T Í C H P H Â N 413 414 Đònh nghóa Cho A tập khác trống — f ánh xạ từ A vào —, ta nói f hàm số thực liên tục A "  > , $ () > cho | f(x) - f(y) | <  " x y  A cho |y - x | < () Cho I khoãng A có chiều dài đd(I) nhỏ () Cho x y I cho f(x) f(y) cực tiểu cực đại f I Lúc f(y) – f (x) <  I đd(I) < () 415 Cho f hàm số liên tục khoảng [a,b] Đặt S là diện tích hình giới hạn đồ thò f , trục hoành đường thẳng thẳng góc với trục hoành đầu mút a b với trục hoành S a b Cho số thực dương , tính xấp xỉ S với sai số nhỏ  Nhưng dt(S) ? Làm xác đònh ? 416 Đònh nghóa Cho khoảng đóng [a, b] Cho 2n+1 số thực a0, a1,   , an, c1,   , cn cho a = a0 < a1 <    < an-1 < an = b ck  [ak-1, ak] với k =1,   , n Lúc ta nói P = a0 , a1,   , an-1 , an; c1,   , cn phân hoạch khoảng [a, b] đặt |P | = maxa1 - a0 , a2- a1,   , an - an-1 Đặt P([a,b]) tập hợp tất phân hoạch [a, b] a a0 c1 a1 c2 b a2 c3 a3 a n-1 cn an 417 Đònh nghóa Cho hàm số thực f khoảng đóng [a, b] P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn phân hoạch khoảng [a, b] Ta đặt n S ( f , P )   f (ck )(a k  a k 1 ) k 1 gọi tổng số tổng Riemann tương ứng với phân hoạch P a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 418 a n-1c n a n Đònh nghóa Cho P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn phân hoạch khoảng [a,b] Ta đặt di = ai-1 với i {1, ., n} P’ = a0,a1,   , an-1,an; d1,   , dn Ta thấy P’ phân hoạch [a,b] a dc1 d2 a0 c1 a1 c2 d3 d4 a2 c3 a dn-1 a n-1 c n an Bài toán TP1 Cho hàm số thực f liên tục khoảng đóng [a, b],  số thực dương Chứng minh có số thực dương () cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < ().419 b Bài toán TP1 Cho hàm số thực f liên tục khoảng đóng [a, b],  số thực dương Chứng minh có số thực dương () cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < () Cho  > 0, tìm () > cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < () Cho ’ > 0, có ’(’) > cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’) n 1 S ( f , P )   f (ck )(ak 1  ak ) k 0 n 1 S ( f , P ')   f (ak )(ak 1  ak ) k 0 n 1 n 1 k 0 k 0 | S( f , P )  S( f , P ') |  |  f (ck )(ak 1  ak )   f (ak )(ak 1420 ak ) | Cho  > 0, tìm () > cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < () Cho ’ > 0, có ’(’) > cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’) n 1 n 1 k 0 k 0 | S( f , P )  S( f , P ') |  |  f (ck )(ak 1  ak )   f (ak )(ak 1  ak ) | n 1 n 1 k 0 k 0  |  [ f (ck )  f (ak )](ak 1  ak ) |   | f (ck )  f (ak ) | (ak 1  ak ) a c1 d d2 a0 c1 a1 c2 d3 d4 a2 c3 a dn-1 a n-1 cn an n 1 b | S( f , P )  S ( f , P ') |    '(ak 1  ak )  '(b  a) | P |   '( ') k 0 421 Cho  > 0, tìm () > cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < () Cho ’ > 0, có ’(’) > cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’) n 1 | S( f , P )  S ( f , P ') |    '(ak 1  ak )  '(b  a) | P |   '( ') k 0 Cho  > 0, đặt ’ = (b-a)-1 Ta có ’(’) > Đặt () = ’(’) Ta có |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < () 422 Cho  > 0, tìm () > cho x h | f (t )-f ( x ) | dt    |h| x  h,  | h |   ( ) Cho ’ > 0, có ’(’) > cho |f(u)-f(v)| < ’ u, v [a,b], | u-v|< ’(’) t x+h h>0 u=t , v=x x xh xh | f (t )-f (x) |dt    ' dt  ' h   '  h x h x h 0  h  ' (' ) Cho  > , đặt ’ =  > có ’(’) > đặt ()= ’(’) Cho  > 0, tìm () > cho G ( x  h)  G ( x ) |  f (x) |    h, | h |   455( ) h Bài toán 122 Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Giả sử có hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) vàx v’(x) = f(x) với x  (a, b) Lúc  f (t)dt  v ( x )  v( a ) x  [a, b] a x Đặt G( x )   f (t )dt , u( x )  v( x )  v(a)  G( x ) x  [a, b] a u'( x )  v'( x )  G'( x ) = f (x) - f (x) = x  (a,b)  t  (a, b),  x  (a, b) : u(t) – u(a) = u’(x)(t – a) = u(t) = u(a) =  t  [a, b) u liên tục [a,b] u(b)  lim u(t )  x t b  v( x )  v(a)   f (t )dt x 456[a, b] a u(t) = t  [a,b] Bài toán 123 Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Giả sử có hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) v’(x) = xf(x) với x  (a, b) Lúc v( x )   f (t)dt  v(a) x  [a, b] a Đònh nghóa Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Cho hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) v’(x) = f(x) với x  (a, b) Lúc ta nói  v nguyên hàm f (a,b), có số c v( x )    x a x  f (t)dt  c a x  [a, b] f (t )dt tích phân xác đònh f [a, x ] 457 Bài toán 123 giúp ta tính tích phân hàm số f liên tục khoảng [a,b] sau : tìm hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) với v’(x) = f(x) với x  (a,b) Lúc b  a Bài toán 124 Tính  f (t )dt  v(b)  v(a) ( x  x  5)dx Đặt v( x )  x  x  x với x  [0,3] 8 4 Dùng nhận xét bên ta có 6519 0 ( x  x  5)dx  v(3)  v(0)  ( x  x  5x ) 458 8 4 Bài toán 125 Cho f hàm số thực liên tục khoảng đóng [a, b] Lúc có c  (a, b) cho  b a f ( x )dx  f (c)(b  a) x Đặt G( x )   f (t )dt  x  [a, b] a G liên tục [a, b] , khả vi (a, b) G’(x) = f(x) với x (a, b) Có c  (a, b) : G(b) – G(a) = G’(c)(b-a) = f(c)(b-a) b a b a a a G(b)  G(a)   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  b a f ( x )dx  f (c)(b  a) 459 Bài toán 126 Cho u v hàm số thực khả vi liên tục (c, d), cho khoảng [a, b] chứa (c, d) Ta có b b   u ( t ) v ( t ) dt  [ u ( b ) v ( b )  u ( a ) v ( a )]  u   (t)v(t)dt a a Đặt G(s) = u(s)v(s) với s  (c, d) ta có G’(x) = u‘(x)v(x) + u(x)v’(x) với x  [a, b] b G( b )  G( a )   G'( t )dt a b u( b )v( b )  u( a )v( a )   [u( t )v'( t )  u ( t )v( t )]dt a b b   u( t )v'( t )dt   u ( t )v( t )dt 460 a a Bài toán 126 cho ta phương pháp tính tích phân phần cho hàm số có dạng tích:  (đa thức).(biểu thức lượng giác)  (ln x, arctg x, arcsin x, arccos x) (đa thức) Bài toán 127 Tính   x cos xdx Đặt u(x) = x v(x) = sin x   u’(x) = v’(x) = cos x  x cos xdx   u( x )v( x )dx   u( )v( )  u(0)v(0)   u( x )v( x )dx     sin( x )dx  cos   cos  2 461 Đònh lý (Taylor) Cho a, b, c d số thực cho [c,d]  (a,b), f hàm khả vi đến cấp n khoảng mở (a,b), với n  Đặt g(x) = f(x) – Pn-1(x,c) với x (c,d) Lúc n 1 f (d )  f (c)   k 1 n 1 d (d  x ) f ( k ) (c) f ( n ) ( x )dx ( d  c )k   c k! (n  1)! g(x) = f(x) - Pn-1(x,c)  x  (c,d) Lúc g(d )   d c n 1 (d  x ) (n) f ( x )dx (n  1)! 462 n 1 f (d )  f (c)   k 1 n=1: n 1 d (d  x ) f ( k ) (c) f ( n ) ( x )dx ( d  c )k   c k! (n  1)! d f (d )  f (c)   f (1) ( x )dx c  Giả sử n = m  : m 1 f (d )  f (c)   k 1 f (k ) m 1 (c) (d  x ) k (m) f ( x )dx (d  c)   c (m  1)! k! d  Xét n = m +1 m f (d )  f (c)   k 1 m d (d  x ) f ( k ) (c) f ( m 1) ( x )dx ? ( d  c )k   c k! m! 463 m 1 f (d )  f (c)   k 1 m 1 d (d  x ) f ( k ) (c) f ( m ) ( x )dx ( d  c )k   c (m  1)! k!  Xét n = m +1 m f (d )  f (c)   k 1  d c f (k ) (c) (d  x ) ( m 1) k f (d  c )   ( x )dx ? c k! m! m d m 1 d (d  x ) (d  x ) ( m )  (m) f ( x )dx   f ( x )  (m  1)! m! c m (d  x )m ( m 1)  f ( x )dx  c m! m d (d  x ) ( d  c )m ( m ) ( m 1) f (c )   f ( x )dx  464 c m! m! d Bài toán 128 Cho f hàm số thực liên tục khoảng [a,b], h hàm số thực khả liên tục khoảng (p,q), khoảng [c,d]  (p,q) Giả sử h([c,d]) chứa [a, b] Chứng minh  d c f (h(s))h '(s)ds   h(d ) h(c ) f ( x )dx Chọn u cho u’ = f Đặt v = uoh v’(s) = u’(h(s))h’(s) d  c v’(s) = f(h(s))h’(s) d f (h(s))h(s)ds   v(s)ds  v(d )  v(c) c  u(h(d ))  u(h(c))  h( d ) h(c ) f ( x )dx   h( d ) h(c ) u( x )dx u(h(d ))  u(h(c)) 465 Đònh nghóa Cho hàm số thực f khoảng mở (a, b) Giả sử  z f (t )dt xác đònh với [c, d] d  (a, b) c  Có số thực  cho với số thực dương  ta tìm số thực dương  | - z f (t )dt | d [...]... Out [1] = 1 6 z 1 0 x arctgxdx  3 1 6 437 In[3]:= Integrate x ^ 3 * ArcTan x , x , 0 , 6 Out[3]= -19 8 + 388 5 ArcTan[6] -12 In[4]:= NIntegrate x ^ 3 * ArcTan x , x , 0 , 6 Out[4]= 4 38. 5 78 19 8  388 5arctg 6 x arctgxdx   4 38, 5 78 12 0 z 6 3 4 38 Cho f là một hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [a, b] Lúc đó f khả tích Để giải các bài toán lý thuyết về tích phân của f , chúng ta làm...Đònh nghóa Cho P = a0,a1,   , an -1, an; a0,   , an -1 và Q = d0,d1,   , dm -1, dm; d0,   , dm -1 là các phân hoạch của khoảng [a,b] Ta nói P  Q nếu và chỉ nếu a0,a1,   , an -1, an }  d0,d1,   , dm -1, dm} a d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 a0 an -11 a1 a2 a3 dm -1 dm an b Bài toán TP2 Cho một hàm số thực f liên tục trên một khoảng đóng [a,... |P| < () 423 a d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 a0 an -11 a1 a2 a3 dm -1 dm an b Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () m 1 S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk ) k 0 n 1 n 1 j 0 j 0 S ( f , P ')   f (a j )(a j 1  a j )   f (a j ) n 1   j  0 a j  dk  a j 1  a j  dk  a j 1 (dk 1  dk ) f (a j )(dk 1  dk ) 424 Cho  >... Với mọi số nguyên n, chọn phân hoạch Pn của [a,b] a , a + n -1( b - a),   , a + (n -1) n -1( b - a) , b ; a + n -1( b - a),   , a + (n -1) n -1( b - a) , b}  Xử lý bài toán dựa trên tổng Riemann S(f,Pn) n ba ba ba S( f , Pn )   f (a  k )đd ([a  (k  1) ,a  k ]) n n n k 1 n ba ba   f (a  k ) n n k 1 b 439 Dùng tính chất lim S( f , Pn )   f ( x )dx n  a Bài toán 11 4 Cho f và g là các hàm... |  |   j  0 a j  dk  a j 1 n 1   j  0 a j  dk  a j 1 a d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 a0 a1 a2 a3 [ f (dk )  f (a j )](dk 1  dk ) | | f (dk )  f (a j ) | (dk 1  dk ) dm-2 an -11 dm -1 dm an b Cho ’ > 0, có ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’) n 1 | S( f , Q ')  S( f , P ') |    j  0 a j  dk  a j 1  '(dk 1  dk ) nếu | P | 426'( ') Cho... a2- a1,   , an - an -1 Lúc đó ta gọi  là tích phân của f trên [a, b] và ký 436 hiệu  là b f ( t ) dt a z Ta ký hiệu  a b b f (t )dt    f (t )dt a Đònh lý Cho f là một hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [a, b] Lúc đó f khả tích Integrate[f(x),x,a,b] : tính tích phân Riemann NIntegrate[f(x),x,a,b] : tính xấp xỉ tích phân 3 In [1] := Integrate x * ArcTan x , x , 0 , 1 Out [1] = 1 6 z 1. .. )   f (c  k ) ) n n n n k 1 k 1 n  b a f ( x )dx  n  c a f ( x )dx   b c f ( x )dx 446 Bài toán 11 7 Cho f và g là hai hàm số thực liên tục trên [a, b] Giả sử f(x)  g(x)  x  [a, b] Chứng minh  b a f (t )dt   b a g(t )dt ba ba S (f ,Pn )   f (a  k ) n n k 1 n ba ba S (g ,Pn )   g (a  k ) n n k 1 n  b a f (t )dt   b a g(t )dt 447 Bài toán 11 8 Cho f là một hàm số thực liên... () m 1 S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk ) k 0 n 1 S( f , P ')    j  0 a j  dk  a j 1 n 1 S( f , Q ')    j  0 a j  dk  a j 1 f (a j )(dk 1  dk ) f (dk )(dk 1  dk ) n 1 | S( f , Q ')  S ( f , P ') |  |   j  0 a j  dk  a j 1 [ f (dk )  f (a j )](dk 1  dk ) | 425 Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’, |P| < () n 1 | S(...  (n 1) ,b ;c  ,, c  (n 1) , b} n n n n c a c a b c b c Pn {a,a ,,a(n 1) ,c,c  ,,c (n 1) ,b ; n n n n c a c a b c b c a ,,a(n 1) ,c,c  ,,c (n 1) 443,b} n n n n c a c a c a c a ,, a  (n 1) ,c ; a  ,, a  (n 1) , c} Qn  {a, a  n n n n b c b c b c b c Rn  {c, c  ,, c  (n 1) ,b ;c  ,, c  (n 1) , b} n n n n c a c a b c b c Pn {a,a  ,,a (n 1) ,c,c... a z a (n -1) n -1( b Cho Pn = a , a + n -1( b - a),   , a + - a) , b ; a + n -1( b - a),   , a + (n -1) n -1( b - a) , b} là phân hoạch của khoảng đóng [a, b] n b-a b-a S (f   g ,Pn )   (f  g )(a  k ) n n k 1 n b-a b-a b-a   [f (a  k )  g (a  k )] n n n k 1 440 n b-a b-a S (f   g ,Pn )   (f  g )(a  k ) n n k 1 n b-a b-a b-a   [f (a  k )  g (a  k )] n n n k 1 ba ba