GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÀI LI U I M MÔN TOÁN (PH N 1) GV: Nguy n Thanh Tùng CHUYÊN Đ : S PH C D NG 1: TH C HI N CÁC PHÉP TOÁN làm t t đ up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 c D NG b n c n th c hi n thành th o phép toán sau: /g ro Ví d minh h a w w w fa ce bo ok c om Bài Hãy vi t bi u th c sau d i d ng s ph c a  bi ( a, b   ) 2(2  3i )  i  i  2i A  (1  2i)(3  i)    2i B    1 i 1 i  i 1 i (2  i )5 (1  i )6  C  D  i 2015  i 2016  (1  i )2016 (1  2i )3 (1  i)5 E   i  i   i 2015  i 2016 Gi i 2(2  3i ) 2(2  3i )(1  i )   2i  (3  2)  (1  6)i    2i A  (1  2i )(3  i )  1 i (1  i )(1  i ) 2(5  i)   5i  2   2i   5i  (5  i )   2i   2i 1  i  i  2i (1  i )2 (3  i )(2  i ) (1  2i)(1  i) 2i  i  i      B       i  i  i  i (1  i)(1  i ) (2  i )(2  i ) (1  i )(1  i) 10 10  (1  i )  (2  i )5 (1  i)   i   1 i   (2  i )(1  2i )  C     (2  i )    (1  i)    (3  4i)    (1  i ) (1  2i )3 (1  i)   2i    1 i    3 5  5i   2i     (3  4i)    (1  i)  i (3  4i)  i (1  i )  i (3  4i )  i (1  i)   4i 5 2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng D  i 2015  i HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1008 2016 2016 1007 1008 1007 1008 1008  (1  i )  (i )   (1  i )  i  (i )   (1) i  (1)  (2i )   i   21008.(i )504  i   21008  21008   i E   i  i   i 2015  i 2016 Cách 1: Ta có E   i  i   i 2015  i 2016 (1) Suy iE  i  i  i  i 2016  i 2017 (2) L y (1) – (2) ta đ c: (1  i) E   i 2007   (i )1008 i   i  E    0.i  qn  i 2017  (i )1008 i  i E  u1     V y E    0.i 1 q 1 i 1 i 1 i H oc 1 i Tính giá tr c a bi u th c: A   iz 2015 1 i Gi i  i (1  i )2 2i    i  z 2015  i 2015  (i )1007 i  (1)1007 i  i 1 i 2 2013  A   iz   i2    V y A  ie uO nT Ta có: z  hi D Bài Cho s ph c z  01 Cách 2: E t ng c a m t c p s nhân v i s h ng đ u u1  công b i q  nên ta có: IL iL Ta PH C VÀ CÁC NG C TR NG s/ D NG 2: TÌM S ng đ c tr ng th a mãn u ki n (*) cho tr c /g ro up N i dung toán: Xác đ nh s ph c z đ i l fa ce bo ok c om Tr ng h p 1: Trong (*) ph ng trình ch có m t z ( ho c z ) Ph ng pháp gi i:  B c 1: Gi i ph ng trình v i n z (ho c z ) , suy z (ho c z )  B c 2: D a vào yêu c u toán, suy đáp s Ví d minh h a 2(1  2i)   8i Tìm môđun c a s ph c w  z   i 1 i Phân tích w w w Ví d Cho s ph c z th a mãn (2  i) z  2(1  2i)   8i ch ch a z nên ta th c hi n phép toán  z  a  bi 1 i +) Suy w  z   i  w +) i u ki n (2  i) z  2(1  2i )(1  i ) 2(1  2i)   8i   8i  (2  i) z  1 i (1  i )(1  i ) 2(3  i )  (2  i ) z    8i  (2  i ) z   7i Gi i: Ta có: (2  i) z  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  7i (4  7i )(2  i ) 15  10i z     2i 2i 5  w  z   i   2i   i   3i  w  42  32  V y w  Ví d Cho s ph c z có ph n o âm th a mãn z  z  13  Tính môđun c a s ph c: w  z  Gi i ng trình z  z  13  có bi t th c  '   13  4  4i nên ph ng trình có hai nghi m : 2 01 Ph zi 3(1  i )  (1  i )   1  2i  z1  ng trình có nghi m :   z  3(1  i )  (1  i)  2  i  2 nT Gi i ng trình z  3(1  i ) z  5i  có bi t th c  '  9(1  i )2  20i  2i  (1  i ) ie uO Ph ng trình z  3(1  i ) z  5i  t p h p s ph c hi D Ví d Gi i ph H oc 6 6(3  i ) 24  24     z   2i  w  z    2i    2i    i  w       V y w  z i 3i 10 5   5 s/ ph n tính  toán có th hi u theo h ng ng : Vì ta quen thu c v i công th c : (1  i)  2i ro +) H c : 2i  (1  i )2 up Chú ý : Vi c vi t đ Ta iL nên ph a  b  a  ng : Ta ch n a, b th a mãn 2i  (a  bi)  a  b  2abi   “ch n”:  b  1 ab  1  1.(1) +) H ng : ( ây h ng t ng quát – không nhìn th y theo H ng 1, H ng 2) G i a  bi c n b c hai c a 2i  (a  bi)  2i  a  b  2abi  2i a2  b2  a  b  a  b  a  1; b  1      2ab  2 ab  1 ab  1  a  1; b  w fa ce bo ok c om /g +) H w w V y c n b c hai c a 2i :  i 1  i nên ph Ví d Gi i ph 3(1  i)  (1  i )   1  2i  z1  ng trình có nghi m :   z  3(1  i )  (1  i )  2  i  2 ng trình n z sau t p s ph c : z   7i  z  2i z i Gi i +) i u ki n : z  i +) V i u ki n : ph z   7i  z  2i  z   7i  ( z  i )( z  2i)  z  (4  3i) z   7i  z i ng trình có bi t th c   (4  3i)  4(1  7i)   24i   28i   4i  (2  i) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 a  b  (Làm nháp: Nh m a, b th a mãn   a  2; b  1 ) ab  2  1.(2)  2.(1) D NG 2: TÌM S PH C VÀ CÁC C TR NG ng đ c tr ng th a mãn u ki n (*) cho tr c ng h p 2: Trong (*) có ch a f ( z, z ) ho c có d u môdun " " hi D Tr NG H oc N i dung toán: Xác đ nh s ph c z đ i l IL z  3 i  z   2i  01 nên ph (4  3i )  (2  i )   3i z  ng trình có hai nghi m :  (th a mãn u ki n), suy  z  (4  3i )  (2  i )   2i  Ví d minh h a w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT S đ gi i Ví d Cho s ph c z th a mãn 5( z  i)   i Tính môđun c a s ph c w   z  z z 1 Phân tích 5( z  i)   i ch a đ ng th i z z hay ch a f ( z, z ) nên g i z  a  bi ( a, b  R ) z 1 a  ? 5( z  i)   i bi n đ i v d ng z1  z   +) T u ki n  z  w  1 z  z2  w z 1 b  ? +) Trong u ki n Gi i Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 +) G i z  a  bi ( a, b  R ) , z  1 5( z  i )   i  5( z  i)  ( z  1)(2  i )  5(a  bi  i)  (a  bi  1)(2  i ) (*) z 1 5a  2a  b  3a  b  a  (*)  5a  5(b  1)i  (2a   b)  (a   2b)i     5(b  1)  a  2b  a  7b  6 b  +) Khi đó:  z   i  w   z  z    i  (1  i )2   3i  w  22  32  13 V y w  13 Ví d Tìm s ph c z th a mãn: z  z s thu n o Phân tích +) G i z  a  bi ( a, b  R )  z   a  b   a  b  (1) H oc hi D  f ( a, b)  a  ? +) T hai u ki n z  z s thu n o    z b  ?  f ( a, b)  Gi i 01 +) Trong u ki n z  ch a d u " " , c th z nên g i z  a  bi ( a, b  R ) nT +) Ta có: z  (a  bi)  a  b  2abi s thu n o  a  b   b  a (2) Ta iL ie uO  a   b  1 Thay (2) vào (1): 2a     a  1  b  1 V y s ph c c n tìm là:  i;  i; 1  i; 1  i up s/ Ví d Tìm s ph c z th a mãn ( z  1)( z  2i) s th c z   ro Gi i om /g +) G i z  a  bi ( a, b  R )  ( z  1)( z  2i )  ( a  bi  1)(a  bi  2i )  [(a  1)  bi ][a  (b  2)i ]  [a ( a  1)  b(b  2)]  [ab  ( a  1)(b  2)]i (1) c ( z  1)( z  2i) s th c  [ab  ( a  1)(b  2)]   2a  b   bo ok Ta có: z    a   bi   (a  1)  b   (a  1)  b  ce T (1)  b   2a thay vào (2) ta đ (2) a   b  c: (a  1)2  (2a  2)2   a  2a     a   b  2 w fa V y s ph c c n tìm là: 2i ;  2i w w Ví d Trong s ph c th a mãn u ki n z   4i  z  2i Tìm s ph c z có môđun nh nh t Gi i Cách 1: G i z  a  bi ( a, b  R )  z   4i  z  2i  (a  2)  (b  4)i  a  (b  2)i  ( a  2)  (b  4)  a  (b  2)  4a  8b  20  4b   b   a Khi z  a  b  a  (a  4)2  2(a  4a  8)  2(a  2)    z  2 a    a   b  V y s ph c z   2i (xem thêm Cách D NG – Lo i 1) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 PH C VÀ TÌM T P H P I M D NG 3: BI U DI N HÌNH H C S Lo i 1: Bi u di n hình h c s ph c Ph ng pháp gi i: S d ng ki n th c: “ M t s ph c z  x  yi ( x, y   ) đ c bi u di n b i m M ( x; y ) t a đ ph c Oxy ng c l i” Ví d minh h a Ví d Xét m A,B,C m t ph ng ph c theo th t bi u di n s 4i  6i ;(1  i)(1  2i ); i 1 3i H oc 01 a.Ch ng minh tam giác ABC tam giác vuông cân b.Tìm s ph c bi u di n b i m D, cho ABCD hình vuông Gi i 4i 4i ( 1  i )    2i  A(2; 2) ; (1  i)(1  2i )   i  B (3;1) i 1 2  6i (2  6i)(3  i) 20i    2i  C (0; 2) 3i 10 10  2  AB  (1;3)  AB  CB  10 a Khi :      , suy tam giác ABC vuông cân t i B (đpcm) CB  (3; 1)  AB.CB   b G i D ( x; y )  DC  (  x;  y )    x   x  1 Vì tam giác ABC vuông cân t i B nên ABCD hình vuông : DC  AB    2  y   y  1 V y s ph c bi u di n b i m D( 1; 1) là: 1  i /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D Ta có: om Ví d Trong s ph c th a mãn u ki n z   4i  z  2i Tìm s ph c z có môđun nh nh t ng pháp đ i s thu c Ví d D NG – Tr ng h p 2) fa ce bo ok c Gi i Cách 1: (Các b n xem l i cách gi i theo ph w w w Cách 2: +) G i m M ( x; y ) bi u di n s ph c z  x  yi ( x; y  R ) +) Ta có: z   4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i  ( x  2)  ( y  4)  x  ( y  2)  4 x  y  20  4 y   x  y   V y M thu c đ ng th ng d có ph ng trình: x  y   (*) +) Ta có: z  OM  z  OM  OM  d      OM ud   x  y  (2*) (v i OM  ( x; y ), ud  (1; 1) ) x  y   x  T (*) (2*) suy ra:   M (2; 2) hay s ph c z   2i  x  y  y    Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D NG 3: BI U DI N HÌNH H C S PH C VÀ TÌM T P H P ĐI M Lo i 2: Tìm t p h p m bi u di n s ph c ng pháp gi i:  B c 1: G i M ( x; y ) m bi u di n s ph c z  x  yi ( x, y   )  B c 2: C t ngh a toán đ tìm m i liên h gi a x y C th ta có đ c đ ng th c f ( x; y )  d nh ng d ng sau:  ax  by  c  : T p h p m bi u di n s ph c z m t đ ng th ng    x  y  ax  by  c  (ho c ( x  x0 )  ( y  y0 )  R ): T p h p m bi u di n s ph c z m t đ ng tròn y  ax  bx  c : T p h p m bi u di n s ph c z m t parabol x2 y2   : T p h p m bi u di n s ph c z m t elip a2 b2 … hi D Ví d minh h a 01  i H oc Ph uO nT Ví d (D – 2009 ) Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p m bi u di n s ph c z th a mãn: z  (3  4i )  iL ie Gi i G i M ( x; y ) m bi u di n s ph c z  x  yi ( x; y  R ) m t ph ng t a đ Oxy, ta có: Ta z  (3  4i)   x  yi  (3  4i )   ( x  3)  ( y  4)i  ng tròn tâm I (3; 4) bán kính R  ro V y t p h p m bi u di n s ph c z đ up s/  ( x  3)  ( y  4)   ( x  3)  ( y  4)  om /g Ví d (B – 2010) Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p m bi u di n s ph c z th a mãn: z  i  (1  i ) z bo ok c Gi i G i M ( x; y ) m bi u di n s ph c z  x  yi ( x; y  R ) m t ph ng t a đ Oxy, ta có: ce z  i  (1  i) z  x  yi  i  (1  i)( x  yi)  x  ( y  1)i  ( x  y )  ( x  y )i w fa  x  ( y  1)  ( x  y )  ( x  y )  x  y  y   x  y  x  ( y  1)2  ng tròn tâm I (0; 1) bán kính R  w w V y t p h p m bi u di n s ph c z đ Ví d Cho s ph c z th a mãn z   i  z  a Tìm t p h p m m t ph ng t a đ Oxy bi u di n s ph c z b Trong s ph c z th a mãn u ki n trên, tìm s có môđun bé nh t Gi i a) G i M ( x; y ) m bi u di n s ph c z  x  yi ( x; y  R ) m t ph ng t a đ Oxy, ta có: z   i  z   x  yi   i  x  yi   ( x  3)  ( y  1)i  ( x  2)  yi  ( x  3)  ( y  1)  ( x  2)  y Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  6 x  y  10  x   x  y   V y t p h p m bi u di n s ph c z đ b) Cách (Ph ng pháp đ i s ) ng th ng d có ph ng trình: x  y   (*) T (*) ta có: y  x   z  x  y  x  (5 x  3)  26 x  30 x  b 15 3  t suy ra: y  x   2a 26 26 15  i V y s ph c có môđun nh nh t là: z  26 26 Cách (Ph ng pháp hình h c)  x uO nT hi D H oc 01 Nên: z  26 x  30 x    ng trình: x  y   có véct ch ph ng ud  (1;5)    Ta có: z  OM  z  OM  OM  d  OM ud   x  y  (2*) (v i OM  ( x; y ) ) Ta iL ie ng th ng d có ph /g ro up s/  15 5 x  y    x  26  15  15  T (*) (2*) suy ra:   M  ;   hay s ph c z   i 26 26  26 26  x  y   y  3 26 om (1  i) z  1 1 i a Tìm t p h p m m t ph ng t a đ Oxy bi u di n s ph c z b Trong s ph c z th a mãn u ki n trên, tìm s có môđun l n nh t s có môđun nh nh t bo ok c Ví d Cho s ph c z th a mãn fa ce Gi i a G i M ( x; y ) m bi u di n s ph c z  x  yi ( x; y  R ) m t ph ng t a đ Oxy, ta có: w w w (1  i ) z (1  i )2 z  1    iz   1 i  i ( x  yi)    ( y  2)  xi   ( y  2)2  x   ( y  2)  x  (*) V y t p h p m bi u di n s ph c z đ ng tròn tâm I (2; 0) có bán kính R  b Cách (Ph ng pháp đ i s ) T (*)  ( y  2)2   1  y     y  (1) M t khác t (*) ta có: x  y  y  (2) T (1) (2) suy ra:  x  y  hay  z    z  Do đó: z  y  x  hay s ph c có môđun nh nh t là: z  i Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 z m ax  y  x  hay s ph c có môđun l n nh t là: z  3i ng pháp hình h c) H oc 01 Cách (Ph hi D CHUYÊN Đ : HÌNH H C KHÔNG GIAN OXYZ ng th ng  th a mãn u ki n (*) cho tr c iL ie Bài toán Tìm t a đ m M thu c đ uO nT D NG 1: BÀI TOÁN TÌM I M (Ph n 1) GI I om /g ro up s/ Ta S w w w fa ce bo ok c ( Ngh a là: Khi m M thu c đ ng th ng, ta s tham s hóa m M đ M ch ph thu c vào m t n t Sau c t ngh a toán đ thi t l p ph ng trình f (t )  , tìm t suy t a đ m M ) Chúng ta có th chia thành b c c th sau:  x  x0  at  B c 1: Do M   :  y  y0  bt  M ( x0  at; y0  bt; z0  ct )  z  z  ct  B c 2: C t ngh a u ki n (*) ta đ c ph ng trình f (t )   t  M Ví d Cho đ ng th ng  : Ví d minh h a x 1 y  z   hai m A(1; 1; 2) , B (2; 1; 0) Xác đ nh t a đ 1 m M thu c  cho : 1) Tam giác AMB vuông t i M 2) T di n OABM có th tích b ng 3) MA2  MB nh nh t Gi i G i M (1  2t ; 1  t ; t )  d , đó: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 H oc  M (1; 1;0) t    2 MA  MB  2t (1  2t )  t  (2  t )t   6t  4t        M  ;  ;  t    3      OA  (1; 1; 2)   OA, OB   (2; 4;1) 2) Ta có OM  (1  2t; 1  t ; t )  d  OB  (2; 1; 0)    Suy ra: OA, OB  OM  2(1  2t )  4(1  t )  t  t  t 2 1    t  1  M (1;0; 1) Khi VOABM   OA, OB  OM      6 t   M (11; 6;5) 01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  MA  (2t; t ;  t ) 1)  Tam giác AMB vuông t i M nên : MB  (1  2t; t ; t )  1 3) Ta có: MA  MB  4t  t  (t  2)   (2t  1)  t  t   18t  12t   18  t      3 5 1  t  hay M  ;  ;  Suy MA2  MB  3 3 2 2 2 ng th ng d : uO nT  x  y 1 z   Tìm t a đ giao m c a 2 1 A đ n  P  b ng iL Ví d Cho m t ph ng  P  : x  y  z   đ Ta d ; tìm t a đ m A thu c d cho kho ng cách t s/ P ie  hi D up Gi i /g ro Gi s M  d   P  Vì M  d nên M  t  2; 2t  1; t  om M t khác M   P  nên suy  t     2t  1   t     t  1 , suy M 1;1;1 bo ok c Ta có A  d nên A  a  2; 2a  1; a  ce Khi d  A;  P      a  2   2a  1   a   12  12  12 a    a 1     a  4 w w fa Suy A  4; 5; 2  ho c A  2;7;4  w Ví d (A,A1 – 2013) Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đ ng th ng  : x  y 1 z    3 2 m A(1; 7;3) Tìm t a đ m M thu c  cho AM  30 Gi i Do M   , suy M (6  3t ; 1  2t; 2  t ) Có: AM  30  AM  120  (3t  5)  (2t  8)  (t  5)  120  M (3; 3; 1) t   51 17    7t  4t       51 17  V y M (3; 3; 1) ho c M  ;  ;   M  ;  ;   t   7   7     Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i H oc hi D 2) G i I ( x; y; z ) tâm c a m t c u ( S ) qua m A, B, C , D 01   BC  (0;1;1)     n( BCD )   BC , BD   (1;1; 1) 1) Ta có   BD  (1;0;1)     MA  Oy Do   uMA   n( BCD ) , j   (1;0;1) v i j  (0;1; 0) MA / /( BCD) x  1 t   Suy ph ng trình MA :  y   M (1  t; 0; t )  AM  (t ; 0; t ) z  t       AB  (0;0; 2)     Ta có    AB, AC   (2; 0; 0)   AB, AC  AM  2t  AC  (0;1; 1) 2t  M (4; 0;3)    VMABC    AB, AC  AM     t  3   6  M (2; 0; 3) nT Khi : IA  IB  IC  ID Ta iL ie uO  IA2  IB ( x  1)2  y  z  ( x  1)  y  ( z  2)2     IA2  IC  ( x  1)2  y  z  ( x  1)  ( y  1)2  ( z  1)2  IA2  ID ( x  1)2  y  z  ( x  2)2  y  ( z  1)2   /g ng trình m t c u ( S ) : ( x  1)2  y  ( z  1)2  om V y ph ro up s/  z  1 x      y  z    y   I (1; 0; 1)  R  IA   x  z   z  1   bo ok c Ví d Trong không gian v i h to đ Oxyz ,cho m A(1; 0;0), B (0;1; 0), C (0;3; 2) m t ph ng ( ) : x  y   Tìm to đ c a m M bi t r ng M cách đ u m A, B, C m t ph ng ( ) Gi i .fa ce Gi s M ( x; y; z ) Khi t gi thi t ta có: MA  MB  MC  d ( M , ( )) x  2y  w w  ( x  1)2  y  z  x  ( y  1)2  z  x  ( y  3)2  ( z  2)2  w  ( x  1)2  y  z  x  ( y  1)2  z    x  ( y  1)  z  x  ( y  3)2  ( z  2)  ( x  1)2  y  z  ( x  y  2)  Thay vào (3) ta đ (1) y  x (2) T (1) (2) suy  z   x (3)  M (1;1; 2) x 1  c 5(3x  x  10)  (3 x  2)   23    23 23 14  x  M ; ;    3 3  2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D NG 2: VI T PH NG TRÌNH GI I ( Ngh a là: om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 S NG TH NG vi t đ c ph ng trình đ  ng u C th : c thông s : T a đ m M mà  qua bo ok c vecto ch ph ng th ng  ta c n có đ nhánh tìm m, n u đ cho t a đ m M ( x0 ; y0 ; z0 ) ta chuy n sang nhánh N u không cho ta s tìm m M b ng vi c chuy n v toán tìm m (xem l i h c tr c)   nhánh tìm vecto ch ph ng u , ta s d a vào m i quan h song song, vuông góc, đ ng n m      m t đ tìm u N u  //  ' u  u '  (a; b; c) , n u   ( ) u  n( )  (a; b; c ) , n u xu t hi n   m i quan h “ , //,   ( ) ” ta s tìm đ c c p vecto pháp n n1 , n2 ,    u   n1 , n2   (a, b, c) N u đ có t “c t” ho c “giao” tr ng h p ta ph i tìm thêm m th hai M v i quy t c “c t đâu tìm m đó” b ng vi c quay v nhánh T đây, ta s tìm đ c   u  MM  (a; b; c)   Khi có đ thông s M ( x0 ; y0 ; z0 ) u  (a; b; c ) ta s vi t đ c ph ng trình đ ng th ng  w w w fa ce   x  x0  at x  x0 y  y0 z  z  D ng tham s :  y  y0  bt ho c d ng t c:   v i abc  ) a b c  z  z  ct  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví d minh h a Cho hai m A(1;1; 2), B(2;0;1) , đ ng th ng  ' : x 1 y 1 z   m t ph ng ( ) : x  y  z   Vi t 1 01 ph ng trình đ ng th ng  : 1) i qua A song song v i  ' 2) i qua A vuông góc v i ( ) 3) i qua tr ng tâm G c a tam giác OAB vuông góc v i m t ph ng (OAB ) 4) i qua A vuông góc đ ng th i v i AB  ' 5) i qua A vuông góc v i  ' c t tr c Ox 6) N m ( ) đ ng th i c t vuông góc v i  ' 7) Vuông góc v i ( ) , đ ng th i c t c hai đ ng th ng AB  ' 8) C t  ' ( ) l n l t t i M , N cho A trung m c a MN 9) Song song v i m t ph ng ( ) , c t hai đ ng th ng OA  ' l n l t t i hai m P, Q cho   1) Do  //  '  u  u '  (2; 1;3) vect ch ph ng c a  x 1 y 1 z    2 1 iL ng trình: Ta  qua A(1;1; 2) nên có ph ie uO nT x 1 y 1 z  M t khác  qua A(1;1; 2) nên có ph ng trình:   1   2) Do   ( )  u  n( )  (1; 2; 1) vect ch ph ng c a  hi D H oc PQ  P có hoành đ nguyên 10) Là đ ng vuông góc chung c a AB  ' Gi i om /g ro up s/  OA  (1;1; 2)    3) Ta có   n(OAB )  OA, OB   (1; 5; 2) OB  (2; 0;1)   Do   (OAB)  u  n(OAB )  (1; 5; 2) vect ch ph ng c a  fa ce bo ok c 1 y z x 1  1 3 Ta có G tr ng tâm tam giác OAB  G  1; ;   Khi  có ph ng trình:  3         AB  (1; 1;3)   AB      AB, u '   (0;3;1) Do  4) Ta có   u   AB, u '   (0;3;1) vect ch ph    '  u '  (2; 1;3) w w w  qua A(1;1; 2) nên có ph ng c a  x   ng trình:  y   3t  z  2  t    5) G i   Ox  M   M (m;0;0)  AM  (m  1; 1; 2) Ta có u '  (2; 1;3) , đó:        '  AM u '   2( m  1)     m    M   ; 0;0        AM    ; 1;     7; 2; 4     x 1 y 1 z  V y  qua A(1;1; 2) có vect ch ph ng u  (7;2; 4) nên có ph ng trình:   4 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 6) G i    '   N   N (1  2t ; 1  t ;3t )   ' H oc hi D  E (1  t1;1  t1; 2  3t1 )  AB  G i  EF  (2t2  t1; t2  t1  2;3t2  3t1  2)  F (1  2t2 ; 1  t2 ;3t2 )   '   Khi   ( )  EF , n( ) ph ng 01 Do N    ( )  N  ( )   2t  2( 1  t )  3t    t  7  N (13; 6; 21)         ' Ta có u '  (2; 1;3) n( )  (1; 2; 1) đó:   u  u ' , n( )   (7;5; 3) vect ch ph ng c a    ( )  x  13 y  z  21   V y  qua N ( 13; 6; 21) có vect ch ph ng u  (7;5; 3) có ph ng trình: 3 x  1 t  7) V i A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ph ng trình AB :  y   t   z  2  3t  G i  c t AB  ' l n l t t i E , F ta có n( )  (1; 2; 1) s/ Ta iL ie uO nT 10  t2   3t  t  2t  t t  t  3t2  3t1    23 34   27 17 30   E  ; ; , F  ; ;   1    7   7  2 1  5t2  4t1  2 t  16  23 34 x y z     23 34   7  qua E  ;  ;  có vect ch ph ng u  n( )  (1; 2; 1) nên có ph ng trình: 7  2 1  ro up 8) Ta có    '  M   M (1  2t ; 1  t;3t )   ' Do A(1;1; 2) trung m c a MN  N (1  2t; t  3; 4  3t ) /g M t khác N  ( )   2t  2(t  3)   3t    t   M (7; 4;9) x 1 y 1 z    11 5 x y z ng trình OA :   1 2 ng trình: c om Khi  qua A(1;1; 2), M (7; 4;9) nên có ph bo ok 9) V i A(1;1; 2), O (0; 0;0) , suy ph w w fa ce  P (a; a; 2a)  OA (a  )  G i  PQ  (2b  a  1; b  a  1;3b  2a ) Q (1  2b; 1  b;3b)   '      Do  // ( )  PQ  n( )  PQ.n( )   (2b  a  1)  2(b  a  1)  (3b  2a)  (v i n( )  (1; 2; 1) )   b  a   PQ  ( a  5;  2a;5a  9) w Khi PQ   PQ  32  ( a  5)  (2a  2)  (5a  9)  32 13 (lo i)  30a  108a  78   a  ho c a   V i a   b  2  P (1;1; 2), Q ( 3;1; 6)  PQ  ( 4; 0; 4)  4.(1; 0;1) ng th ng  qua P (1;1; 2) có vect ch ph  ng u  (1;0;1) nên có ph x  1 t  ng trình:  y   z  2  t  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x  1 t  10) V i A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ph ng trình AB :  y   t   z  2  3t  G i I , J l n l t giao m c a  v i AB  ' (v i u '  (2; 1;3) )   I (1  m;1  m; 2  3m)  AB G i  IJ  (2m  n;  m  n  2;3m  3n  2)  J (1  2n; 1  n;3n)   ' Khi IJ đo n vuông góc chung, ch khi: ie Ta s/ /g ro up c y u t m véc t pháp n GI I w w w fa ce bo ok c om S NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 1) iL D NG 3: VI T PH Cách đ 1: C t ngh a đ  x    ng trình  :  y    3t   z   t  hi D nT ng c a  Suy ph uO   AB    Do   u   AB, u '   (0;3;1) vect ch ph    ' H oc 01  9 7     m I  ;  ;    IJ AB  (2m  n)  ( m  n  2)  3(3m  3n  2)  2m  n   5 5        IJ u 2(2m  n)  ( m  n  2)  (3m  3n  2)  12m  11n  8  n   J  21 ;  13 ; 24  '   5  5  ( Ngh a là: Khi đ ng tr c m t toán yêu c u vi t ph ng trình m t ph ng ( ) ta s đ t hai câu h i: “ Bài toán cho m véc t pháp n ch a? N u ch a cho tìm b ng cách nào?” N u câu tr l i cho câu h i bi t, ta ch vi c áp d ng cách vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng đ đ a đáp s N u Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ph i tr l i câu h i ta s theo s đ nh sau:  N u tìm m ta s chuy n v toán tìm m (các b n xem l i h c tr c)  N u mu n khai thác đ c véc t pháp n đ s cho theo ba h ng gián ti p:    H ng 1: Cho ( ) / /(  ) (  ) bi t ph ng trình n( )  n(  )  (a; b; c )    H ng 2: Cho ph ng trình đ ng th ng d bi t d  ( ) , lúc n( )  ud  (a; b; c ) H ng 3: cho y u t “m t vuông góc v i m t, đ ng song song v i m t,   đ ng n m m t” ta s tìm đ c c p véc t ch ph ng c a ( ) u1 , u2 suy đ c    n( )  u1 , u2   (a; b; c)  Sau tr l i đ c câu h i vi c vi t ph ng trình m t ph ng lúc s khó kh n nh công th c: a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  ) 01  ng trình m t ph ng ( ) qua m M (1; 2; 0) hi D Vi t ph H oc Ví d minh h a 1) song song v i m t ph ng (  ) : x  y  z   ng th ng AB v i A(2; 3;1), B (3; 0; 2) nT 2) vuông góc v i đ x 1 y  z   1 ie ng th ng  : iL 4) song song đ ng th i v i tr c Ox đ uO 3) vuông góc v i m t ph ng ( P ) : x  y  z   ; (Q ) : x  y  z  Ta x y 1 z 1   3 6) qua m N (2; 3;1) , đ ng th i : a) song song v i tr c Oy b) vuông góc v i m t ph ng xOy s/ ng th ng  ' : up 5) ch a đ /g ro 7) qua m A(2; 1; 2), B ( 3;1; 1) ng th ng d : x  y  z 1   2 c om 8) vuông góc v i m t ph ng ( R ) : x  y  z   song song v i đ bo ok Gi i   1) Do ( ) // (  ) nên n( )  n(  )  (1; 1;2) vect pháp n c a ( ) ce M t khác ( ) qua m M (1; 2; 0) nên suy ph ng trình ( ) : w fa x   ( y  2)  z  hay x  y  z   (th a mãn song song v i (  ) )   2) Do AB  ( )  n( )  AB  (1;3; 3) vect pháp n c a ( ) w w M t khác ( ) qua m M (1; 2; 0) nên suy ph ng trình ( ) : x   3( y  2)  z  hay x  y  z     3) Vect pháp n c a ( P ), (Q ) l n l t n( P )  (1; 2;1), n(Q )  (2;1; 1)    2 1 1 2  ( )  ( P)  Do  ; ;  n( )   n( P ) , n(Q )      (1;3;5) vec t pháp n c a ( ) ( )  (Q)  1 1 2  Suy m t ph ng ( ) có ph ng trình: x   3( y  2)  z  hay x  y  z     4) Ta có i  (1;0;0), u  (2; 1;1) l n l t vect ch ph ng c a tr c Ox đ ng th ng  Ox / /( )     0 1  Do   n( )  i, u    ; ;   (0; 1; 1) vec t pháp n c a ( )  / /( )  1 1 2 1  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Suy m t ph ng ( ) có ph ng trình: 0( x  1)  ( y  2)  z  hay y  z   Ox / /( ) Ki m tra k t qu : Ch n M (1;0; 0)  Ox M (1; 1; 0)   Ta có: M  ( ); M  ( )   (th a mãn)  / /( ) V y ph ng trình m t ph ng ( ) là: y  z   5)  ' qua m N (0;1; 1) có vect ch ph  ng u '  (2;1; 3) 8( x  1)  5( y  2)  z  hay x  y  z   Ta iL ie uO nT hi D H oc   6) a) Ta có MN  (1; 1;1) j  (0;1; 0) vect ch ph ng c a tr c Oy    Khi ( ) có vect pháp n : n( )   MN , j   (1;0;1) nên có ph ng trình : 1.( x  1)  z  hay x  z   (th a mãn song song v i Oy )   b) Ta có MN  (1; 1;1) , k  (0; 0;1) vect pháp n c a m t ph ng xOy    MN  ( ) Do   n( )   MN , k   (1; 1; 0) vect pháp n c a ( ) ( xOy ) / /( ) Khi ( ) có ph ng trình: 1.( x  1)  1.( y  2)  z  hay x  y   01     3 3 2   M  ( ) Ta có MN  ( 1;3; 1) Do  ; ;  n( )  u ' , MN      (8;5; 7)  '  ( )  1 1 1 1  vec t pháp n c a ( ) Suy m t ph ng ( ) có ph ng trình: up s/   7) Ta có MA  (1;1; 2) MB  ( 4;3; 1) ro     2 2 1  c xác đ nh nh sau: n( )   MA, MB    ; ;   (5;9; 7)  1 1 4 4  ng trình m t ph ng ( ) : 5( x  1)  9( y  2)  z  hay x  y  z  13  om c Suy ph /g Khi vect pháp n c a ( ) đ bo ok  8) M t ph ng ( R ) có vect pháp n n( R )  (1;1; 3) ng th ng d có vect ch ph  ng ud  (2;1; 1) w fa ce    3 3 1  ( R)  ( )  Do   n( )   n( R ) , ud    ; ;   (2; 5; 1) d / /( )  1 1 2  Suy ph ng trình ( ) : 2( x  1)  5( y  2)  z  hay x  y  z  12  w w Ki m tra k t qu : Ch n m M (4; 1;1)  d Nh n th y M (4; 1;1)  ( ) (do 2.4  5.( 1)   12  ) Suy d  ( ) (không th a mãn theo đ d // ( ) ) V y không t n t i m t ph ng ( ) th a mãn u ki n toán  Chú ý quan tr ng : Trong toán có y u t song song (nh đ ng th ng song song v i m t ph ng ho c hai m t ph ng song song v i nhau), s d ng tính ch t song song đ tìm vect pháp n c a m t ph ng c n l p, ta m i s d ng u ki n c n nh ng ch a đ Vì v y tr c k t lu n ph i có b c ki m tra l i u ki n đ (đi u ki n song song) đ đ a đáp s xác cho toán Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D NG 3: VI T PH Cách đ 2: Khai thác đ NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 2) c véct pháp n nh ng đ GI I hi D H oc 01 S c y u t m ng trình m t ph ng ( ) mà ta ch khai thác đ c y u t véct pháp  n (gi ng nh Cách đ ) mà đ c y u t m Thì sau tìm đ c n( )  (a; b; c) ta s g i ph ng trình m t ph ng ( ) có d ng: ax  by  cz  m  Tìm cách c t ngh a d ki n toán (th ng y u t đ nh l ng) đ thi t l p ph ng trình f ( m)  , tìm m suy ph ng trình ( ) ) N u bi t c y u t m M mà m t ph ng ( ) qua ( Cách đ ) ta v n có th iL  CHÚ Ý: ie uO nT ( Ngh a là: Khi toán yêu c u vi t ph up s/ Ta theo s đ c a Cách đ B i B c khâu c t ngh a ta s thay t a đ đ m M vào ph ng trình ax  by  cz  m  d dàng tìm đ c m đ có đ c ph ng trình m t ph ng ( ) /g ro Ví d minh h a ng trình m t ph ng ( R ) bo ok c om Ví d Cho hai m t ph ng ( P ) : x  y  z   (Q ) : x  y  z   Vi t ph vuông góc v i ( P ) (Q ) cho kho ng cách t (O ) đ n ( R ) b ng   n( P )  (1;1;1) n( Q )  (1;  1;1) l n l Gi i t vect pháp n c a ( P ) (Q ) w w w fa ce Do ( R ) vuông góc đ ng th i v i ( P ) (Q ) nên ( R ) có vect pháp n:    n( R )   n( P ) , n( Q )   (2; 0; 2)  2.(1; 0; 1) V y ph ng trình ( R ) có d ng: x  z  m  m Ta có: d (O; ( R ))     m  2  m  2 12  12 V y ph ng trình c a ( R ) : x  z  2  ho c x  z  2  Ví d Cho ph ng trình m t ph ng ( P ) : x  y  z  10  , đ c u ( S ) : x  y  z  x  y  z   Vi t ph ng th ng  : x 1 y z    m t 1 3 ng trình: 1) m t ph ng ( ) vuông góc v i ( P ) , song song cách  m t kho ng b ng 2) ti p di n c a ( S ) song song v i ( P ) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i   1) Ta có n( P )  (2; 1; 2) , u  (1;1; 3) l n l t vect pháp n, ch ph ng c a ( P )    ( )  ( P)  Vì   n( )   n( P ) , u   (5; 4;3) vect pháp n c a ( ) ( ) / /  Khi m t ph ng ( ) có d ng: x  y  z  m   m  11  m   10   52    m  9 V y m t ph ng ( ) có ph ng trình : x  y  3z  11  ho c x  y  3z     2) G i (  ) ti p di n c a ( S ) Do (  ) / /( P )  n(  )  n( P )  (2; 1;2) Khi m t ph ng (  ) có d ng : x  y  z  m  v i m  10  d  I , ( )   R  H oc V i m t c u ( S ) ta có tâm I (1; 1; 2) bán kính R  (  ) ti p di n c a ( S ) 01 56 m Ch n M (1;0; 2)    d  , ( )   d  M , ( )  (  // ( ) )   1  m nT hi D   m    m  8 ho c m  10 (lo i) 22  12  22 V y ti p di n c a ( S ) là: x  y  z   NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 3) iL c véct pháp n Ta Cách đ 3: Không c t ngh a đ ie uO D NG 3: VI T PH GI I w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ S Ngh a là: Khi toán yêu c u vi t ph ng trình m t ph ng ( ) mà vi c khai thác d ki n c a toán không giúp ta tìm đ c véct pháp n ta s theo b c sau: B c 1: G i d ng ph ng trình m t ph ng ( ) là: ax  by  cz  d  ( v i a  b  c  ) Trong tr ng h p toán th ng cho y u t đ nh tính qua cách đ sau: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  1: Bi t t a đ m thu c m t ph ng ( )  2: Bi t m t ph ng ( ) ch a m t đ ng th ng cho tr c  3: Bi t ( ) qua m t m song song v i m t đ ng th ng  4: ( ) qua m t m vuông góc v i m t m t ph ng B c 2: ng v i m i cách đ B c 1, giúp ta c t ngh a toán có đ c h hai ph ng trình b n n T ta s tìm cách rút n theo n l i đ thay l i vào ph ng trình ( ) B c 3: Nh B c giúp ta có đ c ph ng trình ( ) ch a n s Lúc ta s c t ngh a nh ng d ki n l i c a toán (th ng y u t v đ nh l ng) đ đ c m t ph ng trình ch a hai n ( s đ ta có g ( a; b)  ) B c 4: T g ( a; b)  ( th ng ph ng trình đ ng c p b c 2) giúp ta tìm m i liên h gi a a, b ( a  kb) Ch n a, b Suy đ c ph ng trình m t ph ng ( ) 01  f (a; b; c; d )  c vi c khai thác h  đ rút n theo n l i  f (a; b; c; d )  (h hai ph ng trình b n n) ta có th “linh ho t” v i s li u c th c a toán Ngh a bi u th c đ theo n có th không theo s đ ( s đ ta minh h a vi c rút n c, d theo n a, b ) H oc B nT Ví d minh h a uO x y 1 z    m A(1; 2;3) L p ph A , song song v i  cách O m t kho ng b ng Ví d Cho đ c rút hi D CHÚ Ý: ng trình m t ph ng ( ) qua Ta iL ie ng th ng  : s/ Gi i up G i m t ph ng ( ) có d ng ax  by  cz  d  v i a  b  c  ro +) Do A  ( )  a  2b  3c  d  (1) c om /g  n( )  (a; b; c)   +) Do  // ( )  n( ) u   4a  3b  c  (2) v i  u  (4;3;1) fa ce bo ok c  4a  3b T (1) (2) suy :  , m t ph ng ( ) vi t l i thành: ax  by  (4a  3b) z  11a  7b  d  11a  7b 11a  7b Ta có d (O, ( ))     104a  130ab  39b  2 a  b  (4a  3b) w w w  2a  b  13(2a  b)(4a  3b)     4a  3b +) V i 2a  b , ch n a  1, b  2 , suy m t ph ng ( ) : x  y  z   +) V i 4a  3b , ch n a  3, b  4 , suy m t ph ng ( ) : 3x  y   V y ph ng trình m t ph ng ( ) c n l p : x  y  z   ho c 3x  y   Ví d Cho t di n ABCD , có A(1; 2;1), B (2;1;3), C (2; 1;1) D (0;3;1) Vi t ph qua A, B cho kho ng cách t (C ) đ n ( P ) b ng kho ng cách t D đ n ( P) ng trình m t ph ng ( P) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i G i m t ph ng ( P) có d ng: ax  by  cz  d  v i a  b  c  3a  b  c   A  ( P)  a  2b  c  d   Vì ( P) qua A(1; 2;1), B ( 2;1; 3)      B  ( P) 2a  b  3c  d  d  5a  5b  Khi m t ph ng ( P ) đ c vi t l i thành : 3a  b 5a  5b z   2ax  2by  (3a  b) z  (5a  5b)  ( P ) 2 2a  6b 2b  2a  a  2b Ta có: d (C ; ( P ))  d ( D; ( P ))    a  3b  b  a   4a  4b  (3a  b) 4a  4b  (3a  b)2 b  H oc +) V i a  2b ch n a  4; b  , suy m t ph ng ( P ) : x  y  z  15  +) V i b  ch n a  , suy m t ph ng ( P ) : x  z   01 ax  by  iL ie uO nT hi D  Nh n xét : V i u ki n đ c bi t c a toán trên, b n có th có cách gi i khác là: “kho ng cách t C đ n (P) b ng kho ng cách t D đ n (P)”  (P) song song v i CD ho c (P) qua trung m c a CD Và quay v Cách đ (đây c ng cách gi i c a B Giáo D c – cách gi i hay nh t v i s li u trên) Nh ng n u kho ng cách không b ng ? cách l i không làm đ c Lúc ph ng pháp gi i ví d v n phát huy tác d ng NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 4) s/ Ta D NG 3: VI T PH ng trình m t ph ng theo đo n ch n GI I w w w fa ce bo ok c om /g S ro up Cách đ 3: S d ng ph ( Ngh a là: Khi m t ph ng ta c n vi t qua m đ c bi t thu c tr c t a đ , lúc ta có th ngh t i vi c vi t ph ng trình m t ph ng theo đo n ch n theo b c trên) Ví d minh h a Ví d Cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A c t tr c Ox, Oy l n l cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đ ng th ng AM t t i B, C Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i  Ta có: AM  (1; 2; 3)  ph x  t  ng trình AM :  y  2t   z   3t G i B (b; 0; 0)  Ox, C (0; c;0)  Oy Do G  AM  G (t; 2t ;3  3t ) (1) nT t t i A, B, C cho tam giác ABC nh n M tr ng tâm uO c t tr c Ox, Oy, Oz l n l ng trình m t ph ng  P  qua M hi D Ví d Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho m M 1; 2;3 Vi t ph H oc 01 b c  M t khác: G tr ng tâm tam giác ABC  G  ; ;1 (2) 3  b  3  t t    x y z c T (1) (2)    2t  b  Suy ph ng trình m t ph ng (P):     x  y  z  12  3 c  1   3t     ie Gi i G i A( a; 0; 0)  Ox, B (0; b; 0)  Oy, C (0; 0; c)  Oz om /g ro up s/ Ta iL  x A  xB  xc  3xM a   A(3; 0;0)    Do M tr ng tâm tam giác ABC nên ta có:  y A  yB  yc  yM  b    B (0; 6; 0)  c  C (0; 0;9)    z A  z B  zc  z M x y z Khi  P  qua A, B, C nên có ph ng trình:    hay x  y  z  18  ng trình m t ph ng ce bo ok c Ví d Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hai m M 1; 2;1 ; N  1; 0; 1 Vi t ph AM ( P ) qua M , N c t tr c Ox, Oy theo th t t i A B (khác O ) cho  BN fa Gi s ( P ) c t Ox, Oy, Oz l n l Gi i t t i A  a;0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  w w w 1  a  b  c  x y z Nên ( P ) có d ng  P  :    Vì ( P ) qua M , N nên ta có:     b 1 a b c b     a c a  M t khác AM  3BN  AM  3BN   a  1      a  1 x y z V i a   c     P  :      P  : x  y  z   V i a  1   (lo i) c 3 V y ph ng trình m t ph ng  P  c n l p là: x  y  z   Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D NG 4: VI T PH GI I ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 S NG TRÌNH M T C U w w w fa ce bo ok c om /g ( Ngh a là: vi t đ c ph ng trình m t c u ( S ) ta c n bi t t a đ tâm I bán kính R Hai thông s s đ c tìm nh sau:  nhánh tìm tâm I , n u đ cho t a đ m I ( x0 ; y0 ; z0 ) ta s chuy n sang nhánh N u không cho, ta tìm m I b ng vi c chuy n v toán tìm m (xem l i h c tìm m)  nhánh tìm bán kính R , ta có th g p cách đ sau:  Cho bán kính R  Tìm bán kính R nh y u t m thu c m t ( R  IA n u A  ( S ) )  M t ph ng ( ) ti p xúc m t c u ( S ) bán kính R  d ( I , ( )) , đ ng th ng  ti p xúc m t c u ( S ) bán kính R  d ( I ,  )  M t ph ng ( ) ho c đ ng th ng  c t m t c u ( S ) ta d a vào h th c pitago R  h  l đ tìm bán kính R  Khi có đ c tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) bán kính R , suy ( S ) : ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )  R )  Chú ý: N u toán ch a cho tâm I vi c c t ngh a d ki n toán d a vào s đ nhánh bán kính R ) Ví d minh h a x 1 y z   hai m A(2;1;0) , 2 ng trình m t c u qua A, B có tâm thu c đ ng th ng d Ví d Trong không gian t a đ Oxyz , cho đ B ( 2;3; 2) Vi t ph ng th ng d : Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i G i m t c u có tâm I g i I (2t  1; t; 2t )  d M t c u qua A, B nên IA  IB  R  IA2  IB  (2t  1)2  (t  1)2  4t  (2t  3)  (t  3)  (2t  2)  6t   14t  22  t  1 Suy ra: I ( 1; 1; 2) bán kính R  IA  32  2  22  17 V y ph ng trình m t c u là: ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)  17 Ví d Cho đ x 1 y  z   m t ph ng ( P ) : x  y  z  Vi t ph ng th ng  , bán kính b ng ti p xúc v i m t ph ng ( P ) ng trình m t ng th ng  : c u có tâm thu c đ t   I (5;11; 2)   2t      22  12  2 t  1  I (1; 1; 1) ng trình m t c u c n l p là: ( x  5)  ( y  11)2  ( z  2)2  ho c ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)  2(2t  1)  (4t  3)  2t nT V y ph hi D  H oc 01 Gi i G i tâm c a m t c u c n l p là: I (2t  1; 4t  3; t )   M t c u ti p xúc v i m t ph ng ( P )  d ( I , ( P ))  R ( P ) theo m t đ uO Ví d Cho m t ph ng ( P ) : x  y  z  10  m I (2;1;3) Vi t ph iL ie ng tròn có bán kính b ng ng trình m t c u tâm I c t Ta s/    10 up Suy II '  ( P ) Nên: h  II '  d ( I ;( P))  1  2 ro G i m t c u c t ( P ) theo m t đ Gi i ng tròn có tâm I ' bán kính r   3 2 om /g Theo Pitago ta có: R  r  h    25  R  V y ph ng trình m t c u: ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  3)  25 x 1 y z    Vi t ng trình m t c u ( S ) có tâm I c t d t i hai m A, B cho tam giác IAB vuông t i I ce ph ng th ng d : bo ok c Ví d Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m I (0; 0; 3) đ Gi i w w w fa  G i H (t  1; 2t ; t  2)  d hình chi u c a I xu ng đ ng th ng d  IH  (t  1; 2t ; t  1)  Ta có véc t ch ph ng c a d : ud  (1; 2;1) IH  d    2 7  IH ud   t   4t  t    6t    t   H   ; ;   3 3 2 2 3 2 2 2 ) (có th s d ng công th c tính IH  d ( I ; AB )   IH           3 3 3 3 Vì tam giác IAB vuông t i I IA  IB  R Suy tam giác IAB vuông cân t i I , bán kính : 2  IH   3 ng trình m t c u ( S ) : x  y  ( z  3)2  R  IA  AB cos 450  IH V y ph Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 N CÁC B N Ã QUAN TÂM ! w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL GV: Nguy n Thanh Tùng ie uO nT hi D H oc 01 C M Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... t2   3t  t  2 2t  t t  t  2 3t2  3t1  2   23 9 34   27 17 30  7  E  ; ; , F  ; ;   2 1 2 1   2 1  1 7 7   7 7 7  2 1  7 5t2  4t1  2 t  16 1  7 23 9 34 x y z     23 9 34  7  7 7  đi qua E  ;  ;  có vect ch ph ng u  n( )  (1; 2; 1) nên có ph ng trình: 7 7  1 2 1  7 ro up 8) Ta có    '  M   M (1  2t ; 1  t;3t )   ' Do... có chuy n bài toán v Bài toán 1 đ c hay không ? N u đ c hãy u tiên đi theo h ng này uO D NG 1: BÀI TOÁN TÌM I M (Ph n 3) iL ie Bài toán 3 Tìm t a đ đi m M không thu c Bài toán 1 và Bài toán 2 GI I bo ok c om /g ro up s/ Ta S w fa ce ( Ngh a là: Khi đi m M không thu c Bài toán 1 và Bài toán 2 thì ta s u tiên h ng đi 1 b ng cách tr l i câu h i “li u có chuy n đ c v Bài toán 1 ho c Bài toán 2 ?” N u...    M   ; 0;0  2  2    7 1   AM    ; 1; 2     7; 2; 4  2  2   x 1 y 1 z  2 V y  đi qua A(1;1; 2) và có vect ch ph ng u  (7; 2; 4) nên có ph ng trình:   7 2 4 Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan... gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 N CÁC B N Ã QUAN TÂM ! w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL GV: Nguy n Thanh Tùng ie uO nT hi D ai H oc 01 C M Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN...  ( )  1  2t  2( 1  t )  3t  4  0  t  7  N (13; 6; 21)         ' Ta có u '  (2; 1;3) và n( )  (1; 2; 1) khi đó:   u  u ' , n( )   (7; 5; 3) là vect ch ph ng c a    ( )  x  13 y  6 z  21   V y  đi qua N ( 13; 6; 21) có vect ch ph ng u  (7; 5; 3) có ph ng trình: 7 5 3 x  1 t  7) V i A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ra ph ng trình... 2  16  x  5 ho c x  3 Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 y  9  y  7 +) V i x  5   +) V i x  3    M (5;9; 11)  M (3; 7; 13)  z  11  z  13   Cách 2: Ta có... ' , MN      (8;5; 7)  '  ( )  3 1 1 1 1 3  là vec t pháp tuy n c a ( ) Suy ra m t ph ng ( ) có ph ng trình: up s/   7) Ta có MA  (1;1; 2) và MB  ( 4;3; 1) ro     1 2 2 1 1 1  c xác đ nh nh sau: n( )   MA, MB    ; ;   (5;9; 7)  3 1 1 4 4 3  ng trình m t ph ng ( ) : 5( x  1)  9( y  2)  7 z  0 hay 5 x  9 y  7 z  13  0 om c Suy ra... M (3; 7; 13) 01    IM  ( P )  Do   uIM   n( P ) , u   (1; 2; 3) là vect ch ph ng c a IM  IM   x  1 t  Suy ra ph ng trình IM :  y  1  2t  M (1  t;1  2t;1  3t ) , khi đó  z  1  3t  nT hi D  Nh n xét: Qua ví d trên, ta nh n th y khi g p bài toán tìm đi m vi c đ a v Bài toán 1 s giúp chúng ta s lí “nh nhàng” h n so v i Bài toán 2 Vì v y trong m t s bài toán tìm... 78  0  a  1 ho c a  5  V i a  1  b  2  P (1;1; 2), Q ( 3;1; 6)  PQ  ( 4; 0; 4)  4.(1; 0;1) ng th ng  đi qua P (1;1; 2) và có vect ch ph  ng u  (1;0;1) nên có ph x  1 t  ng trình:  y  1  z  2  t  Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng. .. ng trình trên theo ph ng pháp th ) Song có m t s tr ng h p khi làm th l i khi n cho quá trình tính toán ph c t p và c ng k nh Ví d minh h a Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví d 1 Cho m