Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) CÔNG TH C L ây tài li u tóm l L NG GIÁC – PH NG TRÌNH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N c ki n th c kèm v i gi ng Công th c l ng giác – PT l B N ng giác c b n thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài t p 1: Gi i ph a )sin x  sin ng giác – S ph c có th n m ng trình sau:  c)sin 3x  b)sin x   sin 360 12 d )sin x  Gi i      x k x     k 2    12 12 a )sin x  sin    k  12  x      k 2  x  11  k 2   12 12   x  360  k3600  x  360  k3600 b) sin x   sin 36  sin x  sin 36     0 0  x  180  36  k360  x  216  k360  x  180  k1800  k  0  x  108  k180   2   3x   k 2 x k    18 c)sin 3x   sin 3x  sin    k   3x  5  k 2  x  5  k 2 18    x  arcsin  k 2  d )sin x    k    x    arcsin  k 2  Bài t p 2: Gi i ph ng trình sau:  2 ; b) cos x  450  a ) cos x  cos d ) cos x  c)cos4 x   4 Gi i  0   a ) cos x  cos     x b) cos x  450    k2  k       x  450  450  k3600  x  450  k3600  cos x  450  cos450    k   0 0  x  45  45  k360  x  90  k360   3 3 3   cos4 x  cos  4x    k 2  x    k , k  4 16 3 d ) cos x   x   arccos  k2 , k  4 Bài t p 3: Gi i ph ng trình sau: c)cos4 x   Hocmai.vn – Ngôi tr  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12   - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) a ) cot 3x  cot 3 L ng giác – S ph c   c) cot  x    6  b) cot x  3 Gi i 3 3    3x   k  x   k ,  k   7  b) cot x  3  x  arctan  3  k  x  arctan  3  k ,  k   4              cot  x    cot  x    k  x   k  x   k ,  k  c) cot  x    6 6 6 6   Bài t p 4: Gi i ph ng trình: a) sin x  3cos x  (1) b) 2(sin x  cos x) cos x   cos x  2 a ) cot 3x  cot  Gi i : Chia c hai v ph ng trình (1) cho 12  32  10 ta đ c: 3 sin x  cos x  10 10 10  sin  ,  cos  Lúc ph ng trình (1) vi t đ 10 10 cos  sin x  sin  cos x  sin   sin(2 x   )  sin x t  x    k  x      k 2    x    k         2 x k   b) 2(sin x  cos x) cos x   cos x  2 Ta bi n đ i ph ng trình (2)  sin x  2(1  cos x)   cos x cd i d ng: k  sin x  (  1) cos x   a ; b  1 ; c   a  b   (  1)   2 c  (3  2)  11  Suy a  b2  c2 Bài t p 5: Gi i ph ng trình a) (1  3)sin x  (1  3) cos x  (3) Th c hi n phép bi n đ i 1 1 (3)  ( )sin x  ( ) cos x   2 2 2 t Ph 1  cos x; 2 ng trình (3) s đ 1  sin x 2 c vi t thành sin x.cos   sin  cos x       x     k 2  x     k 2    x        k 2  x  3    k 2 4   V y ph ng trình có hai h nghi m b) cos x  sin 5x  3(cos5 x  sin x) (4) Hocmai.vn – Ngôi tr b) cos x  sin 5x  3(cos5 x  sin x) ng chung c a h c trò Vi t (4)   sin( x   )  sin ,k T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c cos x  sin x  cos x  sin x  3 cos x  sin x  cos x  sin x 2 2  cos  cos x  sin  sin x  cos  cos x  sin  sin x        x   x   k 2 x   k x   k 2      6 12  cos(7 x  )  cos(5 x  )     7 x      (5 x   )  k 2 12 x  3  k 2  x    k   6  V y ph kZ ng trình có hai h nghi m Bài t p 6: Gi i ph ng trình sau: a )3sin 2 x  cos x   b)7 tan x  4cot x  12 Gi i a )3sin 2 x  cos x     cos 2 x  cos x      3cos 2 x  cos x   cos x  3cos x    cos x   3cos x     k  x  *) Gi i ph ng trình: cos x   x  *) Gi i ph ng trình: 3cos x    cos x  Vì  nên ph  k  ,k   ng trình 3cos x  vô nghi m K t lu n: v y nghi m c a ph ng trình cho x  b)7 tan x  4cot x  12 1  k  ,k   i u ki n: sin x  cos x  Khi đó:  12   tan x  12 tan x   1  tan x  tan x t t  tan x , ta gi i ph ng trình b c hai theo t: 7t  4t  12  Bài t p 7: Gi i ph ng trình a) sin x  cos x  2sin x cos x   (1) b) tan x  3cot x  4(sin x  cos x) (2) c) tan x  cot x  sin x  cos x    (3) Gi i: a) t sin x  cos x  t u ki n | t | Lúc sin x cos x  t 1  t 1  ng trình (1) s có d ng t    1    t  1  t2  t     (*) t  V i t  không tho mãn u ki n nên Khi ph Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c  t  1  sin x  cos x  1   x    k 2  k  sin( x  )  1  sin( x  )     4  x    k 2 b) tan x  3cot x  4(sin