I HC QUC GIA H NI NGUYN HU VIT HNG Giỏo trỡnh I S TUYN TNH (Lý thuyt v bi tp) Bi ln mụn cu trỳc TEX Lờ Hong Long A08232, Trn Quang Bụn A08361 TM18 - I HC THNG LONG H Ni, Thỏng 12 nm 2008 Mc lc NE T Tp hp Quan h v nh x Lc lng ca hp Nhúm, Vnh v Trng Trng s thc Trng s phc a thc Bi THS 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 VIE TM A Chng Khụng gian vect 1.1 Khỏi nim khụng gian vộct 1.2 c lp tuyn tớnh v ph thuc tuyn tớnh 1.3 C s v s chiu ca khụng gian vộct 1.4 Khụng gian - Hng ca mt h vộct 1.5 Tng v tng trc tip 1.6 Khụng gian thng 1.7 Bi Chng Ma trn v ỏnh x tuyn tớnh 2.1 Ma trn 2.2 nh x tuyn tớnh 2.3 Ht nhõn v nh ca ng cu 2.4 Khụng gian vộct i ngu 2.5 Bi Trang 10 14 15 21 23 28 33 37 37 41 45 51 53 56 58 63 63 68 77 81 87 Chng nh thc v h phng trỡnh tuyn tớnh 93 3.1 Cỏc phộp th 93 i Mc lc 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 nh thc ca ma trn nh x a tuyn tớnh thay phiờn nh thc ca t ng cu Cỏc tớnh cht sõu hn ca nh thc nh thc v hng ca ma trn H phng trỡnh tuyn tớnh - Quy tc Cramer H phng trỡnh tuyn tớnh - Phng phỏp kh Gauss Cu trỳc nghim ca h phng trỡnh tuyn tớnh Bi Chng Cu trỳc ca t ng cu 4.1 Vộct riờng v giỏ tr riờng 4.2 Khụng gian n nh ca cỏc t ng cu thc v phc 4.3 T ng cu chộo hoỏ c 4.4 T ng cu ly linh 4.5 Ma trn chun tc Jordan ca t ng cu 4.6 Bi Chng Khụng gian vect Euclid 5.1 Khụng gian vộct Euclid 5.2 nh x trc giao 5.3 Phộp bin i liờn hp v phộp bin i i xng 5.4 Vi nột v khụng gian Unita 5.5 Bi Chng Dng song tuyn tớnh v dng ton phng 6.1 Khỏi nim dng song tuyn tớnh v dng ton phng 6.2 a dng ton phng v dng chớnh tc 6.3 Hng v hch ca dng ton phng 6.4 Ch s quỏn tớnh 6.5 Dng ton phng xỏc nh du 6.6 Bi 96 100 103 106 111 112 114 118 120 127 127 131 133 137 140 146 152 152 162 173 179 182 189 189 192 197 200 204 205 Chng i s a tuyn tớnh 211 7.1 Tớch tenx 212 ii i s tuyn tớnh 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Cỏc tớnh cht c bn ca tớch tenx i s tenx i s i xng i s ngoi Bi Ti liu tham kho 215 217 221 226 234 VIE TM A THS NE T 236 Li núi u T heo dũng lch s, mụn i s tuyn tớnh u vi vic gii v bin lun cỏc h phng trỡnh tuyn tớnh V sau, cú th hiu thu ỏo cu trỳc ca nghim v iu kin mt h phng trỡnh tuyn tớnh cú nghim, ngi ta xõy dng nhng khỏi nim tru tng hn nh khụng gian vộct v ỏnh x tuyn tớnh Ngi ta cng cú nhu cu kho sỏt cỏc khụng gian vi nhiu thuc tớnh hỡnh hc hn, ú cú th o di ca vộct v gúc gia hai vộct Xa hn, hng nghiờn cu ny dn ti bi toỏn phõn loi cỏc dng ton phng, v tng quỏt hn phõn loi cỏc tenx, di tỏc ng ca mt nhúm cu trỳc no ú Ngy nay, i s tuyn tớnh c ng dng vo hng lot lnh vc khỏc nhau, t Gii tớch ti Hỡnh hc vi phõn v Lý thuyt biu din nhúm, t C hc, Vt lý ti K thut Vỡ th, nú ó tr thnh mt mụn hc c s cho vic o to cỏc giỏo viờn trung hc, cỏc chuyờn gia bc i hc v trờn i hc thuc cỏc chuyờn ngnh khoa hc c bn v cụng ngh tt c cỏc trng i hc ó cú hng trm cun sỏch v i s tuyn tớnh c xut bn trờn ton th gii Chỳng tụi nhn thy cú hai khuynh hng ch yu vic trỡnh by mụn hc ny Khuynh hng th nht bt u vi cỏc khỏi nim ma trn, nh thc v h phng trỡnh tuyn tớnh, ri i ti cỏc khỏi nim tru tng hn nh khụng gian vộct v ỏnh x tuyn tớnh Khuynh hng ny d tip thu Nhng nú khụng cho phộp trỡnh by lý thuyt v nh thc v h phng trỡnh tuyn tớnh bng mt ngụn ng cụ ng v p Khuynh hng th hai trỡnh by cỏc khỏi nim khụng gian vộct v ỏnh x tuyn tớnh trc, ri ỏp dng vo kho sỏt nh thc v h phng trỡnh tuyn tớnh u im ca phng phỏp ny l cao v p tớnh nht quỏn v cu trỳc ca cỏc i tng c kho sỏt Nhc im ca nú l xột tớnh c lp tuyn tớnh v ph thuc tuyn tớnh, tht ngi ta ó phi i mt vi vic gii h phng trỡnh tuyn tớnh Cỏch trỡnh by no cng cú cỏi lý ca nú Theo kinh nghim ca chỳng tụi thỡ nờn chn cỏch trỡnh by th hai cho cỏc sinh viờn cú kh nng t tru tng tt hn v cú mc ớch hng ti mt mt bng kin thc cao hn v toỏn Mc lc VIE TM A THS NE T Cun sỏch ny c chỳng tụi biờn son nhm mc ớch lm giỏo trỡnh v sỏch tham kho cho sinh viờn, sinh viờn cao hc v nghiờn cu sinh cỏc ngnh khoa hc t nhiờn v cụng ngh ca cỏc trng i hc khoa hc t nhiờn, i hc s phm v i hc k thut Cun sỏch c vit trờn c s cỏc bi ging v i s tuyn tớnh ca tụi nhiu nm cho sinh viờn mt s khoa ca trng i hc Tng hp (nay l i hc khoa hc T nhiờn) H Ni v ca mt s trng i hc s phm c bit, tụi ó ging giỏo trỡnh ny nm hc 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000 cho sinh viờn cỏc ngnh Toỏn, C, Lý, Hoỏ, Sinh, a cht, Khớ tng thu ca Chng trỡnh o to C nhõn khoa hc ti nng, i hc khoa hc T nhiờn H Ni Chỳng tụi chn khuynh hng th hai hai khuynh hng trỡnh by ó núi trờn Tt nhiờn, vi ụi chỳt thay i, cun sỏch ny cú th dựng ging i s tuyn tớnh theo khuynh hng trỡnh by th nht T tng cu trỳc c chỳng tụi nhn mnh nh mt mch ca cun sỏch Mi i tng u c nghiờn cu mi tng quan vi nhúm cỏc phộp bin i bo ton cu trỳc ca i tng ú: Kho sỏt khụng gian vộct gn lin vi nhúm tuyn tớnh tng quỏt GL(n, K ), khụng gian vộct Euclid v khụng gian vộct Euclid nh hng gn lin vi nhúm trc giao O(n) v nhúm trc giao c bit SO(n), khụng gian Unita gn lin vi nhúm unita U (n) Kt qu phõn loi cỏc dng ton phng ph thuc cn bn vo vic quỏ trỡnh phõn loi c tin hnh di tỏc ng ca nhúm no (tuyn tớnh tng quỏt, trc giao ) Theo kinh nghim, chỳng tụi khụng th ging ht ni dung ca cun sỏch ny mt giỏo trỡnh tiờu chun v i s tuyn tớnh cho sinh viờn cỏc trng i hc, c i vi sinh viờn chuyờn ngnh toỏn Cỏc ch v dng chun tc Jordan ca t ng cu, dng chớnh tc ca t ng cu trc giao, vic a ng thi hai dng ton phng v dng chớnh tc, i s tenx, i s i xng v i s ngoi nờn dựng ging chi tit cho cỏc sinh viờn cao hc v nghiờn cu sinh cỏc ngnh Toỏn, C hc v Vt lý Chỳng tụi c gng bỡnh lun ý ngha ca cỏc khỏi nim v u khuyt im ca cỏc phng phỏp c trỡnh by Cui mi chng u cú phn bi tp, c tuyn chn ch yu t cun sỏch ni ting ``Bi i s tuyn tớnh'' ca I V Proskuryakov nm vng kin thc, c gi nờn c rt k phn lý thuyt trc lm cng nhiu cng tt cỏc bi cui mi chng Vic s dng cun sỏch ny s c bit thun li nu ngi c coi nú l phn mt ca mt b sỏch m phn hai ca nú l cun i s i cng ca cựng tỏc gi, Nh xut bn Giỏo dc H Ni n hnh nm 1998 v tỏi bn nm 1999 Tỏc gi chõn thnh cm n Ban iu hnh Chng trỡnh o to C nhõn i s tuyn tớnh Mc lc khoa hc ti nng, i hc Khoa hc t nhiờn H Ni, c bit l Giỏo s m Trung n v Giỏo s Nguyn Duy Tin, ó to mi iu kin thun li tỏc gi ging dy cho sinh viờn ca Chng trỡnh ba nm qua v vit cun sỏch ny trờn c s nhng bi ging ú Tỏc gi mong nhn c s ch giỏo ca cỏc c gi v ng nghip v nhng thiu sút khú trỏnh ca cun sỏch H Ni, 12/1999 i s tuyn tớnh .NE T TM18 Nhúm Trn Quang Bụn A08361 & Lờ Hong Long A08232 VIE TM A THS õy l bi ln mụn H thng TEXc thc hin bi chỳng tụi , Lờ Hong Long & Trn Quang Bụn, vo nhng thỏng cui nm 2008 vi TEXLive 2007 Nguyờn thy cun sỏch ny l c biờn dch bng LATEX, nhiờn xu th hin ti chuyn dn v s dng LATEX t hiu qu cao hn vic trỡnh by cỏc trang sỏch Thy Nguyn Quc Thng, hc trũ ca tỏc gi Nguyn Hu Vit Hng, l ngi trc tip dựng chng trỡnh dch trờn C thụng dng hi ú l bison v flex chuyn t bn gừ trờn Word LATEX Thy Nguyn Quc Thng ó giao cho chỳng tụi, nhúm 9, thc hin nhim v cỏch mng ny Khi ú chỳng tụi cng thc hin cỏc cụng vic nh thy Nguyn Quc Thng ó lm nhng vi ngụn ng hin i hn, ú l C thụng qua CsTools47m Tụi, Lờ Hong Long, chu trỏch nhim vit chng trỡnh dch t bn ch cú th dch bng LATEXkiu c sang bn cú th biờn dch bng LATEX hin i ngi ng s Trn Quang Bụn cú nhim v vit thờm cỏc mụ un to hỡnh cú c cun sỏch nhiu mu sc Hụm nay, 00:46,Sunday 3rd April, 2011, khụng phi l ngy chỳng tụi np bn bỏo cỏo mụn H thng TEX Chiu ngy 29-3-2011, lỳc 18h41, thy Nguyn Quc Thng liờn h vi tụi qua Yahoo!, v cho bit l cun sỏch m chỳng tụi thc hin b li chng 2, mt s nh lý v vớ d b y xung cui chng sau phn bi Thy cng cho bit l s bn sinh viờn hc mụn i s tuyn tớnh hc k nhúm nm hc 2010-2011 sau i in bn thỏng 11 nm 2008 ó phn ỏnh vic ny vi thy nờn thy yờu cu tụi sa li ch khim khuyt ú Vic chnh sa ch tn khong phỳt, ú phỳt dựng tỏi ng h thng biờn dch, giõy sa li m cỏc bn ó ch v phn thi gian cũn li biờn dch ú chớnh l sc mnh ca LATEXvi TEXLive 2009 Chỳng tụi tin rng bn c s cm thy thớch thỳ vi nhng trang trớ nho nh Mc lc v nhng ni dung toỏn hc sõu sc m cun sỏch em li Lờ Hong Long, hoanglong1712@yahoo.com Trn Quang Bụn, bontq@yahoo.com H Ni, 01:34,Sunday 3rd April, 2011 i s tuyn tớnh Kin thc chun b N THS 0.1 Tp hp NE T him v ca chng ny l trỡnh by di dng gin lc nht mt s kin thc chun b cho phn cũn li ca cun sỏch: Tp hp, quan h, ỏnh x, nhúm, vnh, trng, a thc Trng s thc s c xõy dng cht ch Đ5 Nhng vỡ cỏc tớnh cht ca nú rt quen thuc vi nhng ó hc qua chng trỡnh trung hc ph thụng, cho nờn chỳng ta núi ti trng ny cỏc vớ d cỏc tit Đ1 - Đ4 VIE TM A Trong tit ny, chỳng ta trỡnh by v hp theo quan im ca "Lý thuyt hp ngõy th" C th, hp l mt khỏi nim "nguyờn thu", khụng c nh ngha, m c hiu mt cỏch trc giỏc nh sau: Mt hp l mt s qun t cỏc i tng cú cựng mt thuc tớnh no ú; nhng i tng ny c gi l cỏc phn t ca hp ú (Tt nhiờn, mụ t núi trờn khụng phi l mt nh ngha ca hp, nú ch din t khỏi nim hp qua mt khỏi nim cú v gn gi hn l "qun t" Tuy vy, bn thõn khỏi nim qun t li cha c nh ngha.) Ngi ta cng thng gi tt hp l "tp" cú mt s vớ d, chỳng ta cú th xột hp cỏc sinh viờn ca mt trng i hc, hp cỏc xe ti ca mt cụng ty, hp cỏc s nguyờn t Cỏc hp thng c ký hiu bi cỏc ch in hoa: A, B, C, , X, Y, Z Cỏc phn t ca mt hp thng c ký hờu bi cỏc ch in thng: a, b, c, , x, y, z núi x l mt phn t ca hp X, ta vit x P X v c l "x thuc X" Trỏi li, núi y khụng l phn t ca X, ta vit y R X, v c l "y khụng thuc X" xỏc nh mt hp, ngi ta cú th lit kờ tt c cỏc phn t ca nú Chng hn, A = t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u Ngi ta cng cú th xỏc nh mt hp bi mt tớnh cht c trng P(x) no Chng i s a tuyn tớnh nh ngha 7.4.2 Gi s M l mt K -khụng gian vộct nh x a tuyn tớnh : L(q) c gi l nu (1 , , q ) = ((1) , , (q) ), vi mi , , q ẹM P L, P Sq Hp thnh ca ỏnh x a tuyn tớnh chớnh tc t = tq : L(q) ẹ T q (L), t(1 , , q ) = b    b q v phộp chiu tuyn tớnh = q : T q (L) ẹ S q (L) l ỏnh x a tuyn tớnh = q : L(q) ẹ S q (L), (1 , , q ) = (1 b    b q ) Theo nh ngha ca lu tha i xng S q (L), ỏnh x cú tớnh i xng Hn na, cp (, S q (L)) cú tớnh cht ph dng sau õy: Vi mi ỏnh x a tuyn tớnh i xng : L(q) ẹ M ú M l mt K -khụng gian vộct bt k, tn ti nht mt ỏnh x tuyn tớnh h : S q (L) ẹ M lm giao hoỏn biu L (q) S q (L) h M, tc l = h   q D kim tra li rng A = `8 q=0 Aq l mt iờan ca i s T (L) = `q=0 T (L) Do ú, q q S(L) := T  (L)/A = `8 q=0 T (L)/Aq = `q=0 S (L) l mt i s trờn K nh ngha 7.4.3 S(L) c gi l i s i xng ca khụng gian vộct L Tớch ca hai phn t x P S q (L) v y P S r (L) c ký hiu bi x  y, hoc n gin bi xy P S q+r (L) Chng minh: Gi  : L(q)  L(r) ẹ L(q+r) l ỏnh x t nhiờn ((1, , q ), (q+1, , q+r )) = (1, , q , q+1, , q+r ) Ta cú biu giao hoỏn sau õy: 222 i s tuyn tớnh 7.4 i s i xng Mnh 7.4.4 (1 , , q )  (q+1 , , q+r ) = (1 , , q , q+1 , , q+r ), vi mi , , q , q+1 , , q+r P L L(q)  L(r)  tq tr tq+r T (L)  T (L) r q r T q+r (L) q+r S (L)  S (L) q b NE T q L(q+r) r  S q+r (L) , THS ú "b" l tớch ca i s T  (L), "" l tớch ca i s S(L) Nh th (q  r )(tq  tr ) = q+r tq+r  Mt mt, ta cú (q  r )(tq  tr )((1, , q ), TM A (q+1 , , q+r )) = (q  r )(1 b    b q , q+1 b    b q+r ) = ((1 , , q ), (q+1 , , q+r ) = (1 , , q )  (q+1 , , q+r ) Mt khỏc VIE q+r tq+r  ((1 , , q ), = = = (q+1 , , q+r )) q+r tq+r (1 , , q , q+1 , , q+r ) q+r (1 b    b q b q+1 b    b q+r ) (1 , , q , q+1 , , q+r ) Mnh c chng minh l H qu 7.4.5 (1 , , q ) := (1 b    b q ) =    q , vi mi , , q P L Chng minh: H qu c chng minh bng quy np theo q i s tuyn tớnh 223 Chng i s a tuyn tớnh Vi q = 1, ng thc (1 ) := (1 ) = c suy trc tip t nh ngha ca Gi s h qu ó c chng minh cho q
Theo mnh trờn ta cú (1 , , q ) = (1 , , q
1 )  (q ) = (1    q
1 )  q =    q l Nh vy, h qu cng ỳng i vi q Mnh 7.4.6 xy = yx vi mi x P S q (L), y P S r (L) Chng minh: Trc ht xột trng hp x = P S (L) = L, y = L Theo nh ngha, b
b P A2 Do ú P S 1(L) =
= ((, )
(, )) = t((, )
(, )) = ( b
b ) = P S (L) chng minh xy = yx ta ch cn chng t rng (1    q )(1    r ) = (1    r )(1    q ), vi mi , , q , , , r P L Theo Mnh 7.4.4 v phn u ca chng minh mnh ny, ta cú th trỏo i th t tng i vi tng j m tớch khụng thay i Mnh c chng minh l nh lý 7.4.1 Gi s (e1 , , en ) l mt c s ca K -khụng gian vộct L Khi ú h vộct sau õy lp nờn mt c s ca khụng gian vộct S(L): ( i1 ) e1    einn : i1 , , in Ơ Hn na, i s S(L) ng cu vi i s a thc trờn n phn t e1 , , en , ngha l S(L)  K [e1 , , en ] Chng minh: Gi K [X1 , , Xn ] l i s a thc ca n n, v (K [X1 , , Xn ])q l khụng gian cỏc a thc thun nht bc q Ta xột ỏnh x a tuyn tớnh : L(q) ẹ (K [X1 , , Xn ])q xỏc nh bi h thc (ej1 , , ejq ) = Xj1    Xjq Vỡ i s K [X1 , , Xn ] giao hoỏn, nờn i xng Do tớnh ph dng ca S (q) , tn ti ỏnh x tuyn tớnh hq : S (q) ẹ (K [X1 , , Xn ])q cho hq (ej1    ejq ) = Xj1    Xjq Vỡ cỏc i s S(L) v K [X1 , , Xn ] u giao hoỏn, nờn h thc trờn cú th vit li thnh hq (ei11    einn ) = X1i1    Xnin , 224 i s tuyn tớnh 7.4 i s i xng NE T ú i1 +    + in = q hq l mt ton cu, bi vỡ theo cụng thc trờn mi n thc bc q ca cỏc bin X1 , , Xn u thuc nh ca hq Mt khỏc, theo 7.2.5 v Mnh )7.4.6, ( i1 H qu (q) in khụng gian S (L) c sinh bi h vộct e1    en : i1 +    + in = q Do ú, dim S (q) (L) Ô dim(K [X1 , , Xn ])q Vỡ th, ton cu hq l mt ng cu H qu l h = `hq : S(L) ẹ K [X1 , , Xn ] cng l mt ng cu tuyn tớnh T Mnh 7.4.4 suy rng h(xy) = h(x)h(y) Vy h l mt ng cu i s nh lý c chng minh l Mi ỏnh x tuyn tớnh f : L ẹ M cm sinh mt ng cu i s S(f ) : S(L) ẹ S(M ) ú l tng trc tip ca cỏc ng cu thnh phn S q (f ) : S q (L) ẹ S q (M ), (0 Ô q 8), c nh ngha nh sau Xột ỏnh x a tuyn tớnh i xng Sq (f ) : L(q) ẹ S q (M ), Sq (f )(1 , , q ) = f (1 )    f (q ) THS Do tớnh ph dng ca S q (L), tn ti nht ỏnh x tuyn tớnh S q (f ) : S q (L) ẹ S q (M ) cho Sq (f ) = S q (f )  , ú : L(q) ẹ S q (L) l ỏnh x a tuyn tớnh i xng chớnh tc Ta thu c biu thc tng minh cho S q (f ) : TM A S q (f )(1    q ) = S q (f )((1 , , q )) = Sq (f )(1 , , q ) = f (1 )    f (q ), vi mi , , q P L D dng kim tra li rng S(gf ) = S(g)S(f ), vi mi cp ỏnh x tuyn tớnh f : L ẹ M, g : M ẹ N Hn na S(idL ) = idS(L) VIE Nhn xột 7.4.7 Nu Char(K ) = 0, ngi ta cú mt cỏch khỏc nh ngha lu tha i xng S q (L) nh sau Toỏn t i xng hoỏ S : T q (L) ẹ T q (L) l ỏnh x tuyn tớnh c nh ngha bi h thc S(1 b    b q ) := (1) b    b (q) q! PS q Vỡ Char(K ) = cho nờn q! kh nghch trng K , vi mi q P N D dng chng minh rng S = S Xột khụng gian nh ca toỏn t thay phiờn hoỏ Sq (L) := Im(S) T q (L) i s tuyn tớnh 225 Chng i s a tuyn tớnh Nh vy, x P T q (L) l mt phn t ca Sq (L) nu v ch nu x = S(x) Ngi ta chng minh c rng, nu Char(K ) = thỡ phộp hp thnh Sq (L) T q (L) ẹ S q (L) = T q (L)/Aq l mt ng cu tuyn tớnh ng cu ny chuyn S(1 b    b q ) thnh    q Do ú, nhng lnh vc m trng K luụn luụn l trng s thc hoc trng s phc, ngi ta thng dựng nh ngha sau õy: S q (L) := Im(S) T q (L),    q := S(1 b    b q ) 7.5 i s ngoi Cng ging nh tit trc, cỏc cỏch nh ngha khỏc ca khỏi nim ly tha ngoi v i s ngoi, chỳng ta chn cỏch khụng ph thuc vo c s ca trng K Gi Bq l khụng gian vộct ca T q (L) sinh bi cỏc phn t cú dng b    b q ú i = j vi cỏc ch s i  j no ú nh ngha 7.5.1 Khụng gian thng q (L) := T q (L)/Bq c gi l lu tha ngoi bc q ca L nh ngha 7.5.2 Gi s M l mt K -khụng gian vộct nh x a tuyn tớnh : L(q) c gi l thay phiờn nu (1 , , q ) = 0, vi mi , , q ẹM P L ú i = j vi cỏc ch s i  j no ú Hp thnh ca ỏnh x a tuyn tớnh chớnh tc t = tq : L(q) ẹ T q (L), t(1 , , q ) = b    b q v phộp chiu tuyn tớnh = q : T q (L) ẹ q (L) l ỏnh x a tuyn tớnh = q : L(q) ẹ q (L), (1 , , q ) = (1 b    b q ) 226 i s tuyn tớnh 7.5 i s ngoi Theo nh ngha ca lu tha ngoi, l mt ỏnh x thay phiờn Hn na, cp (, q (L)) cú tớnh ph dng sau õy: Vi mi ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn : L(q) ẹ M , ú M l mt K -khụng gian vộct bt k, tn ti nht mt ỏnh x tuyn tớnh h : q (L) ẹ M lm giao hoỏn biu L(q) q (L) h NE T M, tc l = h   D thy rng B = `8 q=0 Bq l mt iờan ca i s T (L) Do ú q q (L) := T  (L)/B = `8 q=0 T (L)/Bq = `q=0 (L) THS l mt i s trờn K nh ngha 7.5.3 (L) c gi l i s ngoi ca khụng gian vộct L Mnh 7.5.4 TM A Tớch (L) ca P q (L) v P r (L) c ký hiu l q+r (L), v c gi l tớch ngoi ca v ^ P (1 , , q ) ^ (q+1 , , q+r ) = (1 , , q , q+1 , , q+r ), P L VIE vi mi , , q , q+1 , , q+r Chng minh: Gi ^ : q (L)  r (L) i s (L) Ta cú biu giao hoỏn L(q)  L(r) ẹ q+r (L) l (hn ch ca) tớch  b T q+r (L) tq tr tq+r T q (L)  T r (L) q r q+r q (L)  r (L) i s tuyn tớnh L(q+r) ^ q+r (L) , 227 Chng i s a tuyn tớnh T ú ^(q  r )(tq  tr ) = q+r tq+r  Mt mt, ta cú ^(q  r )(tq  tr )((1, , q ), (q+1 , , q+r )) = ^(q  r )(1 b    b q , q+1 b    b q+r ) = ^((1 , , q ), (q+1 , , q+r )) = (1 , , q ) ^ (q+1 , , q+r ) Mt khỏc q+r tq+r  ((1 , , q ), = = = (q+1 , , q+r )) q+r tq+r (1 , , q , q+1 , , q+r ) q+r (1 b    b q b q+1 b    b q+r ) (1 , , q , q+1 , , q+r ) l Mnh c chng minh H qu 7.5.5 (1 , , q ) := (1 b    b q ) = ^    ^ q , vi mi , , q P L Chng minh: H qu c chng minh bng quy np theo q Vi q = 1, ng thc (1 ) := (1 ) = c suy trc tip t nh ngha ca Gi s h qu ó c chng minh cho q
Theo mnh trờn ta cú (1 , , q ) = (1 , , q
1 ) ^ (q ) = (1 ^    ^ q
1 ) ^ q = ^    ^ q l Nh th, h qu cng ỳng i vi q Mnh 7.5.6 ^ = (
1)qr ^ vi mi P q (L), P r (L) Chng minh: Trc ht xột trng hp = P (L) = L, = L Ta s chng minh rng P 1(L) = ^ =
^ , Tht vy, theo nh ngha ca (L) ta cú ^ = ^ = Do ú = ( + ) ^ ( + ) = ^ + ^ + ^ + ^ = ^ + ^ 228 i s tuyn tớnh 7.5 i s ngoi chng minh ^ = (
1)qr ^ ta ch cn chng t rng (1 ^    ^ q ) ^ (1 ^    ^ r ) = (
1)qr (1 ^    ^ r ) ^ (1 ^    ^ q ), vi mi , , q , , , r P L Theo Mnh 7.5.4 v phn u ca chng minh mnh ny, mi ln trỏo i th t tng i vi tng j ng sỏt nú thỡ tớch ngoi i du bin i ^    ^ q ^ ^    ^ r thnh ^    ^ r ^ ^  ^ q ta cn thc hin qr ln trỏo i nh th Mnh c chng minh l Mt h qu hin nhiờn ca mnh trờn l NE T (1) ^    ^ (q) = sgn()1 ^    ^ q , P L, P Sq Trờn c s ú, ta cú nh lý sau õy (i) q (L) = vi mi q Ă n = dimK L vi mi , , q nh lý 7.5.1 TM A THS (ii) Gi s (e1 , , en ) l mt c s ca khụng gian vộct L Khi ú, vi Ô q Ô n, h vộct sau õy lp thnh mt c s ca khụng gian vộct q (L): ( ) ei1 ^    ^ eiq : Ô i1    iq Ô n ( ) n Núi riờng, dimK q (L) = q VIE Chng minh: Do tớnh a tuyn tớnh ca tớch ^, khụng gian vộct q (L) c sinh bi cỏc vộct ei1 ^    ^ eiq , vi Ô i1 , , iq Ô n (i) Nu q Ă n thỡ mi phn t nh vy cú ớt nht hai ch s no ú bng nhau: is = it vi s  t Vỡ th, tt c cỏc phn t núi trờn u bng Do ú q (L) = (ii) Nu q = n, theo lý thuyt nh thc, cú nht mt ỏnh x a tuyn tớnh, thay phiờn det : L(q) ẹ K cho det(e1 , , en ) = Do ú, tn ti nht ỏnh x tuyn tớnh det : q (L) ẹ K cho det(e1 ^  ^ en ) = T ú suy h ch gm mt vộct e1 ^  ^ en l mt c s ca khụng gian vộct q (L) Nh th dim q (L) = Bõy gi xột trng hp Ô q Ô n Gi s cú mt rng buc tuyn tớnh a(i) ei1 ^    ^ eiq = 0, (i) ú (i) = (i1 , , iq ), Ô i1    iq Ô n, a(i) P K Vi mi b ch s c nh (j) = (j1 , , jq ) thoó j1    jq , ta chn jq+1 , , jn cho i s tuyn tớnh 229 Chng i s a tuyn tớnh (j1 , , jq , jq+1 , , jn ) l mt hoỏn v no ú ca (1, 2, , n) Nhõn ngoi hai v ca ng thc trờn vi ejq+1 ^    ^ ejn ta thu c mt tng vi hu ht cỏc s hng ei1 ^    ^ eiq ^ ejq+1 ^    ^ ejn bng 0, vỡ cú cỏc ch s trựng lp, loi tr mt s hng nht vi cỏc ch s khụng trựng lp a(j) ej1 ^    ^ ejq ^ ej ^    ^ ej q+1 n = Hay l a(j) e1 ^    ^ en = Do ú a(j) = ( ) Nh vy, h vộct ei1 ^    ^ eiq : Ô i1    iq Ô n c lp tuyn tớnh q (L) nh lý c chng minh l Mi ỏnh x tuyn tớnh f : L ẹ M cm sinh mt ng cu i s (f ) : (L) ẹ (M ) ú l tng trc tip ca cỏc ng cu thnh phn q (f ) : q (L) ẹ q (M ), (0 Ô q 8), c nh ngha nh sau Xột ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn q (f ) : L(q) ẹ q (M ), q (f )(1 , , q ) = f (1 ) ^    ^ f (q ) Do tớnh ph dng ca q (L), tn ti nht ỏnh x tuyn tớnh q (f ) : q (L) ẹ q (f ) = q (f )  , ú : L(q) ẹ q (L) l ỏnh x a tuyn q (M ) cho tớnh thay phiờn chớnh tc Ta thu c biu thc tng minh cho q (f ) : q (f )(1 ^    ^ q ) = = = q (f )((1 , , q )) q (f )(1 , , q ) f (1 ) ^    ^ f (q ), vi mi , , q P L D kim tra li rng (gf ) = (g)(f ), vi mi cp ỏnh x tuyn tớnh f : L ẹ M, g : M ẹ N Hn na (idL ) = id(L) Nhn xột 7.5.7 Nu Char(K ) = 0, ngi ta cú mt cỏch khỏc nh ngha lu tha ngoi q (L) nh trỡnh by di õy Cỏch ny thng c cỏc nh gii tớch v hỡnh hc vi phõn a dựng Toỏn t thay phiờn hoỏ Alt : T q (L) ẹ T q (L) l ỏnh x tuyn tớnh c nh ngha bi h thc (sgn)(1) b    b (q) Alt(1 b    b q ) := q! PS q 230 i s tuyn tớnh 7.5 i s ngoi iu kin Char(K ) = m bo cho q! kh nghch trng K D dng th li rng Alt2 = Alt Xột khụng gian nh ca toỏn t thay phiờn hoỏ q (L) := Im(Alt) T q (L) q (L) nu v ch nu = Alt() Nh th, P T q (L) l mt phn t ca Ngi ta chng minh c rng, nu Char(K ) = thỡ phộp hp thnh q (L) T q (L) ẹ q (L) = T q (L)/Bq NE T l mt ng cu tuyn tớnh ng cu ny chuyn Alt(1 b    b q ) thnh ^    ^ q Vỡ th, Gii tớch hoc Hỡnh hc vi phõn (l lnh vc m trng K luụn luụn l R hoc C ), ngi ta thng dựng nh ngha sau õy: THS q (L) := Im(Alt) T q (L), ^    ^ q := Alt(1 b    b q ) nh ngha 7.5.8 Gi L l khụng gian i ngu ca L Khi ú mi phn t ca q (L ) c gi l mt q-dng (ngoi) trờn L TM A Mnh sau õy gii thớch cu trỳc ca khụng gian cỏc q-dng ngoi Mnh 7.5.9 Nu L l mt K -khụng gian vộct hu hn chiu thỡ q (L )  q (L) , VIE ú v phi l khụng gian i ngu ca q (L) Chng minh: Nhn xột rng ỏnh x Lq  (L )q ((1 , , q ), (1 , , q ) ẹ ị ẹ K det(xi , j y) l a tuyn tớnh thay phiờn i vi cỏc bin , , q , ng thi cng a tuyn tớnh thay phiờn i vi cỏc bin , , q ( õy xi , j y l giỏ tr ca j trờn vộct i ) Vỡ th, nú cm sinh ỏnh x song tuyn tớnh q (L)  q (L ) (1 ^    ^ q , ^    ^ q ) ẹ ị ẹ K det(xi , j y) nh x ny cho phộp xem mi phn t ca q (L ) nh mt dng tuyn tớnh trờn q (L), tc l nh mt phn t ca q (L) i s tuyn tớnh 231 Chng i s a tuyn tớnh Gi e1 , , en l mt c s ca L v e1 , , en l c s i ngu ca L S dng phộp ng nht núi trờn ta thy c s (ej1 ^  ^ ejq | j1    jq ) chớnh l i ngu ca c s (ei1 ^    ^ eiq | i1    iq ) Tht vy, (ei1 ^    ^ eiq , ej1 ^    ^ ejq ) ịẹ det(xeik , ej y) V phi bng v ch i1 = j1 , , iq = jq v bng cỏc trng hp khỏc Nh th q (L )  q (L) l Vớ d 7.5.10 Xột khụng gian vộct thc L = R n vi c s chớnh tc (e1 , , en ): $ ' ' & ' ' % e1 e2 en = = = (1, 0, , 0)t , (0, 1, , 0)t , (0, 0, , 1)t Gi (dx1 , , dxn ) l c s i ngu ca (R n ) c xỏc nh bi h iu kin sau dxi (ej ) = ji , (1 Ô i, j Ô n) (Cỏch ký hiu ny cú c s t Lý thuyt vi phõn ca hm nhiu bin.) Ta xột khụng gian q (R n  )  q (R n ) cỏc q-dng trờn R n Nú cú mt c s l h vộct sau õy ( i ) dx ^    ^ dxiq |1 Ô i1 iq Ô n Mi vộct P q (R n) cú biu th tuyn tớnh nht qua c s ú: = , ,i dxi ^    ^ dxi , 1Ôi1 iq Ôn q q õy ai1 , ,iq P R Trng hp c bit q = n, khụng gian n (R n  ) cú s chiu bng 1, vi c s gm phn t nht dx1 ^ dx2 ^    ^ dxn Theo ng cu chớnh tc n (R n  )  n (R n ) nờu chng minh Mnh 7.5.9, n-dng dx1 ^  ^ dxn c ng nht vi ỏnh x tuyn tớnh n (R n ) ẹ R xỏc nh bi iu kin chun hoỏ (dx1 ^    ^ dxn )(e1 ^    ^ en ) = det(dxj (ei )) = Ta nh ngha ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn nht (R n )(n) c ký hiu l dx1 ^    ^ dxn , bng cụng thc sau õy ẹ R , cng (dx1 ^    ^ dxn )(1 , , n ) = (dx1 ^    ^ dxn )(1 ^    ^ n ) 232 i s tuyn tớnh 7.5 i s ngoi Theo lý thuyt nh thc dx1 ^    ^ dxn = det (x) = 1Ôi1 iq Ôn NE T Tht vy, c hai v u l ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn nht (R n )(n) ẹ R tho iu kin chun hoỏ Do tớnh a tuyn tớnh thay phiờn, mi phn t P n (R n ) cú th xem nh mt thc o th tớch nh hng n chiu trờn R n m giỏ tr (1 ^    ^ n ) l th tớch ca hỡnh hp n chiu cú hng ta trờn cỏc vộct , , n Gi s U l mt m R n Mi hm kh vi vụ hn t U vo q (R n ) c gi l mt q-dng vi phõn trờn U Nh th, mi q-dng vi phõn trờn U c biu th nht di dng ai1 , ,iq (x)dxi1 ^    ^ dxiq , VIE TM A THS ú ai1 , ,iq (x) l cỏc hm kh vi vụ hn theo bin x P U Khụng gian cỏc q-dng vi phõn trờn U dc ký hiu l q (U ) Núi cỏch khỏc ) q (U ) = C (U, q (R n ) i s tuyn tớnh 233 Chng i s a tuyn tớnh 7.6 Bi Chng minh chi tit cỏc khng nh v tớch tenx cỏc Vớ d 2.6, 2.7 v 2.8 Cho e1 , , en l mt c s ca L v e1 , , en l c s i ngu ca L Mi tenx kiu (1, 1) cú dng to nh sau f = aij ej b ei Gi A = (aij ) l ma trn vi phn t aij nm hng i ct j Hóy tỡm cụng thc mụ t s thay i ca A i c s Vi gi thit nh bi trờn, mi tenx kiu (2, 0) cú dng to nh sau g = gij ei b ej Gi G = (gij ) l ma trn vi phn t gij nm hng i ct j Hóy tỡm cụng thc mụ t s thay i ca G i c s Gii quyt tng t vi bi trờn cho cỏc tenx kiu (0, 2) Gi s tenx hai ln thun bin g cú ma trn G = (gij ) c s (e1 , , en ) l mt ma trn kh nghch Xột tenx hai ln phn bin g
1 xỏc nh nh sau g
1 = g ij ei b ej , ú g ij l phn t ca ma trn G
1 Chng minh rng ma trn ca hai tenx núi trờn hai c s i ngu bt k u l cỏc ma trn nghch o ca Cho t ng cu f : L ẹ L ca K -khụng gian vộct hu hn chiu L Hóy din t hm F : L  L ẹ K xỏc nh bi cụng thc F (, ) = (f ()) nh mt tenx So sỏnh cỏc to ca tenx ny mt c s vi ma trn ca f cựng c s y Tỡm s chiu ca tớch i xng S q (L) bit rng dim L = n Gi s f : L ẹ L l mt t ng cu ca khụng gian vộct n chiu L Khi ú n (f ) : n (L) ẹ n (L) l phộp nhõn vi mt vụ hng Chng minh rng n (f ) = det(f ) Gi s L l mt khụng gian vộct n chiu trờn trng K v f : L ẹ L l mt t ng cu Gi r (f ) = T rr (f ) l vt ca t ng cu r (f ) : r (L) ẹ r (L) (xem bi 40 Chng II) Chng minh rng det(id + f ) = 234 r Ơ0 r (f ) i s tuyn tớnh 7.6 Bi Núi riờng, ta cú (f ) = 1, (f ) = T r(f ), n (f ) = det(f ), r (f ) = (vi r Ă n) Hóy din t r (f ) theo cỏc h s ca a thc c trng ca f VIE TM A THS NE T 10 Gi s f : L ẹ M l mt ng cu gia cỏc khụng gian vộct hu hn chiu trờn trng K S dng phộp i ngu chng minh Mnh 7.5.9 gia cỏc khụng gian r (L), r (M ) v r (L ), r (M  ), hóy chng minh rng ng cu r (f  ) : r (M  ) ẹ r (L ) l i ngu ca ng cu r (f ) : r (L) ẹ r (M ) i s tuyn tớnh 235 Ti liu tham kho [1] G Birkhoff v S MacLane, Tng quan v i s hin i, (Bn dch ting Vit), NXB H v THCN, H Ni, 1979 [2] I M Gelfand, Bi ging i s tuyn tớnh,(Bn ting Nga), Nauka, Moskva, 1971 [3] Nguyn Hu Vit Hng, i s i cng,, NXB Giỏo dc, H Ni, 1999 (Tỏi bn) [4] A I Kostrikin v YU I Manin, i s v Hỡnh hc tuyn tớnh, NXB i hc Moskva, Moskva, 1980 [5] A I Kostrikin, Nhp mụn i s, NXB Nauka, Moskva, 1977 (Ting Nga) [6] A G Kurosh, Giỏo trỡnh i s cao cp, NXB Nauka, Moskva, 1971 (Ting Nga) [7] on Qunh (ch biờn), Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh v Hỡnh hc gii tớch, NXB i hc Quc Gia H Ni [...]... trong những biểu hiện của tính đủ của trường số thực là mọi lát cắt trong R đều "chạm" phải một số thực nào đó Cụ thể, ta có 22 Đại số tuyến tính 0.6 Trường số phức Định nghĩa 0.4.12 Cho R là một vành có đơn vị Nếu có số nguyên dương n sao cho 1looooooomooooooon + 1 +    + 1 = 0, thì số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất đó được gọi là đặc số của n vành R Ngược lại, nếu không có số nguyên dương n nào... nó có tính giao hoán: xy = yx, @x, y P R Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 P R sao cho: 1x = x1 = x, @x P R Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được định nghĩa tương tự như đối với trường hợp nhóm Chẳng hạn, phép nhúng Z € Q là một đơn cấu vành Phép chiếu pr : Z Ñ Z /n là một toàn cấu vành 18 Đại số tuyến tính 0.4 Nhóm, Vành và Trường... và được định nghĩa như sau: A Y B = tx| x P A hoặc x P B u Giao của A và B được ký hiệu bởi A X B và được định nghĩa như sau: A X B = tx| x P A và x P B u Hiệu của A và B được ký hiệu bởi AzB và được định nghĩa như sau: AzB = tx| x P A và x R B u Nếu B € A thì AzB được gọi là phần bù của B trong A, và được ký hiệu là CA (B) Các phép toán hợp, giao và hiệu có các tính chất sơ cấp sau đây: 8 Đại số tuyến. .. R bằng cách xây dựng thêm "các số mới" Ta gọi i là một ký hiệu hình thức (tức một "số mới") là nghiệm của phương trình nói trên, tức là i2 =
1 Ta muốn thực hiện được mọi phép toán cộng, trừ, nhân và chia (cho các số khác 0) sau khi đã ghép thêm i vào trường số thực R Điều này dẫn ta tới việc chấp Đại số tuyến tính 23 Mục lục Định nghĩa 0.5.1 (Dedekind) Tập hợp α các số hữu tỷ được gọi là một lát cắt... hiệu là x
1 Vành Q là một trường Vành số nguyên Z không là một trường, vì các số khác 1 đều không khả nghịch trong Z Trường số hữu tỷ Q là một trường được sắp đối với thứ tự thông thường Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào thì vành Z /n là một trường Trái lại, nếu từ đẳng thức ab = 0 (với a, b P R) suy ra hoặc a = 0 hoặc b = 0, thì vành R được gọi là không có ước của không Đại số tuyến tính 19 Mục lục... chúng ta sẽ khảo sát một lớp nhóm không abel rất quan trọng đối với môn Đại số tuyến tính, đó là nhóm GL(V ) các biến đổi tuyến tính không suy biến trên không gian véctơ V Định nghĩa 0.4.2 Giả sử G và G1 là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân) Ánh xạ φ : G Ñ G1 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu φ(xy) = φ(x)φ(y), Đại số tuyến tính @x, y P G 17 Mục lục Nhận xét: Đồng cấu nhóm φ chuyển đơn vị e của... hợp số Z , Q là các vành giao hoán và có đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường Tập hợp số tự nhiên N không là một vành, vì nó không là một nhóm đối với phép cộng (b) Ta định nghĩa phép nhân trên nhóm cộng Z /n các số nguyên modulo n như sau: @x, y P Z /n TM A [x][y] = [xy], Phép nhân này không phụ thuộc đại biểu của các lớp [x] và [y] Nó biến nhóm cộng Z /n thành một vành giao hoán và. .. Z ) |z| (căn số học), ðñ |uθ| = φ+2kπ (k P Z ) = n " " Đại số tuyến tính a n 27 Mục lục Định nghĩa 0.6.1 Một cặp có thứ tự hai số thực (a, b) được gọi là một số phức Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu bởi C : C = t(a, b)|a, b P R u Ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân các số phức như sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac
bd, ad + bc) Mệnh đề 0.6.2 Tập các số phức C cùng... cắt vào "đường thẳng số thực" đều "chạm" phải một số thực duy nhất ? Chẳng hạn, tập hợp sau đây (được ký hiệu bởi 2) là một lát cắt trong Q : ? 2 := tr P Q| r2   2u Đối với mỗi số hữu tỷ r, ta xét lát cắt sau đây r  = ts P Q | s   r u Để ý rằng r = min(Q zr ) Tất nhiên, mọi lát cắt hữu tỷ đều có dạng r với một số hữu tỷ r nào đó Đại số tuyến tính 21 Mục lục Mệnh đề 0.4.10 Mỗi trường đều là một vành... và có đơn vị, được gọi là vành các số nguyên modulo n VIE (c) Trong Chương II ta sẽ xét một lớp vành đặc biệt quan trọng đối với môn Đại số tuyến tính, đó là vành M (n  n, K ) các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong trường K Phần tử x trong một vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn tại phần tử x1 P R sao cho xx1 = x1 x = 1 Dễ chứng minh rằng phần tử x1 có tính chất như vậy nếu tồn