Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ĐẶT ẨN PHỤ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Hệ phương trình: Đặt ẩn phụ thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình   x 12  y  y (12  x )  12 (1) Bài Giải hệ phương trình:  (x, y  R) x  x   y  (2)   Giải  2  y  12 2  y  12 Điều kiện :    12  x  2  x  (ĐH khối A – 2014) Đặt a  12  y , a   y  12  a PT (1)  xa  (12  a )(12  x )  12  122  12 x2  12a  x2 a  12  xa  xa  12   2 2 2 2 12  12 x  12a  x a  12  2.12.xa  x a  xa  12   2 12 x  2.12 xa  12a   xa  12   ( x  a )  Ta có (x – a)2 =  x = 12  y (*) Thế (*) vào (2) : (12  y) 12  y  12  y   y   (4  y) 12  y  y    (3  y) 12  y  12  y    y    (3  y) 12  y  3 y 2(3  y)  0 12  y   y  y     12  y   0  12  y   y  x  Vậy  y  vo nghiem 2   y ( x  x  2)  x( y  6) Bài Giải hệ phương trình:  2  ( y  1)( x  x  7)  ( x  1)( y  1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT Giải ĐK: x, y  R a  x  Đặt  , ta có hệ trở thành: b  y b(a  1)  (a  1)(b  6) (a  1)(b  6)  b(a  1) (*)      2 2   (b  1)(a  6)  a(b  1) (b  1)(a  6)  a(b  1) (**) Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có: a  b (a  b)(a  b  2ab  7)     a  b  2ab    Trường ab thay a  (a  1)(a  6)  a(a  1)  a  5a     a  hợp 1: vào phương trình (*) ta có: x    hệ có nghiệm (x; y) là: x   Trường hợp 2: a  b  2ab   2 5  5  Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có:  a     b    2  2  a  b  2ab    2 Vậy ta có hệ phương trình:  5  5  a     b    2  2  a  a  a  a  Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm:  ; ; ; b  b  b  b  Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2)  x  1  y   y    ( x, y  ) Bài Giải hệ phương trình sau:  y y  x   x     Giải Điều kiện: x    Đặt t  x  1, t  Khi x  t  hệ trở thành t (1  y)  y   t  y  2ty   (t  y)  2ty      2  y( y  t )  t    y  ty  t   (t  y)  3ty   t  y  y  t  Suy 2(t  y )  3(t  y )    t  y   y  t  2    Với y  t , ta có 2t    t  Suy x  2, y  3  13  3  Với y  t  , ta có   2t  t      4t  6t    t   2 Suy x  19  13  13 , y Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  2 x  y  y  x  (1) Bài Giải hệ phương trình:  3   x  y  y  x (2) Giải ĐK: x  y  Đặt : t  x  y ( t  0) t   t 1  t  3 1  t  2t     x2  y   x2  y  2 x  y   Khi hệ phương trình tương đương  3   x  y  y  2x 2  2 x  y  2 x  y    3 2 2 x  y  y  x x  y   5 x  x y  xy  y  (3)    Trường hợp 1: y     2 x  Hệ phương trình tương đương  ( vô lí )  5 x  Vậy cặp ( x , 0) không nghiệm hệ TH2 : Chia hai vế ( ) cho y ta có hệ phương trình tương đương 2 x  y  2 x  y     x    x 3 x x  y 1 5           y y y         x  y    x  y  1 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S  1;1 ,  1; 1 Đặt ẩn phụ 2y   x2  y 1  x   Bài Giải hệ phương trình sau:   x  y  x  22  y Giải Điều kiện: x  0, y  x2 + y2 -  x Đặt u  x  y  v = Hệ phương trình (I) trở thành y 3 u  2v  13v  21  u    1     u v v3 v u  21  4v      u  21  4v Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT u  x   x  3 + Với    v  y 1  y  1  u   x  14   +Với   y  v     x  14    y  4  53 53 53 53   2  2  Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14  14 ; ;       53 53 53 53        x  y  x  y  1  25  y  1 Bài Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  x  y  Giải Hệ phương trình tương đương    x  y  x  y  1  25  y  1   2   x  y  x  y  1   y  1  10  y  1  Nhận xét y   không nghiệm hệ phương trình   x  y   x  y  1   25  y 1 Chia hai vế phương trình hai cho y  ta có  2 x  y  y    x  y  1  10   x2  y a   Đặt  y 1 b  x  y    x  y   y  1 a.b  25 a   Khi ta có     a  b  10 b   x  y   10  11  Vậy hệ có nghiệm  x; y    3;1 ,   ;   2    x  x y  y  y   Bài Giải hệ phương trình:  3 2  x y  x y  y  xy   Giải Nhận xét y  không nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình cho y hai y 1   x  x   y2  y     x3  x  x     y y y3   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  a  x  y  Đặt  b  x y  Hệ phương trình biến đổi tương đương ta có : a  2b   a  a  x  a  a  2b       a  2ab  b  y 1 a   a     Hệ có nghiệm  x; y   1;1 5y  x  x2  y  x  y   Bài Giải hệ phương trình:  2 5 x  y  x  y   xy Giải Hệ phương trinh tương đương: 5y 5y 5y  x  x  x  x2  y  x  y   x2  y  x  y   x2  y  x  y        2 5 x  y  x  y  5 x  y  y  x   x  y  y  x     x y x x y 5y x  a  b  a  x  y a  b  a    Đặt  ta có  1   ab  b   a  b  b  y  x y 3 3 Hệ có nghiệm  x; y    ;  2 2  x  y   25 y  x (1)  Bài Giải hệ phương trình:  2   x  y   y (18  x ) (2) Giải Dễ thấy với y  hệ pt vô nghiệm Xét y  Chia (1) cho y , chia (2) cho y ta hệ  x   x4 x2   y   2( x  1)  25   y   2  25  y y y  y     2 x   y   x  18  x 1  y  y  y  x  18 y   x2  a  y  y Đặt  ta hệ b  x   a   a  2b  27 b  11    a  9 a  b  18   b  27 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  x  11  x  11 a  + Với  ta giải   b  11 y  y  a  9 + Với  vô nghiệm b  27  x  11  x  11 Vậy phương trình cho có nghiệm   y  y  2 y  x  2( x  1)   Bài Giải hệ phương trình:  2( y  x)   x 1  Giải ĐK: x  Hệ phương trình cho trở thành 2 y  x  2( x  1)    2 y  x  ( x  1)  x 1  a  y  x Đặt  Khi hệ cho trở thành b  x   b  1( L) a  2b  b   b 2b   a     b      1 b  a  b  a  b   a  b  b b    b a  x y2 Với  b  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y  3   xy  1  y (9  xy ) Bài Giải hệ phương trình:    xy (5 y  1)   y Giải Nhận thấy y  không nghiệm hệ Xét y  hệ cho biến đổi thành  xy  3   ( x  y )  2(9  xy )   2(9  xy )  y     1 3y   x    xy  x (5 y  1)   y  y  Đặt a  x  , b   xy ta hệ y a3  2b a    a  b   b  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) a  Với  ta có hệ b  PT – HPT- BPT  x  x   y   y 1 9  xy   Vậy hệ cho có nghiệm x  y  2   x  y  x  y  12 Bài Giải hệ phương trình   x, y  2 y x  y  12   Giải Điều kiện: | x |  | y |  u  x  y ; u  1 u2  Đặt  ; x   y không thỏa hệ nên xét x   y ta có y   v   2 v  v  x  y Hệ phương trình cho có dạng: u  v  12  u2  u  v    12 2  v    Đến sử dụng phương pháp rút ta dễ dàng tìm kết toán  3( y  y )(1  x  2)  x  x   Bài Giải hệ phương trình:   2 y  y  x   Giải ĐK: x  Ta có   3( y  y )(1  x  2)  x  x   3( y  y )(1  x  2)  ( x   x   1)    2   2 y  y  x   2( y  y )   x   2 a  b  a  y  y 3ab  b  b   2a  Đặt  ta     a  11 , b    2a  b  10a  21a  11  b   x  10   1   x  2, y  Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm :  Vì b   x    b  không thỏa  1   x  2, y   mãn Vậy hệ có nghiệm  2 x  y   x  1 y  1  Bài 10 Giải hệ phương trình:  , với x  x, y  R 3 y   x3  y    Giải Điều kiện: (2 x  1)( y  1)  , Phương trình (1)   x  1   y  1   x  1 y  1  Từ giả thiết x0 ta có x    y   Đặt a  x  1, b  y  ta có (1) trở thành: a  2b2  ab  a  b  a  b2  ab  b2    a  b  a  2b      a  2b  0(l )     Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT Với a  b ta có: x   y   y  x thay vào phương trình (2) ta có: x   8x3  x    x    x    x   x , (*) Xét hàm số f (t )  t  t ta có f '(t )  3t   0, t  R  hàm số f (t ) đồng biến R Do PT (*)  x   x  8x3  x    x  ( n) Với x   y   2( x  1)(4 x  x  1)     x   (l )       x3  y 3 x  y     x  y   xy  xy xy Bài 11 Giải hệ phương trình:   5x  y  5x    y   ĐK: x  ;0  y  u  x  y, u  0; v  xy , v  Đặt u u   u  u  2  u  u v  uv  v    2         1     u  2v v v   v  v   x  y  xy   x y  0 x y thay vào  2 , ta được: 5x  1 x     3x    x  1    3  5x   2  x 1  x 1   5x 1  x    x  3x  x  1 y     3   x   2  x 1 VN x2 KL: tập nghiệm hệ pt là: S  1;1    y  8x2    3 y  y   Bài 12 Giải hệ phương trình:  4  3 y   y   12 x  y   x  1 ĐK: x 2   2   a  3a  2a  3b  b  a  y  Đặt:  , ta có:   a  b  b thay vào 2  a  3a  a  2b  b   x , b   b     1 , ta được:   b  b2  b  b2  b  3b2  b   b   a     1 4x  x   Khi ta có:   2 y       y  1         KL: S   ;1 ;  ; 1 ;   ;1 ;   ; 1          Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  x 1 4    x 1  x  y 1 y 1  y  Bài 13 Giải hệ phương trình:  y 1   y  1 x  1 x   y    ĐK: x  1; y  a  x  1, a   x   x  b  2   Đặt:  Ta có 1   b    a 2b2  2ab  ab2    a   y    y  b  y  1, b  thỏa hệ phương trình KL: S  1;5  2  0  x  y  xy   x  y  Bài 14 Giải hệ phương trình:  2 y     x y Giải Điều kiện: x  y  Hệ phương trình biến đổi tương đương 2   0 2  x  y    x  y    x  y    x  y    x  y      x y a  x  y  Đặt  b  x  y  x  y   2 2a  b    Ta có hệ tương đương  a  b      25 5 25  2  2 a  b   a 2  b    b     4       a  b  5 b  5 a  b     4    13 3  Vậy hệ có nghiệm  x; y    ;  ,  ;  8 8  8  Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tuấn : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -