x   cos x 3  dx    dx 2dx  sin x  cos x tan x  cos x cos x cos x 1  cos x  cos x  sin x  2  dx  t t  tan x   dt  ; i c n x   t  x   t   cos x +) +) Khi I  1  +) V y I  ln 2dt  ln t t 1 3  ln 3 3 3 3  Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân I    th b y – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ f (tan x) dx ây d ng tích phân cos x c tìm hi u chi ti t h c sau Bài 7: Tính tích phân sau:   x2  ( x  2)e x dx ex  x 5cos x dx sin x  cos x 1) I1   I3  3   2) I   3)   sin  x    ( x  1) ln x  4  dx sin x  x ln x Gi i:     5cos x 2(sin x  2cos x)  (cos x  2sin x) cos x  2sin x 1) I1   dx   dx   dx   dx  A B sin x  2cos x sin x  2cos x sin x  2cos x 0 0 2   +) Tính A   dx  x 02    cos x  2sin x dx x x sin cos  +) Tính B   t t  sin x  2cos x  dt  (cos x  2sin x)dx ; dt  ln t t Khi B   Hocmai.vn – Ngôi tr i c n x   t  x    t 1   ln ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân +) V y I1    ln  a sin x  b cos x dx ta s tách thành hai tích phân b ng vi c dùng sin cos c x  d x  Chú ý: Khi g p tích phân d ng I   ph ng pháp đ ng nh t h s : h( x) a sin x  b cos x c sin x  d cos x c cos x  d sin x  A B g ( x) c sin x  d cos x c sin x  d cos x c sin x  d cos x   c cos x  d sin x dx  I1  I  c sin x  d cos x +) Khi đó: I  A dx  B  (v i I1 tính đ n gi n đ t t  c sin x  d cos x đ gi i I ) + ) Ho c ta có th trình bày theo ph   ng pháp vi phân nh sau:    c cos x  d sin x d (c sin x  d cos x)   Ax  B ln c sin x  d cos x   ? dx A dx  B  c sin x  d cos x  c sin x  d cos x   I  A dx  B  x(e x  x)  2(e x  1)  x2  ( x  2)e x 2(e x  1) dx dx xdx    0 0 0 e x  x dx  A B ex  x ex  x 1 2) I   1 1 x2 +) Tính A   xdx   2 2(e x  1) dx ex  x +) Tính B   t t  e x  x  dt  (e x  1)dx ; Khi B  e 1  +) V y I  3) I  3    2dt  2ln t t e 1 i c n x   t  x   t  e   2ln(e  1)  2ln( e 1)  3  sin  x    ( x  1) ln x  sin x  cos x  ( x  1) ln x  4  dx   dx sin x  x ln x sin x  x ln x  2 3 3 3 2   sin x  x ln x  (cos x  ln x  1) dx  sin x  x ln x +) Tính A  3 3  dx  x    dx    cos x  ln x  dx  A B sin x  x ln x  2 +) Tính B  3   cos x  ln x  dx ; sin x  x ln x t t  sin x  x ln x  dt  (cos x  ln x  1)dx i c n x   t  1 Hocmai.vn – Ngôi tr  ln  x  3 3 3  t  1 ln 2 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 3 3 ln 2 1 dt  ln t t  Khi B   1 ln 2 +) V y I    ln 1 1 3 3 ln 2   1 ln 2  ln 1 Nguyên hàm – Tích phân 3 3 ln 2 1  ln  3 3 ln 2 1  ln  L u ý: *) Trong ý Bài tích phân B ta có th trình bày nhanh b ng ph  ng pháp vi phân:  d (sin x  2cos x) cos x  2sin x dx    ln sin x  2cos x sin x  2cos x sin x  2cos x 0 +) B      ln 2(e x  1) d (e x  x) dx   2ln e x  x  2ln(e  1) x x  e x e x 0 1 +) B   +) B  3   cos x  ln x  dx  sin x  x ln x 3   d (sin x  x ln x)  ln sin x  x ln x sin x  x ln x 3   ln 1 1 2  *) D ng t ng quát cho tích phân I    kg ( x)  f ( g ( x)).g '( x) dx g ( x) phân th tám – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ 3 3 ln 2 c tìm hi u chi ti t  ln  ây d ng tích h c sau Bài 8: Tính tích phân sau:   1) I1   sin x sin 2 xdx 2) I   sin x dx   3sin x 3)  I3   sin x dx 2sin x  cos x  Gi i:   2 0 1) I1   sin x sin 2 xdx   sin x cos xdx +) t t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; i x   t  x   t 0  1 +) Khi I1   (1  cos x) cos x sin xdx  4 (1  t )t (dt )  4 (t  t )dt  t3 t5  8 V y I1   4    15   15 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  2) I   sin x dx   3sin x 2tdt  2tdt  3cos xdx  cos xdx    +) t t   3sin x  t   3sin x   sin x  t     i c n x   t  x   t  2  t 1 2 2 2sin x 2tdt t  t   dt    t  2t   cos xdx     +) Khi I    dt t2 2t t2 1   3sin x   t3 28    t  3t  6ln t     ln 9  27 3 +) V y I  28  ln 27 3  3) I    sin x sin x dx   dx 2sin x  cos x  2sin x   2sin x      sin x sin x dx cos xdx   2  2(sin x  sin x  2) sin x  sin x  t t  sin x  dt  cos xdx ; +) i c n x   t  x    t 1 +) Khi : t 2(t  1)  (t  2)   ln  I3   dt    dt      dt    2ln t   ln t    t t 2 (t  1)(t  2)  t  t 1  3 0 +) V y I  1 ln  Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân I   sin m x cos n xdx (v i I1 ) ;   I   f (sin x).cos xdx (v i I I ) ây d ng tích phân th chín – m t 10 d ng tích  phân mà b n s đ c tìm hi u chi ti t h c sau sin x  cos x dx  sin x Bài 9: Tính tích phân sau: 1) I1       cos  x    cos  3x   4 4   dx 2) I      sin  x   4    Gi i:  sin x  cos x dx  x sin 2 1) I1   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) +) dt  (cos x  sin x)dx ; t t  sin x  cos x   x t   sin  Nguyên hàm – Tích phân i c n x   t  1 x  dt dt  1  t 2      +) Khi I1   dt   ln t 4 1 t 1  t  t   t2 1 1 +) V y I1  1   t 1 1  ln 1 ln         cos  x    cos  3x   2sin x sin  x   4 sin x.(sin x  cos x) 4 4 4    2) I   dx   dx   dx  sin cos x x     0 2  sin x  cos x  sin  x   4  dt  (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x)dx  dt +) t t  sin x  cos x   sin x  t   i c n x   t  x   t   2  t2  t 1  2  +) Khi I  2    dt  2   t   dt   2t  3ln t      6ln  t2 2t 2 1 1  +) V y I    6ln 2  I   f (sin x  cos x,sin x cos x).(cos x sin xdx Nh n xét : D ng t ng quát cho tích phân  ây d ng tích phân th m h c sau i – m t 10 d ng tích phân mà b n s đ Bài 10: Tính tích phân sau: 1) I1  x dx 2) I   x2  c tìm hi u chi ti t x2  dx x4  3x2  Gi i: 1) I1  x x2  3  dx    dx x2  x7  x2 x dx  2tdt   dx    tdt  3  x x t t  1  t2  1   x x   t 1   x2 +) dx x7 i c n x   t  x   t   t 1   2  dx   +) I1   t x x 1 x Hocmai.vn – Ngôi tr     tdt     27 ng chung c a h c trò Vi t  t 2t     t t t dt      27   2  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 46  405 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2) I   +) x2  dx   x4  3x2  1 t t  x  3  x2  1 2    dx x x dx   x  dx   1  2 x  3x  1 x2    x   1 x2 x2 x  1    dt  1   dx ; x  x  Nguyên hàm – Tích phân i c n x   t  x  t  6 dt (t  1)  (t  1)  1  t 1 +) Khi I      dt    dt  ln t  (t  1)(t  1)  t 1 t   t 1   ln11 +) V y I   ln11 Bài 11: Tính tích phân sau: 1) I1  x x8  x5 ( x3  2)2 x    x2 2) I   dx 3) I   x dx 2 x  2 x Gi i: 1) I1  x +) x    x2 dx tdt  xdx ; t t   x2  t   x2   2  x  t 1 i c n x   t  x   t  2 2  tdt tdt t  1  +) Khi I1   dt    dx    2 (t  1) t    2t (t  1) t  (t  1)  1  2     ln t       ln t 1   +) V y I1    ln x8  x5 ( x3  2)2 2) I   +) t t  x3   dt  3x2 dx  x2 dx  +) Khi I   dt ; i c n x   t  x   t  10 x3 ( x3  1) (t  2)(t  1) dt t  3t   2  x dx dt   1    dt   2  t t ( x  2) 32 2 t t  10 10 10 10 1 2 44   t  3ln t     ln 3 t  15 +) V y I  3) I   +) 44  ln 15 x dx 2 x  2 x t t   x   x  t    x2  (t  4)2  4(4  x2 ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  4t (t  4)dt  8 xdx  xdx   Nguyên hàm – Tích phân t (t  4) dt i c n x   t  2 x   t  2  +) Khi I  +) V y I  t (t  4) dt  2 t 2  2   t3 (t  4)dt    4t  2 2  84 84 Bài 12: Tính tích phân sau: 1) I1    x2  x   x2  (1  ln x) ln x dx (1  x  ln x)3 e dx  2) I   Gi i: 1) I1   +)  dx x2  x   x2    x  x  x2  t 1 dx dx  dx   t t  x   x2   dt  1   2 1 x x x      dx x 1  dt t 1 i c n x   t  x   t   2  +) Khi I1  dt  t (t  1) 2  t 1  1  dt  ln  t  t 1 t  2 2  ln 2 +) V y I1  ln 2 (1  ln x) ln x dx (1  x  ln x)3 e 2) I    ln x ln x (1  ln x) ln x x x dx dx   +) Ta có: I   3 (1  x  ln x)  1   ln x     x   ln x ln x +) t t   dt   dx ; i c n x   t  x  e  t  x x e e e e 1   t  1 e2  4e tdt   +) Khi I   dt dt        2  (t  1)2 (t  1)3   t  2(t  1)2  2(e  2)2  (t  1)3 2 (t  1)3 e +) V y I  e e e  4e  2(e  2)  Bài 13: Tính tích phân sau: 1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx 2) I   x tan xdx  3) I   (2 x  3)e2 xdx 4) I   e x (cos x  sin x)dx   5) I   ln  x dx Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx +) dx  du   ln( 1) u x     x 1 t   2 dv  ( x  5)dx v  x  x  x  10 x  2 1 x2  10 x  11  x2  10 x +) Khi I1  ln( x  1)   dx   ln    x  11  dx 2 2 x x     0 1   x2 21 11 21  40.ln   ln    11x  11ln x     ln   ln  4 2 0 21  40.ln +) V y I1   2) I   x tan xdx du  dx u  x  +) t     2 dv  tan x v   tan xdx    cos x  1 dx  tan x  x    +) Khi    I  x.(tan x  x)   (tan x  x)dx   (4   ) 16   (4   ) 16 +) V y I      ln cos x 04  x2       (4   ) sin x d cos x    xdx dx   xdx  cos x 16 cos x 0 0 4  (4   ) 16 2  2  ln     ln 2 32 32 2  ln 32 3) I   (2 x  3)e2 xdx +) du  2dx u  x   t   e2 x 2x dv e dx  v     (2 x  3)e2 x  e2 x +) Khi I    e2 xdx   e   e2 2 0 1 +) V y I3   e2   4 0 4) I   e x (cos x  sin x)dx   e x cos xdx u  cos x du  2sin xdx  t  x x dv  e dx v  e   Khi I  e x cos x   e x sin xdx  1  I (1)  Tính I   e x sin xdx Hocmai.vn – Ngôi tr u  sin x du  cos xdx  t  x x dv  e dx v  e ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân    Suy I  e x sin x   e x cos xdx  e  I (2) 0  +) Thay (2) vào (1) ta đ     2e  c: I  1   e  I   I     5) I   ln  x dx +) dx  du   u x   ln   x  x t   dv  dx   v  x     +) Khi I  x ln  x Tính I   x 1 x  1    x x 1 x  dx  ln  1 x dx  ln  I (1)  1 x t t   x  (t  1)2  x  2(t  1)dt  dx ; dx ; i c n x   t  x 1 t  2 2  t2  t 1 t  2t  1  Suy I   2(t  1)dt  2 dt  2  t    dt    2t  ln t   1  2ln t t t 2 1 1 1 +) Thay (2) vào (1) ta đ c: I  Chú ý : +) Khi tính I   x 1 x dx vi c đ t t   x nh trên, b n có th đ t t  x tích phân I , b n có th đ t t  x sau ta đ +) c I  2 t ln(1  t ) dt ti p t c gi i tích phân b ng vi c s d ng ph u  ln(t  1) ng pháp tích phân t ng ph n, đ t  dv  tdt x  ln( x  1) 1) I1   dx ( x  2)2 Bài 14: Tính tích phân sau: 2) I     x sin x 3) I   dx (1  cos x) x xe 4) I   x dx (e  1) 5) I   x3e x  x  e x  1 x2  dx  cos x  e  sin x dx tan x cos3 x Gi i: 1) I1   +) x  ln( x  1) dx ( x  2)2  x   u  x  ln( x  1) du  1  dx  dx    x 1  x 1   t  dx dv  ( x  2) v     x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1  2ln x  ln( x  1) dx  ln  ln +) Khi I1      ln x     ln  x x 1 3 0 +) V y I1  2) I   1  2ln x3e x  x  e x  1 x 2 dx   xe x  x2    x x 2 1 dx   xe xdx   0 2x dx  A B x 2 u  x du  dx  t  x x dv  e dx v  e +) Tính A   xe xdx Suy A  xe x   e xdx  e  e x  e  (e  1)  1 0 2x d ( x2  2) +) Tính B   dx    ln( x2  2)  ln x 2 x 2 0 1 +) V y I   ln  x sin x dx (1  cos x) 3) I   +) u  x du  dx   t  sin xdx   sin xdx d (1  cos x) dv  (1  cos x)2 v   (1  cos x)2    (1  cos x)2   cos x        dx  x dx x2  +) Khi I       tan  1  cos x 0  cos x 2 cos x 20 2  +) V y I   xe x 4) I   x dx (e  1) +) u  x du  dx    t  ex ex d (e x  1) dv dx v dx     x x x x 2     (e  1) (e  1) (e  1) e 1   +) Khi I   1 x dx  x   I (1) x e 1 0 e 1 e 1 dx e 1 Tính I   x i c n x   t  x   t  e t t  e x  dt  e xdx ; e e xdx dt t 2e 1       ln Suy I   x x dt  ln e (e  1) t.(t  1)  t t   t 1 e 1 e +) Thay (2) vào (1) ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr c: I   e (2) 2e  ln e 1 e 1 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  5) I   Nguyên hàm – Tích phân  cos x  e  sin x dx tan x cos3 x  Bi n đ i I    cos x  e  sin x dx  tan x cos3 x     4 tan x  sin x e tan x sin x  e sin x sin x dx dx    0  cos2 x cos3 x  0 cos2 x 0 cos3 x dx  A B   4 d cos x sin x +) Tính A   dx     1 2  cos x cos x cos x 0   e tan x sin x dx +) Tính B    dx e tan x tan x  cos x cos x 0 t t  tan x  dt  Suy B   et tdt  dx ; i c n x   t  x   t  cos x u  t du  dt  t   t t dv  e dt v  e Khi B  tet   et dt  e  et  e  (e  1)  1 0 V y I  A B  Bài 15: Tính tích phân sau:  2) I   ( x  x)sin xdx 1) I1   (2 x  1) ln ( x  1)dx 2 0 3) I   x5e x dx Gi i: ln( x  1)dx  u  ln ( x  1) du  t   x 1 (2 1) dv x dx    v  x  x  1) I1   (2 x  1) ln ( x  1)dx Khi I1  ( x  x) ln ( x  1)   x ln( x  1)dx  2ln 2  I (1) 2 0 dx  u  ln( x  1) du  t   x 1 dv  xdx v  x2  Tính I   x ln( x  1)dx 1  x2  x2   (2) Suy I  x ln( x  1)   dx  ln    x   dx ln    x  ln x      x 1 x 1   0 0 +) Thay (2) vào (1) ta đ c: I1  2ln 2   2) I   ( x2  x)sin xdx +) du  (2 x  2)dx u  x2  x   t   cos3 x 3  dv  sin xdx v   sin xdx    (1  cos x)d cos x   cos x   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân    cos3 x 2  cos3 x   cos x    ( x  1)  cos x  Khi I  ( x2  x)   dx  0    22   ( x  1)  3cos x  cos3 x dx 30 du  dx  u  x   t   sin x 2 dv x x dx   3cos cos v x xdx x d x x       (3 cos ) cos (2 sin ) sin 2sin         +)   Suy I  2( x  1)  sin x  2 sin x     x x 2sin 2sin    dx   0     7(  2) 7(  2) 2      sin x sin xdx      cos x d cos x 30 90  2  82 7(  2)  cos3 x  7(  2) 40 21  82 V y I2     cos x      27 9 0 27 27 3) I   x5e x dx du  x3dx  u  x  t   x2 x2 x2 x2 dv  xe dx v   xe dx   e dx  e  2  +) x4e x Khi I  1 e   x e dx    x3e x dx 0 x2 (1) du  xdx  u  x   t   x2 x2 x2 x2 v xe dx e dx e    dv  xe dx      +) x x  x e dx  x e 2 1   xe x dx  e   e x dx2  e  e x 2 +) Thay (2) vào (1) ta có: I  Chú ý:  e  (e  1)  e 1 toán b n có th đ t t  x2 đ đ a tích phân v d ng ti p theo cách sau: +) S d ng tích phân t ng ph n l n nh cách làm +) Tính tr c ti p I  1 t t e dt sau ta s làm 0 1 e t 1 t e dt   (t  2t )  2(t  1)  2 et dt  (t  2t  2)et    20 20 2 ( cách ta s d ng công th c   f ( x)  f '( x)e dx  f ( x)e ph i ch ng minh ) Hocmai.vn – Ngôi tr (2) x x  C – n u dùng b n Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Nguyên hàm – Tích phân - Trang | 17 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]...   0 1 2 x 1 x dx ngoài vi c đ t t  1  x nh trên, các b n có th đ t t  x tích phân I 5 , các b n có th đ t luôn t  x sau đó ta đ +) 1 c I 5  2 t ln(1  t ) dt và ti p t c 0 gi i tích phân này b ng vi c s d ng ph u  ln(t  1) ng pháp tích phân t ng ph n, đ t  dv  tdt x  ln( x  1) 1) I1   dx ( x  2)2 0 1 Bài 14: Tính các tích phân sau: 1 2) I 2   0   2 x sin x 3) I 3   dx (1... 3  Chú ý: 2 1  e  (e  1)  1 e 1 2 bài toán trên các b n có th đ t t  x2 đ đ a tích phân v d ng ti p theo các cách sau: +) S d ng tích phân t ng ph n 2 l n nh cách làm 1 +) Tính tr c ti p I 3  1 1 2 t t e dt và sau đó ta s làm 2 0 trên 1 1 e 1 2 t 1 1 t e dt   (t 2  2t )  2(t  1)  2 et dt  (t 2  2t  2)et   1  20 20 2 2 0 ( cách này ta đã s d ng công th c   f ( x)  f '( x)e... C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  4t (t 2  4)dt  8 xdx  xdx   Nguyên hàm – Tích phân t (t 2  4) dt 2 i c n x  0  t  2 2 và x  2  t  2 2 2  +) Khi đó I 3  2 +) V y I 3  1 t (t 2  4) 1 dt  2 2 t 2 2  2 2 2  1  t3 (t  4)dt    4t  2 3 2 2  84 2 3 84 2 3 1 Bài 12: Tính các tích phân sau: 1) I1    x2  1 x  1  x2  1 0 (1  ln x) ln x dx (1  x  ln x)3 1 e dx... ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là các khoá h c trang b toàn b ki n th c... ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn nh m t i u đi m s d a trên h c l c t i th i...  C – n u dùng trong bài các b n Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Nguyên hàm – Tích phân - Trang | 17 - Hocmai.vn... 0  dx ; i c n x  0  t  0 và x   t  1 2 cos x 4 u  t du  dt  t   t t dv  e dt v  e 1 Khi đó B  tet   et dt  e  et  e  (e  1)  1 1 1 0 0 0 V y I 5  A B  2 Bài 15: Tính các tích phân sau:  1 2 2) I 2   ( x  2 x)sin xdx 1) I1   (2 x  1) ln ( x  1)dx 2 2 3 0 0 1 3) I 3   x5e x dx 2 0 Gi i: 2 ln( x  1)dx  u  ln 2 ( x  1) du  t   x 1 (2 1) dv x dx   2 ... 1  1  +) Khi đó I 2   dt dt        2  (t  1)2 (t  1)3   t  1 2(t  1)2  2 2(e  2)2  8 (t  1)3 2 (t  1)3 1 e +) V y I 2  e e e  4e 3  2(e  2) 2 8 2  1 Bài 13: Tính các tích phân sau: 1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx 0 4 2) I 2   x tan 2 xdx 0  1 3) I 3   (2 x  3)e2 xdx 0 4 4) I 4   e x (cos 2 x  sin 2 x)dx 0 1   5) I 5   ln 1  x dx 0 Gi i: Hocmai.vn – Ngôi... trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân   2  cos3 x 2  cos3 x   cos x   2  ( x  1)  cos x  Khi đó I 2  ( x2  2 x)   dx 3  3 0   0  22   ( x  1)  3cos x  cos3 x dx 30 du  dx  u  x  1  t   sin 3 x... trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1 1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx 0 +) dx  du   ln( 1) u x     x 1 t   2 2 dv  ( x  5)dx v  x  5 x  x  10 x  2 2 1 1 x2  10 x 9 1  11  x2  10 x +) Khi đó I1  ln( x  1)