Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Các toán hay khó thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng có th n m v ng ki n th c ph n Bài Cho l ng tr ABC A' B ' C ' có tam giác ABC đ u c nh a , c nh bên CC ' vuông góc v i đáy CC '  a G i M , J l n l t trung m c a BB ', B ' C ' m thu c đo n A' B ' cho NB '  a Ch ng minh : 1) AM  BC ' 2) AM  (MNJ ) Gi i: A' 1) Ch ng minh AM  BC ' G i I trung m c a BC , đó:  AI  BC   AI  CC '(do CC '  ( ABC )) C' H J N B'  AI  ( BCC ' B ')  AI  BC ' (1) M t khác, m t ph ng ( BCC ' B ') ta có:  MI / / B ' C  MI  BC ' (2)   BC '  B ' C T (1) (2), suy BC '  ( AIM )  AM  BC ' (*) M A C I B 2) Ch ng minh AM  (MNJ ) G i H trung m c a A' B ' , đó: AMB  BHB '  MAB  HBB ' Mà ABH  HBB '  900  ABH  MAB  900  AM  BH (2*) T (*) (2*), suy AM  ( BC ' H ) (3*)  MN / / HB  ( MNJ ) / /( BC ' H ) (4*) M t khác   MJ / / BC ' T (3*) (4*), suy AM  (MNJ ) Bài Trong m t ph ng ( ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx Dy vuông góc v i m t ph ng ( ) chi u Các m M N l n l t thay đ i Bx, Dy cho m t ph ng ( MAC ) ( NAC ) vuông góc v i Ch ng minh r ng: 1) BM.DN không đ i 2) ( AMN)  (CMN) Gi i: 1) Ch ng minh BM.DN không đ i t BM  m, DN  n, AB  a Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) G i O tâm hình vuông ABCD  AC  BD Ta có   AC  ( BMND)  MO  AC  AC  BM Hình h c không gian x y M H N Theo gi thi t (MAC)  ( NAC)  MO  ( NAC)  MO  ON , MN  OM  ON (*) Trong hình thang vuông BDNM ta có: MN  BD2  ( BM  DN)2  2a  (m  n)2 2 C B a2 Ta có OM  BM  BO  m  2 ON  DN  OD  n  O A a Khi đó, (*)  2a  (m  n)2  m2  D a2 a2 a2 a2 hay BM DN   n2   a  2mn   mn  2 2 2) Ch ng minh ( AMN)  (CMN) H OH  MN (H  MN ) Xét tam giác vuông MON ta có: 1    2 OH OM ON m2  n  a   a2 a  a  a  2 m  n  m   n   2   2 1 a2 a4 a4 a2 a4 2  (m  n )  m n  (m  n )  2  4  a  OH  a  AC  OH  2 m2  n2  a m2  n  a 2 Mà HO trung n c a AHC , suy AHC  900 hay AH  CH (1) M t khác, MN  AC (do AC  ( BMND) - ch ng minh ý 1)) MN  OH  MN  ( HAC)  MN  AH (2) T (1) (2), suy AH  (MNC)  ( AMN)  (CMN) Bài Cho tam giác nh n ABC đ m M N l n l ng th ng  qua A vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) Các t thay đ i  cho hai m t ph ng ( MBC ) ( NBC ) vuông góc v i Tìm v trí c a M , N cho đ dài đo n MN nh nh t Gi i: M G i H hình chi u c a A lên BC , đó:  BC  MN  BC  ( MHN )  MH  BC   BC  AH ( MBC )  ( NBC )  MH  ( NBC )  MH  NH Mà  ( MBC ) ( NBC )  BC Trong tam giác MHN vuông t i H có HA đ A C ng cao nên A thu c đo n MN H  AH  AH Khi đó: MN  MA NA  MANA D u “=” x y AM  AN  AH Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t N T ng đài t v n: 1900 58-58-12 B - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian V y MN nh nh t M N n m  , đ i x ng qua A AM  AN  AH Bài Cho hình l ng tr ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân v i AB  AC  a , BAC  1200 c nh bên BB '  a G i I trung m c a CC ' Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) Gi i: C' B' I A' B M C H A    Cách 1: Kéo dài B ' I c t BC t i M , ( ABC ),( AB ' I )  ( ACM ),( AIM )  Ta có CI  ( ACM ) , ta có cách d ng góc gi a hai m t ( ACM ) ( AIM ) nh sau:   D ng CH  AM ( H  AM )  AM  (CHI )  AM  IH , suy ( ACM ),( AIM )  CHI CI / / BB ' 3a   C Ta có  trung m c a BM  S  S  AB AC sin BAC  ACM ABC CI  BB ' Ta có CM  CB2  AB2  AC  AB AC.cos BAC  3a  BM  2BC  2a AB2  AM BM a  AM 2  a   3a  AM  7a  AM  a Khi đó: AC  2 Suy CH  2SACM a 21a a 70 3a a 21  IH  CI  CH      142 14 14 AM 2.a Xét tam giác ICH ta có: cos CHI  30 CH a 21 14   14 a 70 10 IH 30 10 Cách 2: Ta có tam giác ABC hình chi u vuông góc c a tam giác AB ' I m t ph ng ( ABC ) V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng   Khi g i   ( ABC ), ( AB ' I ) , suy cos   SABC SAB' I (*) Ta có B ' C '2  BC  AB2  AC  AB AC.cos BAC  3a  BI  B ' C '2  C ' I  Khi AB '2  AI  ( AB2  BB '2 )  ( AC  CI )  2a  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t a 13 5a 13a   B ' I  AB ' I vuông t i A 4 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy SAB' I  Hình h c không gian a 10 3a M t khác: SABC  AB AC.sin BAC  AB ' AI  4 Áp d ng (*), ta có: cos   SABC 3a a 10 30 :   SAB' I 4 10 V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng 30 10 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a C nh bên SA vuông góc v i m t đáy ABCD SA  a G i E trung m c a CD Tính di n tích m t c u qua b n m S, A, B, E Gi i:  G i I tâm c a m t c u qua b n m S, A, B, E S   IA  IB  IE (1) Khi đó: IS  IA  IB  IE   (2)  IS  IA G i F trung m c a AB O tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB Do EAB cân t i E nên O  EF D ng đ ng th ng d qua O vuông góc ( EAB) Suy d tr c c a tam giác EAB Theo (1)  I  d (*) Ta có d / / SA (do SA  ( ABCD)  ( EAB) ) A  Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ d K I D F E O B ng th ng C trung tr c  c a SA Theo (2)  I  (2*)  T (*) (2*), suy d   I  Ta có AB  a , AE  BE  abc a Áp d ng công th c R  , ta có: 4S OA  AB AE.BE  4SABE a a a 2  5a a AKIO hình ch nh t (v i K trung m c a SA) nên IO  KA   R  OA  IO  AO  SA a  2 a 25a a 41   64 Suy di n tích m t c u c n tính là: Smc  4 R2  41 a 16 Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i C SA vuông góc v i đáy; SC  c Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t Gi i: G i  góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) (v i 00    900 ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  BC  AC Ta có   BC  ( SAC )  BC  SC  BC  SA Hình h c không gian S Do   SCA Trong tam giác vuông SAC ta có:  BC  AC  SC cos   a cos    SA  SC sin   a sin  Khi th tích kh i chóp SABC là: 1 ABC  a cos  sin  V  SAS 3 Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có: 1 V  a cos  sin   a (1  sin  ) sin  9 A B C   sin   sin     sin   2  2a 3 4a  sin   sin  4a 2 V   sin      27 2   243   D u ‘=” x y  sin     sin   sin      arcsin    3 Bài Cho hình chóp SABC có ASB  900 , ASC  BSC  600 Bi t SA  3a , SB  4a , SC  5a Tính th tích c a kh i chóp cho Gi i: G i H , E, F l n l t hình chi u vuông góc c a C lên m t ph ng ( SAB) , đ C ng th ng SA, SB Khi ta có: CH  (SAB) ; SA  (CHE ) SB  (CHF ) Xét tam giác vuông CSE ta có: SE  SC.cos 600  5a 5a Xét hai tam giác vuông CSE CSF , ta có: CS chung ESC  FSC  600  CSE  CSF  SE  SF 5a Khi SEHF hình vuông  SH  2SE  60° 4a B F E 5a Xét tam gics SHC , ta có: CH  SC  SH  Ta có SSAB  SASB  6a 2  VSABC  VC SAB 60° S H 1 5a  CH SSAB  6a  5a 3 3a A V y th tích kh i chóp c n tính V  5a Bài Cho hình chóp SABC có SA  SB  SC , đáy ABC tam giác vuông cân t i A M t ph ng ( SAB) t o v i đáy góc 450 G i ( P ) m t ph ng qua B vuông góc v i SA, ( P ) c t hình chóp SABC theo Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) m t thi t di n có di n tích b ng Hình h c không gian a2 Tính th tích c a kh i chóp SABC Gi i: G i H trung m c a BC Mà ABC vuông cân t i A Suy ra, H tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Mà SA  SB  SC  SH  ( ABC )  BC  SH Khi   BC  ( SAH )  BC  SA  BC  AH G i K hình chi u vuông góc c a H lên SA, ta có:  BC  SA  ( BCK )  SA  ( BCK )  ( P )   HK  SA S K C B H Suy thi t di n c a ( P ) hình chóp S ABC tam giác BCK G i M trung m c a AB , đó:  AB  HM  AB  ( SHM )   ( SAB), ( ABC )   SMH  450   AB SH  M A x x x ; SH  HM tan 450  t x  AB  AC , suy HM  ; BC  x 2; AH  2 1 x Trong tam giác vuông SHA:     HK  2 HK SH AH x Khi di n tích c a thi t di n SBCK  Mà theo gi thi t SBCK  x x2 1 BC.HK  x  2 6 a2 x2 a    xa 6 1 a a2 a3 Khi th tích c a kh i chóp S ABC là: V  SH SABC   3 2 12 Bài Cho hình chóp S ABC có hai m t (SAB), (SAC ) vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) Tam giác ABC cân t i đ nh A , trung n AD  a , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng ( ABC ) m t góc b ng  h p v i m t ph ng ( SAD) m t góc b ng  S 1) Xác đ nh góc  ,  a sin  sin  2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V  3cos(   ) cos(   ) Gi i: 1) Xác đ nh góc  ,  ( SAB)  ( ABC )   SA  ( ABC ) Ta có ( SAC )  ( ABC ) ( SAB) ( SAC )  SA  Suy hình chi u c a SB lên ( ABC ) AB A B a D Khi  SB, ( ABC )   (SB, AB)  SBA   C Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Tam giác ABC cân t i A có AD trung n  BD  AD , mà ta có:  BD  SA BD  (SAD) Suy hình chi u c a SB lên ( SAD) SD Khi  SB,(SAD)   ( SB, SD)  BSD   2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V  a sin  sin  3cos(   ) cos(   )  SB2  SA2  AB2  SA2  AD  BD  Ta có:  SA  SB sin   SB2  SB2 sin   a  SB2 sin   BD  SB sin   a2 a2  SB (1  sin   sin  )  a  SB   (1)  sin   sin  cos   sin  Ta có th tích c a kh i chóp S ABC là: 1 a V  SABC SA  AD.BC.SA  a 2SB sin  SB sin   SB2 sin  sin  (2) 6 a a a sin  sin     sin sin (*) Thay (1) vào (2) ta đ c: V  cos   sin  3(cos   sin  )  cos 2  cos 2 cos 2  cos 2 L i có: cos2   sin      cos(   ) cos(   ) (2*) 2 a sin  sin  Thay (2*) vào (*) ta đ c: V  3cos(   ) cos(   ) 2 Bài 10 Cho hình l p ph 2 ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a i m M thu c đo n AD ' m N thu c đo n BD cho AM  DN  x v i  x  a a đo n MN ng n nh t 2) Ch ng minh r ng MN song song v i m t ph ng ( A' D ' CB) x bi n thiên 1) Ch ng minh r ng x  Gi i: A' B' D' C' M A B E D Hocmai.vn – Ngôi tr N ng chung c a h c trò Vi t C T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian a đo n MN ng n nh t K ME  DA ( E  DA), tam giác AEM vuông cân t i E AM x x Xét tam giác EDN , ta có:  EM  EA    DE  a  2 1) Ch ng minh r ng x  2 x  x    2 EN  DE  DN  DE.DN cos EDN   a    x  2 a   x  x  2ax  a 2 2   Xét tam giác MEN , ta có: 2 2  x2 x2 a  a2 a2 MN  EM  EN    2ax  a  3x2  2ax  a   x     2  3  2 D u “=” x y x    a a a đo n MN ng n nh t b ng  0; a V y x  3 2) Ch ng minh r ng MN song song v i m t ph ng ( A' D ' CB) x bi n thiên Ta có A, M , D ' D, N, B l n l t n m hai đ ng th ng chéo AD ' DB  AM MD ' AD '  AM  DN  x Do     DN NB DB ' AD DB a     Khi theo đ nh lý Ta – lét đ o, ta suy AD, MN, D ' B song song v i m t m t ph ng (1)  D ' B  ( A' D ' CB) M t khác:  (2)  AD / /( A' D ' CB) T (1) (2), suy MN / /( A' D ' CB) Chú ý: ( nh lý Ta – lét đ o không gian) Cho hai đ ng th ng chéo d d ' L y m phân bi t A, B, C d m A', B ', C ' d ' cho AB BC CA ba đ   A' B ' B ' C ' C ' A' ng th ng AA', BB ', CC ' song song v i m t m t ph ng ( ngh a có c tr ng h p đ ng song song v i m t m t ch a đ Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 ng kia) : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -