TOÁN GIẢI TÍCH DƯƠNG MINH ĐỨC Đây slides giảng môn Toán Giải Tích dành cho sinh viên năm thứ Khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa Học, Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, niên học 2007-2008 Bài giảng soạn theo : Giáo Trình Toán Giải Tích 1, GS Dương Minh Đức, Nhà xuất Thống Kê, 2006 GIAI TICH - CHUONG CHƯƠNG MỘT TẬP HP VÀ LÝ LUẬN CƠ BẢN vấn đề thực tiển diễn giải kết luận mơ hình tốn học kết luận tốn học TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỂN GIAI TICH - CHUONG Một vấn đề giải bước sau :  dùng toán để mô hình vấn đề : làm rõ gọn hơn,  dùng phương pháp toán để giải toán mô hình  diễn giải kết toán học ngôn ngử thực tiển Thí dụ1 Giá tập 3.000$, q tài trơ có 3.500.000$, hỏi mua tập cho học sinh nghèo? Chúng ta mô hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, - CHUONG số tập mua nGIAIthìTICHsố tiền phả i trả 3.000n Chúng ta mô hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, số tập mua n số tiền phải trả 3000n Chúng ta thấy mô hình không vấn đề rắc rối : q từ thiện, tập vở, tiền bạc học sinh nghèo Và vấn đề biến thành : tìm số nguyên n lớn cho 3000n  3500000 Dùng kỹ thuật làm toán thông thường, toán trở thành tìm số n lớn sau cho n  1166,66 TICH 1quyễ - CHUONG Vậy ta có lời giải GIAI 1166 n1 sách Thí dụ Chúng ta có hai hệ thống đo C nhiệt độ : Celcius Fahrenheit Nhiệt 100 o o độ để nước đóng băng C 32 F, Nhiệt độ nước lúc bắt đầu sôi C 100oC 212oF Để làm nhiệt kế dùng nhà, phải lập bảng kê số đo hệ Fahrenheit tương ứng với số đo từ -20 đến 70 hệ Celcius, F 212 F 32 Đặt C F số đo nhiệt độ vật hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 Ta phải tính F tương ứng với GIAI TICH - CHUONG trị giá C từ -20 đến 70 Đặt C F số đo nhiệt độ C vật hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 100 Ta phải tính F tương ứng với trị giá C C từ -20 đến 70 F 212 F C0 F  32 Ta để ý  100  212  32 32 F  32 C 18 Vaäy hay F  10  C  32 180 100 C -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 30 35 F -4 14 23 32 41 50 59 68 77 86 95 C 40 45 50 55GIAI TICH 60 - CHUONG 65 170 F 104 113 122 131 140 149 158 A TAÄP HP Trong việc mô thí dụ trên, cần quan tâm đến vài số nguyên (chứ tất số nguyên) Trong vấn đề khác vậy, ta phải quan tâm đến số vật có chung vài tính chất Một tập thể số vật gọi tập hợp, vật gọi chung tên “phần tử” tập hợp Thí dụ : tính số phải trồng dọc theo đường, ta phải tìm lời giải tập hợp số nguyên dương Õ GIAI TICH - CHUONG Thí dụ : Trong toán chuyển động quan tâm đến yếu tố thời gian, vận tốc khoảng đường di chuyển, yếu tố buộc phải xét tập hợp số thực Cho tập hợp E phần tử x E (ở x số, điểm liệu), lúc ta nói x  E Dùng lý thuyết tập hợp diễn tả dễ dàng số việc toán học Ngoài khảo sát lúc số vấn đề khác biệt cách sử dụng khái niệm tập hợp ánh xạ GIAI TICH - CHUONG Thí dụ Để xét nghiệm phương trình x3 + 4x2 - = 0, Ta xác định tập hợp E = x : x3 + 4x2 - = 0 Ta có tập hợp thông dụng  tập hợp số nguyên dương Õ = 1,2, 3, ,  tập hợp số nguyên Ÿ = ,-3,-2,-1,0,1,2,3, , m  tập hợp số hữu tỉ – =  : m Ÿ nÕ , n  tập hợp số thực — ,  tập hợp số phức ¬= x+iy : x y — ,  tập hợp trống  tập hợp không chứa phần tử GIAI TICH - CHUONG Ta thường mô hình tập hợp số thực — tập hợp điểm đường thẳng D Số gán cho điểm A đường D, số thực dương x gán cho điểm M nằm phía bên phải A đường D với khoảng cách AM = x, số thực âm y gán cho điểm N nằm phía bên trái A đường D với khoảng cách NA = -y y x N A M GIAI TICH - CHUONG 10 R : “  x A cho P x ” ~ R : “  x A ~P x ” Cho A tập — , vaø P laø R : “  x A “ < 4“ x < ” ~R : “ x A cho x ¥ ” GIAI TICH - CHUONG 47 S : “  x A cho P(x) z ,  z  B ” Ở P(x) mệnh đề xác định tùy theo giá trị x ~S :“ x A  z  B cho ~P(x ) z” Cho B tập khác trống — , A = [0 , 1] vaø P(x) laø “ < x “ S : “  x A cho z < x , zB” ~S : “  x A  z  B cho z ¥ x” GIAI TICH - CHUONG 48 T : “ x  A,  y B cho P(x) z ,  z  C(y) ” Ở C(y) tập hợp xác định tùy theo giá trị y ~T :“  x  A cho  y B,  z  C(y) ~P(x) z ” GIAI TICH - CHUONG 49 Cách viết mệnh đề U thành dạng É Để ý đến cụm từ “với mọi” “có một” U, viết chúng thành bốn dạng nêu Nếu cần ta đặt thêm tập hợp Cho tập hợp C, D, E, F G , ta đặt A = C  D B = E  F  G viết  “ x C,  y D ” thaønh “ (x,y)  A”  “ u E,  v F vaø  t G” thành “ (u,v,t)  B” É Gom mệnh đề toán lại U thành mệnh đề P É Viết U thành dạng GIAI TICH - CHUONG 50 Cách phủ định mệnh đề dạng  đổi  thành   đổi  thành  đổi P thành ~P  để nguyên  “”  để nguyên “ với” GIAI TICH - CHUONG 51 Bài toán Viết mệnh đề sau dạng : “ với số thực dương  có số nguyên N cho | am- an| <  với số nguyên dương m n ¥ N ” Từ suy phủ định câu    (0,  )  N  Õ cho | am- an| <  " m n ¥ N P( ) : “| am- an | <  ”    (0,  ),  N  Õ cho P( ) với m , n  k  Õ : k ¥ N  GIAI TICH - CHUONG 52 P( ) laø : “| am- an | <  “    (0, ),  N  Õ cho P( ) với m , n  k  Õ : k ¥ N  C(N) = k  Õ : k ¥ N   k  Õ : k ¥ N     (0,  ),  N  Õ cho P( ) với (m, n)  (m, n)  C(N)    (0,  ) cho  N  Õ ,  (m , n)  C(N) ~P( )GIAI TICH đú1n-gCHUONG với (m, n) 53 P( ) laø : “| am- an | <  ”    (0,  ) cho  N  Õ ,  (m, n)  C(N) ~P( ) với (m, n) ~P( ) “ | am- an | ¥  ”    (0,  ) cho  N  Õ ,  (m, n)  C(N) | am- an | ¥  có số thực dương  cho với số nguyên dương N có m n ¥ N - CHUONG  | am-GIAIaTICH n|¥ 54 Bài toán Viết mệnh đề sau dạng : “ có số thực dương M cho với x  A ta có x § M ” Suy phủ định P(M ) “x § M ”  M  (0,  ) cho  x  A P(M) x  M  (0,),  x  A ~ P(M) x ~ P (M ) laø “x > M ”  M  (0, ) ,  x  A x > M GIAI TICH - CHUONG 55 Các mệnh đề có “và” hay “hoặc” phủ định chúng P ~P “ R S ” “ ~R ~S ” Q ~Q “ R S ” “~R ~S” P “ x < vaø y  9” ~P laø “ x  hoaëc y < ” GIAI TICH - CHUONG 56 Các tương quan suy luận  ,  ,  giả sử P Q phải P Q phải Q P Tất câu có nghóa PQ Q P Nếu “P  Q” “Q  P” ta nói P Q tương đương với PQ GIAI TICH - CHUONG 57 Phản chứng để chứng minh “P đúng” ta cần chứng minh ~P  Giả sử ~P đúng, coi giả thiết toán Giả thiết thường gọi giả thiết phản chứng  Kết hợp giả thiết với giả thiết cho sẵn toán cố tìm điều mâu thuẫn với giả thiết cho sẵn toán mâu thuẫn với định nghóa kết có từ trước GIAI TICH - CHUONG 58 Bài tập Cho A tập hợp Chứng minh «  A Ta dùng phản chứng Giả sử “«  A” sai Ta phủ định “«  A” “«  A”  Phủ định “«  A” “ x  « : x  A”  “ x  « : x  A” Vậy giả thiết phản chứng : có x  « cho x  A Việc x  « mâu thuẫn với định nghóa tập trống Vậy giả thiết phản chứng đúng, phải 59 sai, «  A GIAI TICH - CHUONG Chứng minh đảo đề Để chứng minh “P  Q” ta chứng minh “~Q  ~P” Cho a b hai số thực dương cho a < b Chứng minh a b P laø “a < b “ Q laø “ a b” “P  Q a b vaø ~Q  ~P fl a¥b GIAI TICH - CHUONG 60 a b Đặt c = a = c2 c¥ d c2  cd a¥b fl a fl d = b b = d2 c2 ¥ d cd  d2 GIAI TICH - CHUONG 61