MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh vấn đề quan trọng hình học phức Sự phát triển lý thuyết Nevanlinna mang lại công cụ mạnh mẽ đẹp đẽ nghiên cứu vấn đề Cho đến nay, hướng nghiên cứu vấn đề đạt nhiều kết sâu sắc thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Đặc biệt, năm 1975, H Fujimoto chứng minh hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f g từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược (tính bội) 3n + siêu phẳng chúng trùng Năm 1983, L Smiley hai ánh xạ phân hình f g có chung ảnh ngược không kể bội 3n + siêu phẳng, giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai hai ánh xạ trùng ảnh ngược siêu phẳng f = g Các kết xem kết đẹp đẽ việc mở rộng “Định lý điểm điểm” R Nevanlinna Trong năm gần đây, G Dethloff, T V Tấn, Đ Đ Thái, S Đ Quang, Z Chen, Q Yan nhiều tác giả khác nhận kết sâu sắc tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Tuy nhiên, vấn đề xem xét trường hợp “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai ” Đây điều kiện không tự nhiên, khó để kiểm tra đóng vai trò then chốt chứng minh tác giả Do vậy, việc tổng quát điều kiện đưa điều kiện yếu việc nghiên cứu vấn đề câu hỏi mở Hơn nữa, gần nhiều tác giả đưa định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ C m vào Pn (C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng khác G Dethloff, S Đ Quang T V Tấn, Z H Wang Z H Tu số tác giả khác Tuy nhiên, tác giả xem xét vấn đề hữu hạn ánh xạ không suy biến tuyến tính Câu hỏi đặt cách tự nhiên là: Liệu có hay không định lý vấn đề hữu hạn ánh xạ f suy biến? Đồng thời, năm qua, việc áp dụng Định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình, S Đ Quang T.V Tấn, Z H Tu P Li Các tiêu chuẩn cho phép kiểm tra tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình miền Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) điều kiện bội giao ánh xạ với 2n + siêu phẳng di động Dựa vào mối liên hệ tính chuẩn tắc tính thác triển qua tập giải tích có đối chiều 1, T V Tấn N T T Hằng, Z H Tu nhiều tác giả khác sử dụng tiêu chuẩn để nghiên cứu tính thác triển ánh xạ chỉnh hình Tuy nhiên, tác giả yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần 2n + kỹ thuật mà họ sử dụng áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng Nguyên phần bù hợp số siêu mặt giao số siêu mặt trường hợp không tính hyperbolic Chúng đặt vấn đề nghiên cứu tính thác triển ánh xạ trên, với số siêu phẳng Để làm điều này, sử dụng phương pháp hoàn toàn khác, sử dụng mối liên hệ độ tăng hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình đĩa thủng với tính kì dị bỏ tâm đĩa Do vậy, tìm cách thiết lập Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu thác triển đường cong Thông qua kết đó, nghiên cứu tính thác triển ánh xạ phân hình từ miền qua tập giải tích có đối chiều Vì lí trên, lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc tính chất ánh xạ phân hình vào Pn (C) điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng cho trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao ảnh ngược hai siêu phẳng có đối chiều thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính ánh xạ suy biến với toán hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động 2n + toán thác triển ánh xạ phân hình Tính cấp thiết đề tài Các tác giả trước chứng minh định lý hay hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai” Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu 2n + điều kiện then chốt chứng minh tác giả trước vấn đề thác triển ánh xạ phân hình Đây điều kiện hạn chế Do đó, việc đưa định lý hữu hạn với điều kiện tổng quát số chiều giao nghịch ảnh tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ 2n + cần thiết Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động có bội bị chặn Ngoài ra, luận án chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội siêu phẳng cố định siêu phẳng di động vấn đề thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh điều kiện ảnh ngược siêu phẳng Mục đích luận án chứng minh định lý hữu hạn, thác triển ánh xạ phân hình với điều kiện tổng quát, yếu nghiên cứu trước vấn đề Hơn nữa, tình mà nghiên cứu kỹ thuật phương pháp tác giả trước giải Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận án góp phần làm phát triển sâu sắc kết tính hữu hạn ánh xạ phân hình họ siêu phẳng cố định siêu phẳng di động, đưa kết tính thác triển ánh xạ phân hình qua tập giải tích mỏng Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu phần phụ lục, luận án gồm bốn chương viết theo tư tưởng kế thừa Chương phần Tổng quan - phân tích đánh giá công trình nghiên cứu tác giả nước liên quan đến luận án Ba chương lại luận án viết dựa bốn công trình đăng nhận đăng Chương I: Tổng quan Chương II: Tính ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Chương III: Tính hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Chương IV: Tính thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh 4 CHƯƠNG TỔNG QUAN I Tính ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Để thuận tiện cho việc trình bày, đưa số ký hiệu định nghĩa sau: Cố định hệ tọa độ (ω0 : · · · : ωn ) không gian xạ ảnh phức Pn (C) Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ) cho H siêu phẳng Pn (C) xác định phương trình a0 ω0 + · · · + an ωn = Đặt (f, H) := a0 f0 + · · · + an fn Ta định nghĩa hàm ν(f,H) Cm với giá trị không âm sau:  0 ν(f,H) (z) = k (f, H)(z) = 0, z không điểm bội k (f, H) Cho {Hi }qi=1 q siêu phẳng Pn (C), q trí tổng quát n i=0 n + Ta nói họ {Hi }qi=1 vị Hji = ∅, với họ số j0 < · · · < jn q Cho d số nguyên dương, ≤ d ≤ n Giả sử f ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính {Hi }qi=1 (q n + 1) q siêu phẳng vị trí tổng quát thỏa mãn d+1 f −1 (Hij ) dim m − 2, với ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q j=1 Với f thỏa mãn điều kiện với số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj }qj=1 , d, k) tập tất ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) cho: a) min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k}, với b) g(z) = f (z) q j=1 {z j q m ∈ C : ν(f,Hj ) (z) > 0} Vậy thấy bao hàm thức sau: G(f, {Hj }qj=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , 3, k) ⊂ · · · Bài toán vấn đề cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) tìm điều kiện q k cho tập G f, {Hj }qj=1, d, k) chứa ánh xạ f (định lý nhất), theo nghĩa rộng nghiên cứu lực lượng tập hợp G f, {Hj }qj=1 , d, k) tìm mối quan hệ ánh xạ tập hợp Có hai đối tượng quan tâm việc nghiên cứu vấn đề số lượng siêu phẳng tham gia q giá trị trị chặn bội k Các số nhỏ kết có giá trị ý nghĩa 5 Năm 1983, L Smiley [Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math., 25, 149-154] chứng minh rằng: Định lý A Nếu q ≥ 3n + ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = Năm 1998, Fujimoto [Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., 152, 131-152] mở rộng chứng minh mệnh đề hàm phụ trợ Cartan cho hàm chỉnh hình cho trường hợp nhiều chiều Thông qua việc đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan này, ông chứng minh định lý sau: Định lý B Nếu q = 3n + 1, ♯ G f, {Hj }qj=1, 1, 2) ≤ Năm 2006, việc cải tiến hàm phụ trợ Cartan đưa phương pháp để đánh giá hàm đếm chúng, Đ Đ Thái S Đ Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat J Math., 17, 1223-1257] chứng minh kết sau: Định lý C Nếu n ≥ 2, ♯ G f, {Hj }3n+1 j=1 , 1, 1) = 1, 3n−1 Nếu n ≥ 4, ♯ G f, {Hj }j=1 , 1, 2) ≤ Kỹ thuật Thái - Quang mở đầu cho nhiều nghiên cứu vấn đề năm sau Một định lý tốt Z H Chen Q M Yan [Uniqueness theorem of meromorphic mappings into Pn (C) sharing 2n + hyperplanes regardless of multiplicities, Internat J Math., 20, 717-726] chứng minh vào năm 2009 sau: Định lý D Nếu q ≥ 2n + 3, ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = Chúng muốn nhấn mạnh rằng: tính toán chi tiết chứng minh Chen Yan vô phức tạp Nếu sử dụng cách làm khó để cải thiện thêm cho Định lý D Đồng thời, tất kết vấn đề nêu ánh xạ phân hình vào Pn (C) với bội bị chặn bắt buộc phải có điều kiện dimf −1 (Hi ∩ Hj ) m − , với ≤ i < j ≤ q Nói cách khác, tác giả xét trường hợp tốt d = Đây điều kiện không tự nhiên, khó để kiểm tra đóng vai trò then chốt chứng minh tác giả Đến năm 2011, S Đ Quang [Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann Pol Math, 102(3) , 255-270] chứng minh lại cải thiện kết Chen - Yan phương pháp khác đơn giản nhiều Cụ thể, tác giả đưa hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều giúp cho tất đánh giá hàm đếm hàm đặc trưng trở lên đơn giản ngắn gọn Lấy ý tưởng từ chứng minh Quang, đặt vấn đề nghiên cứu luận án định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trường hợp số d tùy ý Cụ thể, chứng minh định lý sau Định lý Nếu q = (n + 1)d + n + ♯ G(f, {Hj }qj=1, d, 1) = Theo cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B K Trình, S Đ Quang T V Tấn [A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity, Kodai Math J., 31, 404-413] quan tâm đến trường hợp hàm phân hình trùng ảnh ngược n + siêu phẳng họ đưa định lý với tập đồng hai ánh xạ phân hình f g điều kiện (b) nhỏ Tiếp tục ý tưởng chúng tôi, mở rộng kết ba tác giả sau Định lý Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) cho {Hj }qj=1 (q = 2nd + n + 2) siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) cho d+1 f −1 (Hij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ n + 1) dim j=1 Giả sử f g không suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n}, (b) f = g n+1 j=1 (n + ≤ j ≤ q) f −1 (Hj ) ∩ g −1 (Hj ) Khi đó, f = g Trong đó, Rf trường hàm phân hình “nhỏ” (so với f ) Cm II Tính hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Năm 1991, W Stoll -M Ru M Shirosaki chứng minh Định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm không chặn bội Định lý thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm chặn bội có lẽ đưa M Ru cho trường hợp biến phức đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết sau Đ Đ Thái S Đ Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005) Đến năm 2004 M Ru J Wang đưa định lý thứ hai với hàm đếm chặn bội cho trường hợp ánh xạ suy biến tuyến tính Sau năm 2008, Đ Đ Thái S Đ Quang cải tiến kết Ru-Wang cách đưa đánh giá tốt cho hàm đặc trưng Năm 2016, S Đ Quang tổng quát cải tiến tất kết trước định lý thứ hai với hàm đếm chặn bội cho mục tiêu di động Áp dụng kết này, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vấn đề hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với siêu phẳng di động cách mạnh mẽ Trước hết, điểm lại số kết tốt cho hướng nghiên cứu Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) số nguyên dương cho {aj }qj=1 siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) vị trí tổng quát Pn (C) thỏa mãn d+1 Zero(f, aij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q) dim( j=1 Ở đây, ta hiểu siêu phẳng di động ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn (C)∗ , siêu phẳng a nói di động chậm so với ánh xạ f || Ta (r) = o(Tf (r)) r −→ +∞ Gọi R({ai }qi=1 ) trường nhỏ trường hàm phân hình Cm chứa aij C tất , với ail ≡ Giả sử f không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ) Ta kí ail hiệu F (f, {ai }qi=1 , d, k) tập tất ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ), thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) (ν(f,ai ) , k) = (ν(g,ai ) , k) (1 ≤ i ≤ q), (ii) f (z) = g(z) q i=1 zero(f, ) Năm 2002, Z.H Tu [Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Tohoku Math J., 54, 567-579] chứng minh kết sau: Định lý E Nếu q = 3n + 2, ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, ∞) = Năm 2005, việc thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm chặn bội n, tác giả Đ Đ Thái S Đ Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat J Math., 16, 903-939] chứng minh định lý sau: (3n + 1)(n + 2) ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ 2 Độc lập với tác giả trên, năm 2006 Z Chen M Ru [A uniqueness theorem Định lý F Nếu n 2, q for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32, 589-601] chứng minh kết sau: Định lý G Nếu q 2n(n + 2), ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ Gần đây, năm 2008, T V Tấn B K Trình [A uniqueness theorem for meromorphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Munich, 28, 383-399] chứng minh Định lý H Cho n, q số nguyên dương n ≥ Giả sử tồn số nguyên dương t < n cho 2q + t − 3(t + 3) >3+ n(n + 2) q − 3n 3n q−1 − 2(n − t) (n − t)(n + 2) Khi đó, ♯F (f, {ai }qi=1 , 1, 1) ≤ Chúng muốn nhấn mạnh định lý (E-H) trên, tác giả luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, )(z) = (f, aj )(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q), tức d = (**) thỏa mãn điều kiện đóng vai trò thiết yếu chứng minh họ Do vậy, câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu có hay không định lý vấn đề hữu hạn điều kiện (**) bỏ thay điều kiện khác tổng quát hơn? Vấn đề thứ hai luận án trả lời câu hỏi Cụ thể, tổng quát định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn (tức không đếm bội), điều kiện d = thay điều kiện d Chúng chứng minh định lý sau (3n2 + 5n + 3)d ♯F (f, {ai }qi=1 , d, 1) ≤ Định lý Nếu n ≥ 2, q ≥ Hơn nữa, gần nhiều tác giả đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng khác Từ mở hướng tiếp cận vấn đề so với trước Điển hình, kể đến kết G Dethloff , S.Đ Quang T.V Tấn vào năm 2010, T.B Cao H.X Yi vào năm 2011, hay Z Wang Z.H Tu vào năm 2013 Kết hợp ý tưởng việc tổng quát điều kiện (**) cách đặt vấn đề tác giả trên, đưa định lý kiểu hữu hạn cho ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng khác Hơn nữa, số kết chúng tôi, nghịch ảnh với bội lớn số không cần xét đến Cụ thể, chứng minh ba định lý sau: Định lý Cho f , f 2, f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình phân biệt Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) Giả sử f không suy biến tuyến tính R{ati } (a) dim ( d+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m − , ∀1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t , ati ) = Zero(f , a1i ) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) (f t , atv ) (f , a1v ) = (f t , atj ) (f , a1j ) q i=1 Zero(f 1, a1i ), với ≤ v, j ≤ q 9 (3n2 + 5n + 3)d tồn hai số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} ma trận L ∈ GL(n + 1, R{aki }) cho L(f t ) = f l L(˜ati ) = a ˜li , với i = 1, , q Nếu q ≥ Định lý Cho f , f : Cm → Pn (C) hai ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương +∞ Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2) hai họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2) Giả sử: (a) min{ν(f ,a2i ),≤ki (z), 1} = min{ν(f ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ Cm , (f , a1j ) (f , a1i ) (b) = 2 (f , a2i ) (f , aj ) Nếu q > 3n2 + n + q v=1 v=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f ,a1v ),≤kv (z)}, với ≤ i < j ≤ q < ki + ≤ q để q i=1 số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 2q 2q − 3n(n + 1) q + 2n − tồn n + (f , a1in+1 ) (f , a1i1 ) = ··· = 2 (f , a2i1 ) (f , ain+1 ) Định lý Cho f , f , f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương +∞ Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i < j ≤ q, ≤ t ≤ 3) Giả sử: (a) min{ν(f t ,ati ),≤ki (z), 1} = min{ν(f ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm , (b) (f , a1j ) (f , a1i ) = (f t , ati ) (f t , atj ) t = 2, q v=1 v=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f ,a1v ),≤kv (z)}, ≤ i < j ≤ q, q − 3n + 4q − 10n + 4n − < + − có hai ánh xạ ki + 2q − 5n + 10 3n(n + 1) n(n + 2) f s , f t (1 ≤ s < t ≤ 3) n + số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f s , a1in+1 ) (f s , a1i1 ) = · · · = (f t , a2i1 ) (f t , a2in+1 ) Nếu q i=1 III Tính thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Năm 2003, tác giả Đ Đ Thái, P Đ Hương, P N T Trang đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức Bằng việc kết hợp tiêu chuẩn tác giả Định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả 10 đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng, như: S Đ Quang T V Tấn, Z H Tu P Li, nhiều tác giả khác Như biết rằng, có mối liên hệ tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình với tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, mối liên hệ tính tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình với tính thác triển ánh xạ Sử dụng tiêu chuẩn chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh với mối liên hệ trên, nhiều tác giả thiết lập số tiêu chuẩn cho tính thác triển ánh xạ thông qua điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng Trước hết, điểm qua số kết Năm 1879, Picard chứng minh hai định lý sau cho hàm phân hình: Định lý I (Định lý Picard nhỏ) Cho f (z) hàm phân hình C Nếu tồn điểm phân biệt w1 , w2 w3 hình cầu Riemann cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3) không điểm C f Định lý J (Định lý Picard lớn) Cho f (z) hàm phân hình ∆∗ = {z ∈ C : ≤ |z| < +∞} Nếu tồn điểm phân biệt w1 , w2 w3 hình cầu Riemann cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3) không điểm ∆∗ , f kỳ dị ∞ Năm 1972, H Fujimoto [Extensions of the big Picard’s theorem, Tohoku Math J., 24, 415 - 422] phát triển Định lý J với số chiều cao Năm 2006, Z.H Tu [Big Picard’s theorems for holomorphic mappings of several complex variables into Pn (C) with moving hyperplanes, J Math Anal Appl., 324, 629 - 638] tổng quát Định lý Picard lớn cho siêu phẳng di động sau Định lý K Cho S tập giải tích miền D Cm với đối chiều (các thành phần kỳ dị S giao chuẩn tắc) Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C) Cho a1 (z), · · · , aq (z) (z ∈ D) q (q ≥ 2n + 1) siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho f (z) giao với aj (z) D \ S với bội mj (j = 1, · · · , q), m1 , · · · , mq số nguyên dương +∞ thỏa mãn q j=1 q − (n + 1) < mj n Khi đó, ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn (C) thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào Pn (C) Gần đây, năm 2010, N T T Hằng T V Tấn [Big Picard theorems for holomorphic mappings into the complement of (2n+1) moving hypersurfaces in CPn , Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, 18, 155 - 162] tổng quát định lý Picard lớn cho siêu mặt di động 11 Tuy nhiên, lưu ý rằng, tất kết số siêu phẳng (cố định di động) q cần giả sử lớn 2n + lẽ tác giả chứng minh định lý thác triển thông qua đường chứng minh ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn (C) chuẩn tắc Nói cách khác, tác giả sử dụng tính hyperbolic phần bù giao số siêu phẳng hợp siêu phẳng lại họ 2n + siêu phẳng (hoặc siêu mặt) vị trí tổng quát Pn (C) để chứng minh định lý thác triển Do đó, cách chứng minh sử dụng số siêu phẳng q < 2n + phần bù không hyperbolic Để vượt qua khó khăn phải đánh giá trực tiếp độ tăng hàm đặc trưng điểm khảo sát sử dụng định lý thác triển Noguchi [Lemma on logarithmic derivatives and holomorphic curves in algebraic varieties, Nagoya Math J., 83, 213-233] Trong Chương luận án, chứng minh định lý thác triển tương tự Định lý K trường hợp số siêu phẳng di động nhỏ 2n + Cụ thể, chứng minh hai định lý sau: Định lý Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D miền Cm S tập giải tích mỏng có đối chiều D) Cho a1 , , an+2 siêu phẳng di động Pn (C) D, vị trí tổng quát, cho f không suy biến tuyến tính R{ai } Giả sử f giao với D\S với bội mi , với m1 , , mn+2 số nguyên dương cố định +∞ thỏa mãn n+2 i=1 1 < mi n Khi đó, f thác triển thành ánh xạ phân hình f từ D vào Pn (C) Định lý Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D miền Cm S tập giải tích có đối chiều D với giao chuẩn tắc Cho N số nguyên dương Cho A = {a0 , , aq−1 } tập q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động D Pn (C) vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f Giả sử f giao với D \ S với bội lớn mi , m0 , · · · , mq−1 số nguyên dương cố định +∞ thỏa mãn q−1 i=0 q − 2N − < + mi Lf Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C) Ở đó, Lf số chiều không gian tuyến tính nhỏ Pn (C) chứa f (D \ S) 12 CHƯƠNG TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH Như trình bày phần mở đầu mục đích chương định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện d+1 f −1 (Hij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q) dim (1) j=1 Định lý Chen Yan kết tốt theo hướng Các tác giả sử dụng kỹ thuật chia lớp siêu phẳng đưa báo Đ Đ Thái S Đ Quang vào năm 2006, tiến hành đếm từ bội đến bội n − hàm (f, Hi ) sau đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan lớp Cách làm phức tạp Hơn nữa, tác giả chứng minh định lý với điều kiện d = Trong cách chứng minh chúng tôi, sử dụng kiểu hàm phụ trợ khác kiểu Cartan đếm bội tùy ý hàm (f, Hi ), từ đánh giá bội hàm phụ trợ dựa vào bội hàm (f, Hi ), (g, Hi ) Do vậy, không tổng quát điều kiện số chiều giao nghịch ảnh mà đưa cánh chứng minh khác đơn giản so với Chen-Yan tác giả trước Chương gồm hai mục Mục thứ dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho toàn luận án Mục thứ hai nhằm trình bày bổ đề chứng minh định lý Chương viết dựa báo [1] (trong mục công trình công bố liên quan đến luận án) 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, nhắc lại khái niệm hàm đếm divisor, hàm đặc trưng ánh xạ phân hình hàm xấp xỉ hàm phân hình Từ trình bày lại hai định lý quan trọng Lý thuyết Nevanlinna Định lý thứ thứ hai 2.2 Định lý cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Cho d số nguyên dương, ≤ d ≤ n Cho f ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) Cho {Hi }qi=1 (q n + 1) q siêu phẳng vị trí tổng quát thỏa mãn d+1 f −1 (Hij ) dim j=1 m − 2, với ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q 13 Với f thỏa mãn điều kiện số nguyên dương k, kí hiệu G(f, {Hj }qj=1, d, k) tập tất ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) cho: a) min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k} với b) g(z) = f (z) q j=1 {z j q m ∈ C : ν(f,Hj ) (z) > 0} Vậy thấy bao hàm thức sau: G(f, {Hj }qj=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , 3, k) ⊂ · · · Với kí hiệu trên, chứng minh định lý sau Định lý 2.2.1 Nếu q = (n + 1)d + n + ♯ G(f, {Hi }qi=1 , d, 1) = Trong trường hợp d = 1, Định lý 2.2.1 cho ta kết Chen Yan Chúng ta ý rằng, họ siêu phẳng {Hj }qj=1 (q ≥ n + 1) vị trí tổng quát với ánh xạ phân hình f từ Cm vào Pn (C) có n+1 f −1 (Hij ) = I(f ) dim m − 2, với ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q j=1 Do vậy, từ định lý ta có hệ sau Hệ 2.2.2 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho {Hj }qj=1 (q ≥ n2 + 2n + 2) siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử n+1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) f = g j=1 Khi đó, f=g Để chứng minh định lý trên, cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.3 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho {Hi }qi=1 (q ≥ n + 2) siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử min{ν(f,Hi ) , 1} = min{ν(g,Hi ) , 1}, Khi đó, Tg (r) = O(Tf (r)) ∀ ≤ j ≤ q Tf (r) = O(Tg (r)) Thông thường tập đồng giả sử ảnh ngược tất q siêu phẳng, định lý chương giả sử tập đồng ảnh ngược n + siêu phẳng Vì Định lý thứ hai cho n + siêu phẳng cố định nên điều tạo khó khăn thực chất mặt kỹ thuật Để vượt qua khó khăn này, tác giả B K Trình, S Đ Quang T V Tấn sử dụng kỹ thuật đếm bội cách chặt chẽ lớp hàm phân hình thích hợp 14 tìm cách chuyển toán sang mục tiêu di động để sử dụng Định lý thứ hai cho mục tiêu di động có chặn bội Tuy nhiên, tác giả xem xét toán với điều kiện d = Bằng việc cải tiến cách chứng minh tác giả kết hợp với cách chứng minh Định lý 2.2.1, chứng minh định lý mà ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược n + siêu phẳng trường hợp d ≥ sau Định lý 2.2.4 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên d (1 ≤ d ≤ n) Cho {Hj }qj=1 (q = 2nd + n + 2) siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát cho d+1 f −1 (Hij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ n + 1) dim j=1 Giả sử f g không suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n}, (b) f = g n+1 j=1 ∀ n + ≤ j ≤ q, f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) Khi đó, f=g Tương tự hệ Định lý 2.2.1, thu hệ sau Hệ 2.2.5 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho {Hj }qj=1 (q = 2n2 + n + 2) siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử f g không suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n}, (b) f = g n+1 j=1 ∀ n + ≤ j ≤ q, f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) Khi đó, f=g Để chứng minh Định lý 2.2.4, chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.6 Cho f, g : Cm → Pn (C) hai ánh xạ phân hình khác không suy biến tuyến tính Rf Cho {Hi }qi=1 , (q ≥ 3n + 2) siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử N(r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) = o(Tf (r)), ∀i = 1, , q Khi đó, f ≡ g 15 CHƯƠNG TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG Như trình bày phần mở đầu, chương 3, thay siêu phẳng cố định Hj định nghĩa họ G(f, {Hj }qj=1 , d, k) siêu phẳng di động aj ký hiệu họ F (f, {aj }qj=1, d, k) Với d = 1, có số kết tác giả trước Các tác giả chủ yếu sử dụng kỹ thuật đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan để chứng minh định lý Để giải toán hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động, trường hợp d tùy ý, phải cải tiến cách đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan cho ba hàm phân hình Cụ thể, phải coi không điểm hàm phụ trợ Cartan chứa nhiều ảnh ngược siêu phẳng di động, từ có đánh giá hàm đếm tốt Mục tiêu thứ hai chương giải toán hữu hạn cho trường hợp ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động khác không bội chặn Để làm điều này, thay sử dụng Định lý thứ hai thông thường tác giả trước đó, phải sử dụng Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính tác giả S Đ Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh Math Semin Univ Hambg., 86(1), 1-18 ] Chương gồm ba mục Trong mục đầu, bổ sung thêm số khái niệm bổ đề cần thiết Trong mục thứ hai, chứng minh định lý hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Trong mục thứ ba, chứng minh định lý hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động khác Chương viết dựa báo [2] [3] (trong mục công trình công bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, đưa khái niệm: siêu phẳng di động, hàm phụ trợ Cartan tính chất, Định lý thứ thứ hai cho siêu phẳng di động 3.2 Định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên dương k, d (1 ≤ d ≤ n) cho {aj }qj=1 siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) vị trí 16 tổng quát Pn (C) thỏa mãn d+1 Zero(f, aij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q) dim( j=1 Giả sử f không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ) Gọi F (f, {ai }qi=1 , d, k) tập ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) min{ν(f,ai ) (z), k} = min{ν(g,ai ) (z), k} (1 ≤ i ≤ q), với z ∈ Cm bên tập giải tích có hàm đếm o(Tf (r)), q i=1 (b) f (z) = g(z), với z ∈ Zero(f, ) bên tập giải tích có hàm đếm o(Tf (r)) Chúng chứng minh định lý sau (3n2 + 5n + 3)d Định lý 3.2.1 Nếu q > ♯ F (f, {ai }qi=1 , d, 1) ≤ 2 Chúng ta để ý rằng, điều kiện (a), (b) họ F (f, {ai }qi=1 , d, k) Định lý 3.2.1 yếu điều kiện (i), (ii) họ F (f, {ai }qi=1 , d, k) tác giả trước Hơn nữa, ánh xạ g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, k) Định lý không đòi hỏi không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ) Thực tế chứng minh rằng: q > n(n + 2)d với g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, k), g không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ) [Bổ đề 3.2.3] (3n2 + 5n + 3) ♯F (f, {ai }qi=1 , 1, 1) ≤ 2 Để chứng minh Định lý 3.2.1, cần có bổ đề sau: Hệ 3.2.2 Nếu q > Bổ đề 3.2.3 Cho q > n(n + 2)d Khi đó, với g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, 1) g không suy biến tuyến tính R({ai }qi=1 ) Bổ đề 3.2.4 Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Cho {ai }qi=1 {bi }qi=1 hai họ q (q ≥ n + 2) siêu phẳng di động “chậm” tương ứng so với f g Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử Zero(f, ) = Zero(g, bi ) bên tập giải tích có hàm đếm o(Tf (r)) với i = 1, , q Khi đó, ta có Tf (r) = O(Tg (r)) Tg (r) = O(Tf (r)) Với c = (c1 , , cq ) ∈ Cq \ {0}, đặt q q j=0 i=1 i=1 n ci (f k , a ˜i ) (1 ≤ k ≤ 3) ci a ˜ij fj = j=0 i=1 i=1 q q (f k , ac ) := ci a ˜ij |2 ) , | ci a ˜in ), ||ac || = ( ci a˜i0 , · · · , ac := ( q n i=1 17 Ta ký hiệu β hợp tất thành phần bất khả quy, có số chiều m − tập giải tích q i=1 Zero(f, ) Thế thì, β tập giải tích có số chiều nhỏ (m − 1) tập rỗng Và ký hiệu νβ divisor rút gọn Cm với giá β Rõ ràng β ⊂ {z ∈ Cm : det(aij )(z) = 0, ≤ i ≤ n + 1, ≤ j ≤ n} Do n+1 N(r, νβ ) ≤ Ndet(aij ) (r) ≤ Tai (r) = o(Tf (r)) i=1 Với c ∈ C , ta ký hiệu q Scik bao đóng tập (Zero(f k , ) ∩ Zero(f k , ac )) \ β Khi đó, Scik tập giải tích Ta đặt C tập c ∈ Cq \ {0} cho dim Scik ≤ m − Bổ đề 3.2.5 C trù mật Cq Bổ đề 3.2.6 Với c ∈ C, đặt Fcik = (f k , ˜ai ) Khi đó, (f k , ac ) T (r, Fcik ) ≤ T (r, f k ) + o(Tf (r)) Bổ đề 3.2.7 Giả sử tồn c ∈ C cho Φα = Φα (Fci0 , Fci0 , Fci0 ) ≡ với số α ∈ (Z+ )m mà |α| = Khi đó, với ≤ k ≤ 3, ta có: d q [1] N(f k ,ai ) (r) i=1 [n] [1] N(f t ,ai ) (r) − (2n + 3)N(f k ,ai ) (r) + 0 t=1 ≤ N(r, νΦα ) + o(Tf (r)) ≤ T (r) + o(Tf (r)) 3.3 Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động khác Cho f t : Cm → Pn (C) ánh xạ phân hình Cho {ati }qi=1 họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) Bằng cách thay đổi hệ tọa độ Pn (C) (nếu cần thiết), giả sử với ánh xạ phân hình ati = (ati0 , , atin ), ati0 ≡ (1 ≤ i ≤ q) Đặt ati = ati , ati0 ≤ i ≤ q Định lý 3.3.1 Cho f , f , f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình phân biệt Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) Giả sử f không suy biến tuyến tính R{ati } (a) dim ( d+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m − , ∀1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t , ati ) = Zero(f , a1i ) (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) (f , a1v ) (f t , atv ) = (f t , atj ) (f , a1j ) q i=1 Zero(f 1, a1i ), với ≤ v, j ≤ q 18 (3n2 + 5n + 3)d tồn hai số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} ma trận L ∈ GL(n + 1, R{aki }) cho L(f t ) = f l L(˜ati ) = a ˜li , với i = 1, , q Nếu q ≥ Tiếp theo chứng minh hai định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính Nếu Định lý 3.3.2, sử dụng kỹ thuật chia lớp đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Pi lớp Định lý 3.3.3, việc cải tiến cách đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan Định lý 3.2.1, chứng minh định lý kiểu hữu hạn Một điểm mấu chốt chứng minh hai định lý phải sử dụng Định lý thứ hai tác giả S Đ Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh Math Semin Univ Hambg., 86(1), 1-18 ] để đánh giá Định lý 3.3.2 Cho f , f : Cm → Pn (C) hai ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương ∞ Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2) hai họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2) Giả sử: (a) min{ν(f ,a2i ),≤ki (z), 1} = min{ν(f ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ Cm , (b) (f , a1j ) (f , a1i ) = (f , a2i ) (f , a2j ) Nếu q > 3n2 + n + q v=1 v=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f ,a1v ),≤kv (z)}, với ≤ i < j ≤ q < ki + ≤ q để q i=1 số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 2q 2q − 3n(n + 1) q + 2n − tồn n + (f , a1in+1 ) (f , a1i1 ) = ··· = 2 (f , a2i1 ) (f , ain+1 ) Định lý 3.3.3 (2) Cho f , f , f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương ∞ Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động Pn (C) vị trí tổng quát cho ati “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i < j ≤ q, ≤ t ≤ 3) Giả sử: (a) min{ν(f t ,ati ),≤ki (z), 1} = min{ν(f ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm , (b) (f , a1j ) (f , a1i ) = (f t , ati ) (f t , atj ) t = 2, q v=1 v=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f ,a1v ),≤kv (z)}, ≤ i < j ≤ q, 19 q − 3n + 4q − 10n + 4n − < + − có hai ánh xạ ki + 2q − 5n + 10 3n(n + 1) n(n + 2) f s , f t (1 ≤ s < t ≤ 3) n + số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để Nếu q i=1 (f s , a1in+1 ) (f s , a1i1 ) = ··· = t (f t , a2i1 ) (f , ain+1 ) Để chứng minh Định lý 3.3.3, cần bổ đề sau: Cho f , f , f , ki (1 ≤ i ≤ q) {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) trên, đặt Tf t (r) T (r) = t=1 Giả sử ati có biểu diễn rút gọn ati = (ati0 : · · · : atin ) Bằng cách thay đổi hệ tọa độ Pn (C), ta giả sử ati0 ≡ (1 ≤ i ≤ q, ≤ t ≤ 3) Với c = (c1 , , cq ) ∈ Cq \ {0}, đặt q q atc := ( ||atc || i=1 i=1 n ci atij |2 ) , | := ( j=0 i=1 q q ci (f t , ) (1 ≤ t ≤ 3) ci aij fjt = (f t , atc ) := q n ci atin ), ci ati0 , , j=0 i=1 i=1 Ký hiệu β hợp tất thành phần bất khả quy có số chiều m − tập giải tích q i=1 Zero(f t , ati ) (1 ≤ t ≤ 3) Thế β tập giải tích có số chiều m − tập rỗng Với c ∈ Cq , ta ký hiệu Scjt bao đóng tập (Zero(f t, atj )∩Zero(f t, atc ))\β Khi đó, Scjt tập giải tích Gọi C tập tất c ∈ Cq \ {0} cho dim Scjk ≤ m − Tương tự Bổ đề 3.2.5, ta có C trù mật Cq (f t , atj ) jt Với c ∈ C, đặt Fc := t t (1 ≤ j ≤ q, ≤ t ≤ 3) Tương tự Bổ đề 3.2.6, (f , ac ) ta có: || T (r, Fcjt ) ≤ Tf t (r) + o(T (r)) (3) Bổ đề 3.3.4 [D D Thai and S D Quang (2005), Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat J Math., 16, pp 903-939] Giả sử tồn c ∈ C, |α| = cho Φα = Φα (Fcj0 , Fcj0 , Fcj3 ) ≡ Khi đó, với 20 ≤ t ≤ 3, ta có: 3 j=1 [1] N(f ,a1 ),≤kj (r) j [n] + N(f t ,at j0 ),≤kj0 t=1 [1] (r) − (2n + 3)N(f ,a1 [1] N(f t ,at ),>kj (r) j t=1 (r) 3 −2 j0 ),≤kj0 ≤N Φα [1] (r) + o(T (r)) ≤ T (r) + N(f t ,at t=1 j0 ),>kj0 (r) + o(T (r)) 21 CHƯƠNG TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Mục đích chương chứng minh định lý thác triển trường hợp số siêu phẳng nhỏ 2n + Như giới thiệu phần mở đầu, tác giả T.V Tấn, N.T.T Hằng, Z.H Tu chứng minh định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập giải tích có đối chiều điều kiện bội giao ánh xạ với 2n + siêu phẳng di động Con số 2n + nhỏ điểm mấu chốt cách chứng minh tác giả sử dụng tính hyperbolic phần bù 2n + siêu phẳng (siêu mặt) Vì tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng di động tham gia n + 2, gặp phải khó khăn thực chất mặt kỹ thuật Không thể theo đường tác giả trước đó, phải sử dụng kỹ thuật đánh giá trực tiếp độ tăng hàm đặc trưng điểm khảo sát Mà hàm đặc trưng lý thuyết Nevanlinna xây dựng cho đĩa thủng mà không xây dựng trực tiếp miền kiểu ∆∗ × ∆m−1 Chính vậy, sau sử dụng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình đĩa thủng để kiểm soát tính thác triển đường cong chỉnh hình đường thẳng phức, phải sử dụng số kỹ thuật giải tích phức để chứng minh tính thác triển cho ánh xạ chỉnh hình miền có dạng ∆∗ × ∆m−1 Chương gồm ba mục Mục thứ dành để nhắc lại số khái niệm kết bổ trợ Mục thứ hai, chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động Mục thứ ba, chứng minh định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính Chương viết dựa báo [4] (trong mục công trình công bố liên quan đến luận án) 4.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong phần nhắc đến khái niệm lý thuyết Nevanlinna đĩa đơn vị, họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình 4.2 Thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động Trong chương chứng minh định lý sau Định lý 4.2.1 Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D miền Cm S tập giải tích mỏng có đối chiều D) Cho a1 , , an+2 siêu phẳng di động Pn (C) D, vị trí tổng quát, cho f không suy biến tuyến tính R{ai } Giả sử f giao với D\S với bội mi , với 22 m1 , , mn+2 số nguyên dương cố định +∞ thỏa mãn n+2 i=1 1 < mi n Khi đó, f thác triển thành ánh xạ phân hình f từ D vào Pn (C) Để chứng minh Định lý ta cần số bổ đề sau Bổ đề 4.2.2.(Cho Noguchi năm 1981) Cho f : ∆∗ → Pn (C) đường cong chỉnh hình Khi đó, f thác triển ∞ đến đường cong chỉnh hình f˜ từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào Pn (C) lim inf Tf (r)/(log r) < ∞ r→∞ Bổ đề 4.2.3 Giả sử n+1 i=0 fi = i∈I fi = 0, với I {0, , n + 1}, ta tìm phân hoạch {f0 , , fn+1 } = A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak , k ≥ 1, với A1 , , Ak tập khác rỗng, rời nhau; tập khác rỗng A′1 ⊂ A1 , A′2 ⊂ A1 ∪ A2 , , A′k−1 ⊂ A1 ∪ ∪ Ak−1 cho A1 , A2 ∪ A′1 , , Ak ∪ A′k−1 là tập tối tiểu, tức tập tập phụ thuộc tuyến tính tập thực độc lập tuyến tính R{ai } Bổ đề 4.2.4 Cho f đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), cho fn+1 = −f0 − · · · − fn cho fi = 0, ∀I {0, , n + 1} i∈I Khi đó, ta có n+1 N [n] (r, νf0i ) + O(log+ Tf (r)) + O(log r) || Tf (r) ≤ i=0 Bổ đề 4.2.5 Cho f đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C), cho a1 , , an+2 n + siêu phẳng di động Pn (C) ∆ vị trí tổng quát, cho tồn hàm phân hình khác không αi (1 ≤ i ≤ n + 2) ∆ thỏa mãn: n+2 i=1 αi (f, ) = αi (f, ) = 0, ∀I i∈I {1, , n + 2} 23 Giả sử f giao với ∆∗ với bội mi , m1 , , mn+2 số nguyên cố định +∞, thỏa mãn n+2 i=1 1 < mi n Khi đó, f thác triển ∞ thành đường cong chỉnh hình f từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào Pn (C) 4.3 Định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính Trong mục xét đến trường hợp ánh xạ phân hình có ảnh nằm không gian tuyến tính Pn (C) họ siêu phẳng xét vị trí tổng quát Định lý 4.3.1 Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D miền Cm S tập giải tích có đối chiều D với giao chuẩn tắc Cho N số nguyên dương Cho A = {a0 , , aq−1 } tập q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động D Pn (C) vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f Giả sử f giao với D \ S với bội lớn mi , m0 , · · · , mq−1 số nguyên dương cố định +∞ thỏa mãn q−1 i=0 q − 2N − < + mi Lf Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C) Để chứng minh Định lý 4.3.1 ta cần bổ đề sau Bổ đề 4.3.2 Cho f ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào Pn (C) cho {H0 , · · · Hq−1 } q (q ≥ 2N − Lf + 1) siêu phẳng Pn (C) vị trí N−dưới tổng quát tương ứng với f Khi đó, q−1 N [Lf ] (r, ν(f,Hi ) ) + o(Tf (r)) || (q − 2N + Lf − 1)Tf (r) ≤ i=0 (f,Hi )≡0 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết luận án: • Chứng minh định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) cho họ siêu phẳng cố định, với điều kiện “giao ảnh ngược d + siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai”, với d tùy ý Đồng thời, chứng minh định lý trường hợp tập đồng ánh xạ nghịch ảnh n + siêu phẳng • Chứng minh định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) cho họ siêu phẳng di động, với điều kiện “giao ảnh ngược d + siêu phẳng di động tùy ý có đối chiều hai”, với d tùy ý • Chứng minh định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động khác bội chặn tính khác • Chứng minh định lý thác triển cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với số siêu phẳng di động nhỏ 2n + Kiến nghị nghiên cứu Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Trong định lý vấn đề hữu hạn cho ánh xạ phân hình với mục tiêu di động, sử dụng Định lý thứ hai tốt với hàm đếm chặn bội cho S Đ Quang vào năm 2016 Tuy nhiên, định lý Quang chưa đạt đến mức tối ưu định lý Cartan-Nochka trường hợp siêu phẳng cố định Chúng hy vọng thời gian tới chứng minh Định lý thứ hai tốt để từ có định lý vấn đề hữu hạn tốt Trong vấn đề tính thác triển ánh xạ phân hình, sử dụng mối liên hệ tính thác triển điểm gốc đường cong chỉnh hình đĩa đơn vị với độ tăng hàm đặc trưng nó, sau sử dụng phương pháp giải tích phức để chứng minh tính thác triển cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến Trong thời gian tới, hi vọng tìm mối liên hệ trực tiếp tính thác triển ánh xạ phân hình hình cầu mở không gian nhiều chiều bỏ tập giải tích thực với tính thác triển nó, để từ nhận kết tốt cho thác triển ánh xạ phân hình 25 Danh mục công trình công bố liên quan đến luận án [1] H.H Giang, L.N.Quynh and S D Quang (2012), "Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 393, pp 445-456 [2] S D Quang and H H Giang (2015), “A Finiteness theorem for meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes”, Vietnam J Math., 43, No 4, pp 725-742 [3] H H Giang (2014), "Multiple values and finiteness problem of meromorphic mappings sharing different families of moving hyperplanes", Bull Math Soc Sci Math Roumanie, (accepted) [4] S D Quang and H H Giang (2015), “Big Picard theorem for meromorphic mappings with moving hyperplanes in Pn (C)”, Ukrainian Mathematical Journal, 66, No 11, pp 1485-1497 [...]... các định lý về vấn đề hữu hạn tốt hơn Trong vấn đề về tính thác triển của ánh xạ phân hình, chúng tôi sử dụng mối liên hệ giữa tính thác triển được tại điểm gốc của đường cong chỉnh hình trên đĩa đơn vị với độ tăng của hàm đặc trưng của nó, sau đó mới sử dụng các phương pháp của giải tích phức để chứng minh tính thác triển được cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến Trong thời gian tới, chúng tôi... (r)) 21 CHƯƠNG 4 TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Mục đích của chương 4 là chứng minh định lý thác triển trong trường hợp số siêu phẳng nhỏ hơn 2n + 1 Như giới thiệu trong phần mở đầu, các tác giả T.V Tấn, N.T.T Hằng, Z.H Tu mới chỉ chứng minh được định lý thác triển của ánh xạ chỉnh hình qua tập giải tích có đối chiều 1 dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất... i=0 1 q − 2N − 1 < + 1 mi Lf Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C) Ở đó, Lf là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Pn (C) chứa f (D \ S) 12 CHƯƠNG 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH Như đã trình bày trong phần mở đầu mục đích của chương 1 là chỉ ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện d+1 f −1 (Hij... có thể tìm ra được mối liên hệ trực tiếp giữa tính thác triển được của ánh xạ phân hình trên hình cầu mở trong không gian nhiều chiều bỏ đi một tập con giải tích thực sự với tính thác triển được của nó, để từ đó nhận được các kết quả tốt hơn cho sự thác triển của các ánh xạ phân hình 25 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án [1] H.H Giang, L.N.Quynh and S D Quang (2012), "Uniqueness... thuật của giải tích phức để chứng minh tính thác triển cho ánh xạ chỉnh hình trên miền có dạng ∆∗ × ∆m−1 Chương 4 gồm ba mục Mục thứ nhất dành để nhắc lại một số khái niệm và các kết quả bổ trợ Mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động Mục thứ ba, chúng tôi chứng minh định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính Chương 4 được... • Chứng minh được các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau và bội chặn được tính có thể khác nhau • Chứng minh được định lý thác triển cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n + 1 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục... tuyến tính Trong mục này chúng ta xét đến trường hợp ánh xạ phân hình có thể có ảnh nằm trong một không gian con tuyến tính của Pn (C) và họ siêu phẳng đang xét có thể ở vị trí dưới tổng quát Định lý 4.3.1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D là miền trong Cm và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc Cho N là số nguyên dương Cho A = {a0 , , aq−1 } là tập của q... niệm và kết quả bổ trợ Trong phần này chúng tôi nhắc đến các khái niệm về lý thuyết Nevanlinna trên đĩa đơn vị, về họ chuẩn tắc của các ánh xạ phân hình 4.2 Thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau Định lý 4.2.1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D là một miền trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của. .. giải quyết bài toán hữu hạn cho trường hợp các ánh xạ phân hình có thể suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau và không cùng bội chặn Để làm được điều này, thay vì sử dụng Định lý cơ bản thứ hai thông thường như các tác giả trước đó, chúng tôi phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính của tác giả S Đ Quang... niệm và bổ đề cần thiết Trong mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý hữu hạn của ánh xạ phân hình với họ các siêu phẳng di động Trong mục thứ ba, chúng tôi chứng minh định lý hữu hạn của ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau Chương 3 được viết dựa trên bài báo [2] và [3] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số khái niệm và kết