x  cos x) (2) k i u ki n: sin x.cos x   x  k  (sin x  3cos x)  4(sin x  cos x) sin x.cos x  (*)   (sin x  cos x)(sin x  cos x)  4(sin x  cos x) sin x.cos x Ta có (2)  (sin x  cos x) (sin x  cos x) sin x    sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  Ta có (3)  tan x    x    (4) (3)  k (5)   sin x  cos x  sin x  cos sin x  sin cos x  sin x 2 3     x    l 2 x  x   l 2    3  sin( x  )  sin x    l   6  x    x    l 2  x  4  l 2 3   Các giá tr c a x (5) (6) đ u tho mãn u ki n c a ph ng trình V y theo ph ng trình có hai h nghi m c) tan x  cot x  sin x  cos x    (3) k i u ki n sin x   x  k  3  tan x  sin x  3(cot x  cos x)     4   (sin x  sin x cos x  cos x)  (sin x  sin x.cos x  cos x)  cos x sin x (  )(sin x  sin x.cos x  cos x)  cos x sin x   0    cos x sin x sin x  sin x.cos x  cos x  Gi i (4)  tan x   x  Gi i (5): (4) 5   k k  t t  sin x  cos x  cos(  x) t 1 Suy sin x cos x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t | t | (*) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ph ng trình (5) tr thành t  L ng giác – S ph c t   t 1   t  t 1    t   K t h p v i u ki n (*) t   b lo i V i t   ta có    cos(  x)    cos(  x)  4     l 2  , l 4 Các nghi m c a ph ng trình (4) (5) đ u tho mãn u ki n c a ph ng trình V y ph ng trình có ba h nghi m Bài t p 8: Gi i ph ng trình: sin x  cos6 x x x a) cos  sin  sin x b)  tan x  cot x   (1) sin x 2 Gi i : x x x x x x a)Ta có: cos4  sin  (cos  sin )(cos2  sin )  cos x 2 2 2 Ph ng trình (1) có d ng cos x  sin x  cos x  2sin x.cos x  cos x(1  2sin x)    x    l 2  x   1  cos     x   k 2   sin x  5    k 2 k    x    cos x   x    k 2  V y ph ng trình có h nghi m sin x  cos6 x  tan x  cot x   b) sin x i u ki n: sin x  sin x cos x ) Ph ng trình (2)  8(1  sin 2 x)  2sin x(  cos x sin x 1  sin 2 x   6sin 2 x  4sin x 2  (8  6sin 2 x) sin x   2sin 2 x sin x  3sin x  sin x  4sin x    (sin x  1)(3sin 2 x  2sin x  2)     sin x  x   k   sin x    1     sin x   L   x    k 3sin x  2sin x    x      k   1  x sin sin      Các nghi m đ u tho mãn u ki n sin x  V y ph ng trình có h nghi m Bài t p 9: Gi i ph ng trình : a) cos2 x  6sin x.cos x   1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t  b) sin3 ( x  )  sin x  2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 k (2) - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c  tan x   sin x (3)  tan x Gi i: a)Ph ng trình (1)  3(1  cos x)  3sin x    cos x  sin x  c) 3  cos x  sin x   cos(2 x  )  2       x    k 2  x   k 2 k    x       k 2  x    k 2   12  V y ph ng trình có hai h nghi m  b) sin ( x  )  sin x   (2)  Ta nh n th y sin( x  ) có th bi u di n đ c qua sin x  cos x Lu th a b c ba bi u th c sin x  cos x ta s đ a ph ng trình v d ng thu n nh t bi t cách gi i     ng trình (2)  2 sin ( x  )  4sin x   sin( x  )   4sin x 4    (sin x  cos x)  4sin x Ph +) Xét v i cos x   x      k 2 k  Khi ph ng trình có d ng  sin (  k )  4sin(  k )  mâu thu n 2   k 2 làm nghi m +) V i cos x  Chia c hai v c a ph ng trình (2) cho cos3 x ta đ (tan x  1)3  4(1  tan x) tan x  3tan x  3tan x  tan x 1  t t  tan x ph ng trình có đ c đ a v d ng: V y ph ng trình không nh n x  3t  3t  t    (t  1)(3t  1)   t   x   H nghi m tho mãn u ki n c a ph ng trình V y ph ng trình có nh t h nghi m  c:  k k    x   k cos x  c) (3) i u ki n  k   tan x  1  x     k  cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x Bi n đ i ph ng trình v d ng : cos x  sin x Chia c hai v c a ph ng trình (3) cho cos x  ta đ c :  tan x  1  tan x tan x  1  tan x  tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   tan x  (*)  tan x   sin x  tan x (do tan x  tan x   vô nghi m) nên: Ph V y ph ng trình có m t h nghi m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ng trình (*)  tan x   x  k Giáo viên Ngu n k   : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -