Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Các toán hay khó thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài L y ng u nhiên l n l t ch s khác t ch s {0; 1; 2; 3; 4} x p thành hàng ngang t trái sang ph i Tính xác su t đ nh n đ c m t s t nhiên có ch s Gi i:  t: S = {0; 1; 2; 3; 4}  S cách l y ch s khác t p S x p chúng thành hàng ngang t trái sang ph i là: A53 cách  G i A bi n c nh n đ c m t s t nhiên có ch s khác Gi s s t nhiên có ch s đ c t o thành abc (a ≠ 0; a, b, c S) Khi đó: a có cách ch n b có cách ch n c có cách ch n T ta suy ra: n(A) = 4.4.3 (s ) 4.4.3  V y xác su t c n tìm là: P ( A)   A5 Bài M t h p ch c qu c u màu đ , qu c u màu xanh qu c u màu vàng L y ng u nhiên lúc qu c u t h p Tính xác su t cho qu c u đ c l y có m t qu c u màu đ không hai qu c u màu vàng Gi i:  S cách l y qu c u b t kì h p là: C164 cách  G i A bi n c l y qu c u có m t qu c u màu đ không hai qu màu vàng  Ta xét tr ng h p sau: - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh Tr ng h p có : C41 C53 cách  - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh qu vàng  Tr ng h p có : C41 C52 C71 cách - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh qu vàng  Tr ng h p có : C41 C51.C72 cách T suy : n(A) = C41 C53 + C41 C52 C71 + C41 C51.C72 (cách) C41 C53  C41 C52 C71  C41.C51.C72 37  C164 91 Bài G i M t p h p s t nhiên có ba ch s đôi m t khác đ c l p t ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; Ch n ng u nhiên m t s t t p M, tính xác su t đ s đ c ch n s có t ng ch s m t s l Gi i:  t: S = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}  G i s t nhiên có ba ch s đôi m t khác đ c l p t S a1a a3  Tính s s có ba ch s đôi m t khác đ c l p t S: a1 có cách L p a a có A62 cách T suy ra: n(M) = 6.A62 (s )  G i A bi n c s ch n có t ng ch s m t s l  V y xác su t c n tìm là: P ( A)  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton Tính s s có ba ch s đôi m t khác M có t ng ch s s l : - Tr ng h p 1: Có ch s l , ch s ch n:  Tr ng h p có: C31.C42 3! C31.C41.2!  84 s - Tr ng h p 2: Có ch s l  Tr ng h p có: 3! = s 90 T suy đ c: n(A) = 90 (s ) V y xác su t c n tìm là: P ( A)   A6 Bài M t h p ch a 11 bi đ c đánh s t đ n 11 Ch n bi m t cách ng u nhiên r i c ng s bi đ c rút v i Tính xác su t đ k t qu thu đ c s l Gi i:  S cách rút viên bi b t kì t 11 viên bi là: C116 cách  G i A bi n c thu đ c s l  Tính s cách rút viên bi cho t ng s viên bi s l : Ta có tr ng h p sau : Tr ng h p 1: Có bi mang s ch n, bi mang s l Tr ng h p có: C61.C55 cách  - Tr ng h p 2: Có bi mang s l , bi mang s ch n Tr ng h p có: C63 C53 cách - Tr ng h p 3: Có bi mang s l , bi mang s ch n Tr ng h p có: C65 C51 cách T suy ra: n(A) = C61.C55 + C63 C53 + C65 C51 (cách) C61.C55  C63 C53  C65 C51 118  V y xác su t c n tìm là: P ( A)   C116 231 Bài Cho t p E = {1, 2, 3, 4, 5} Vi t ng u nhiên lên b ng hai s t nhiên, m i s g m ch s đôi m t khác thu c t p E Tính xác su t đ hai s có m t s có ch s Gi i:  S s có ch s đôi m t khác đ c l p t E là: A53  60 s    Suy s cách vi t s lên b ng mà m i s có ch s đôi m t khác đ c l p t E là: C602 cách S s có ch s mà m i s m t ch s đ c l p t E là: A43 = 24 (s )  S s có ch s mà m i s có m t ch s đ c l p t E là: 60 – 24 = 36 (s ) G i A bi n c vi t lên b ng hai s mà hai s có m t s có ch s 1 Ta có, s cách vi t hai s lên b ng mà có m t s có ch s là: C24 C36 1 T suy ra: n(A) = C24 (cách) C36 1 C24 C36 144  C60 295 Bài T ch s 1, 2, 3, 4, 5, l p s có ch s khác L y ng u nhiên m t s s đ c l p, tính xác su t đ s đ c l y có ch s ch n, s l Gi i:   V y xác su t c n tìm là: P ( A)  t: S  0,1, 2,3, 4,5,6  S s có ch s đ  S cách ch n ch s ch n t p S là: C32 cách c l p t t p S là: A64 s S cách ch n ch s l t p S là: C32 cách T ch s đ c ch n ta l p s có ch s khác nhau, m i s đ c l p ng v i hoán v c a ph n t Suy s s có ch s l p t S mà m i s có ch s ch n, ch s l là: 4!.C32 C32 s  G i A bi n c s có ch s l p t t p S mà m i s có ch s ch n, ch s l Suy ra: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) P  A  Xác su t – Nh th c Newton 4!.C32 C32  A64 Bài M t chi c h p đ ng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đ đ c đánh s t đ n 20 L y ng u nhiên bút Tính xác su t đ l y đ c nh t bút màu Gi i:  S cách l y chi c bút b t kì t 20 chi c bút cho là: C20 cách  G i A bi n c l y đ  Ta tìm s cách l y bút màu v i nhau:  Tr  c nh t hai bút màu ng h p có: C61.C61.C51.C31 cách V y suy ra: P  A   C61 C61.C51.C31 287  C204 323 Bài G i A t p h p t t c s t nhiên có ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p A, tính xác su t đ ch n đ c m t s chia h t cho ch s hàng đ n v b ng Gi i:  S s t nhiên có ch s 9.104  90000 s  G i s t nhiên có ch s mà chia h t cho có ch s hàng đ n v b ng là: a1a a3a 41  a1    Ta có bi n đ i sau: a1a a3a 41  3.a1a a3a   7.a1a a3a (*) a1a a3a 41 chia h t cho 3.a1a a3a  ph i chia h t cho T (*) ta có nh n xét:   t: 3.a1a a3a   x x   Suy ra: a1a a3a  T (**) ta suy x  ph i chia h t cho x 1 x 1 (**)  2x  3   t x 1  3t  x  3t  t   Khi đó: a1a a3a  7t   1000  7t   9999  t 143,144, ,1428 V y s cách ch n t cho s a1a a3a 41 chia h t cho có ch s hàng đ n v b ng 1286 cách ( ng v i m i t ta đ  c m t s a1a a3a 41 ) T ta có xác su t c n tính là: P 1286 643    0, 0143 90000 45000 Bài X p h c sinh nam h c sinh n ng i vào bàn tròn 10 gh Tính xác su t đ hai h c sinh n ng i c nh Gi i B c 1: S cách x p 10 ng i vào 10 gh bàn tròn là: n()  9!  362880 B c 2: G i A bi n c x p 10 ng i vào 10 gh cho hai h c sinh n ng i c nh  X p chi c gh vào bàn tròn x p nam h c sinh ng i vào gh này, s cách x p 5!  120 cách Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Xác su t – Nh th c Newton đ m b o hai h c sinh n ng i c nh Ta s làm nh sau: Trong v trí nam ng i bàn tròn ta s t o kho ng tr ng N u x p chi c gh l i vào kho ng tr ng (m i kho ng tr ng không x p gh ) x p n vào gh s cách x p là: A64  360  Suy : n( A)  120.360  43200 n( A) 43200   n() 362880 42 Bài 10 Trong s 16 h c sinh có h c sinh gi i, khá, trung bình Có cách chia s h c sinh thành t , m i t có ng i cho m i t đ u có h c sinh gi i m i t có nh t h c sinh Gi i: M i t có ho c h c sinh gi i Vì không phân bi t th t c a t nên s cách chia ph i tìm s cách t o thành m t t có h c sinh có h c sinh gi i nh t h c sinh Các h c sinh l i t o thành t th hai  Tr ng h p 1: Có h c sinh khá: B c 3: V y xác su t c n tìm là: P ( A)   Có cách ch n h c sinh gi i  Có C52  10 cách ch n h c sinh  Có C85  56 cách ch n h c sinh trung bình   Có: 3.10.56  1680 cách Tr ng h p 2: Có h c sinh khá:  Có cách ch n h c sinh gi i  Có C53  10 cách ch n h c sinh  Có C84  70 cách ch n h c sinh trung bình  Có: 3.10.70  2100 cách V y có t t c : 1680  2100  3780 cách Bài 11 T ch s 0, 2, 3, 5, 6, có th l p đ c s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau, hai ch s không đ ng c nh Gi i:   t S  0, 2,3,5,6,8 G i a1a a3a a5 a6 s g m ch s đôi m t khác đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c thi t l p t t p S T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Ta tính s cách l p thành m t s a1a a3a a5 a6 t t p S - a1 có cách - a a3a a5 a có A55 cách T suy ra, có 5.A55 s g m ch s đôi m t khác đ  Xác su t – Nh th c Newton Ta tìm s s ch s đôi m t khác đ c thi t l p t t p S c thi t l p t t p S mà m i s có hai ch s đ ng c nh nhau: - Trong a1a a3a a5 a6 có v trí đ đ ng c nh v trí đ u bên trái ch có m t kh n ng 50a3a a5a , v trí l i có th hoán v cho - Sau ch n đ c v trí đ hai ch s đ ng c nh nhau, ta ch n m t hoán v c a ch s l i T suy ra, có 9.4! s d ng a1a a3a a5 a6 đ  c l p t S mà có hai ch s đ ng c nh V y ta có A55  9.4!  384 cách l p s t nhiên có ch s t t p S mà m i s hai ch s không đ ng c nh Bài 12 M t đ i v n ngh có 10 ng i, có n nam 1) Có cách chia đ i v n ngh thành hai nhóm có s ng i b ng m i nhóm có s n nh 2) Có cách ch n ng i mà nam Gi i: 1) Chia đ i v n ngh thành nhóm có s ng i b ng m i nhóm có s n nh t c chia m i nhóm có ng i mà có n nam  s cách chia là: C63 C42  120 i mà nam là: C65  2) S cách ch n ng S cách ch n ng i mà có nam (và n ) là: C64 C41  60 V y s cách ch n ng i mà có không nam là:  60  66 Bài 13 Cho hình th p giác l i H i có th l p đ c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác l i, nh ng c nh c a tam giác không ph i c nh c a th p giác l i? Gi i: G i A t p h p t t c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác G i B t p h p t t c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác nh ng có nh t c nh c ng c nh c a th p giác G i C t p h p c n tìm ta có: C     (1)  120 (2) D th y   C10 G i B1 t p h p tam giác có đ nh đ nh c a th p giác có c nh c nh c a th p giác; B2 t p h p tam giác có đ nh đ nh c a th p giác có c nh c nh c a th p giác Khi theo quy t c c ng, ta có:   B1  B2 (3) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton tính B1 ta s s d ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n c nh c a th p giác làm c nh c a tam giác S cách ch n n1  10 B c 2: Khi đ nh th c n ch n c a tam giác đ c ch n đ nh l i (tr đ nh c a c nh đ c ch n đ nh khác c a th p giác k v i đ nh y) S cách ch n là: n  Vì th B1  n1n  10.6  60 D th y B2  10 T theo (3), ta có: B  70 (4) T (2) (3) (4) suy ra: C  120  70  50 V y có 50 tam giác th a mãn yêu c u đ Bài 14 M t th y giáo có 12 cu n sách đôi m t khác nhau, có cu n sách V n h c, cu n Âm nh c cu n H i h a (các cu n đôi m t khác nhau) Ông mu n l y cu n đem t ng cho h c sinh, m i h c sinh m t cu n cho sau t ng sau, m i m t th lo i v n h c, âm nh c, h i h a đ u l i nh t cu n H i có cách t ng? Gi i: G i A t p h p t t c cách t ng sách cho h c sinh G i B t p h p t t c cách t ng cho sau t ng sách không đ ba th lo i; C t p h p t t c cách t ng theo yêu c u Ta có: C     (1) 6!  665280 (2) D th y A  C12 cách ch n quy n 12 quy n Sau có quy n có 6! cách t ng quy n sách cho h c ( C12 sinh) Vì   6,5   6,   , nên không x y tr ng h p sau t ng sách xong ch l i th lo i sách Vì th B  B1  B2  B3 , B1 , B2 , B3 t ng ng t p h p t t c cách t ng sách mà sau t ng sách xong, th y giáo h t sách v n h c, h t sách âm nh c, h t sách h i h a Ta có ngay: B1  C17 6!  5040 (Vì B1 t p h p t t c cách t ng sách v n h c sách khác Cu n sách khác tùy ch n cu n l i) T ng t : B2  C82 6!  20160 ; B3  C93 6!  60480 Theo quy t c c ng thì:   B1  B2  B3  85680 (3) T (1) (2) (3) suy ra: C  665280  85680  579600 Bài 15 Cho t p h p E = 1, 2,3, 4,5,6 Có th l p đ c s có ch s không yêu c u đôi m t khác (các ch s ch n t t p h p E) cho m i s t o thành đ u chia h t cho 4? Gi i: Nh bi t m t s có t hai ch s tr lên chia h t cho ch s cu i c a s chia h t cho T t p h p E có th ch n s sau có hai ch s mà chia h t cho 4: 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 52, 56, 64 Ta gi i toán b ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n s cu i, theo ta có s cách ch n n1  B c 2: Ch n s hàng tr m, s cách ch n n  B c 3: Ch n s hàng nghìn, s cách ch n n  Theo quy t c nhân, s s ph i tìm n  n1n n  9.6.6  324 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton Nh n xét: không đòi h i ch s c a s có ch s đôi m t khác nhau, nên cho phép s dùng r iđ - c dùng l i (phép đ m có l p) N u toán đòi h i thêm: Các s có ch s ph i đôi m t khác Các b n th gi i toán v phép đ m không l p áp s : 96 s Bài 16 Có th l p đ m t t i đa l n? c s có ch s cho s có m t t i đa l n, s 2, 3, m i s có Gi i: D th y s có m t t i thi u l n G i 3 t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t l n G i  t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t t i đa l n (ho c m t) G i 5 t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t t i đa l n (ho c m t) Tính 3 b ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n v trí v trí đ đ t s S cách ch n là: n1  C36  20 B c 2: v trí l i đ t ba s 2, 3, S cách ch n là: n  3!  Theo quy t c nhân 3  n1n  120 T ng t ta có 4  C64 32  90 , 5  C56 13  18 Theo quy t c c ng s s th a mãn yêu c u đ là: 3  4  5  228 s Bài 17 T ch s 0;1; 2;3; 4;5 l p đ c n s t nhiên l có ch s , đôi m t khác Tính xác su t đ có th ch n ng u nhiên m t s n s v a l p th a mãn t ng ba ch s đ u l n h n t ng ba ch s cu i m t đ n v Gi i: G i s có ch s đôi m t khác l p t ch s 0;1; 2;3; 4;5 có d ng: A a1a a3a a5 a6 +) A s l : a6 {1;3;5}: Có cách ch n a1 {1;2;3;4;5}\{a6}: Có cách ch n a a3a a5 : Có 4!  24 cách V y s cách ch n A s l là: n  3.4.24  288 (s ) +) A s l th a mãn : a1  a  a3  a  a5  a6   2(a1  a  a3 )  a1  a  a3  a  a5  a6   16  a1  a  a3  ( Vì a1  a2  a3  a  a5  a6        15 ) Khi (a1; a ; a3 ) thu c b s sau : (0;3;5) , (1; 2;5) , (1;3; 4) *) V i (a1; a ; a3 ) ch n t (0;3;5) , suy (a ; a5 ; a ) ch n t (1; 2; 4) (V i a1  a ch s l ) nên s cách ch n A : 2.2.1.1.2.1  *) V i (a1; a ; a3 ) ch n t (1; 2;5) , suy (a ; a5 ; a ) ch n t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t (0;3; 4) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton (V i a ch s l ) nên s cách ch n A : 3!.1.2.1  12 ng t v i (a1; a ; a3 ) ch n t (1;3; 4) ta có s cách ch n A là: 3!.1.2.1  12 *) T V y A s l th a mãn : a1  a  a3  a  a5  a6  g m:  12  12  32 (s ) 32 Khi xác su t th a mãn u đ là:  288 Bài 18: V i n  Ch ng minh r ng: 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  1) 8C  n 1 n 1 n 2) 4Cn0  42 43 4n1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 1 2n1  Cnn  3) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 4) 5Cn0  62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Gi i: 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  1) 8C  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x n 20 +) Suy ra:  (1  x) 20 n dx  12 (1  x)  n 1  21 Hay 8Cn0  n  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx 12 n 1 20 n 1  C 12 n 1  13 n 1 20  x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n   12   8Cn0  202  122 203  123 20n1  12n1 n Cn  Cn   Cn n 1 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 42 43 4n1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 +) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn 2) 4Cn0  +) Suy ra: 4 0 n n n 2  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx 4  (1  x)n 1 x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn   n 1  n 1   5n1  42 43 4n1 n  4Cn0  Cn1  Cn2   Cn n 1 n 1 42 43 4n1 n 5n1  Cn  Hay 4C  Cn  Cn   (đpcm) n 1 n 1 n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton 1 2n1  Cnn  3) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 +) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn 1 0 n n n 2  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx +) Suy ra: 1  (1  x)n 1 x2 x3 xn 1     Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  n 1   2n1  1 1 Cnn  Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 1 2n1  Cnn  Hay Cn0  Cn1  Cn2   (đpcm) n 1 n 1 62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  4) 5C  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x n 6  (1  x) dx   C +) Suy ra: (1  x)  n 1  2 n 1  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx n 1 n 1 n n n 1  x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1    5Cn0  Hay 5Cn0  62  1 63  6n1  n Cn  Cn   Cn n 1 62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -