Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PH PT – HPT- BPT NG TRÌNH VÔ T Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng gi ng Ph gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn h p xem tài li u v i gi ng Ph Bài Gi i ph H ng d n ng trình : i u ki n: 1  x  Ph ng trình t ng trình vô t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t ng pháp dùng B t đ ng th c - Vector x   x2  5x   5x2  20 x  15 ng đ ng v i  5 56  (1)  x   x2  x   x2  1   x     5   56     x  1  Ta có: x  1   x      5 5         5 ng th c x y x  1     M t khác:  x   x2  x     x   x2  x   (1  4) (2  x)2  x2  x  5   5 x  ng th c x y    x  2 1        x x x 2( 5) (2 )    V y nghi m c a ph Bài Gi i ph H  5 ng trình là: x  1     ng trình : 13 x2  x4  x2  x4  16 ng d n k: 1  x   Bi n đ i pt ta có : x2 13  x2   x2   256 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:  13 13  x2  3  x2   13  27 13 13x   3x   40 16 10x  2 2  16  Áp d ng b t đ ng th c Côsi: 10 x2 16  10 x2      64  2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT   x  x2   1 x  D u b ng x y     10 x2  16  10 x2  x    Bài x2  x   x3  x H ng d n K: x  Áp d ng b t đ ng th c Côsi v i s không âm: x; x2  có 1 x2  x  x2  x  x2  x  x2  x  4 x( x2  4)      ( x  2)2  Ta có: 2 4 ( x  2)  0, x nên x    x  Th l i x = nghi m c a ph ng trình x3  x  V y ph ng trình cho có nghi m x =  5 36  ng trình :  x2  x   x2  1   x    Bài Gi i ph H ng d n i u ki n: x   Chia hai v ph ng trình cho x  ta có đ c 4x   x   5( x  1) x3 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có VT  x  Do ph x  x   x3 x3 Bài Gi i ph H 9  65 x3  x x ng trình  x   K t h p u ki n ta có x  x     5( x  1)  VP  x3 x3   x   x  3  9  65 nghi m c a ph ng trình x  x  ng trình 1  1 x x ng d n K:  x0  x    x  x 1  1    x  x0  Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho s v không âm, ta có: x 1 1      x    x x x  Hocmai.vn – Ngôi tr  x  1 1  1 1   x   1   x     x x x x  x x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  1  1   x   x D u “=” x y ra, đó:   x2   x  x2  x      1 x 1  x   x  V y ph ng trình có nghi m x  Bài Gi i ph H ng d n ng trình 1 x2  x  x  x2  x   x2  x    x 1 K:  x  x  Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho s x2  x; x  x2 ta có: x2  x  x  x2  x  x  x  x  ( x  x).1  ( x  x )1    x 1 2 D u “=” x y ra, 2 2  x2  x   x0  x  x  Th l i x = không nghi m c a ph ng trình V y ph ng trình cho vô nghi m Bài Gi i ph H ng d n ng trình 16 x4   x3  x Do 16 x4    x3  x   x(4 x2  1)   x  Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho s d ng 4x; 4x2 + 1; ta có: x  (4 x2  1)   3 x(4 x2  1).2  x(4 x2  1)  x2  x   x3  x  x2  x   16 x4   x4  x3  x    (2 x  1) (2 x2  x  1)   (2 x  1)  0(do2 x2  x   0, x) Mà (2x – 1)2  0, x nên 2x – =  x  Th l i x  V y x nghi m ph nghi m c a ph Bài Gi i ph H ng d n ng trình ng trình ng trình: x3  11x2  25x  12  x2  x  Ta có: x3  11x2  25x  12  x2  x   (7 x  4)( x2  x  3)  x2  x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT 11 vì( x2  x   ( x  )2   0) Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho s âm x  4, x  x  k: (7 x  4)( x2  x  3)   x    x  Ta có: (7 x  4)  ( x2  x  3)  (7 x  4)( x2  x  3)  x2  x   x3  11x  25x  12  x 1 (tho u ki n) D u đ ng th c x y : x   x2  x   x2  x     x  Th l i x  1; x  nghi m V y ph ng trình cho có nghi m x  1; x  Bài Gi i ph H ng trình  x   x  x2  v i ( x  0) ng d n V i x   x 1  1 x   x  K:  x  Ta có: (  x   x  2)(  x   x  2)  (  x   x)2  Vì th (  x   x  2)(  x   x  2)(  x2  1)  (  x2  1)(  x2   (1  x2 )    x2 (1) Do v y:  x   x   2 x2 (  x   x  2)(  x2 1) V i  x  , ta có  x2   Theo b t đ ng th cCôsi: (  x   x2 )   (1  x)2  (1  x)2  (1  1)  2.2    x   x    x   x     Suy ra: 2 x2 (  x   x  2)(  x2    x2 (2)  x2  x2 x2  1 x  1 x   1 x  1 x   4   x 1  Do d u: “=” x y nên   x0   1 x  1 x T (1), (2)   x   x   Bài 10 Gi i ph H ng d n ng trình  x2   x   x  K: 1  x  áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có:  x2  (1  x)(1  x)   x2   x.1  Hocmai.vn – Ngôi tr  x  x  1 x 1 1 x 1 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT C ng t ng s b t đ ng th c chi u ta có:  x2   x   x    x   x M t khác, theo b t đ ng th c Côsi ta có: (1  x)   x  x  (1  x)1   2 (1  x)   x 2 x 2 x  x  (1  x)1    1 1 x  1 x  1  3 2 2 V y  x2   x   x  Do ph ng trình có nghi m  d u b t đ ng th c (1) x y  1 x  1 x   x  (Tho u ki n)  1 x   1 x   V y ph ng trình cho nghi m x = Bài 11 Gi i ph H ng d n x2  8x  816  x2  10 x  267  2003 ng trình gi i toán ta c n ch ng minh b t đ ng th c Min-c p-xki: a  b2  c2  d  (a  b)2  (b  d )2 D u “=” x y  a.d  b.c Ch ng minh: Do v không âm, bình ph ng c b t đ ng th c ta đ c a  b2  c2  d  (a  b )(c2  d )  (a  c)2  (b  d )2  (a  b2 )(c  d )  ac  bd (1) N u ac  bd  b t đ ng th c đ N u ac  bd  , ta có c ch ng minh (1)  (a  c)2 (b  d )2  (ac  bd )2  a 2d  b2d  2adbc   (ad  bc)2  (đúng) D u “=” x y  ad  bc Ta có: D u “=” x y nên   x11 V y ph  20  x    44  11x  20 x  100  x   ng trình có nghi m x  Bài 12 Gi i ph H ng trình 56 31 56 31 x2  x   x2  x   x2   32 x  x2  32  ng d n Xét : x2  32 x2  x2  3   1 64  x   x2  3   x2  3   3 2 x x       Áp d ng b t đ ng th c Côsi: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  1 64 2 4x   4 x  x  3 2 2 x2  x2  3 x2  x2  3  32 Suy v trái  x2    5 1 2 x  x2  3 32 PT – HPT- BPT     4 6.64     Xét : x2  x   x2  x    x2  x    x2  x   x2  x    x2  x   x2  x   x   x2  x  1 N u x    x   (1) N u 2x 1   x  2 (1)  x  x   4( x2  x  1)   V trái <  v ph i V y ph Bài 13 Gi i ph H ng trình x y   y x   ng trình vô nghi m xy ng d n K: x  4, y  Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có: y x y   y x   x  y  11   x    x y   y x   xy xy     xy 2 2 4  y 1  x   tho u ki n Do d u “=” x y nên  y  x   V y nghi m ph ng trình x  8; y  Bài 14 Gi i ph H x  xy  x y  z  xy x  11  xyz 12 ng trình ng d n K: x  4; y  9; z  Áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có: x  yz  x y  z  xy z   xyz   x   2x   y   3y  x  x  z  1 z  y9 1  y x   y     1 1 11       z.2 x.2 y.2 12 x    x8   Do d u “=” x y nên  y     y  18  z 1   z2   V y ph ng trình có nghi m  x; y; z  8;18; 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 15 Gi i ph H PT – HPT- BPT 2002 x2  6000 x  x3  x2  x   7995 ng trình  2003 x2  3x  ng d n K:   x  2x  x    x  1  x      x  x  3x   x x           v i x  x2  3x   2002 x2  6000 x  x3  x2  x   7995 x2  3x  Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho s không âm x2  x  18 ta đ V trái x  1   x  18  c 9 x  18  x2  1 2002 x2  6000 x  x2    x  18  7995 2003x2  6009 x  8012 2003  x  3x    VT     2003(1) x2  3x  x2  3x  x2  3x  V y ph ng trình cho có nghi m  d u th ng đ ng  9 x    x2   x  16  x2  x  19    x    V y ph ng trình có nghi m x  Bài 16 Gi i ph tho mãn u ki n 9 ng trình sau x2  x  x   3x2  x   x4   (1) x y x2  1 x 1  x2  x3  x2  x   x2  x  19 x2    x  x2  x (4  x)( x  2)  4  x  x   6x 3x  x3  30 x2  x   x2  5x   3x2  x  x2  x   x  x2   x2  x  x4  3x3  x2  16  12 3x2  14  x3  x  2(1  x2  x  1) 10 x3  3x2  8x  40  4 x   11 x x    x  x2  12 27 x2  24 x  13  x   x  15 1 2x 1 2x   2x  2x x  1 x  x  1 x   x  3x2  x4  x3  x2  3x   17 H ng d n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 14 28 27  1 x  x3  64  x3  x4  8x2  28 16 16 x4   x3  x 18  x2   1    x  x x  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT Áp d ng B T Bunhiacopski ta có: i u ki n: x  VT  x x   x   ( x  1)(3x  1)  VP 1 x   x x 2x 1 ng th c có  i u ki n: x  2 Ta có: VT  ( x  2)( x2  1)  ( x2  1) x  18  x2  x  19  VP  x  2 ng th c có  x2   x  18    x  x  17   149 nghi m c a ph i u ki n: | x |  x Ph ng trình        x4    x4   x2   ng trình x2    x2     x4     x4   x2  (*) VT (*)   VP (*)  (*)  x  i u ki n: 2  x  4 Ph ng trình  x2   x   ( x  1)2  x   x2  12  x2  x   3( x  1)2   x  Th l i ta th y x  nghi m c a ph ng trình  4 x x  Áp d ng B T Côsi ta có: (4  x)( x  2)    1    (4  x)( x  2)  (1) x 3x  27 x3  x3  27 (2) Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có:  4  x  x   2 4  x  x T (1), (2) (3) ta có nghi m c a ph Ta có: VT  ( x  2)2   (1)   16  4  x  x   (3) ng trình x  VP  2( x2  x  2)  2  ( x  2)   (2) T (1) (2)  x  nghi m c a ph ng trình 1 1  i u ki n:  x 2 Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có: VT  2( x2  x   x  x2  1)  x (1) Áp d ng B T Côsi, ta có: VP  ( x  1)2  x   x   x (2) T (1) (2)  x  nghi m ph ng trình k: x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) G i A, B l n l t VT VP c a ph PT – HPT- BPT ng trình Ta có: A  ( x  x  1)( x  2)  3x  12  x  ( x2  4)  Áp d ng B T Côsi cho ba s ta có: 2 2 A  3 16 x2 ( x2  4)  ( x2  4)  12 x2  16  12 3x2   B ng th c có  x  V y ph ng trình có nghi m nh t x  i u ki n: x2  x   (1) Ta có: 14  x3  x  2(1  x2  x  1)   14  x3   x  14  x3   12 x  x2  x3  x2  x   (2) T (1) (2)  x2  x    x   nghi m c a ph 10 Ta ch ng minh : ng trình cho 4 x   x  13 x3  3x2  8x  40    x  3  x  3  x  13 T suy ph ng trình có nghi m nh t x  11 i u ki n : 1  x  Trong m t ph ng Oxy xét : a   x;1 , b   x  1;  x  Khi a.b  x x    x, a b  x2  M t khác: a b  a b ng th c có  a , b chi u Do (1)  a , b chi u  V y nghi m c a ph x x 1   x  1; x   3 x ng trình : x  1; x   12 i u ki n : x   Ph ng trình cho t ng đ ng v i ph ng trình (9 x  4)2 3(9 x  4)   1 t (9 x  4)  y , suy y  24 3y 3y y2 y2   1 4   1  y (bình ph Khi ta đ c 3 y6 Theo B T Cô-si ta đ c y  , đó: 4 ng hai v )  y2  y2   y       ( y  2)    y2  48  y2  12 y  12  y2  12 y  36   ( y  6)2  th a mãn u ki n ng trình có nghi m nh t x  T ta đ V y ph c y  , suy x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT 1 13 i u ki n :   x  2 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có  x   x  1  x   x  D u ’= ‘ x y x  Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có: 1 2x 1 2x   D u ‘=’ x y x  1 2x 1 2x V y ph ng trình cho có nghi m x  14 i u ki n : 2  x  Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có  x3  64  x3  8  x3  64  x3   12 D u ’= ‘ x y x  28 M t khác : x4  8x2  28   x2  4  12  12 D u ‘=’ x y x  2 T suy ph ng trình cho vô nghi m 15 i u ki n:  x  Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có: x   x   x   x  D u ‘=’ x y x  x  1 x  Do ph 16 T ph   x   x  D u ‘=’ x y x  ng trình có nghi m nh t x  ng trình ta có x  Ta có: x3  x  3 2.4 x(4 x2  1)   x  x2  Nên 16 x4   x2  x   8x4  x2  x    (2 x  1)2 (2 x2  x  1)   x  V y x  nghi m nh t c a ph ng trình cho 17 Ph ng trình cho t ng đ ng v i 3x2  x  (2 x2  x  1)  ( x2  3) (1)  2 Áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng ta đ c VT(1)  VP(1) Do (1)  x2  x   x2   x2  x   T ph ng trình có nghi m x  1 x  (2 x2  x  1)( x2  3)     x   18 i u ki n:    x   V i u ki n đó, ph ng trình cho t  x2   Hocmai.vn – Ngôi tr ng đ ng v i 1  x   4(1) x x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta đ PT – HPT- BPT c: (  x2  x)2  (  x2  x.1)2   2  1  1          1  x x  x x   Suy VT (1)  = VP (1)   x2  x   Do (1)   , ngh a d u b ng h x y 1    2  x2 x  T ph ng trình có nghi m nh t x  Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... HPT- BPT c: ( 2  x2  x )2  ( 2  x2 1  x.1 )2  4  2 2  1 1  1 1   2  2     2  2 1  1  4 x x  x x   Suy ra VT (1)  4 = VP (1)  2  x2  x  2  Do đó (1)   , ngh a là d u b ng trong h x y ra 1 1    2 2  x2 x  T đó ph ng trình có nghi m duy nh t là x  1 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58- 12 : Lê Anh Tu n... th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là các khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58- 12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c... Nam 5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian đi l i Chi phí ch b ng 20 % so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích... ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn nh m t i u đi m s d a trên h c l c t i th i đi m tr c kì thi THPT qu c gia 1, 2 tháng -