www.VNMATH.com Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Văn Thạch – Nguyễn Phi Hùng Phan Hồng Sơn – Võ Thành Văn Collected problems About inequality Ngày 19 tháng năm 2007 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com ii http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com Mục lục Problems Solution 17 2.1 Lời giải toán 17 2.2 Tác giả toán 164 iii http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com iv MỤC LỤC http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com Chương Problems Cho x, y, z số dương thỏa xy + yz + zx = 1, chứng minh 1 + (2x − y)2 + + (2y − z)2 + √ 3 ≤ + (2z − x)2 Cho số dương a, b, c thỏa abc = 1, chứng minh √ √ √ √ a b+c b c+a c a+b + + ≥ b+c+1 c+a+1 a+b+1 Với số không âm a, b, c, ta có a + 4a + 4b + c b + 4b + 4c + a c ≤1 4c + 4a + b Cho số dương a, b, c, chứng minh a2 1 a+b+c + + ≤ + bc b + ca c + ab ab + bc + ca 1 + + a+b b+c c+a Chứng minh với số dương a, b, c ta có a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2a − ab + 2b 2b − bc + 2c 2c − ca + 2a Cho số không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức (b − c)2 + a+ (c − a)2 + b+ √ (a − b)2 ≤ 3+ c+ √ 1− (|a − b| + |b − c| + |c − a|) Cho số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3, chứng minh bất đẳng thức a3/2 b + b3/2 c + c3/2 a ≤ Chứng minh với số thực a, b, c, ta có bc ca ab + + ≤ 4a2 + b2 + 4c2 4b + c2 + 4a2 4c + a2 + 4b2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com CHƯƠNG PROBLEMS Cho số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3, chứng minh a2 + b2 + (a + 1)(b + 1) b2 + c2 + (b + 1)(c + 1) 10 Với a ≥ b ≥ c ≥ 0, đặt P = Q= c2 + a2 ≥√ (c + 1)(a + 1) b c a + + b+c c+a a+b 2(b + c) − a 2(c + a) − b 2(a + b) − c + + 4a + b + c 4b + c + a 4c + a + b Chứng minh (a) Nếu a + c ≥ 2b P ≥ Q (b) Nếu a + c ≤ 2b P ≤ Q 11 Cho số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1, đặt x = a2 + b2 + c2 , chứng minh bất đẳng thức + 2a2 − x + + 2b2 − x + + 2c2 − x ≥ √ 11 − 9x 12 Chứng minh với a, b, c > 0, ta có 1 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(abc)2/3 13 Chứng minh a, b, c > 1 √ ≥√ + √ + √ a a+b b b+c c c+a 2abc 14 Cho số dương x, y, z thỏa x2 + y + z ≥ 3, chứng minh y5 − y2 z5 − z2 x5 − x2 + + ≥0 x5 + y + z y + z + x2 z + x2 + y 15 Cho n ≥ a1 , a2 , , an số không âm thỏa a21 + a22 + · · · + a2n = 1, chứng minh bất đẳng thức √ (a1 + a2 + · · · + an ) ≥ a1 a2 + a2 a3 + · · · + an a1 16 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức c a b + + + b c a ab + bc + ca √ ≥ 3+1 a2 + b2 + c2 17 Chứng minh với a, b, c > 0, ta có b2 c2 8(ab + bc + ca) a2 + + + ≥ 11 2 b c a a2 + b2 + c2 18 Chứng minh với số dương a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn , ta có n n a2i i=1 n b2i i=1 ≥ n bi (ai + bi ) i=1 a2i bi a + bi i=1 i http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 19 Chứng minh với số thực a, b, c đôi khác nhau, ta có (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 1 + + (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 ≥ 27 20 Cho số không âm a, b, c, d thỏa a2 + b2 + c2 + d2 = 4, chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + ≤2 − abc − bcd − cda − dab 21 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức c a b + + ≥3 b c a a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 22 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 3(a2 + b2 + c2 ) a2 b + b2 c + c2 a + ≥8 a+b+c a3 + b3 + c3 23 Chứng minh với số dương a, b, c ta có b3 c3 a3 + + ≥1 a3 + abc + b3 b3 + abc + c3 c3 + abc + a3 24 Cho số dương a, b, c, d, chứng minh abd acd bcd abc + + + ≥ (d + a)(d + b)(d + c) (c + a)(c + b)(c + d) (b + a)(b + c)(b + d) (a + b)(a + c)(a + d) 25 Chứng minh với a, b, c > 0, ta có ab+c + bc+a + ca+b ≥ 26 Cho n ≥ 3, n ∈ N x1 , x2 , , xn số không âm có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức P (x1 , x2 , , xn ) = x31 x22 + x32 x23 + · · · + x3n x21 + n2(n−1) x31 x32 · · · x3n 27 Cho số thực a1 , a2 , , an thỏa a1 a2 · · · an = 1, tìm số tốt m, M cho a21 + n2 − + a22 + n2 − + · · · + a2n + n2 − ≤ m(a1 + a2 + · · · + an ) + M 28 Chứng minh với số dương a, b, c, d, ta có 3a2 b c d a + + + ≤ 2 2 2 2 + 2b + c 3b + 2c + d 3c + 2d + a 3d + 2a + b 1 1 + + + a b c d 29 Cho số dương x, y, z, chứng minh bất đẳng thức x+y+z y + zx z + xy x(y + z) y(z + x) z(x + y) x2 + yz ≤ + + + + ≤ √ xyz x2 + yz y + zx z + xy x(y + z) y(z + x) z(x + y) 30 Với số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3, ta có b c a + + ≥ b2 + c c2 + a a2 + b http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com CHƯƠNG PROBLEMS 31 Với số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3, ta có a b3 + + b c3 + + c a3 + ≤ 32 Tìm số k tốt cho bất đẳng thức sau với a, b, c > (a + b + c) 1 + + a b c ≥9+ k max{(a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 } (a + b + c)2 33 Cho số dương x, y, z có tích 1, chứng minh với k ≥ 0, ta có x + y+k y + z+k 3 z ≥ √ x+k k+1 34 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức c2 + a2 a2 + b2 b2 + c2 + + ≥ (a2 + b2 + c2 ) a(b + c) b(c + a) c(a + b) abc(a + b + c) 35 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức b2 c2 a2 + + b c a + 3(a + b + c) ≥ 15(a2 + b2 + c2 ) a+b+c 36 Chứng minh với số thực dương x, y, z có tích với k ≥ 0, ta có x + y+k y + z+k z ≥ √ x+k k+1 37 Chứng minh với số không âm a, b, c với k ≥ 3, ta có a(bk + ck ) b(ck + ak ) c(ak + bk ) + + ≥ ak−1 + bk−1 + ck−1 a2 + bc b + ca c + ab 38 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức b4 c4 a3 + b3 + c3 a4 + + ≥ a3 + abc + b3 b3 + abc + c3 c3 + abc + a3 a2 + b2 + c2 39 Cho số dương x, y, z, t thỏa 1 1 + + + =1 x+1 y+1 z+1 t+1 Chứng minh 1 1 1 1 1 1 + + , + + , + + , + + ≤1≤ x y z y z t z t x t x y 1 1 1 1 1 1 + + , + + , + + , + + ≤ max x y z y z t z t x t x y 40 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức √ 4a2 b2 c2 a+b+c a2 +√ +√ ≥ 2 2 + ab + 4b 4b + bc + 4c 4c + ca + 4a http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 41 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a(b + c) b(c + a) c(a + b) + + ≤ a + bc b + ca c + ab 1 + + a b c (a + b + c) + 27 42 Cho số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức √ a b c +√ +√ ≤ c + 2a a + 2b b + 2c 43 Cho số không âm a, b, c, tìm số k tốt để bất đẳng thức sau b c k max{(a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 } a + + ≥ + b+c c+a a+b ab + bc + ca 44 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a a+b + b b+c + c c+a ≤ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca · 45 Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a, b, c ≥ abcd = 1, chứng minh (a2 1 1 + + + ≤4 2 − a + 1) (b − b + 1) (c − c + 1) (d − d + 1)2 46 Với số không âm a, b, c, chứng minh a2 + 4bc + b2 + c2 b2 + 4ca + c2 + a2 √ c2 + 4ab ≥2+ 2 a +b 47 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức (a − b)(13a + 5b) (b − c)(13b + 5c) (c − a)(13c + 5a) + + ≥0 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 48 Chứng minh với số dương a, b, c, n, ta có a2 + bc b+c n + b2 + ca c+a n + c2 + ab a+b n ≥ an + bn + cn 49 Cho số không âm a, b, c thỏa a + b + c = Tùy theo giá trị n ∈ N, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P (a, b, c) = a(b − c)n + b(c − a)n + c(a − b)n 50 Cho số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3, tìm số k lớn cho a5 + b5 + c5 − ≥k a3 + b3 + c3 − 51 Cho số không âm a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = 8, chứng minh bất đẳng thức 4(a + b + c − 4) ≤ abc http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com CHƯƠNG PROBLEMS 52 Cho m, n (3n2 > m2 ) số thực cho trước a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = m, a2 + b2 + c2 = n2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P = a2 b + b2 c + c2 a 53 Tìm số k nhỏ cho với a, b, c ≥ a3 + ka2 + (b + c)2 b3 + kb2 + (c + a)2 c3 ≤ kc2 + (a + b)2 3(a + b + c) k+4 54 Chứng minh a, b, c > a + b + c = (ab + bc + ca) b c a + + b2 + c2 + a2 + ≤ 10 55 Cho số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3, chứng minh bất đẳng thức √ ab bc ca +√ +√ ≤ 2 2 c +3 a +3 b +3 56 Chứng minh với a, b, c dương b+c + a c+a + b 16(a + b + c)3 3(a + b)(b + c)(c + a) a+b ≥ c 57 Tìm số k lớn cho bất đẳng thức sau 1 k k + + ≤ + − a(1 + bc)2 b(1 + ca)2 c(1 + ab)2 (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) a, b, c số dương thỏa abc = 58 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức sau với k = a2 b + bc + c2 1/k + b2 c + ca + a2 1/k ln ln 3−ln c2 a + ab + b2 + 1/k ≥2 59 Cho số không âm a, b, c chứng minh bất đẳng thức b2 a2 + bc + + bc + c2 c2 b2 + ca + + ca + a2 a2 √ c2 + ab ≥ + ab + b 60 Chứng minh với x, y ∈ [0, 1], ta có x2 1 + ≥1+ 2 −x+1 y −y+1 x y − xy + 61 Cho số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a + a+b b + b+c c ≥√ · c+a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 62 Chứng minh với a, b, c ≥ 0, ta có bất đẳng thức (b2 b2 (c + a) c2 (a + b) a2 (b + c) + + ≥ 2 + c )(2a + b + c) (c + a )(2b + c + a) (a + b )(2c + a + b) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 150 CHƯƠNG SOLUTION 157 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 ab + bc + ca a2 + + + ≤2 2 + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b2 + c2 Lời giải Ta có 2− cyc ab + bc + ca a2 − 2 a + ab + b a + b2 + c2 (a + b + c)(ab + bc + ca)(ab5 + bc5 + ca5 − ab2 c3 − bc2 a3 − ca2 b3 ) ≥0 (a2 + b2 + c2 )(a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) = Nên bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c c b a → 0, b → hoán vị tương ứng Nhận xét Có đẳng thức đẹp đặc biệt 2− cyc a2 (a + b + c)(ab + bc + ca)(ab2 + bc2 + ca2 ) a2 = 2 + ab + b (a + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) ♥♥♥ 158 Cho số không âm x, y, z thỏa x + y + z = 3, chứng minh bất đẳng thức x2 y + y z + xyz ≤ Lời giải Nếu x ≥ 2y, ta chứng minh x2 y + y z + xyz ≤ (x + z)2 y Thật vậy, ta có yz(x − 2y + 2z) ≥0 (x + z)2 y − x2 y − y z − xyz = 2 Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM y + (x + z) y(x + z)2 ≤ =4 Suy x2 y + y z + xyz ≤ (x + z)2 y ≤ Ta phải xét trường hợp 2y ≥ x, bất đẳng thức tương đương với f (z) = 4(x + y + z)3 − 27x2 y − 27y z − Ta có 81 xyz ≥ f (z) = 4(x + y + z)2 − y(2y + 3x) y(2y + 3x) − x − y f (z) = ⇔ z = √ 2 Do 2y ≥ x nên √ 2 f (z) ≥ f = y(2y + 3x) − x − y ≥ 0, từ dễ thấy √ 2 y(2y + 3x) − x − y 27xy(x − 2y)2 (2x + y) x2 + 5xy + 2y + = √ y(3x+2y)3/2 √ 27 y x2 + 5xy + 2y − ≥0 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ √ y(3x + 2y)3/2 √ www.VNMATH.com 151 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy x = 2, y = 1, z = x = 0, y = 2, z = ♥♥♥ 159 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a2 1 3(a + b + c)2 + + ≥ + bc b + ca c + ab 2(a + b2 + c2 )(ab + bc + ca) Lời giải Bất đẳng thức tương đương với cyc 3(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 ≥ a + bc 2(ab + bc + ca) Hay 3+ cyc 3(a + b + c)2 b2 + c2 − bc ≥ a2 + bc 2(ab + bc + ca) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có cyc (2(a2 + b2 + c2 ) − ab − bc − ca)2 b2 + c2 − bc ≥ 2 a2 + bc cyc (a + bc)(b + c − bc) = (2(a2 + b2 + c2 ) − ab − bc − ca)2 (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca) − 4abc(a + b + c) Như thế, ta cần chứng minh 3+ 3(a + b + c)2 (2(a2 + b2 + c2 ) − ab − bc − ca)2 ≥ 2 (ab + bc + ca)(a + b + c + ab + bc + ca) − 4abc(a + b + c) 2(ab + bc + ca) Giả sử a + b + c = 1, đặt q = ab + bc + ca, r = abc ta có Bất đẳng thức trở thành r ≥ max 0, 4q−1 3+ ≥ q ≥ Theo bất đẳng thức Schur (2 − 5q)2 ≥ q − q − 4r 2q Nếu 4q ≤ 1, ta có 3+ 3 (5 − 11q)(1 − 4q) (2 − 5q)2 (2 − 5q)2 − ≥ − = ≥0 + 2 q − q − 4r 2q q−q 2q 2q(1 − q) Nếu 4q ≥ 1, ta có 3+ 3 3(11 − 4q)(1 − 3q)(4q − 1) (2 − 5q)2 (2 − 5q)2 − − ≥ = ≥0 + 4(4q−1) q − q − 4r 2q 2q 2q(4 − 7q − 9q ) q−q − Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c a = b, c = hoán vị tương ứng ♥♥♥ 160 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức (ab + bc2 + ca2 ) + a2 + b2 + c2 + ≥ 3(ab + bc + ca) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 152 CHƯƠNG SOLUTION Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có cyc b a cyc a = b a ab ≥ + 1b + 1c (ab + bc + ca)2 = 1 abc(a + b + c) + bc + ca Suy ab2 + bc2 + ca2 ≥ (ab + bc + ca)2 a+b+c Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM–GM, ta có (ab + bc + ca)4 4(ab + bc + ca)2 +2≥63 3(a + b + c) 9(a + b + c)2 Như thế, ta cần chứng minh (ab + bc + ca)4 ≥ 3(ab + bc + ca) 9(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + Bất đẳng thức hiển nhiên (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c = ♥♥♥ 161 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức √ 4a2 + bc +√ 1 +√ ≥ a + b+c + ca 4c + ab 4b2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có √ cyc (b + c)3 (4a2 + bc) 4a2 + bc ≥ 8(a + b + c)3 cyc Như thế, ta cần chứng minh (a + b + c)5 ≥ (b + c)3 (4a2 + bc) cyc Hay cyc cyc cyc a2 − 18 ab(a2 − b2 )(a − b) + abc 19 a3 (a − b)(a − c) + ab ≥0 cyc Bất đẳng thức hiển nhiên Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 0) ♥♥♥ 162 Cho số thực a, b, c, chứng minh bất đẳng thức + b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 + + ≥ 2 (a − b) (b − c) (c − a)2 Lời giải Dễ dàng chứng minh cyc + ab + bc · =1 a−b b−c http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 153 cyc − ab − bc · = −1 a−b b−c Do đó, sử dụng bất đẳng thức x2 + y + z ≥ xy + yz + zx x2 + y + z ≥ −2(xy + yz + zx) với x, y, z ∈ R, ta có + ab + bc + ab ≥ · =1 a−b a−b b−c cyc cyc − ab a−b cyc ≥ −2 cyc Từ đó, suy cyc + a2 b2 = (a − b)2 + ab a−b cyc − ab − bc · =2 a−b b−c + cyc − ab a−b ≥3 √ √ Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy chẳng hạn (a, b, c) = − 3, 0, ♥♥♥ 163 Cho số không âm a, b, c, chứng minh b2 c2 a2 + + ≥3 b c a a4 + b4 + c4 a2 + b2 + c2 Lời giải Bất đẳng thức tương đương cyc a4 +2 b2 cyc 9(a4 + b4 + c4 ) a2 b ≥ c a2 + b2 + c2 Hay cyc a4 + b2 − 2a2 +2 b2 cyc a2 b + bc − 2ab c ≥3 3(a4 + b4 + c4 ) − a2 + b2 + c2 a2 +2 cyc a2 − cyc ab cyc Sa (b − c)2 ≥ cyc Sa = 2b 2a 3(b + c)2 b2 + + − 2 c c b a + b2 + c2 Sb = 2c 2b 3(c + a)2 c2 + + − 2 a a c a + b2 + c2 Sc = 2a 2c 3(a + b)2 a2 + + − b2 b a a2 + b2 + c2 Không tính tổng quát, ta cần xét trường hợp a ≥ b ≥ c đủ Khi đó, dễ thấy Sa ≥ Xét trường hợp Trường hợp Nếu b − c ≥ a − b ≥ 0, suy 2(b − c) ≥ a − c 2b ≥ a + c Ta có 2b 2a c2 2c 2b 3(a + c)2 + 3(b + c)2 b2 + + + 2+ + − c c b a a c a2 + b2 + c2 3((2a − b)2 + (2c − b)2 ) 3(a + c)2 + 3(b + c)2 = ≥0 ≥9− 2 a +b +c 2(a2 + b2 + c2 ) Sa + Sc = http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 154 CHƯƠNG SOLUTION 8c 10b 2a b2 3(b + c)2 + 12(a + c)2 4c2 + + + + 2− a a c b c a2 + b2 + c2 3(b + c)2 + 12(a + c)2 4c 8c 5a 2a b −1+ + +5+ + 2− ≥ a a c b c a2 + b2 + c2 2 10a + 19b2 + 7c2 − 24ca − 6bc 3(b + c) + 12(a + c) = ≥0 ≥ 22 − 2 a +b +c a2 + b2 + c2 Sa + 4Sb = 10c 10b 4a b2 a2 3(b + c)2 + 12(a + c)2 + 3(a + b)2 4c2 + + + + 2+ − a a c b c b a2 + b2 + c2 11a2 + 20b2 + 11c2 − 24ab 3(b + c)2 + 12(a + c)2 + 3(a + b)2 = ≥0 ≥ 26 − 2 a +b +c a2 + b2 + c2 Sa + 4Sb + Sc = Như +, Nếu Sb ≥ Sa (b − c)2 ≥ (Sa + Sc )(a − b)2 ≥ cyc +, Nếu Sb ≤ 0, Sc ≥ Sa (b − c)2 ≥ (Sa + 4Sb )(b − c)2 ≥ cyc +, Nếu Sb , Sc ≤ Sa (b − c)2 ≥ (Sa + 4Sb + Sc )(b − c)2 ≥ cyc Trường hợp Nếu a − b ≥ b − c ≥ 0, ta chứng minh Sc ≥ 0, xét hàm số f (c) = Sc = 3(a+b)2 2a 2c a2 b2 + b + a − a2 +b2 +c2 , rõ ràng f (c) hàm đồng biến nên f (c) ≥ f (max{0, 2b − a}) Nếu a ≥ 2b f (c) ≥ f (0) = 2a 3(a + b)2 3(a + b)2 a2 + − ≥ − ≥0 b2 b a2 + b2 a2 + b2 Nếu 2b ≥ a f (c) ≥ f (2b − a) = 2a 4b 3(a + b)2 a2 + + − − ≥0 b2 b a 2a2 − 4ab + 5b2 Vậy ta có Sa , Sc ≥ Như Sb ≥ bất đẳng thức hiển nhiên, ngược lại Sb ≤ 0, ta có 4c 6b b2 2a 6(a + c)2 + 3(b + c)2 2c2 + + + + − a2 a c c2 b a2 + b2 + c2 8c 8b 2a 6(a + c) + 3(b + c)2 −2+ −1+ − ≥ a c b a2 + b2 + c2 2 6(a + c) + 3(b + c) ≥0 ≥ 12 − a2 + b2 + c2 Sa + 2Sb = 6c 4b a2 2a 6(a + c)2 + 3(a + b)2 2c2 + + + + − a2 a c b2 b a2 + b2 + c2 √ 2+6 c 6(a + c)2 + 3(a + b)2 4b 4a −1+ + −1− ≥ a c b a2 + b2 + c2 2 6(a + c) + 3(a + b) ≥0 ≥ 13.6 − a2 + b2 + c2 Sc + 2Sb = http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 155 Do Sa (b − c)2 ≥ (Sa + 2Sb )(b − c)2 + (Sc + 2Sb )(a − b)2 ≥ cyc Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c ♥♥♥ 164 Cho số dương a, b, c, chứng minh c a b 8abc + + −2+ ≥2 b c a (a + b)(b + c)(c + a) Lời giải Cách Đặt x = ab , y = cb , z = c a ta có xyz = bất đẳng thức trở thành x+y+z−2+ ≥2 (x + 1)(y + 1)(z + 1) Chú ý số x, y, z tồn số không lớn không bé 1, chẳng √ hạn (x − 1)(y − 1) ≥ 0, suy (x + 1)(y + 1) ≤ 2(xy + 1) Đặt t = xy, ta có √ √ 4t2 2t3 − 2t2 + + V T ≥ 2t + z − + = (z + 1)(t + 1) t (t + 1)2 Ta cần chứng minh √ 4t2 2t3 − 2t2 + + ≥2 t (t + 1)2 Hay √ 4t2 2t3 − 2t2 + −1≥1− t (t + 1)2 (t − 1)2 2t + (t + 1)2 − (t + 1)2 t 2t3 − 2t2 + + t2 √ ≥0 Theo bất đẳng thức AM–GM, ta có 2t + (t + 1)2 − ≥ (t + 1)2 t 2t3 − 2t2 + + t2 √ = 2t + t2 +(2t3 −2t2 +1) + t2 − (t + 1)2 (t2 + 1)2 2t5 − 3t4 + 4t3 + 2t2 + 2t + ≥0 (2t3 + t2 + 1)(t2 + 1)2 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c Cách Không tính tổng quát, giả sử c = min{a, b, c} Bất đẳng thức tương đương c 32abc 64a2 b2 c2 a b + + −2≥4− + b c a (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 Chú ý 64a2 b2 c2 (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 ≤ 8abc (a+b)(b+c)(c+a) nên ta cần chứng minh c 24abc a b + + −3≥3− b c a (a + b)(b + c)(c + a) Hay (a − c)(b − c) 3(2c(a − b)2 + (a + b)(a − c)(b − c)) (a − b)2 + ≥ ab ac (a + b)(b + c)(c + a) c(a − b)2 ((a + b)(b + c)(c + a) − 6abc) + b(a − c)(b − c)(a + b)((a + c)(b + c) − 3abc) ≥ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 156 CHƯƠNG SOLUTION Ta chứng minh kết mạnh c(a − b)2 ((a + b)(b + c)(c + a) − 8abc) + b(a − c)(b − c)(a + b)((a + c)(b + c) − 3abc) ≥ Hay 2c2 (a − b)4 + (a − c)(b − c)(a + b)(c(a − b)2 + b(a + c)(b + c) − 3abc) ≥ Ta có c(a − b)2 + b(a + c)(b + c) − 3abc = ab2 + a2 c + 2b2 c + bc2 − 4abc √ ≥ ab2 + a2 c + 3bc2 − 4abc ≥ 3 − abc ≥ Bất đẳng thức chứng minh ♥♥♥ 165 Cho số thực a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a(b + c) (a + b)(a + c) + Lời giải Ta có cyc a(b + c) (a + b)(a + c) b(c + a) (b + c)(b + a) − + c(a + b) (c + a)(c + b) ≥ (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 + 32a2 b2 c2 = 2(a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 Nên bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 0) ♥♥♥ 166 Cho số không âm x, y, z thỏa x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức x + y2 + y + z2 + z + x2 ≤ 11 Lời giải Không tính tổng quát, giả sử x = max{x, y, z} Đặt x + z = 2t, x − z = 2m ta có t ≥ m ≥ Khi đó, ta có x + y2 + y + z2 + Ta có f (m) = z + x2 = t + m + y2 + y + (m − t)2 + (t + m)2 + t − m = f (m) y 8t − − + 4((t + m)2 + t − m)3/2 4(t + m + y )3/2 (y + (m − t)2 )3/2 Ta chứng minh f (m) ≥ cách chứng 8t − ≥ 3/2 ((t + m) + t − m) (t + m + y )3/2 Hay (8t − 1)2 (t + m + y )3 ≥ ((t + m)2 + t − m)3 (4(x + z) − 1)2 (x + y )3 ≥ (x2 + z)3 +, Nếu x ≥ y ≥ z ≥ ta có 2(x + z) ≥ x + y + z = 1, suy 4(x + z) − ≥ Do đó, ta cần chứng minh x + y ≥ x2 + z Hay y(x − z) ≥ z − y (đúng) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 157 +, Nếu x ≥ z ≥ y ≥ 0, đó, dễ thấy x + y2 ≥ (x + z) ≥ Do (4(x + z) − 1)2 (x + y )3 − (x2 + z)3 = (3x − y + 3z)2 (x + y )3 − (x2 + z)3 ≥ (3x − y + 3z)2 (x + y )2 (x2 + z) − (x2 + z)3 Như vậy, ta cần chứng minh (3x − y + 3z)2 (x + y )2 ≥ (x2 + z)2 Hay 4(3x − y + 3z)2 (x2 + x(y + z) + y )2 ≥ 9(x + y + z)2 (x2 + xz + yz + z )2 2(3x − y + 3z)(x2 + x(y + z) + y ) ≥ 3(x + y + z)(x2 + xz + yz + z ) g(x) = 3x3 + (y + 6z)x2 + 2(2y − yz)x − 2y + 3y z − 6yz − 3z ≥ Dễ thấy g(x) hàm đồng biến nên g(x) ≥ g(z) = 6z − 7yz + 7y z − 2y ≥ (do z ≥ y ≥ 0) Vậy trường hợp, ta có f (m) ≥ Do đó, f (m) hàm lồi Suy f (m) ≤ max {f (0), f (t)} Như vậy, ta cần chứng minh max {f (0), f (t)} ≤ 11 Điều có nghĩa ta cần chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp số x, y, z có số 0, trường hợp số x, y, z có số Trường hợp xyz = 0, không tính tổng quát, giả sử z = Khi đó, ta cần chứng minh x + y2 + 11 √ y+x≤ ∀x, y ≥ : x + y = Hay y2 − y + ≤ y − t4 − t2 + ≤ 2t3 − t2 − t + 6 √ y+ (t = √ y ∈ [0, 1]) 11 22 12 t + t− ≤ (đúng ≥ t ≥ 0) 5 25 Trường hợp (x − y)(y − z)(z − x) = 0, không tính tổng quát, giả sử x = z, suy ≥ x ≥ 0, y = − 2x Khi đó, ta cần chứng minh x + y2 + y + x2 + x + x2 ≤ Hay 4x2 − 3x + + x2 + x ≤ x + 11 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 158 CHƯƠNG SOLUTION 4x2 − 3x + + x2 + x ≤ x+ (4x2 − 3x + 1)(x2 + x) ≤ −4x2 + 4(4x2 − 3x + 1)(x2 + x) ≤ −4x2 + 11 22 x+ 25 11 22 x+ 25 16 121 196 596 x − x + x− ≤ (đúng ≥ x ≥ 0) 25 125 625 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức không xảy ♥♥♥ 64 nhỏ để bất đẳng thức 167 Cho số không âm a, b, c, d thỏa a + b + c + d = 4, tìm số k > 27 sau 1 + + + ≤ k − abc k − bcd k − cda k − dab k−1 48 Ta chứng minh giá trị cần tìm, tức Lời giải Cho d = 0, a = b = c = 34 , ta suy k ≥ 11 ≤ 48 − 11abc 37 cyc 2 Đặt x = ab, y = cd, z = a + b, t = c + d ta có z4 ≥ x ≥ 0, t4 ≥ y ≥ 0, bất đẳng thức viết lại sau 96 − 11yz + + f (x) = ≤ 48 − 11xc 48 − 11xd 2304 − 528yz + 121xy 37 Ta có f (x) = 242d2 2(96 − 11yz) 242c2 + + ≥0 (48 − 11xc)3 (48 − 11xd)3 (2304 − 528yz + 121xy )3 Suy f (x) hàm lồi, f (x) ≤ max f (0), f Lại có f (0) = 1 1 1 + + ≤ + = 16 48 − 11yz 16 48 − 11cdz 16 48 − 11 c+d+z f u = z2 z2 = = 37 = 27 96 − 11ut + = g(y) 121yu2 − 528ut + 2304 96 − 11yz z2 Dễ thấy g(y) hàm lồi nên g(y) ≤ max g(0), g t2 Ta lại có g(0) = 1 1 1 ≤ + = + + 16 48 − 11ut 16 48 − 11· z2 · z2 ·t 16 48 − 11 g t2 = z+t 3 44(4 − zt)(11z t2 + 44zt − 768) 4 ≤ + 37(384 − 11z t)(384 − 11zt2 ) 37 37 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 159 = 4, 11z t2 + 44zt − 768 ≤ 11·42 + 44·4 − 768 = −416 < 0) (do zt ≤ (z+t) Bất đẳng thức chứng minh xong Vậy kmin = 48 11 ♥♥♥ 168 Cho số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a2 + bc + 3(a + b + c) ≥ b2 + ca + c2 + ab Lời giải Nếu abc = 0, giả sử c = dễ thấy bất đẳng thức hiển nhiên Xét trường hợp abc > 0, không tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > abc = 1, đó, tồn số thực x ≥ y ≥ z cho a = ex , b = ey , c = ez , suy x + y + z = 0, bất đẳng thức cho viết lại sau f (x) ≥ cyc √ f (x) = 3et − e2t + e−t Ta có f (t) = 6e3t/2 (e3t + 1)3/2 − 4e6t − 14e3t − 2e2t (e2t + e−t )3/2 Đặt u = e−3t/2 > f (t) = ⇔ 36u−1 (u−1 + 1)3 = (4u−2 + 14u−1 + 1)2 Hay g(u) = u4 − 9u3 + 96u2 + 4u − 20 = Ta có g (u) = 4u3 − 27u2 + 192u + = 41 u(4u − 27)2 + 39 u + > 0, suy g(u) hàm đồng biến, lại có g(0) = −20 < 0, g(1) = 73 > nên phương trình g(u) = có nghiệm u0 > 0, từ ta suy f (t) = có nghiệm t0 , ta kiểm tra f (t) lõm (−∞, t0 ] lồi [t0 , +, ∞) Trở lại toán ta, xét trường hợp Trường hợp y ≥ t0 , đó, sử dụng bất đẳng thức Jensen, ta có x+y f (x) + f (y) ≥ 2f Ta cần chứng minh 2f Đặt m = e(x+y)/2 = √ x+y + f (z) ≥ ab ≥ ez = c, sau đồng bậc, ta bất đẳng thức tương đương 3(2m + c) ≥ 2 m2 + mc + m2 + c2 Bình phương vế thu gọn, ta viết lại bất đẳng thức sau 16m2 + 20mc + 5c2 ≥ 16 m(m + c)(m2 + c2 ) Hay m2 + mc − m2 + c2 + 3c(4m − c) ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 160 CHƯƠNG SOLUTION Trường hợp y ≤ t0 , đó, ta có t0 ≥ y ≥ y + z − t0 , suy f (y) + f (z) ≥ f (t0 ) + f (y + z − t0 ) Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Jensen, ta lại có f (x) + f (t0 ) ≥ 2f x + t0 Ta cần chứng minh 2f x + t0 + f (y + z − t0 ) ≥ Bất đẳng thức theo trường hợp Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 0) Nhận xét Trong này, có kỹ thuật đáng ý việc đổi biến u = e−3t/2 , bạn nghĩ xem ta lại không đặt u = e3t/2 cho "tiện" mà lại đặt thế? Để tìm câu trả lời, ta thử đặt u = e3t/2 , phương trình f (t) = tương đương với g(u) = 20u4 − 4u3 − 96u2 + 9u − = Ta có g (u) = 80u3 − 12u2 − 192u + 9, đến bạn thấy thật khó mà xác định biến thiên g(u), điều gây khó khăn nhiều cho ta việc giải toán, ngược lại ta đặt u = e−3t/2 sau thu gọn, ta lại hàm đồng biến! Xin nêu ví dụ đơn giản để bạn thấy rõ điều này: Xác định số nghiệm dương có phương trình h(x) = 22x13 − 12x12 − 1990 = 0, bạn giữ nguyên xét hàm số theo biến x ta có h (x) = 2x11 (143x − 72), từ đây, 72 72 tăng 143 , +∞ , nghĩa h(x) có khoảng biến thiên Bây ta thấy h(x) giảm 0, 143 13 22 đặt x = t phương trình tương tương t13 − t12 + 12t − 22 = 0, rõ ràng 12 − 1990 = 0, hay m(t) = 1990t m(t) hàm đồng biến (0, +∞), lại có g(0) = −22 < 0, g(1) = 1980 > nên phương trình m(t) = có nghiệm dương t nhất, ý với giá trị t > cho ta giá trị x > 0, phương trình h(x) = có nghiệm dương x Các bạn thấy không, kỹ thuật hay không nào? :) ♥♥♥ 169 Cho dãy dương {xn } thỏa k xi ≥ √ k với k = 1, 2, , n, chứng minh bất đẳng thức i=1 x21 + x22 + · · · + x2n ≥ 1+ 1 + + ··· + n Lời giải Xét hàm số f (x) = x2 với x > 0, ta có f (x) = 2x > 0, f (x) = > Suy f (x) hàm lồi, sử dụng bổ đề Lagrange, ta có f (xi ) ≥ f √ √ i− i−1 +f √ √ i− i−1 xi − √ √ i− i−1 ∀i = 1, 2, , n Do n n √ √ i− i−1 + f f (xi ) ≥ i=1 i=1 n f √ √ i− i−1 i=1 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ xi − √ √ i− i−1 www.VNMATH.com 161 Sử dụng kỹ thuật nhóm Abel, ta có n f √ √ i− i−1 √ √ i− i−1 xi − i=1  n−1 = f √ √ √ i+1− i √ i− i−1 −f  √ n− n √ n−1 n = xj − f √ i=1  √ √ i+1− i √ i− i−1 −f j−1  j− j=1 √ √ i− i−1 xi − i=1 n−1  i j=1 i=1 +f i i   √ xj − i + f √ √ n− n−1 j=1 i=1 Chú ý với i ≥ n xi − √ n i=1 √ √ √ √ i + + i ≥ i + i − 1, hay √ Hay 1 √ ≥√ √ i+ i−1 i+1+ i √ √ √ √ i− i−1≥ i+1− i>0 Suy n f √ √ i− i−1 xi − √ √ i− i−1 ≥0 i=1 Ta phải chứng minh n f √ √ i− i−1 ≥ i=1 n 4i i=1 Để chứng minh, ta cần ý với i ≥ √ √ i− i−1≥ √ i Thật vậy, ta có √ √ √ √ √ i− i−1 ≥ i+ i−1 i √ √ i− i−1 =1 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức không xảy ♥♥♥ 170 Cho số không âm a, b, c thỏa ≥ a + b + c ≥ 3, chứng minh bất đẳng thức √ √ √ √ a + + b + + c + ≥ 15 + ab + bc + ca Lời giải Cách Đặt x2 = + a, y = + b, z = + c, d = x2 + y + z ta có x, y, z ≥ ≥ d ≥ 6, bất đẳng thức trở thành x+y+z ≥ Hay 18 − 2d + x2 y + y z + z x2 3d + 2(xy + yz + zx) ≥ 18 + x2 y + y z + z x2 Sử dụng giả thiết ≥ d ≥ bất đẳng thức AM–GM, ta có 3d(d − 6) ≥ d (d − 6) ≥ (d − 6)(x2 y + y z + z x2 ) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 162 CHƯƠNG SOLUTION Suy 3d + 6(x2 y + y z + z x2 ) ≥ 18 + x2 y + y z + z x2 d Ta cần chứng minh xy + yz + zx ≥ Hay 3(x2 y + y z + z x2 ) d (xy + yz + zx)(x2 + y + z ) ≥ 3(x2 y + y z + z x2 ) (y + z)(4x − y − z)(x − y)(x − z) ≥ cyc (5xy + 3zx + 3yz − 7z )(x − y)2 + (4z − x − y)(x + y)(x − z)(y − z) ≥ Mặt khác lại có 9z ≥ ≥ x2 + y + z Suy 8z ≥ x2 + y ≥ (x + y)2 Do 4z − x − y ≥ Từ đây, với giả sử z = min{x, y, z}, ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c = a = b = c = (a + 1)(b + 1) Cách Không tính √ tổng quát, giả sử c = min{a, b, c}, suy c ≤ Đặt t = ≥ t ≥ a + b + 1, bất đẳng thức cho viết lại sau ta có + a+b √ √ f (t) = 2t + a + b + + c + − t2 + 14 + (a + b)(c − 1) ≥ Ta có f (t) = − 14 + (a + b)(c − 1) − g 1+ với m = a+b ≥y≥ (c + 1)(a + b + 1) 1+ a+b+c 2y + a + b + c + − Ta có g (y) = − (2y+a+b+c+2) 3/2 − 1+ 2, a+b+c √ =1+2 m+1− Ta có h (m) = − 2(m+1) 3/2 − h(m) ≥ h , h(3) m2 + 15 = h(m) 15 (m2 +15)3/2 √ 10 + − = < nên h(m) hàm lõm, suy √ √ 69 , − 24 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ >0 www.VNMATH.com 163 6−c ≥ 0, đặt x = a+b Ta phải chứng minh f + a+b 2 , suy ≥ x ≥ tương đương √ √ u(x) = x + + c + − x2 + 2xc + 15 ≥ Ta có u (x) = − 2(x+1) 3/2 − 15−c2 (x2 +2xc+15)3/2 3−c bất đẳng thức < 0, suy u(x) hàm lõm, u(x) ≥ u 6−c ,u 3−c Lại có u 6−c = u 3−c = 3(c − 2)2 (20 + 20c − 3c2 ) √ √ 2 2(8 − c) + c + + −3c2 + 12c + 96 2(8 − c)(c + 1) − 3c2 + 16c + 28 3(c − 1)2 (5 − c)(3c + 1) √ √ 2 2(5 − c) + c + + −3c2 + 6c + 69 2(5 − c)(c + 1) − 3c2 + 10c + 25 Bất đẳng thức chứng minh ♥♥♥ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ www.VNMATH.com 164 CHƯƠNG SOLUTION 2.2 Tác giả toán − Phạm Thị Hằng (♥) − Võ Quốc Bá Cẩn (♥) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Nguyễn Văn Thạch Nguyễn Phi Hùng Phan Hồng Sơn Phạm Kim Hùng Phạm Văn Thuận Phạm Hữu Đức Vasile Cirtoaje Nguyễn Anh Cường Phạm Sinh Tân Phan Thành Nam Lê Văn Chánh Darij Grinberg Gabriel Dospinescu Kiran Kedlaya Nguyễn Anh Tuấn Vũ Đình Quý Thomas J Mildorf Phan Thành Việt Iurie Borieco Ivan Borsenco Đinh Tuấn Đông Titu Andreescu [18] [1] [6] [21] [26] [27] [28] [35] [36] [44] [45] [46] [47] [48] [50] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [59] [61] [63] [64] [65] [66] [68] [73] [76] [77] [78] [80] [86] [89] [90] [92] [94] [95] [97] [101] [102] [103] [106] [107] [108] [109] [110] [113] [114] [117] [122] [123] [126] [135] [139] [140] [141] [142] [144] [150] [151] [152] [158] [166] [167] [168] [17] [23] [24] [38] [44] [61] [84] [109] [162] [163] [164] [51] [9] [10] [100] [104] [165] [3] [7] [8] [20] [30] [31] [42] [70] [118] [120] [137] [143] [156] [160] [161] [39] [40] [43] [49] [81] [82] [85] [119] [121] [127] [134] [154] [157] [4] [29] [34] [37] [41] [69] [87] [93] [125] [128] [132] [145] [147] [159] [14] [33] [83] [84] [111] [158] [16] [22] [124] [58] [115] [13] [91] [11] [62] [74] [146] [75] [96] [129] [98] [136] [99] [116] [133] [133] [2] [169] http://toanlihoasinh.blogspot.com/ [...]... b2 + 9abc ≤ 81 +3 cyc Đặt x = ab + bc + ca thì theo bất đẳng thức AM–GM và Schur, ta có x ≤ 3, 3abc ≥ 4x − 9, bất đẳng thức trở thành x((9 − 2x)2 + 3x2 − 9abc) ≤ 81 Như vậy, ta chỉ cần chứng minh x((9 − 2x)2 + 3x2 − 3(4x − 9)) ≤ 81 Hay (x − 3)(7x2 − 27x + 27) ≤ 0 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do 3 ≥ x ≥ 0 Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 ♥♥♥ 8 Chứng... − 2t + 2 3 − 2 (t2 − 1) Hay √ √ √ 6 3 − 9 t2 + 3 + 3 t + 18 − 11 3 ≤ 0 √ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do 3 ≥ t ≥ 1 2(t − 1) t − √ 3 Trường hợp 2 t ≤ 1, bất đẳng thức trở thành √ 3t4 − 14t2 + 27 ≤ 6 − 2t − 2 3 − 2 (t2 − 1) Hay 2(t − 1) √ √ √ √ 6 3 − 9 t3 + 2 3 − 3 t2 + 2 3 − 9 t + 6 3 − 3 ≤ 0 Bất đẳng thức này cũng đúng do 1 ≥ t ≥ 0 Bài toán được giải quyết hoàn toàn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ... √1 2  +f 1 a+b− √ 2 √ 3 3 ≤ 2 Bất đẳng thức này đúng theo (2.1) Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = √13 Nhận xét Bất đẳng thức trên vẫn đúng với mọi x, y, z ∈ R thỏa mãn xy + yz + zx = 1 ♥♥♥ 2 Cho các số dương a, b, c thỏa abc = 1, chứng minh rằng √ √ √ √ a b+c b c+a c a+b + + ≥ 2 b+c+1 c+a+1 a+b+1 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức H¨older, ta có cyc √ a b+c... quyết hoàn toàn Đẳng thức ở cả 2 bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2b = a + c ♥♥♥ 11 Cho các số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1, đặt x = a2 + b2 + c2 , chứng minh bất đẳng thức 1 + 2a2 − x + 1 + 2b2 − x + 1 + 2c2 − x ≥ √ 11 − 9x Lời giải Bình phương 2 vế rồi thu gọn, ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau (1 + a2 − b2 − c2 )(1 + b2 − c2 − a2 ) ≥ 8 ab cyc cyc Sử dụng bất đẳng thức GM-HM, ta có... + y + z = 3, chứng minh bất đẳng thức 3 x2 y + y 2 z + xyz ≤ 4 2 159 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a2 1 1 3(a + b + c)2 1 + 2 + 2 ≥ 2 + bc b + ca c + ab 2(a + b2 + c2 )(ab + bc + ca) 160 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 4 2 (ab + bc2 + ca2 ) + a2 + b2 + c2 + 2 ≥ 3(ab + bc + ca) 3 161 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức √ 1 1 4 1 +√ +√ ≥... minh rằng với mọi k ≥ 2, ta có bất đẳng thức a+b+c √ ≥ 3 abc a+c + b+c k k c+b + a+b k b+a c+a 64 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 3 a + b+c 3 b + c+a c ≥2 a+b 3 abc +1 (a + b)(b + c)(c + a) 65 Cho các số thực a, b, c, d thỏa a2 + b2 + c2 + d2 = 4, chứng minh bất đẳng thức 9(a + b + c + d) ≤ 4abcd + 32 66 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức a2 + 256bc + b2 + c2 b2... chứng minh bất đẳng thức a + b+c b + c+a c +3 a+b √ 7 2 3(ab + bc + ca) ≥ a2 + b2 + c2 2 79 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức b c 16(ab + bc + ca) a + + + ≥8 b+c c+a a+b a2 + b2 + c2 80 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 3(a3 + b3 + c3 ) + 2abc ≥ 11 a2 + b2 + c2 3 3/2 81 Cho các số không âm a, b, c, d thỏa a2 + b2 + c2 + d2 = 1, chứng minh bất đẳng thức b3 c3... c chứng minh bất đẳng thức b2 c2 9(ab + bc + ca) a2 + + + ≥ 12 2 2 2 b c a a2 + b2 + c2 114 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức c a b + + ≥3 b c a a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2/3 115 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức c 9(a3 + b3 + c3 ) a b + + ≥23 b c a (a + b)(b + c)(c + a) 116 Cho các số không âm x, y, z thỏa x + y 2 + z 2 = 1, chứng minh bất đẳng thức y3 x3 z3... thỏa xyz = 1, chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 z+x x+y y+z ≤ 2+ 2+ 2 + 3 + 3 3 x + yz y + zx z + xy x y z 155 Cho các số dương a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 39 9a(a + b) + 2(a + b + c)2 3 6bc ≤4 (a + b)(a + b + c) 156 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 + + ≥ (a + 2b)2 (b + 2c)2 (c + 2a)2 ab + bc + ca 157 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức b2 c2 ab + bc +... bất đẳng thức x + y2 + y + z2 + z + x2 ≤ 11 5 64 nhỏ nhất để bất đẳng 167 Cho các số không âm a, b, c, d thỏa a + b + c + d = 4, tìm hằng số k > 27 thức sau đúng 1 1 1 4 1 + + + ≤ k − abc k − bcd k − cda k − dab k−1 168 Cho các số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức 3(a + b + c) ≥ 2 169 Cho dãy dương {xn } thỏa k xi ≥ a2 + bc + b2 + ca + c2 + ab √ k với mọi k = 1, 2, , n, chứng minh bất đẳng