1 Môn học: XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Sốốtiếố t: 45) Chương BIẾN NGẪU NHIÊN Các khái niệm Xác định biến ngẫu nhiên rời rạc Xác định biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Các khái niệm Định nghĩa: Biến số ngẫu nhiên ánh xạ X :Ω → R ω a X (ω ) Hay nói cách khác cách đặt biến cố sơ cấp tương ứng với số thực VD: Xét phép thử “tung đồng xu”, không gian mẫu thu Nếu thêm quy ước mặt sấp đồng, mặt ngửa đồng, ta bsnn X = {-1;1} Ω = {S , N } - Nếu X nhận giá trị rời rạc ta nói X bsnn rời rạc - Nếu X nhận giá trị liên tục( khoảng , đoạn R) X gọi bsnn liên tục Thực tế thường gặp bsnn rời rạc nhiều Biến số ngẫu nhiên liên tục dùng để xấp xỉ bsnn rời rạc X = ( X , X , , X ) Đại lượng , Xi biến số ngẫu nhiên, n gọi véctơ ngẫu nhiên n chiều Nếu Xi bsnn rời rạc X đgl véc tơ ngẫu nhiên rời rạc Nếu Xi bsnn liên tục X đgl véc tơ ngẫu nhiên liên tục Ví dụ: xét phép thử “chọn ngẫu nhiên sinh viên trường” Gọi X chiều cao, Y cân nặng sinh viên Ta V = (X, Y) véc tơ ngẫu nhiên chiều Xác định biến ngẫu nhiên rời rạc a Bảng phân phối xác suất Cho bsnn rời rạc X ={ x1, x2, …, xn } Khi bảng phân phối xác suất X có dạng: Với p = P ( X = xi ), ∀i = 1, n Tính chất: i n ≤ pi ≤ 1; ∑ pi = i =1 Ví dụ 1: Xét phép thử ”tung đồng xu lần” Gọi X số lần xuất mặt sấp Ta có X = { 0, 1, 2, 3} bsnn RR Không gian mẫu tương ứng Ω = {SSS , SSN , SNS , NSS , SNN , NSN , NNS , NNN } P ( X = 0) = P ( NNN ) = / 8; P ( X = 1) = / 8; Ta có bảng phân phối xs X P ( X = 2) = / 8; P( X = 3) = / Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm có phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất số phẩm lấy Giải Gọi X là: “số phẩm lấy từ hộp” X = {0, 1, 2} với xác suất tương ứng: C60C42 P ( X = 0) = = C10 15 10 Và CC P ( X = 1) = = C10 15 C62 P ( X = 2) = = C10 15 Ta có bảng phân phối xs X X P 2/15 8/15 5/15 27 b Phương sai(varian) Ta gọi phương sai X đại lượng D( X ) = E ( X − E ( X )) ∑ ( x − E ( X )) f ( x), X bsnn RR x =  +∞ x− Eđược ( X ký))hiệuf là(var(X) x)dxhay, X bsnnltuc Phương X  ∫sai(của  −∞ σ X 28 Mệnh đề D( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) 2 Với ∑ x f ( x ), X bsnn RR  x E ( X ) =  +∞ x f ( x )dx, X bsnn liên tuc ∫  −∞ 29 Các tính chất kỳ vọng 30 Các tính chất phương sai 31 c Độ lệch chuẩn mốt - Độ lệch tiêu chuẩn X là: σ X = D( X ) - Mod(X) giá trị X có xác suất lớn nhất, giá trị mà hàm mật độ đạt max Mod(X) cịn gọi giá trị tin X 32 Ví dụ Cho bsnn X có bảng ppxs X P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính đặc trưng X 33 Ví dụ Cho bsnn X có bảng ppxs X P 2/15 8/15 5/15 Tính đặc trưng X 34 Ví dụ Cho bsnn X có hàm mật độ 2  x(3 − x), x ∈ [0;3] f ( x) =  0, x ∉ [0;3] Tính đặc trưng X của 35 Ví dụ Có xạ thủ bắn vào mục tiêu, người bắn viên biết xác suất bắn trúng mục tiêu người 0,4; 0,5 0,8 Gọi X số viên đạn trúng mục tiêu a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Tính kỳ vọng phương sai X 36 Ví dụ 4: Một người có xác suất bắn trúng mục tiêu 0,65 Người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi X số viên đạn trúng mục tiêu a)Hãy lập bảng phân phối xác suất X; b) Tính kỳ vọng phương sai X 37 Ví dụ 5: Một người có xác suất bắn trúng mục tiêu 0,65 Người mang theo viên đạn săn theo nguyên tắc: có viên đạn trúng mục tiêu hết đạn Gọi X số viên đạn mà người sử dụng a)Hãy lập bảng phân bố xác suất X b) Tính kỳ vọng phương sai X 38 Ví dụ Có hộp đựng sản phẩm hộp I đựng 15 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; Hộp II đựng 12 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy hộp sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt lấy a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Tính kỳ vọng phương sai X 39 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên liên tục • Kỳ vọng X (Trung bình X) E( X ) = ∫ +∞ −∞ xf ( x)dx • Phương sai X D( X ) = E( X − E( X )) = +∞ ∫ ( x − E( X )) −∞ , với f(x) hàm mật độ X f ( x)dx 40 Mệnh đề • Ta có D( X ) = E( X ) −  E( X ) Với E( X ) = Độ lệch tiêu chuẩn σX = +∞ ∫ x2 f ( x)dx −∞ D( X ) 41