Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x 3y 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT ( Tài liệu để ơn thi đại học ) Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 1;0 , B 2; , C 1; , D 3;5 đường thẳng d : 3x y Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 ) x 1 y 4x 3y 3 x 1 y CD 4;1 CD 17; CD : x y 17 4a 3a 5 13a 19 a 3a 17 11a - Tính : h1 M , AB , h2 5 17 17 - Mặt khác : AB 3; AB 5, AB : - Nếu diện tich tam giác : 11 13a 19 17 11a a 13a 19 11a 1 AB.h1 CD.h2 12 2 17 13a 19 11a a 11 27 - Vậy d có điểm : M1 ; , M 8;19 12 12 Bài Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải - Nếu C nằm d : y=x A(a;a) suy C(2a-1;2a) - Ta có : d B, d 02 2 - Theo giả thiết : S AC.d B, d AC 2 2a a 2 1 a 8a 8a a a 1 a 1 1 1 1 ; ; - Vậy ta có điểm C : C1 , C2 Bài Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B (2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®-êng th¼ng x , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x y TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Giải AB - Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB 3; AB : x y x y 3 xA xB xC 1 xG 1 xG 3 - Theo tính chát trọng tâm ; y y A yB yC y 1 a a G G 3 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 a6 6 a 4.4 3.2 1 15 - Vậy M(4;2) d C , AB (đvdt) S ABC AB.d C , AB 5.3 2 16 Bài Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x y T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c - Do G nằm : 2x-3y+6=0 , : 2.1 ABC b»ng 13,5 Giải - Ta có : M trung điểm AB M ; Gọi C(a;b) , theo tính chất 2 A(2;1) 2 a3 xG trọng tam tam giác : y b 3 G 3 2 G M( ; ) d:x+y-2=0 C B(1;-2) - Do G nằm d : a 3 b3 a b 1 3 3a b x y 1 3x y h C , AB - Ta có : AB 1;3 AB : 10 2a b a b 1 13,5 - Từ giả thiết : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 2a b 27 2a b 32 2a b 27 2a b 27 2a b 22 - Kết hợp với (1) ta có hệ : 20 b a b a b 38 2a b 32 3a 38 38 20 a C1 ; , C2 6;12 a b a b b 12 2a b 22 3a 18 a 6 Bài Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ABC Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) vng B góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ phương x+y+1=0 x t n 1; 3 AC : t R y 3t - Tọa độ C giao (AC) với đường trung x t tuyến kẻ qua C : y 3t x y 1 Trang M C A(2;1) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) x-3y-7=0 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Giải ta : t=2 C(4;-5) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B(3a+7;a) M 3a a ; trung điểm AB M - Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 3a a a 3 B 1; 2 2 12 x y 1 - Ta có : AB 1; 3 AB 10, AB : 3x y 0, h C; AB 10 1 12 (đvdt) - Vậy : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải a5 b2 ; M nằm - Gọi B(a;b) suy M trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1) - B,B đối xứng qua đường trung trực cho x a t nên : BC : t R y b t A(5;2) 2x-y+3=0 M Từ suy tọa độ N : N 6a b B t x a t 3a b y b t x x y 6ba y 3a b 6 b a N ; Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) 2 C x+y-6=0 - Do C nằm đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) 2a b 14 a 37 B 37;88 , C 20; 31 a b b 88 - Từ (1) (2) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y , ' :3 x y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ Giải Bài x 2 3t I 2 3t; 2 t y 2 t - Gọi tâm đường tròn I , I thuộc : - A thuộc đường tròn IA 3t t R (1) 2 3t t 10 - Đường tròn tiếp xúc với ' - Từ (1) (2) : 3t t 2 R 13t 12 R (2) 5 13t 12 2 25 3t t 13t 12 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Giải * Cách x at y bt - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u a; b d : - Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 C2 : I 2;0 , R2 , suy : C1 : x 1 y 1 2 1, C2 : x y t M 2ab 2b - Nếu d cắt C1 A : a b t 2bt A 1 ; 2 t 2b a b a b a b t M 6a 6ab 2 C - Nếu d cắt B : a b t 6at B 1 ; a t a b2 a b a b 2 - Theo giả thiết : MA=2MB MA 4MB * 2 2 2 6a 2 6ab 2 2ab 2b - Ta có : 2 2 2 2 a b a b a b a b b 6a d : x y 4b2 36a 2 2 b2 36a a b a b b 6a d : x y * Cách 2 - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= ( Học sinh tự làm ) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1; 0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3; 1) Giải - Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến KH 1; 2 AC : x y x y A - B nằm (BH) qua H(1;0) có véc tơ phương KH 1; 2 B 1 t ; 2t M(3;1) - M(3;1) trung điểm AB A(5-t;2+2t) - Mặt khác A thuộc (AC) : 5-t-2(2+2t)+4=0 , B suy t=1 Do A(4;4),B(2;-2) - Vì C thuộc (AC) suy C(2t;2+t) , BC 2t 2; t , HA 3; Theo tính chất đường cao kẻ từ A : K(0;2 ) H(1;0) C HA.BC 2t t t 1 Vậy : C(-2;1) - (AB) qua A(4;4) có véc tơ phương BA 2;6 // u 1;3 AB : 3x y Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) x4 y4 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA 3; BC : x y 3x y Bài 10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x y y C2 : x2 y x y 16 Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 C2 Giải - Ta có : C1 : x2 y 2 C2 : x 3 y I 3; 4 , R2 - Nhận xét : I1 I 13 C1 khơng cắt C2 - Gọi d : ax+by+c =0 ( a b ) tiếp tuyến chung , : d I1 , d R1 , d I , d R2 I1 0; , R1 3, 2 2b c 2 1 2b c 3a 4b c 3a 4b c 2b c a b 2b c 3a 4b c 2 2 a b a b 3a 4b c 2b c 3a 4b c a b2 a 2b Mặt khác từ (1) : 2b c a b 3a 2b 2c - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : 2b c 2b 5c b 4b b 41b 4bc c 0. 'b 4c 41c 45c 23 c b - Do ta có hai đường thẳng cần tìm : 2 x 2 y 1 2 x y 2 x 2 y 1 2 x y d : d1 : - Trường hợp : c 2b 3a , thay vào (1) : 2b 2b 3a a b 2 2b a a b a b0c b 0, a 2c 2 2 2b a a b 3b 4ab b 4a , a 6c a a b c - Vậy có đường thẳng : d3 : x , d : x y Bài 11 Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x y điểm A có hồnh độ Giải - Do A thuộc d : A(4;2) x2 y 16 - Giả sử (H) : 1* A H 11 a b a b Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Mặt khác d tiếp xúc với (H) hệ sau có 12 nghiệm : b2 a x 4a x 4a a 2b b2 x a x 2 a 2b b2 x a y a 2b y x y x y x 'a 4a b2 a 4a a 2b2 4a 2b2 a 2b4 a 4b2 a 2b2 b2 a a b2 2 2 2 x2 y 16b 4a a b b 8b 16 b - Kết hợp với (1) : 2 H : 1 2 a b a a b Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải - Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm x-2y+1=0 x y 1 21 13 B ; 5 5 x y 14 hệ : B A - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: D 21 x t u 1; 2 BC : y 13 2t - Ta có : AC , BD BIC ABD 2 x-7y+14=0 I C M(2;1) AB, BD - (AB) có n1 1; 2 , (BD) có n2 1; 7 cos = - Gọi (AC) có n a, b cos AC,BD cos2 = n1.n2 n1 n2 14 15 50 10 10 9 2cos2 10 50 a b a-7b 2 - Do : a 7b 50 a2 b2 a 7b 32 a2 b2 31a2 14ab 17b2 17 17 a b AC : x y 1 17 x 31y 31 31 - Suy : a b AC : x y x y 21 x t 13 14 - (AC) cắt (BC) C y 2t t C ; 15 3 x y x y 1 x - (AC) cắt (AB) A : A 7; x y y x t - (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy (AD) : y 2t Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x t 98 46 - (AD) cắt (BD) D : y 2t t D ; 15 15 15 x y 14 - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 em làm tương tự Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải x t , C thuộc d' y 5 t x 2m C: y m - B thuộc d suy B : A(2;3) x+2y-7=0 - Theo tính chất trọng tâm : t 2m 2, y G(2;0) mt 2 0 3 m t m - Ta có hệ : t 2m 3 t 1 xG G B x+y+5=0 C M - Vậy : B(-1;-4) C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ phương u 3; , 20 15 13 x2 y x y d C ; BG R 5 13 169 2 - Vậy đường tròn có tâm C(5;1) có bán kính R= C : x y 1 25 (BG): Bài 14 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Giải 2 x y 12 x y 23 - Đường (AB) cắt (BC) B A 12x-y-23=0 Suy : B(2;-1) (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k'= , ta có : M(3;1) H 12 B C 2x-5y+1=0 tan B Gọi (AC) có hệ số góc m 12 m 5m ta có : tan C Vì tam giác ABC cân A tanB=tanC, hay ta có : 2m m 1 m 5m 4m 10 5m 5m 2m 2m 5m 4m 10 m 12 9 - Trường hợp : m AC : y x 3 x y 35 8 - Trường hợp : m=12 suy (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại //AB ) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Giải : - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a b ) - Khi ta có : h I , d 5a 12b c a 2b c 2 a b2 5a 12b c 3a 6b 3c - Từ (1) (2) suy : 5a 12b c a 2b c 5a 12b c 3a 6b 3c a 9b c Thay vào (1) : a 2b c a b ta có hai trường hợp : 2a b c 2 - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a b 21a 28ab 24b a b2 15 1 , h J , d 14 10 14 10 175 10 d : 0 a x y 21 21 21 Suy : a 14 10 d : 14 10 x y 175 10 21 21 21 - Trường hợp : c 2a b 1 : 7b 2a 100 a b 96a 28ab 51b Vơ nghiệm ( Phù hợp : IJ 16 196 212 R R ' 15 20 400 Hai đường tròn cắt ) Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Giải - Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 B 3 m m 5 AB - Xét tam giác vng IHB : IH IB 25 16 - IH khoảng cách từ I đến d' : IH m 1 25 A I(-1;4) m 19 d ' : 3x y 19 16 m 20 m 21 d ' : 3x y 21 Bài 17 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A, C : (d1) : 3x – 4y + 27 = (d2) : x + 2y– 5=0 Giải - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) vng góc x 3t , hay : y 1 4t A K x+2y-5=0 B(2;-1) với (AH) suy (BC): Trang H Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) H 3x-4y+27=0 C Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x y 1 x y n 4;3 4 x 3t - (BC) cắt (CK) C : y 1 4t t 1 C 1;3 x y - (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n a; b Suy (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*) Gọi KCB KCA cos = a+2b - Tương tự : cos = a+2b 46 10 16 5 2 a 2b a b2 5 a b a b a b y 3 y 3a 4ab a 4b x 1 y 3 x y 3 y y x 5 3x y 27 31 582 - (AC) cắt (AH) A : x 31 A1 5;3 , A2 ; 4 x y 25 25 25 582 3x y 27 y 25 2 2 - Lập (AB) qua B(2;-1) điểm A tìm ( học sinh tự lập ) Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : x – y - = 0, đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải - Đường thẳng (BC) cắt Ox B : Cho y=0 suy x=1 , B(1;0) Gọi A(a;0) thuộc Ox đỉnh góc vng ( a khác ) Đường thẳng x=a cắt (BC) C : a; a 1 - Độ dài cạnh : AB a , AC a BC AB AC BC a 2 - Chu vi tam giác : 2p= a a a a p 3 a 1 S 1 (*) Nhưng S= AB AC a a a 1 Cho nên r 2 a 3 a 1 a 1 a a 1 - Ta có : S=pr suy p= (*) trở thành : - Trọng tâm G : 1 2a x x G 74 36 G 3 G1 ; 3 22 y a 1 36 G yG 3 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 1 2a 1 x x G G 1 3 3 G2 ; 3 2 y a 1 36 G yG 3 Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y đường thẳng d : x y Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 90 Giải - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vng góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R = 2 t 2 t - Ta có : MI 2 A 2t - Do : I(2;1) t M 2; 2t 12 t t M 2; 2 M B x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R 2k kt t 1 k t k t 2 1 k t 4t k t t k t 4t t 4t - Từ giả thiết ta có điều kiện : ' t t 4t t 4t t 4t 1 t 4t t k1 k2 2 - ' t 19 t t k1; k2 M 2 k k 1 t Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x y Tìm điểm N elip (E) cho : F1 Nˆ F2 60 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) Giải x2 y a 4, b c c x02 y02 3 x0 ; MF2 x0 Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức - Gọi N x0 ; y0 E MF1 2 F1 F2 - (E) : hàm số cos : F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2cos600 Trang 10 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Với kết chứng tỏ d ln tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I bán kính ( 2 Khơng phụ thuộc vào (C): x 1 y 1 Bài 72 Lập ph trình cạnh ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) hai đường trung tuyến xuất phát từ B C có ph.trình là: x– 2y +1= y –1= Giải Gọi G trọng tâm tam giác tọ độ G x y 1 G 1;1 E(x;y) y 1 nghiệm hệ A(1;3) thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có : GA 0; , GE x 1; y 1 GA 2GE 0 2 x 1 E 1;0 C thuộc (CN) cho y N y-1=0 B nên C(t;1), B thuộc (BM) B(2m-1;m) Do B,C đối xứng qua E ta có hệ M x-2y+1=0 G C E A' 2m t t B 5;1 , C 3; 1 Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ m m 1 x 1 y x y Tương tự : phương BC 8; 2 // u 4;1 BC : x 1 y x 2y (AB) qua A(1;3) có AB 4; 2 // u 2; 1 AB : 1 x 1 y x y20 (AC) qua A(1;3) có AC 4; 4 // u 1;1 AC : 1 phương trình : * Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A'(1;-1) BGCA' hình bình hành , từ ta tìm tọa độ đỉnh B,C cách lập cạnh Bài 73 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x a Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P) b Viết p.trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ c Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng x2, x2 Chứng minh:AB = x1 +x2 + Giải a/ Tiêu điểm (P) F(2;0) , đường chuẩn (P) có phương trình : x=-2 b/ M thuộc (P) có tung độ hồnh độ x=2 M(2;4) Vậy tiếp tuyến d (P) M ta áp dụng cơng thức : yy0 p x x0 x0 2; y0 d : y x y x c/ Áp dụng cơng thức bán kính qua tiêu : MF= x+ p Gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 với giá trị y12 y22 x1 , x2 Ta có : AF=x1 2, BF x2 AB AF+BF=x1 x2 ( đpcm) 8 Bài 74 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225 Trang 34 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 a Viết phương trình tắc xác đònh tiêu điểm, tâm sai (E) b Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) qua điểm A(4 ; 2) Viết phương trình đường tròn chứng tỏ (T) qua hai tiêu điểm (E) c Gọi A, B điểm thuộc (E) cho OA OB.chứng minh diện tích tam giác OAB khơng đổi Giải x2 y a 5, b 3, c F1 4;0 , F2 4;0 , e 25 b/ Vì (E) chẵn x,y Ox,Oy hai trục đối xứng IF1 IF2 17 (1) Đường tròn a/ (E) : (T) tâm I(0;1) có bán kính R=IA= 42 1 17 (2) Từ (1) (2) chứng tỏ (T) qua 2 tiêu điểm (E) c/ Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 E dương Ox xOB x12 y12 x2 y 1, 1* Và góc hợp OA chiều 25 25 OA OB Khi : A OAcos ;OAsin , B OBcos ; OB sin OB sin ; OBcos 2 2 2 2 2 2 OA cos OA sin OB sin OA cos 1, Từ ta suy : Thay vào (*) : 25 25 25.9 25.9 25 34 15 OA2 , OB OH 2 2 25sin cos 25cos 9sin OH 25.9 225 34 Vậy A,B thay đổi khoảng cách từ O đến AB khơng đổi AB khơng đổi ( ví OA ln vng góc với OB) diện tích tam giác OAB khơng đổi Bài 75 Cho ABC có đỉnh A(2 ; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương trình (dB) : x – 2y + = (dC) : x + y + = Lập phương trình cạnh BC Giải - Gọi A' đối xứng với A qua d B A'' đối xứng với A qua d C A' A'' nằm BC 2 x 1 y 1 2 x y AA'u +/ Tìm tọa độ A' (x;y): x2 A ' 0;3 y 1 I dB x y 6 x 1 y 1 x y AA''u +/ Tìm tọa độ A'' (x;y) : x y 1 A '' 2; 5 I dB x y 7 x y 3 +/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương A ' A '' 2; 8 // u 1; BC : Bài 76 Tìm điểm M (H) : 5x2 – 4y2 = 20 (1) nhìn hai tiêu điểm góc 120 Giải - Ta có : (H) : x2 y x2 y F1 3;0 , F2 3;0 F1 F2 6, M x; y H 1 5 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 35 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 MF1 x 3 y - Và : MF1 x 3; y , MF2 x 3; y , MF1 MF2 x y (*) 2 MF2 x 3 y 4 - Mặt khác : MF1 x , MF2 x MF1MF2 x x x 2 - Tam giác M F1 F2 : F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2cos1200 x2 2 x x 36 x x x x x 2 x 1 x x 2 y 10 x 10 10 10 10 10 M1 6; , M 6; , M 6; , M 6; 20 4 y y 2 Bài 77 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : x2 + 3y2 = 12 a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Cho đường thẳng (D) : mx – 3y + = Tính m để (D) tiếp xúc với (E) c Viết phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ có tiêu điểm trùng với tiê u điểm bên trái (E) cho Giải x2 y a 3, b 2, c 2 F1 2 2;0 , F2 2;0 12 b/ Điều kiện cần đủ để d tiếp xúc với (E) : a A2 b B C a/ (E) : 45 15 15 m 12 p c/ (P) có dạng : y px F 2 2;0 2 p 4 2 - Vậy (P) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái (E) : y 8 2x 12m2 4.9 81 12m2 45 m2 Bài 78 Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 24x2 – 25y2 = 600 (1) M điểm tùy ý (H) a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tính tâm sai (H) b) Tìm tọa độ điểM thuộc (H) có hoành độ x = 10 tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c) Chứng minh : OM2 – MF1.MF2 số không đổi d) Tìm giá trò k để đường thẳng y = kx – có điểm chung với (H) Giải a/ (H) : x2 y a 5, b 6, c F1 7;0 , F2 7;0 25 24 b/ Khi x=10 thay vào (1) ta có y 72 y 6 M1 0; 6 , M 10;6 7 - Tính khoảng cách : MF1 x 10 19, MF2 10 Trang 36 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 49 7 MF1MF2 x 25 : x MF x , MF x : x 25 5 c/ Ta có : 7 MF 5 x, MF x : x MF MF 25 49 x : x 25 5 x2 y 49 2 25 x y x 25 : x : x 25 25 24 OM MF1MF2 24 x y 25 49 x : x x2 y 25 : x 25 25 24 d/ Tìm k để phương trình : 24 x 25 kx 1 600 ( có nghiệm x ) k 24 25k 24 25k x 50kx 575 : x 24 25k k 2 ' 25 575 24 25 k 577 k 23 Bài 79 Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 12x2 – 16y2 = 192 điểm P(2 ; 1) Viết phương trình đường thẳng qua P cắt (H) điểm M, N cho P trung điểm MN Giải x2 y a 4, b 3, c F1 2 7;0 , F2 7;0 Gọi M(x;y) thuộc (H) (H): 16 12 N đối xứng với M qua P(2;1) N(4-x; 2-y) Để thỏa mãn u cầu tốn N phải x2 y 1 16 12 thuộc (H)., ta có hệ : Lấy (2)-(1) ta phương trình rút 2 4 x 2 y 16 12 1 gọn : 3x-2y-4=0 Đó phương trình đường thẳng qua P Bài 80 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x2 + y2 = a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Tìm giá trò m để đường thẳng y = x + m cắt (E) điểm phân biệt M, N m thay đổi Tìm tập hợp trung điểm MN Giải a/ (E): x2 y a 1, b 2, c F1 0; , F2 0; Tiêu điểm thuộc Oy b/ Đường thẳng y=x+m cắt (E) điểm M,N có tọ độ nghiệm hệ : 2 2 4 x y 4 x x m 5 x 2mx m 1 2 y x m y x m y x m - Như hồnh độ M,N nghiệm (1) với điều kiện : ' 4m 20 , hay : m * Gọi M x1; y1 , N x2 ; y2 I trung điểm MN ta có tọa độ I : Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 37 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x x m xI m 5 xI xI yI xI xI 4 xI y y1 y2 yI xI m I Do I chạy đường thẳng : y=-4x - Giới hạn quỹ tích : Từ (*) : m 5xI xI 5 - Kết luận : Khi m thay đổi I chạy đường thẳng d: y=-4x ( lấy điểm có hồnh độ nằm khoảng 5 ; 5 Bài 81 Trong mp Oxy cho parabol (P) : y2 = 12x a Tìm tọa độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn () (P) b Một điểm nằm parabol có hoành độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c Qua điểm I(2 ; 0) vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) A B Chứng minh tích số khoảng cách từ A B đến trục Ox số Giải a/ Với p=6 p/2=3 F(3;0) Đường chuẩn có phương trình : x=-3 b/ Gọi M (P) có x=2 tung độ M : y 24 y 2 M1 2; 2 , M 2;2 - Khoảng cách từ M đến tiêu điểm : MF=x+ p MF1 6, MF2 c/ Đường thẳng d qua I(2;0) có dạng : x=2 (//Oy ) cắt (P) điểm hiển nhiên khoảng cách từ điểm tới Ox nhay ( chúng đối xứng qua Ox ) Gọi d có hệ số góc k qua I (2;0) d : y=k(x-2)=kx-2k (1) Nếu d cắt (P) điểm hồnh độ điểm 2 nghiệm phương trình : kx 2k 12 x k x k 3 x 4k 0(1) y - Hoặc tung độ điểm nghiệm phương trình : y 12 k ky 12 y 2k - Tích khoảng cách từ điểm đến trục Ox tích tung độ hai điểm Vậy từ (2) ta có : y1 y2 2 k 2 số ( đpcm) k Bài 82 Viết phương trình tiếp tuyến (E) : x y2 , biết tiếp tuyến qua A(6 ; 32 18 ) Giải Bài 83 a Cho Parabol (P) có phương trình y2 = x đường thẳng d có phương trình : 2x – y – = Hãy viết phương trình tiếp tuyến (P) giao điểm (P) d x y2 1 b Lập phương trình tiếp tuyến chung (P) : y = 4x (E) : 2 Giải a/ Điểm chung d (P) có tọa độ nghiệm hệ : Trang 38 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 y2 x 2 y y 1 1 A 1;1 , B ; : 4 2 2 x y 2 x y 1 - Phương trình tiếp tuyến có : yy0 p x x0 d A :1 y x 1 x y Và 1 1 dB : y x x y 2 4 b/ Gọi d tiếp tuyến chung (P) (E) có dạng : ax+by+c=0 - d tiếp tuyến (P) : p B2 =2AC b =2ac , hay : b =ac (1) - d tiếp tuyến (E) : 8a 2b2 c c 2a c 4a - Thay b từ (1) thay vào (2) : 8a ac c 8a 2ac c - Từ (1) a,c dấu chọn : c=4a hay : b 2a d : ax+2ay+4a=0 x+2y+4=0 ac= 4a b2 b 2a d : ax-2ay+4a=0 x-2y+4=0 Bài 84 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1;3), trung điểm AC J(-3;1) Điểm A thuộc Oy , đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B ? Giải - Do A thuộc Oy A(0;m) (BC) qua gốc tọa độ O (BC): ax+by=0 (1) - Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ //BC suy (BC) có véc tơ phương : IJ 4; 2 // u 2;1 BC : x y - B thuộc (BC) suy B(2t;t) A(2-2t;6-t) Nhưng A thuộc Oy : 2-2t=0 , t=1 A(0;5) Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1) - Đường cao BH qua B(0;1) vng góc với AC x có AC 6; 8 // u 3; BH : A H J(-3;1) I(1;3) B ax+by=0 C y 1 4x 3y Bài 85 Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) đường thẳng d : x-2y-1=0 a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB=6( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ?( ĐHKA-2004) Giải x 1 y 1 4x y 4 2t 1 3t 11t 30 - C thuộc : x-2y-1=0 suy C(2t+1;t ) : t C1 7;3 27 43 27 t C2 ; 11 11 11 a/ (AB) qua A(1;1) có u AB 3; 4 AB : b/ - Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình : 3x-4y=0 - Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình : (x-4)+(y+3)=0 - Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình : 4(x-1)-3(y-1)=0 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 39 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 hay : 4x-3y-1=0 - Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm : 3x 1 x x 3x y 4 3 x y 1 y x H ; 7 7 4 x y 4 x y y 2 - Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (C): x y 2ax 2by c - (C) qua O(0;0) suy c=0 (1) - (C) qua A(1;1) suy : 2-2a-2b=0 , hay : a+b=1 (2) - (C) qua B(4;-3) suy : 25-8a+6b=0 , hay : 8a-6b=25 (3) 31 17 b 1 b a b b a 14 14 - Từ (2) (3) ta có hệ : a b 25 a 6(1 a ) 25 31 31 a a 14 14 31 17 - Vậy (C) : x y x y Bài 86 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 hai điểm A(1;0) ,B(3;-4) Hãy tìm d điểm M cho : MA 3MB nhỏ Giải - Trên d có M(3-2t;t) suy : MA 2t ; t , MB 2t; t 3MB 6t 3t 12 - Do : MA 3MB 8t; 4t 12 MA 3MB 8t 4t 12 2 676 26 - Hay : f(t)= MA 3MB 80t 64t 148 80 t Dấu đẳng thức xảy 5 5 26 19 t= M ; Khi min(t)= 5 5 Bài 87 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-1) đường tròn C1 : x y (1) Hãy viết phương trình đường tròn C2 : có bán kính cắt đường tròn C1 theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Giải Gọi C2 : có tâm I'(a;b) suy : C2 : x a y b 2 16 x y 2ax 2by a b2 16 1 Lấy (1) -(2) ta : 2ax 2by a b2 ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 Ví dây cung qua M(2;-1) lên ta có : 4a 2b a b a b 1 12 Bài 88 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d Giải Đường thẳng d qua A(2;5) có n a; b d : a x b y 1 Theo giả thiết : h B, d Trang 40 a b 1 a b 2 3a 4b a b Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 b d : a x x 7b 24ab b 24a x 24 y 5 x 24 y 114 7 Bài 89 Trong (Oxy) cho A(2;5) đường thẳng d : 2x+3y+4=0 Viết phương trình tổng qt đường thẳng d' qua A tạo với d góc 450 Giải Đường thẳng d' qua A(2;5) có n a; b d : a x b y 1 Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ' 2;3 Theo giả thiết : 2a 3b cos450 13 a b2 2a 3b 13 a b2 5b2 24ab 5a b 5a d ' : x y x y 23 Ta có : 'b 169a a b a 5b d ' : x y x y 15 Bài 90 Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa đường chéo d1 : x y d : x y Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng qua điểm M(-3;5) Giải 7 x y 1 9 I ; 4 4 x y - Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ : Gọi d đường thẳng qua M(-3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n a; b Khi d : a x 3 b y 5 1 Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ nhật : nn1 n n1 nn2 n n2 7a b 50 a b 2 a 3b 7a b a b a b b 3a a b 2 a 3b d : 3 x 3 y 5 3x y 14 Do : b 3a x 3 y x y 12 Bài 91 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B (2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®-êng th¼ng x , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x y TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC HD 1 yC y 1, yG C §iĨm G n»m trªn ®-êng Ta cã C (4; yC ) Khi ®ã täa ®é G lµ xG 3 th¼ng x y nªn yC , vËy yC , tøc lµ: C (4; 2) Ta cã AB (3; 4) , AC (3;1) , vËy AB , AC 10 , AB AC 5 15 1 AB AC AB AC 25.10 25 = 2 Bài 92 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x y T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC lµ S HD V× G n»m trªn ®-êng th¼ng x y nªn G cã täa ®é G (t ; t ) Khi ®ã AG (t 2;3 t ) , AB (1;1) VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 41 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG S AG AB AG AB Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 (t 2) (3 t ) = 2t NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 4,5 VËy 2t 4,5 , suy t hc t 3 VËy cã hai ®iĨm G : G1 (6;4) , G (3;1) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC 3xG ( xa xB ) vµ yC yG ( ya yB ) Víi G1 (6;4) ta cã C1 (15;9) , víi G (3;1) ta cã C2 (12;18) Bài 93 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y , ' :3 x y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ Tâm I đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t) HD Theo yc k/c từ I đến ’ k/c IA nên ta có 3(3t 8) 4t 10 4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 2 (3t 2)2 (t 1)2 Bài 94 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn : (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB HD + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R 1, R ' , đường thẳng (d) qua M có phương trình a( x 1) b( y 0) ax by a 0, (a b 0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM 2 Khi ta có: MA 2MB IA2 IH I ' A2 I ' H '2 d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] , IA IH 9a b2 36a b 35 35 a 36b a b2 a b2 a b2 a 6 Dễ thấy b nên chọn b a Kiểm tra điều kiện IA IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả m ãn Bài 95 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 2 HD Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 0) 2a 5b 2.12 5.1 Góc tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 22 52 a b2 22 52 122 12 a 12b 2a 5b 29 a b 9a + 100ab – 96b = a b Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( điểm ( ; 1) khơng thuộc AB) nên khơng phải cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm : 8x + 9y – 33 = 2a 5b 29 a b2 Trang 42 2 2 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 96 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x y Tìm điểm N elip (E) cho : F1 Nˆ F2 60 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) HD + (C) có tâm I(2 , 1) bán kính R = + AMˆ B 90 ( A , B tiếp điểm ) suy : MI MA R 12 Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = 12 M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ: 2 x 2 y 1 12 x x x y 1 y 1 y 1 Vậy có điểm thỏa u cầu tốn có tọa độ nêu Bài 97 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – = hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M () cho 2MA + MB2 có giá trị nhỏ HD M M (2t 2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4) AM BM 15t 4t 43 f (t ) 2 26 Min f(t) = f => M ; 15 15 15 Bài 98 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 HD Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB IH = d ( I , ) | m 4m | m2 16 AH IA2 IH 25 | 5m | I m2 16 (5m) m 16 Diện tích tam giác IAB SIAB 20 A H B m 16 12 2S IAH 12 m 3 d ( I , ) AH 12 25 | m | 3( m 16) 16 m Bài 99 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB HD Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH BH AB Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B' Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 43 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 3 Ta có: IH' IH IA2 AH2 , MI 1 1 2 5 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bài 100 Trong mỈt ph¼ng Oxy cho elip (E): x2 y vµ ®-êng th¼ng :3x + 4y =12 Tõ ®iĨm M bÊt k× trªn kỴ tíi (E) c¸c tiÕp tun MA, MB Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh HD Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) TiÕp tun t¹i A cã d¹ng : TiÕp tun ®i qua M nªn : x0 x1 y0 y1 1 xx1 yy1 1 (1) xx0 yy0 1 4 xx0 yy0 xx0 y (12 x0 ) 4, 4 M thc nªn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 4 Ta thÊy täa ®é cđa A vµ B ®Ịu tháa m·n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt : Gäi F(x;y) lµ ®iĨm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th× : (x- y)x0 + 4y - = x y 0 y 1 y 40 x1 VËy AB lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh F(1;1) Bài 101 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0, d3 : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích 15, đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d2 HD Đường chéo (BD) vng góc với (AC) (BD có dạng : x+y+m=0 x y m m 4m B ; 4 x y x y m m 2m (BD) cắt d D có tọa độ nghiệm hệ : D ; 3 2 x y 2m Trung điểm I BD tâm hình thoi có tọa độ : I ; 2 2m m 3 BD : x y tọa độ Theo giả thiết I thuộc (AC) : 2 t t 23 1 5 điểm B(2;1),D(-1;4) I ; Gọi A(t;t+2) thuộc (AC) Suy : h A, ( AC ) 2 2 t A 3;5 C 2;0 2t 2t 1 S BD.h A, AC 15 2 t 2 A 2;0 C 3;5 Bài 102 Trong (Oxy) cho đường tròn (C): x y P : y x Tìm (P) điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 60 (BD) cắt d1 B có tọa độ nghiệm hệ : Giải Trang 44 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Gọi M x0 ; y0 P y02 x0 d đường thẳng tiếp tuyến (P) M d có phương trình : y0 y x x0 x y0 y x0 Để d tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) điều kiện cần đủ : Bài 103 Trong (Oxy) cho đ thẳng d: 3x-y+5=0 đường tròn (C): x y x y Tìm điểm M thuộc (C) điểm N thuộc d cho MN có độ dài nhỏ ? Giải 2 (C) : x 1 y 3 I 1;3 , R - Gọi d' //d d': 3x-y+m=0 d' tiếp xúc với (C) M ( M điểm cách d nhỏ ) , m 10 d ' : 3x y 10 m 10 10 m 10 d ' : 3x y 10 Giả sử N' thuộc d ta ln có : M N ' M N Dấu : h I ; d ' R 3 m xảy N' trùng với N Vậy ta cần lập đường thẳng qua I(-1;3) vng góc với d suy d' M1 x 1 3t Khi cắt d' I(-1;3) y 3t d' điểm : 1 3t t 10 t 10 M2 N' Và 1 3t t 10 t 10 N d:3x-y+5=0 Do ta tìm điểm M : M1 1;3 , 10 10 M 1 ;3 Tương tự cắt d N có tọa độ nghiệm : 10 10 x 1 3t 29 t N ; Ta chọn M cách tính M N , M N , sau so y 3t 10 10 10 3x y đường thẳng : sánh : Nếu M N M N M M Còn M N M N M M Bài 104 Trong (Oxy) cho C : x 1 y 3 điểm M ; Tìm (C) điểm 5 5 N cho MN có độ dài lớn ? Giải x 1 sin t N C N 1 sin t;3 cost y cost (C) viết dạng tham số : 12 16 Khi : MN sin t cost sin t cos 2t sin t cost+4 5 2 12 16 16 12 12 16 sin t cost+5 sin t cost * Vì : , 5 20 20 20 20 12 16 cos ;sin = (*) trở thành : 4sin t 20 20 Dấu đẳng thức xảy : sin t t k 2 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 45 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 3 Do : sin t sin cos = x 1 sin t 1 5 4 19 19 Tương tự : cost=cos sin y cost=3+ N ; 5 5 Bài 105 Tính diện tích tam giác nội tiếp (E): x y , nhận A(0;2) làm đỉnh trục 16 Oy làm trục đối xứng ? Giải Do ABC tam giác , A(0;2) thuộc Oy trục đối xứng B,C phải nằm đường thẳng y=m (//Ox) cắt (E) Vì tọa độ B,C nghiệm hệ : y m y m 2 4 x 16 y 64 x 16 4m y A(0;2) O y=m H B x C y m 2 m Ta có : AC x 16 m2 20 m2 , BC 16 m x 16 4m Do ABC :AC=BC 20 m 16 m 20 m 16 m m 44 1 1 33 3.4 16 m , suy S ABC BC AH BC.BC BC 2 2 44 16 Vậy : m Hay : S ABC Bài 106 Tính diện tích tam giác nội tiếp (P): y x , nhận đỉnh (P) làm đỉnh trục Ox làm trục đối xứng ? Giải 1 (P) có tiêu điểm F ;0 Nếu Ox làm trục đối xứng B,C nằm đường thẳng : x=m ( y2 2x y 2m song song với Oy) Do tọa độ B,C nghiệm hệ : x m x m y 2m B m; 2m , C m; 2m BC 2m x m Vì OBC tam giác : OB BC m2 2m 2m m2 6m m m Vậy SOBC BC.OH BC 3 2m 2.6 24 (đvdt) 2 Bài 107 Trong (Oxy) cho điểm M(1;2) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt Ox,Oy A,B cho diện tích tam giác OAB nhỏ Giải Đường thẳng dạng : x=1 y=2 khơng cắt trục tọa độ Cho nên gọi d đường thẳng qua M(1;2) có hệ số góc k( khác 0) d : y=k(x-1)+2 , hay y=kx+2-k k 2 ;0 cắt Oy B(0;2-k) k Đường thẳng d cắt Ox A Trang 46 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Do : SOAB Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 k 2 k 4k 4 2k k (1) k k k k Xét f(k)= k f ' k Ta có bảng biến thiên : k f'(k) f(k) k 2 k2 - + -2 -16 + - + + - -6 Căn vào bảng biến thiên ta có macx f (k ) 16 đạt k=-2 Khi đường thẳng d : y=-2(x-1)+2 , hay y=-2x+4 A(2;0) B(0;4) Bài 108 Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với đỉnh A,B,C A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC) Giải Do đường cao tứ giác AC'IB' từ giác A nội tiếp đường tròn có đường kính AI , C'B' B'(-2;3) dây cung AA' vng góc với C'B' Vậy C'(2;4) (BC) qua A'(1;1) có véc tơ pháp tuyến C ' B ' 4; 1 // n 4;1 BC : x 1 y I 4x y Tương tự lập luận ta tìm phương trình cạnh tam giác ABC : (AB) : 3x-2y+2=0 Bài 109 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3;2 , B 3; 2 C A'(1;1) B a/ Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b/ Chứng minh tập hợp điểm M cho : MO MA2 MB 32 đường tròn (C) c/ Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a/ Ta có : OA 2 3 22 4, OB 4, AB Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M(x;y) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO2 x2 y , MA2 x2 y 3x y 16, MB2 x2 y 3x y 16 MO2 MA2 MB 32 3x y 3x 32 32 x y x0 4 4 3 4 3 ;0 , R x y Chứng tỏ đường tròn (C) có tâm I 3 c/ Thay tọa độ O,A,B vào (1) ta thấy thỏa mãn , chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài 110 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượt qua điểm P(2;1) Q(3;5), BC AD qua điểm R(0;1) S(-3;-1) Giải Gọi (AB) có dạng y=kx+b (AD) : y=-1/kx+b' Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) b ' 1 k 2 Trang 47 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Ta có : h Q, AB 3k b ; h R, AD Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 k kb ' Theo tính chất hình vng : k 1 k 1 3k b k kb ' h Q, AB h R, AD 3k b k kb ' k 1 k 1 2k b 1 4 k , b , b ' 10 , k 7, b 15, b ' Từ ta có hệ : k kb ' 3 3 7 3k b k kb ' Do : AB : x y 0, AD : 3x y 10 0, CD : x y 12 0, BC : 3x y Hoặc : AB : x y 15 0, AD : x y 0, CD : x y 26 0, BC : x y Trang 48 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) [...]... y 1 0 - (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (* ) , do qua A(1;0) : m= -2 Cho nên (AD) có phương trình : 2x+y-2=0 2 x y 2 0 D 0; 2 x 7 y 14 0 - D là giao của (AD) với (BD) : - Trường hợp : k=- 17 cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ) 31 Bài 26 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng ( ) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (- 1;2); B (3 ;4) Tìm điểm M ( ) sao cho... là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)-2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 - Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (* ) - Nếu (C) tiếp xúc với d thì h I , d R 3 2t 3 t 9 10 - Mặt khác : R=IA= 2 2 5 2t 5 t (2 ) - Thay (2 ) vào (1 ) : 5 2t 5 t 2 2 5t 10 10 t R (1 ) 2 10 t 4 5t 2 30t... điểm F1 ( - 4; 0), F2 ( 4;0) và điểm A(0;3) a) Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có hai tiêu điểm F1 , F2 b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc (E) sao cho M F1 = 3M F2 1 Giải 2 2 x y 2 1 (1 ) Theo giả thi t thì : c=4 c 2 16 a 2 b2 2 2 a b 9 x2 y 2 - (E) qua A(0;3) suy ra : 2 1 b 2 9 , thay vào (2 ) ta có a 2 25 E : 1 b 25 9 2 2 x y - M thuộc (E) M... chuẩn của (P) b Viết p.trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4 c Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x2, x2 Chứng minh:AB = x1 +x2 + 4 Giải a/ Tiêu điểm của (P) là F(2;0) , đường chuẩn của (P) có phương trình : x=-2 b/ M thuộc (P) có tung độ bằng 4 thì hồnh độ x=2 và M(2;4) Vậy tiếp tuyến d của (P) tại... tiếp tuyến này cùng qua M(0;a) 1 x1 4 x 4 y1 y 4 , x2 4 x 4 y2 y 4 x1 4 0 4 y1a 4 , x2 4 0 4 y1a 4 B E(4;1) O Chứng tỏ (AB) có phương trình : -4(x-4)+ay=4 - Nếu (AB) qua E(4;1) : - 4(0 )+a.1=4 suy ra : a=4 Vậy trên Oy có M(0;4 ) thỏa mãn A I(4;0) x d' 3 2 Bài 65 Cho tam giác ABC có diện tích S= , hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G của... 4;3 AB : 4 3 x 4 y 5 (AD) qua A(-4;5) có u AD 3; 4 AB : 3 4 x y 8 (BC) qua B(0;8) có uBC 3; 4 BC : 3 4 x 1 y 1 (DC) qua D(-1;1) có u DC 4;3 DC : 4 3 * Chú ý : Ta còn cách giải khác - (BD) : y 7 x 8 , (AC) có hệ số góc k Trang 22 1 x 31 và qua A(-4;5) suy ra (AC): y 7 7 7 Biên soạn t-6-201 2( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH... Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA OB.chứng minh diện tích tam giác OAB khơng đổi Giải x2 y 2 4 1 a 5, b 3, c 4 F1 4;0 , F2 4;0 , e 25 9 5 b/ Vì (E) chẵn x,y cho nên Ox,Oy là hai trục đối xứng vì vậy IF1 IF2 17 (1 ) Đường tròn a/ (E) : (T) tâm I(0;1) có bán kính R=IA= 42 2 1 17 (2 ) Từ (1 ) và (2 ) chứng tỏ (T) qua 2 2 tiêu điểm của (E) c/ Gọi A x1 ; y1... tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng Giải - (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 Nếu tam giác ABC vng góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vng góc với nhau ) khi x+y+m=0 đó ABIC là hình vng Theo tính chất hình vng ta B có IA= IB 2 (1 ) - Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra : IA A t 1 t 2 m Thay vào (1 ) : 2 2 t... 1;3 , R 2 a Gọi A(x;y) thuộc (C) suy ra x 1 y 3 4 (1 ) , B đối xứng với A qua M suy ra B(42 2 x;8-y) Để đảm bảo u cầu bài tốn thì B thuộc (C) : 3 x 5 y 4 (2 ) 2 2 2 2 2 2 x 1 y 3 4 x y 2 x 6 y 6 0 3 - Từ (1 ) và (2 ) ta có hệ : 2 2 2 2 3 x 5 y 4 x y 6 x 10 y 30 0 4 - Lấy (3 ) -(4 ) ta có phương trình... Oxy cho (E) có phương trình : 4x2 + 9y2 = 36 a Cho 2 đường thẳng (D) : ax – by = 0 và (D’) : bx + ay = 0 (a2 + b2 > 0) Tìm giao điểm E, F của (D) với (E) và giao điểm P, Q của (D’) với (E) Tính diện tích tứ giác EPFQ theo a, b b Chứng minh rằng MPFQ ln ngoại tiếp m[tj đường tròn cố định ? Viết phương trình đường tròn cố định đó c Cho điểm M(1 ; 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại