Chuyªn ®Ị båi dìng Tốn lớp ®iỊn Sè tù nhiªn ghi sè tù nhiªn t×m sè A/ Mơc tiªu: - Häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vỊ sè tù nhiªn vỊ cÊu t¹o sè hƯ thËp ph©n, c¸c phÐp tÝnh vỊ sè tù nhiªn, c¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt - VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo c¸c bµi tËp sè häc - RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp B/ Chn bÞ: Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun C/ Néi dung chuyªn ®Ị I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1, §Ỉc ®iĨm cđa ghi sè tù nhiªn hƯ thËp ph©n - Dïng 10 ch÷ sè 0; 1; 2; 3; ®Ĩ ghi mäi sè tù nhiªn - Cø 10 ®¬n vÞ cđa mét hµng b»ng mét ®¬n vÞ cđa hµng tríc VÝ dơ: ab = 10a+b abc = 100a + 10b+c 2, So s¸nh sè tù nhiªn + a > b a n»m ë bªn tr¸i sè b trªn tia sè + a < b a n»m ë bªn ph¶i sè b trªn tia sè 3, TÝnh ch½n lỴ: a, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; lµ sè ch½n (2b;b ∈N) b, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; lµ sè lỴ (2b+1;b ∈N) 4, Sè tù nhiªn liªn tiÕp a, Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ a; a+1 (a ∈ N) b, Hai sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ 2b; 2b + (b ∈ N) c, Hai sè tù nhiªn lỴ liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ 2b + ; 2b + (b ∈ N) II/ Bµi tËp Bµi tËp 1: Cã bao nhiªu ch÷ sè cã ch÷ sè mµ tỉng c¸c ch÷ sè b»ng 3? Gi¶i 3=0+0+3=0+1+1+1=1+2+0+0 3000 1011 2001 1110 2100 1200 1101 2010 1020 1002 + + = 10 sè Bµi tËp 2: C¸c sè tù nhiªn tõ 1000 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè cã ®óng ba ch÷ sè gièng nhau? Gi¶i Cã nhÊt sè 10000 cã ch÷ sè kh«ng tho¶ m·n ®Ị bµi vËy c¸c sè ®Ịu cã d¹ng abbb babb bbab bbba (a≠b) XÐt sè abbb ch÷ sè a cã c¸ch chän (a≠b) Víi a ®· chän ta cã c¸ch chän (b≠a) => Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng abbb T¬ng tù: => Cã 81.4=324 sè Bµi tËp 3: ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp tõ ->100 tõ tr¸i sang ph¶i thµnh d·y a, D·y trªn cã tÊt c¶ bao nhiªu ch÷ sè? b, Ch÷ sè thø 100 kĨ tõ tr¸i sang ph¶i lµ ch÷ sè nµo? Gi¶i a, Sè cã ch÷ sè: sè => 9.1 = ch÷ sè Sè cã ch÷ sè: 99 – = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè Sè ch÷ sè: 100 => ch÷ sè VËy d·y trªn cã + 180 + = 192 ch÷ sè b, Ch÷ sè thø 100 r¬i vµo kho¶ng sè cã ch÷ sè B¾t ®Çu tõ 1011 lµ ch÷ sè thø 91 91 – 2.45 + Sè thø 45 kĨ tõ 10 lµ: (45 - 1) + 10 = 54 VËy ch÷ sè thø 100 lµ ch÷ sè Bµi tËp 4: ViÕt liªn tiÕp 15 sè tù nhiªn lỴ ®Çu tiªn t¹o thµnh mét sè tù nhiªn h·y xo¸ ®i 15 ch÷ sè ®Ĩ ®ỵc a, Sè lín nhÊt (9 923 252 729) b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122) Bµi tËp 5: NÕu sè cã ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn ph¶i sè ®ã th× nã t¨ng 1112 ®¬n vÞ ( abc =123) Bµi tËp 6: T×m sè cã ch÷ sè BiÕt r»ng nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng chơc vµ hµng ®¬n vÞ th× sè ®ã gi¶m ®i 4455 ®¬n vÞ Gi¶i abcd - ab = 4455 => cd = 99.(45- ab ) cd < 100 => (45- ab ) < 100 => 45 - ab = => NÕu ab = 45 => cd = NÕu ab = 44 => cd = 99 VËy sè ph¶i t×m 4500 44996 Bµi tËp 7: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp lÇn tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã Gi¶i ab = 5(a+b) => 5a = 4b => b  => b = NÕu b = => a = lo¹i NÕu b = th× a = => ab = 45 Bµi tËp 8: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng lÊy sè ®ã chia cho tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã ®ỵc th¬ng lµ d 12 Gi¶i ab = 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3) => b +  => b = NÕu b = => a=4 => ab = 42 NÕu b = => a=8 87 Bµi tËp 9: Kh«ng lµm phÐp tÝnh h·y kiĨm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh a, 136 136 – 42 = 1960 b, ab ab - 8557 = (ch÷ sè tËn cïng) Bµi tËp 10: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®ỵc mét sè gÊp 26 lÇn sè ®ã (260) Bµi tËp 11: T×m sè cã ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu lÊy sè ®ã chia cho hiƯu cđa ch÷ sè hµng chơc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ta cã th¬ng lµ 26 d Gi¶i ab = (a - b) 26 + => 27b = 16 a + ab 16a ch½n => 16a + lỴ => b lỴ => b = => a = ab = 53 Bµi tËp 12: T×m sè cã ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tỉng c¸c sè cã ch÷ sè kh¸c lËp tõ ch÷ sè cđa sè ph¶i Gi¶i abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb => abc = 22(a + b + c) Bµi tËp 13: §iỊn ch÷ sè thÝch hỵp thay cho c¸c ch÷ c¸i a, ab + 36 = ab b, abc - cb = ca c, abc + acc + dbc = bcc C¸c phÐp tÝnh vỊ sè tù nhiªn §Õm sè A/ Mơc tiªu: - Häc sinh n¾m v÷ng c¸c phÐp tÝnh vỊ sè tù nhiªn, c¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt, kiÕn thøc vỊ d·y sè c¸ch ®Ịu - VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo c¸c bµi tËp sè häc - RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp B/ Chn bÞ: Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun C/ Néi dung chuyªn ®Ị I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1) C¸c tÝnh chÊt: Giao ho¸n: a + b = b + a; KÕt hỵp: a.b = b.a a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c Ph©n phèi cđa phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng vµ phÐp trõ: a.(b+c) = a.b + a.c a.(b-c) = a.b - a.c Mét sè trõ ®i mét tỉng: a – (b+c) = a - b – c Mét sè trõ ®i mét hiƯu: a – (b-c) = a - b + c 2) C«ng thøc vỊ d·y sè c¸ch ®Ịu: Sè sè h¹ng = (sè ci – sè ®Çu) : kho¶ng c¸ch + Tỉng = (sè ci + sè ®Çu) Sè sè h¹ng : I/ Bµi tËp Bµi tËp 1: TÝnh b»ng c¸ch nhanh chãng a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763) = 29 + 1000 + 1000 = 2029 b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15 = 700 + 400 + 15 = 1115 Bµi tËp 2: Thay c¸c ch÷ bëi c¸c ch÷ sè thÝch hỵp a, ab + bc + ca = abc + => ab + ca = a00 => ab ac aoo => a = => b = => c = => 19 + 98 + 81 = 198 b, abc + ab + a = 874 => aaa + bb + c = 874 Do bb + c < 110 => 874 ≥ aaa > 874 – 110 = 764 => a = => bb + c = 874 – 777 = 97 Ta cã: 97 ≥ bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = Ta ®ỵc: 789 + 78 + = 874 Bµi tËp 3: §iỊn c¸c sè tõ ®Õn vµo ma ph¬ng x cho tỉng c¸c hµng thø tù lµ ; 16; 23 vµ tỉng c¸c cét 14; 12;19 Bµi tËp 4: Cho sè 1; 3; 5; .; 17 cã thĨ chia sè ®· cho thµnh nhãm cho: a, Tỉng c¸c sè nhãm I gÊp ®«i tỉng c¸c sè nhãm II a, Tỉng c¸c sè nhãm I b»ng tỉng c¸c sè nhãm II Gi¶i a, Cã thĨ: (chia hÕt cho 3) Nhãm I: + + + 13 + 15 + 17 = 54 Nhãm II: + + 11 = 27 b, Kh«ng v× tỉng ®ã kh«ng chia hÕt cho Bµi tËp 5: T×m x biÕt: a, 135 – (x + 37 ) = 80 => x + 37 = 135 – 80 => x + 37 = 55 => x = 55 – 37 = 18 b, (x - 17) + 52 = 158 => x – 17 = 158 - 52 => x – 17 = 106 => x = 106 + 17 = 123 Bµi tËp 6: Mét phÐp trõ cã tỉng cđa sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiƯu b»ng 490 hiƯu lín h¬n sè trõ lµ 129 T×m sè trõ vµ sè bÞ trõ Gi¶i SBT = a => ; ST = b; H=c a–b=c (1) a + b + c = 490 (2) c – b + c 129 (3) (1) vµ (2) => a = 490 : = 245 (2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 619 − 245 = 187 => b = 245 – 187 = 58 Bµi tËp Thay dÊu * bëi c¸c ch÷ sè thÝch hỵp **** - *** = ** BiÕt r»ng c¸c sè ®Ịu kh«ng ®ỉi ®äc tõ ph¶i sang tr¸i hc lµ tõ tr¸i sang ph¶i Gi¶i * * * => ch÷ sè hµng ngh×n cđa tỉng lµ => ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cđa + ** tỉng còng b»ng **** Ch÷ sè hµng tr¨m cđa sè h¹ng thø nhÊt lµ => Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cđa sè h¹ng thø nhÊt lµ => Bµi tËp 8: Mét tr¨m sè tù nhiªn tõ -> 100 chia thµnh líp ch½n vµ lỴ a, Tỉng c¸c sè cđa nhãm, nhãm nµo lín h¬n? b, Tỉng c¸c ch÷ sè cđa nhãm, nhãm nµo lín h¬n? Gi¶i a) 99 10 100 11 13 10 12 b) 99 100 98 Bµi tËp 9: §em sè cã ch÷ sè gièng chia cho sè cã ch÷ sè gièng th× ®ỵc th¬ng lµ 16 vµ sè d lµ NÕu sè bÞ chia vµ sè chia ®Ịu bít ®i mét ch÷ sè th× th¬ng kh«ng ®ỉi vµ sè d gi¶m 200 ®¬n vÞ, t×m c¸c sè ®ã? Gi¶i aaaa = 16 bbb + r aaa = 16 bb + (r - 200) Víi 200 ≤ r < bbb Tõ ®¼ng thøc => 1000 a = 1600 b + 200 => 5a = 8b + => a = vµ b = Bµi tËp 10: §Ĩ ®¸nh sè mét cn s¸ch cÇn dïng 1995 ch÷ sè a, Cn s¸ch ®ã cã bao nhiªu trang ? b, Ch÷ sè thø 1000 ë trang nµo vµ lµ ch÷ sè nµo? Gi¶i a) §Ĩ viÕt c¸c sè cã ; ch÷ sè cÇn + 90 = 189 ch÷ sè VËy sè trang lµ sè cã ch÷ sè Sè c¸c sè cã ch÷ sè lµ 1995 − 189 = 602 Sè thø nhÊt cã ch÷ sè lµ 100 VËy sè thø 602 lµ 100 + 602 – = 701 Cn s¸ch cã 701 trang b) Ch÷ sè thø 1000 thc sè cã ch÷ sè (1000 – 189 = 811) 811 = 270 + Sè thø 270 lµ 100 + 270 – = 369 VËy ch÷ sè thø 1000 lµ ch÷ sè hµng tr¨m cđa 370 (ch÷ sè 3) Bµi tËp 11: Khi viÕt c¸c sè tù nhiªn tõ ®Õn 100 th× a, ch÷ sè ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (11 lÇn) b, ch÷ sè ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (21 lÇn) c, ch÷ sè ; ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (20 lÇn) Bµi tËp 12: Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 100 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè mµ c¸ch viÕt cđa chóng cã ch÷ sè gièng Gi¶i Lo¹i cã ch÷ sè: aaa cã sè Lo¹i cã ch÷ sè: aaab Cã c¸ch chän; b cã c¸ch chän vµ b cã vÞ trÝ kh¸c => cã = 324 sè VËy cã + 324 = 333 sè Bµi tËp 13: a, TÝnh tỉng cđa c¸c sè tù nhiªn lỴ tõ -> 999 b, ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ ®Õn 999 TÝnh tỉng c¸c ch÷ sè Gi¶i a, Sè h¹ng cđa d·y lµ: 999 − + = 500 Tỉng cđa d©y lµ: (1 + 999) 500 = 250000 b, 999 lµ sè cã tỉng c¸c ch÷ sè lµ 27 Ta thÊy + 998 = 999 + 997 = 999 Cã 499 cỈp => Tỉng c¸c ch÷ sè lµ 27.500 = 13500 Bµi tËp 14: Trong c¸c sè tù nhiªn cã d·y sè Cã bao nhiªu sè kh«ng chøa ch÷ sè Gi¶i C¸c sè tù nhiªn ph¶i ®Õm cã d¹ng a cã c¸ch chän tõ -> b cã c¸ch chän tõ -> c cã c¸ch chän tõ -> VËy cã: = 648 (sè lỴ chøa ch÷ sè 9) 10 Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 & ; b) & ; c ) & ; d ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ;f) & ; h) & 79 204 103 295 63 55 a) CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m ≠ : a a a+m * 1⇒ > b b b+m a a a+m * =1⇒ = b b b+m a c a+c * = = b d b+d Bài tập 1: So sánh A = 1011 − 1010 + & B = ? 1012 − 1011 + 1011 − < (vì tử < mẫu) ⇒ 1012 − 1011 − (1011 − 1) + 11 1011 + 10 1010 + A = 12 < = = =B 10 − (1012 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + Ta có : A = Vậy A < B 2004 2004 + 2005 2005 Bài tập 2: So sánh M = 2005 + 2006 & N = 2005 + 2006 ? 2004 2004  > 2005 2005 + 2006   Cộng theo vế ta có kết M > N Ta có : 2005 2005  > 2006 2005 + 2006  37 3737 Bài tập 3:So sánh 39 & 3939 ? 37 3700 3700 + 37 3737 a c a+c Giải: 39 = 3900 = 3900 + 39 = 3939 (áp dụng b = d = b + d ) CÁCH 6: Đổi phân số lớn đơn vò hỗn số để so sánh : + Hỗn số có phần nguyên lớn hỗn số lớn + Nếu phần nguyên xét so sánh phân số kèm theo 134 55 77 116 Bài tập 1:Sắp xếp phân số 43 ; 21 ; 19 ; 37 theo thứ tự tăng dần 13 1 Giải: đổi hỗn số : 43 ; 21 ; 19 ;3 37 13 55 134 116 77 Ta thấy: 21 < 43 < 37 < 19 nên 21 < 43 < 37 < 19 31 108 + 108 & B = ? 108 − 108 − 3 3 Giải: A = 1108 − & B = 1108 − mà 108 − < 108 − ⇒ A < B 47 17 27 37 Bài tập 3: Sắp xếp phân số 223 ; 98 ; 148 ; 183 theo thứ tự tăng dần 223 98 148 183 Giải: Xét phân số nghòch đảo: 47 ; 17 ; 27 ; 37 , đổi hỗn số : 35 13 13 35 ;5 ;5 ; 47 17 27 37 13 13 35 35 17 27 37 47 a c b d Ta thấy: 17 > 27 > 37 > 47 ⇒ 98 < 148 < 183 < 223 (vì b < d ⇒ a > c ) 3535.232323 3535 2323 Bài tập 4: So sánh phân số : A = 353535.2323 ; B = 3534 ; C = 2322 ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C hỗn số ⇒ A 413 53 530 = d)Chú ý: Xét phần bù đến đơn vò 57 570 1010 1010 > e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: = ) 26 26260 26261 Bài tập 2: Không thực phép tính mẫu , dùng tính chất phân số để so sánh phân số sau: a) A = 244.395 − 151 423134.846267 − 423133 &B = 244 + 395.243 423133.846267 + 423134 Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267=… +Kết A=B=1 b) M = 53.71 − 18 54.107 − 53 135.269 − 133 ;N = ;P = ? 71.52 + 53 53.107 + 54 134.269 + 135 (Gợi ý: làm câu a ,kết M=N=1,P>1) 33.103 3774 &B= 3 5.10 + 7000 5217 33 3774 :111 34 Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A = 47 & B = 5217 :111 = 47 6 Bài tập 4: So sánh A = + + + 73 + & B = + + + + 73 ? 153 329 Gợi ý: Chỉ tính 72 + = = & + 74 = = Bài tập 3: So sánh A = Từ kết luận dễ dàng : A < B 1919.171717 18 Bài tập 5:So sánh M = 191919.1717 & N = 19 ? Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết ⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… 17 M>N 1717 Bài tập 6: So sánh 19 & 1919 ? a c a+c 17 1700 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng b = d = b + d ; ý : 19 = 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… 33 10 10 11 Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* Hãy so sánh : A = a m + a n & B = a m + a n ?     Giải: A =  a m + a n ÷+ a n & B =  a m + a n ÷+ a m     10 10 1 Muốn so sánh A & B ,ta so sánh a n & a m cách xét trường hợp sau: a) Với a=1 am = an ⇒ A=B b) Với a ≠ 0: • Nếu m= n am = an ⇒ A=B 1 • Nếu m< n am < an ⇒ a m > a n ⇒ A < B 1 • Nếu m > n am > an ⇒ a m < a n ⇒ A >B 31 32 33 60 Bài tập 8: So sánh P Q, biết rằng: P = 2 & Q = 1.3.5.7 59 ? 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) = = 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) = = 1.3.5 59 = Q 2.4.6 60 P= Vậy P = Q 7.9 + 14.27 + 21.36 37 Bài tập 9: So sánh M = 21.27 + 42.81 + 63.108 & N = 333 ? Giải: Rút gọn 7.9 + 14.27 + 21.36 7.9.(1 + 2.3 + 3.4) 37 : 37 M= = &N = = 21.27 + 42.81 + 63.108 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) 333 : 37 Vậy M = N 21 62 93 Bài tập 10: Sắp xếp phân số 49 ; 97 & 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử so sánh x 4y y Bài tập 11: Tìm số nguyên x,y biết: 18 < 12 < < ? 3x Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta 36 < 36 < 36 < 36 ⇒ < 3x < 4y < Do x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2     3   Bài tập 12: So sánh a) A =  ÷ & B =  ÷ ; b )C =  ÷ & D =  ÷  80   243  8  243  n n x xn Giải: p dụng công thức:  ÷ = n & ( x m ) = x m.n y  y 34 7 6 1 1   1 1   1 a ) A =  ÷ >  ÷ =  ÷ = 28 & B =  ÷ =  ÷ = 30 ;Vì 28 > 30 ⇒ A > B 3  80   81     243    5 3     243     125 b)C =  ÷ =  ÷ = 15 & D =  ÷ =  ÷ = 15 8 2   243    125 125 125 Chọn 215 làm phân số trung gian ,so sánh 215 > 315 ⇒ C > D 99 100 Bài tập 13: Cho M = 100 & N = 101 a)Chứng minh: M < N M< b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 10 Giải: Nhận xét M N có 45 thừa số 99 100 < ; < ; < ; < nên M < N 100 101 b) Tích M.N = 101 1 c)Vì M.N = 101 mà M < N nên ta suy : M.M < 101 < 100 1 tức M.M < 10 10 ⇒ M < 10 1 Bài tập 14: Cho tổng : S = 31 + 32 + + 60 Chứng minh: < S < a)Và Giải: Tổng S có 30 số hạng , nhóm 10 số hạng làm thành nhóm Giữ nguyên tử , thay mẫu mẫu khác lớn giá trò phân số giảm Ngược lại , thay mẫu mẫu khác nhỏ giá trò phân số tăng lên       Ta có : S =  31 + 32 + + 40 ÷+  41 + 42 + + 50 ÷+  51 + 52 + + 60 ÷ 1 1 1 1       1   1   1   ⇒ S <  + + + ÷+  + + + ÷+  + + + ÷ 30   40 40 40   50 50 50   30 30 10 10 10 47 48 hay S < 30 + 40 + 50 từc là: S < 60 < 60 Vậy S < (1) 1   1   1   Mặt khác: S >  40 + 40 + + 40 ÷+  50 + 50 + + 50 ÷+  60 + 60 + + 60 ÷       10 10 10 37 36 ⇒ S> + + S> > S > (2) tứ c : Vậ y 40 50 60 60 60 Từ (1) (2) suy :đpcm 35 mét sè ph¬ng ph¸p tÝnh tỉng I > Ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè trêng hỵp gỈp bµi to¸n tÝnh tỉng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + an (1) B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®ỵc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hc bµi to¸n chøng minh ®· cho biÕt kÕt qu¶) Th× ta nªn sư dơng ph¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh thÕ nµo còng chøng minh ®ỵc VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thư trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dù ®o¸n Sn = n Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng gi¶ sư víi n= k ( k ≥ 1) ta cã Sk = k (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®ỵc chøng minh vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 T¬ng tù ta cã thĨ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc n(n + 1) n ( n + 1)(2n + 1) 2, 12 + 2 + + n =  n(n + 1)  3 3, +2 + + n =     4, 15 + 25 + + n5 = n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) 12 1, + 2+3 + + n = II > Ph¬ng ph¸p khư liªn tiÕp : Gi¶ sư ta cÇn tÝnh tỉng (1) mµ ta cã thĨ biĨu diƠn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiƯu hai sè h¹ng liªn tiÕp cđa d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sư : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ ®ã ta cã : 36 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + VÝ dơ : tÝnh tỉng : 1 1 + + + + 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 = − = − Ta cã : , 10.11 10 11 11.12 11 12 S= , Do ®ã : S= 1 = − 99.100 99 100 1 1 1 1 − + − + + − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 • D¹ng tỉng qu¸t 1 Sn = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ( n > ) = 1- n = n +1 n +1 VÝ dơ : tÝnh tỉng 1 1 Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) Ta cã Sn = Sn = Sn =  1 1  1 1  1 1  − − −  +   + +   1.2 2.3   2.3 3.4   n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 1 1   − + − + + −  1.2 2.3 2.3 3.4 n( n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 n(n + 3)   = −  1.2 ( n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dơ : tÝnh tỉng 2n + Sn = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] Ta cã : Do ®ã 2i + [ i(i + 1)] = 1 − ; i (i + 1) i = ; ; 3; ; n 1 1  1 1  ) + − + + −    n (n + 1)  2  22 32    n( n + 2) = 1- (n + 1) = (n + 1) Sn = ( 1- 37 III > Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn lµ tỉng cÇn tÝnh: VÝ dơ : TÝnh tỉng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101  S = 2101-1 VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p ≠ 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )  Sn = 1+p ( Sn –pn )  Sn = +p.Sn –p n+1  Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 P n +1 −  Sn = p −1 VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p ≠ 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) n+1 p = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 P n +1 − + (n + 1) P n +1 ( theo VD ) P −1 p n +1 − n+1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)p P −1 n +1 n +1 (n + 1) P p −1 −  Sn = p −1 ( P − 1) p.Sn=Sn- IV > Ph¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tỉng ®· biÕt • C¸c kÝ hiƯu : n ∑a i =1 i = a1 + a + a3 + + a n • C¸c tÝnh chÊt : n n n i =1 i =1 1, ∑ (ai + bi ) = ∑ + ∑ bi 2, i =1 n ∑ a.a i =1 n i = a ∑ i =1 VÝ dơ : TÝnh tỉng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) 38 Ta cã : Sn = n n i =1 i =1 ∑ i(i + 1) = ∑ (i n n i =1 i =1 + i) = ∑ i + ∑ i V× : n ∑ i = + + + + n = i =1 n( n + 1) (Theo I ) n(n + 1)(2n + 1) i = ∑ i =1 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) + = cho nªn : Sn = n VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta cã : Sn = n n ∑ i(3i − 1) = ∑ (3i − i) i =1 n i =1 n = 3∑ i − ∑ i i =1 i ==1 Theo (I) ta cã : Sn = 3n(n + 1)(2n + 1) n( n + 1) − = n (n + 1) VÝ dơ 11 TÝnh tỉng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) Sn = (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) − 4 ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ VËn dơng trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tỉng c¸c sè h¹ng cđa d·y sè c¸ch ®Ịu ( Häc sinh líp ) • C¬ së lý thut : + ®Ĩ ®Õm sè h¹ng cđa d·y sè mµ sè h¹ng liªn tiÕp cđa d·y c¸ch cïng sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè ci – sè ®Çu : ( kho¶ng c¸ch ) + + §Ĩ tÝnh tỉng c¸c sè h¹ng cđa mét d·y sè mµ sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch cïng sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Tỉng = ( sè ®Çu – sè ci ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 : TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cđa A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / V©n dơng sè c«ng thøc chøng minh ®ỵc vµo lµm to¸n 39 VÝ dơ 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tỉng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) = 3k(k+1) (k + 2) − ( k − 1) k (k + 1)(k + 2) k (k + 1)(k − 1) − = * 3 C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1)  3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 1.2.3 0.1.2 − 3 2.3.4 1.2.3 2.3 = − 3 n( n + 1)( n + 2) ( n − 1) n( n + 1) n(n + 1) = − 3 −1.2.0 (n + 2)n(n + 1) ( n + 1)n(n + 2) + = S= 3 => 1.2 = VÝ dơ 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tỉng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k + 3) − (k − 1)] = k( k+1) ( k +2 ) k (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k (k + 1)(k + 2) − 4 1.2.3.4 0.1.2.3 − ¸p dơng : 1.2.3 = 4 2.3.4.5 1.2.3.4 − 2.3.4 = 4 Rót : k(k+1) (k+2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n − 1)n(n + 1)(n + 2) − 4 n (n + 1)(n + 2)(n + 3) Céng vÕ víi vÕ ta ®ỵc S = * Bµi tËp ®Ị nghÞ : n(n+1) (n+2) = TÝnh c¸c tỉng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 40 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 4 + + + 6, S = 5.7 7.9 59.61 5 5 + + + + 7, A = 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 8, M = + + + + 2005 3 3 1 9, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) 2 + + + 10, Sn = 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 11, Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 5, S = 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hỵp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tỉng ®Ĩ rÌn lun cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + + + 10 + + x( x + 1) = 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ l thõa cđa b, B =2 + 22 + + + 60  ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991  13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1  41 «n tËp Bµi TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 7 2 b) − c) − 15 : : + 12 12 15 5  11     + 2,5 ÷:  − ÷−  31      3 1 18 19 23 d)  +  ÷ − −  : e) + + −1 +  12 37 24 37 24     1   2 23  g)  ÷ + (4,5 − 2) + ( −2 )  − 0,25 ÷:  − ÷ 6 (−4) 4   5 a) 19 : 4 19 − 39 9 f) h)  1  1 i)  − ÷ : −  − ÷  2  2 5 −1 4  −1    j) 125%  ÷ :  − 1,5 ÷+ 20080 k) ( − 2) ⋅ +  − ÷:  12 24     16  12 27 − + 41 47 53 + 16 36 − + 41 47 53 1  1  m)  − + ÷:  − + ÷ n) 4  4  4 4 F= + + + + 2.4 4.6 6.8 2008.2010 1 1 + + + + p) F = 18 54 108 990 l) Bµi T×m x biÕt: 1 2 b) + : x = −7 x= 2 3 (2 x − 3)(6 − x ) = a) − c) x + ( x − 1) = d) 42 1 3 −2 f) g) x − − = h) + =− − ( x − 5) = 4 3 3 − 2 x − = 1    i)  −0,6 x − ÷ − ( −1) = j) ( x − 1)  − x + ÷ = k) 2    1 + : ( x − ) = −5 3 1 3 1   l)  x + ÷ − m)  x − ÷ + = n)60%x+ x = ×6 =0 3  25 2   1 p) −5( x + ) − ( x − ) = x − q) 3( x − ) − 5( x + ) = − x + 5 −3 −4 3x + Bµi T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c ph©n sè sau lµ sè nguyªn a) b) c) x −1 2x − x −1 e) x : d) 4x − 3− x Bµi B¹n Nam ®äc mét cn s¸ch dÇy 200 trang ngµy Ngµy thø nhÊt b¹n ®äc ®ỵc 1 sè trang s¸ch Ngµy thø hai b¹n ®äc ®ỵc sè trang cßn l¹i Hái: a) Mçi ngµy b¹n Nam ®äc ®ỵc bao nhiªu trang s¸ch? b) TÝnh tØ sè sè trang s¸ch ngµy vµ ngµy c) Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang chiÕm bao nhiªu % sè trang cđa cn s¸ch Bµi Mét líp cã 45 häc sinh gåm lo¹i häc lùc: giái, kh¸, trung b×nh Sè häc sinh trung b×nh chiÕm sè häc sinh c¶ líp, sè häc sinh kh¸ b»ng 60% sè häc sinh cßn l¹i a) TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i b)TÝnh tØ sè gi÷a sè häc sinh giái vµ häc sinh trung b×nh c) Sè häc sinh giái chiÕm bao nhiªu phÇn tr¨m häc sinh cđa c¶ líp? Bµi B¹n Nga ®äc mét cn s¸ch ngµy Ngµy b¹n ®äc ®ỵc Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang s¸ch sè trang s¸ch cßn l¹i Ngµy b¹n ®äc nèt 200 trang a) Cn s¸ch ®ã dÇy bao nhiªu trang? 43 b) TÝnh sè trang s¸ch b¹n Nga ®äc ®ỵc ngµy 1; ngµy c) TÝnh tØ sè sè trang s¸ch mµ b¹n Nga ®äc ®ỵc ngµy vµ ngµy d) Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang s¸ch chiÕm bao nhiªu % cđa cn s¸ch? Bµi Mét cưa hµng b¸n g¹o b¸n hÕt sè g¹o cđa m×nh ngµy Ngµy thø nhÊt b¸n ®ỵc sè g¹o cđa cưa hµng Ngµy thø hai b¸n ®ỵc 26 tÊn Ngµy thø ba b¸n ®ỵc sè g¹o chØ b»ng 25% sè g¹o b¸n ®ỵc ngµy a) Ban ®Çu cưa hµng cã bao nhiªu tÊn g¹o? b) TÝnh sè g¹o mµ cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy 1; ngµy c) TÝnh tØ sè sè g¹o cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy vµ ngµy d) Sè g¹o cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy chiÕm bao nhiªu % sè g¹o cđa cưa hµng? Bµi Mét bµ b¸n cam b¸n lÇn ®Çu hÕt 1 vµ qu¶ LÇn thø hai b¸n cßn l¹i vµ 3 qu¶ LÇn b¸n ®ỵc 29 qu¶ cam th× võa hÕt sè cam Hái ban ®Çu bµ cã bao nhiªu qu¶ cam? Bµi Chøng minh c¸c ph©n sè sau lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n: a) A = 12n + 30n + b) B = 14 n + 17 21n + 25 Bµi 10 T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt: a) A = ( x − 1) + 2008 D= b) B = x + + 1996 c) C = x +5 x−4 x −2 d) Bµi 11 T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt a) P = 2010 − ( x + 1) D= 2008 b) Q = 1010 − − x c) C = ( x − 3) +1 d) x −2 +2 Bµi 12 Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 b) B = + + + + + + + + + [...]... 111979 < 111980 = (113 )66 0 = 133 166 0 371320 = (372 )66 0 = 1 369 660 V× 1 369 660 > 133 166 0 => 371320 > 111979 Bµi tËp 7: T×m n ∈ N sao cho: a) 50 < 2n < 100 b) 50 413 53 530 = d)Chú ý: Xét phần bù đến đơn vò 57 570 1 1010 1010 > e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: = ) 26 262 60 262 61 Bài tập 2: Không thực hiện... 3535 2323 Bài tập 4: So sánh các phân số : A = 353535.2323 ; B = 3534 ; C = 2322 ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ AN 1717 Bài tập 6: So sánh 19... => b  m (a, m) =1 2- Tht to¸n ¥clit: VÝ dơ: T×m ¦CLN cđa c¸c cỈp sè sau: 11111 vµ 1111 342 vµ 266 11111 chia 1111 d 1 342 chia 266 d 76 11111 chia 1 d 0 266 chia 76 d 38 22 => ¦CLN (11111; 1111) =1 76 chia 38 d 0 => ¦CLN (342; 266 ) = 38 I/ Bµi tËp Bµi tËp 1: 3 khèi 6 – 7 – 8 theo thø tù cã 300 häc sinh- 2 76 häc sinh – 252 häc sinh xÕp hµng däc ®Ĩ ®iỊu hµnh sao cho hµng däc mçi khèi nh nhau Cã thĨ xÕp... 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) 333 : 37 9 Vậy M = N 21 62 93 Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 49 ; 97 & 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh 1 x 4y 9 y 1 Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 18 < 12 < 9 < 4 ? 2 3x Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 36 < 36 < 36 < 36 ⇒ 2 < 3x < 4y < 9 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 7 6 5 3  1   1  3  5  Bài tập 12: So sánh a) A =  ÷ & B =  ÷ ; b... = 36 & −18 = 18 = 36 ; Vì 36 > 36 ⇒ 12 > −18 Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn 2 2 3 3 > vì 7 > 5 7 5 Ví dụ 1 : −5 > −4 vì − 5 < −4; 2 5 Ví dụ 2: So sánh 5 & 7 ? 2 10 5 10 Ta có : 5 = 25 & 7 = 24 ; −3 6 Vì 10 10 2 5 < ⇒ < 25 24 5 7 Ví dụ 3: So sánh 4 & 7 ? −3 3 6 6 6 6 6 −3... để so sánh các phân số sau: a) A = 244.395 − 151 423134.8 462 67 − 423133 &B = 244 + 395.243 423133.8 462 67 + 423134 Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.8 462 67=(423133+1).8 462 67=… +Kết quả A=B=1 b) M = 53.71 − 18 54.107 − 53 135. 269 − 133 ;N = ;P = ? 71.52 + 53 53.107 + 54 134. 269 + 135 (Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1) 33.103... < = ⇒ > 47 48 4 77 76 4 47 77 30 Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 & ; b) & ; c ) & ; d ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ;f) & ; h) & 79 204 103 295 63 55 a) CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m ≠ 0 : a a a+m * 1⇒ > b b b+m a a a+m * =1⇒ = b b b+m a c a+c * = = b d b+d Bài tập 1: So sánh A = 1011