B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I N G U Y N HU DNG NH X KHễNG GIN V VI NẫT V C TRC HèNH HC CA KHễNG GIAN BANACH L U N V N T H C s T O N HC H Ni - 2015 B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I N G U Y N HU DNG NH X KHONG GIAN V VI NẫT Vấ CU TRC HèNH HC CA KHễNG GIAN BANACH Chuyờn nghnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C s T O N HC Ngi hng dn khoa hc: TS Trn Quc Bỡnh H Ni - 2015 i Li cm n Em xin gi li cm n sõu sc ti thy giỏo hng dn TS Trn Quc Bỡnh Thy ó giao ti v tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh hon thnh lun ny Nhõn dp ny em xin gi li cỏm n ca mỡnh ti ton b cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn v Phũng Sau i hc ó ging dy v giỳp chỳng em sut quỏ trỡnh hc ti õy ng thi, tụi xin cm n cỏc bn lp cao hc K17 Toỏn Gii Tớch t ó nhit tỡnh giỳp tụi quỏ trỡnh hc ti lp H Ni, thỏng 8, nm 2015 Tỏc gi N guyn Hu Dng il Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS Trn Quc Bỡnh Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 8, nm 2015 Tỏc gi N guyn Hu Dng M uc luc Li cm n i Li cam oan ii Mc lc iii M u Chng K in th c chun b Cỏc khỏi nim v ng kớnh Tớnh li 1.3 Cu trỳc chun tc 1.4 Khụng gian liờn hp v tớnh phn x 1.5 Tụpụ yu v tụpụ yu" 1.6 Mt s tớnh cht c bn ca tụpụ yu v tụpụ yu" Tớnh cht Tớnh cht 1.6.3 Tớnh cht (nh lý Alaoglus) 10 1.6.4 Tớnh cht 10 1.6.5 Tớnh cht (nh lý Eberlin-Smulion) 10 Tớnh cht 10 1.7 Nguyờn lớ im bt ng ca ỏnh x co 11 1.8 Tp bt bin 11 iii IV Chng Cỏc nh lý c bn v ỏnh x khụng gión Cỏc khỏi nim c bn 12 12 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Banach 15 2.3 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian metric 19 2.4 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert 25 2.5 Tớnh cht ca im bt ng v cc tiu 27 Chng Vi nột v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach 31 3.1 Cu trỳc chun tc 31 3.2 Mụun li v c t]rng li 39 3.3 Mi quan h gia mụun li v cu trỳc chun tc 43 3.4 Mi quan hờ gia cu trỳc chun tc v tớnh trn 46 K t lun Ti liu tham kho 50 51 M u Lý chn t i Khi h s co ca ỏnh x co Banach bng 1, tc l khi: IITa; TyII < \\x y\\ ,V x ,y Ê c thỡ T gi l ỏnh x khụng gión Núi chung, ỏnh x khụng gión khụng nht thit cú im bt ng (chng hn T l phộp quay hỡnh trũn n v quanh tõm i mt gúc), m nu cú thỡ im bt ng cng khụng nht (chng hn T l ỏnh x n v) ỏnh x khụng gión T cú im bt ng ta phi ỏp cỏc iu kin lờn c v nht l khụng gian X Nm 1965 xut hin bi bỏo cú tớnh cht m ng v s tn ti im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Banach li u vi c li úng b chn (hay gim nh i mt chỳt l li, compact yu, cú cu trỳc chun tc khụng gian nh chun X (chỳ ý rng khụng gian Banach li u cú cu trỳc chun tc) T ú n nay, lý thuyt ỏnh x khụng gión v song hnh vi nú l nghiờn cu cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach ó phỏt trin mnh m Trong lun ny, tụi khụng ch nghiờn cu v im bt ng ca ỏnh x khụng gión, v cu trỳc im bt ng ca ỏnh x khụng gión m cũn cp sõu n cỏc v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach cú liờn quan Ti liu c tụi chn l mt s bi bỏo v ti liu chớnh l cun sỏch "Cỏc v lý thuyt im bt ng mờtric" ca hai tỏc gi Goebel K v Kirk w A [4] Trong ú Kirk w A chớnh l tỏc gi ca mt bi bỏo c nhc ti nm 1965 trờn v n l mt nhng ngi cú uy tớn nht lnh vc im bt ng Quyn sỏch ca ụng c hu ht nhng ngi lm vic lnh vc ny s dng Qua cỏc kt qu nghiờn cu trờn, gúp phn giỳp ngi c mun tỡm hiu v lý thuyt ỏnh x khụng gión núi chung v bn thõn núi riờng hiu sõu hn v ny Vỡ vy, di s hng dn v giỳp ca TS Trn Quc Bỡnh, tụi chn ti: nh x khụng gión v vi nột v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach lm lun tt nghip ca mỡnh M c ớch n gh iờn cu Nm c lý thuyt im bt ng ca ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach N h im v n gh iờn cu Nghiờn cu cỏc kin thc c s ca ỏnh x khụng gión, lý thuyt im bt ng, cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach v cỏc sỏch, ti liu Cể liờn quan n cỏc ó nờu T ú ỏp dng vo vic h thng v trỡnh by lun i t n g v p h m vi n gh iờn cu i tng nghiờn cu: nh x khụng gión, im bt ng ca ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach Phm vi nghiờn cu: Cỏc cun sỏch v ti liu liờn quan n i tng nghiờn cu P h n g phỏp n gh iờn cu S dng kin thc c bn ca lý thuyt ỏnh x khụng gión, lý thuyt im bt ng D kin kt qu n gh iờn cu Lun l ti liu tng quan v lnh vc nghiờn cu lý thuyt ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach Chng K in th c chun b 1.1 C ỏc khỏi n im v ng kớnh nh ngha 1.1 Nu A l ca khụng gian metric (M ,p ) v nu X M thỡ diam v dist (x, A) c gi l ng kớnh ca A v khong cỏch t X n A c xỏc nh bi: diam = sup {p (x, y ) : X, y A} dist (x, A) = inf {p (x, y) : y A} nh ngha 1.2 Mi D , H ca X; u X: ru (D ) = sup {||u u|| : V D } rH (D ) = inf {ru (D) : u e H } CH (D) = { u e H : ru (D ) = rH (D)} Khi ú: +S ru (D ) c gi l bỏn kớnh ca D so vi u +S rH (D ) c gi l bỏn kớnh chebysher ca D so vi H +S C j (D ) c gi l tõm chebysher ca D so vi H 36 II Qi ( X,71 x n - x\\ = z)ll + E Ly gii hn hai v ta cú: II r (x) = lim Qi (x n - x)|| Ta cú: lim Qi (x y) = Pi (xn- y)\\+\\Qi (xU- x)\\-\\Qi ( X- y)Il < IIPi ixn - y)\\+\\Qi ( xU- y)II x n - y II < ll^t (zn - y) Il + IIQt (zn - y) Il + IIQt ix - y) IICho n >00 sau ú cho i ^ 00 ta cú: X y II + T (x) < r (y ) < ||x - y \ \ + r (x) Vy r (y ) = ||x - y\\ + r (x) V d 3.3 Tp li, compact yu* ca l cú cu trỳc chun tc yu* T ht vy, gi K l li compact yu* /1 vi diam K > Ly s c K l li, úng yu*, diamS > Ta chng minh s cú tớnh cht sup {||a: z\\ , Z G S} < diamS Ta xột hai trng hp s compact v s khụng compact Nu S compact thỡ theo b 3.1, s cú cu trỳc chun tc Khi ú tn ti X Ê s cho: sup {||x z|| , Z G S} < diamS 37 s Gi s xn X khụng compact Khi ú tn ti dóy x n c m x n khụng hi t mnh ti s cho Do ú r (ổ) = lim \\xn ổ|| > X Vỡ l ô c2 nờn vi mi / = {f i } G l1,u = {U} G c0 ta cú: 00 f { u) = f i u ii= Do xn ^ > i nờn x n (-u) >X (-u) vi mi ta cú X U G Co, chn u l cỏc vộct c s >X Do ú x n hi t theo ta ti X Theo b 3.2, vi mi y G S' ta cú r (y) = r (ổ) + ||ổ y II Suy ra, ||ổ y II = r (y) r (x) < diamS r (x) Vỡ vy, sup {\\x y II , y G S} < diamS r (ổ) Do r (ổ) > nờn sup {\\x y II : y G S} < diamS Vy K cú cu trỳc chun tc yu* n h n g h a 3.3 Mt khỏc rng, b chn, li K X gi l cú cu trỳc chun tc u nu vi mi hng s k G (0,1) cú: r ( D ) < k.damD vi mi li, úng D ca K ú r (D ) = inf sup ||ri u|| ueD veD Khụng gian Banach gi l cú cu trỳc chun tc u nu mi khỏc rng, li cú tớnh cht trờn n h lý 3.1 Nu khụng gian Banach X cú cu trỳc chun tc u thỡ X l phn x C h n g m in h Ly dóy {-K} c X l dóy gim cỏc li, úng, b chn t c = sup I d } V(-rù c l li b chn X 38 Vỡ X cú cu trỳc chun tc nờn c < Ly k G (c, 1), i vi mi c nh trờn t c ( ) = {x G c : ||ổ y II < kdiamC, Vy G C} Khi ú A (c ) 0) li, úng nh ngha ca c v ||.|| l hm li, na c liờn tc di Ngoi ra, A ( ) ỗ c nu khụng damC < damC (vụ lý) p dng cho dóy {.K}, sau ú t K = coủv A (K?) c K i=1 K = coủv U A ( K ) c K i= n Ta cú dóy { K } l dóy gim cỏc li, úng, b chn Ta chng minh diam K < k.diam K T ht vy, ly X, y G A ( K ) Khi ú tn ti n < p < q cho X G A (Kp) ,y G A ( K q ) Vỡ Kq c Kp nờn ||ổ y II < k.diamKp < k.diam K Do / diam K = diam n I conv V A {Kf} ợ=1 => diam K < k.diamKđ Lp li quỏ trỡnh trờn ta thu c cỏc dóy { K } cú quan h sau: K D K D D K D K D K \ D D K D i^ D # D D D 39 Ta cú: diamK < kn.diamK < kn.damK Do ú diamK >0 n >00 Theo nguyờn lý Cantor ta cú n r= i Kn 0Vy mi dóy gim cỏc li, úng, b chn cú giao khỏc rng, t ú suy khụng gian Banach X l phn x 3.2 M ụ u n li v c tr n g li nh ngha 3.4 Mụun li ca khụng gian Banach X l hm s x : [0 ; 2] > [0 ; ] c nh ngha bi: x (e) = inf { l - I l l 'l l : ||x|| < ; \\y\\ < ; ||x - y\\ > e} N hn x ột 3.1 Cho D l mt b chn, li ca khụng gian Banach li u X vi diamD = d > Nu x, y G D tha ||ổ + y II > v nu m = ! (ổ + y) thỡ vi mi Z G D bt k r m (D ) < \\z - m\\ < (l - (I)) d Do ú X cú cu trỳc chun tc nh ngha 3.5 c trng li ca khụng gian Banach X l mt s: e0 = Cq (X) = sup {e > : (e) = } nh lý 3.2 Mụun li l hm liờn tc trờn [0; 2) v tng ngt trờn [Êo; 2) Chng m inh t i (e) = e (e) vi G (0; 2) 40 Vỡ l hm tng ngt nờn vi Cl, e2 G (0; 2) ta cú: 1^1 (ei) (e2)| = eii (ei) e22 (e2)| < max { (ei) , (e2)} |ci - e2| < ||ei - e2|| Do ú (e) l hm liờn tc Do (e) l hm liờn tc nờn (e) = liờn tc trờn (0; 2).Theo nh ngha ca ta cú (e) >0 e >0+ m (0) = Vy hm liờn tc trờn [0; 2) Vi e G [e0; 2), ly X G X: ||ổ|| = v ||y|| = (1 e) X Ta cú ||ổ - y\\ = e; - \ ||x + y II = f Vy, (e) < I vi mi e G [e0; 2) Ta chng minh hm tng ngt bng phn chng Gi s tn ti < e2 [e0; 2) cho (ei) = (e2) t e2 = ke vi k > Vi mi x , y G X tha ||ổ|| < 1, ||y|| < 1, ||ổ y II > Cl t U = kx, V = ky Khi ú ta Cể ||it|| < k, ||v|| < k, ||it v|| > ke = e2 T ú suy ra: \ IIô + v|| < - ( f ) = - (d) Do ú 11đ + 2/11 ^ Suy - \\x + y\\ > - ( l - 1, mõu thun vi (ci) < y < Vy hm tng ngt trờn [eo; ) 41 N h n x ộ t 3.2 Trong trng hp tng quỏt khú xc nh c cỏc mụun li ca khụng gian Banach M n h 3.1 1) Khụng gian Banach X li u v ch Co = 2) Khụng gian Banach X li ngt v ch (2) = C h n g m in h 1) Vỡ X li u nờn (e) > vi mi e > 0, ú e0 = Ngc li, nu e0 = thỡ vi mi e > ta cú: IITII < l - ( e ) vi mi x , y X tha ||a;|| < 1, ||y|| < 1, ||a; y\\ > e Vy khụng gian X li u 2) Ly X, y X cho ||a;|| < 1, ||y|| < 1, ||a; y II > Khi ú ta cú \\x \\ + ||y\\ = ||a; + (y)\\ = Do X li ngt nờn tn ti A > cho X = A (y) Vỡ ||a;|| = ||y\\ nờn A = Do ú x + y = 0, suy (2) = Vi mi X, y X tha ||rc|| = 1, \\y\\ = l , x VGi s ||rc + y\\ = Vỡ (2) = nờn ll^ll < 1- {2) = suy x = y mõu thun vi x V- Vy khụng gian X li ngt V d 3.4 Cho X l c [0; 1] vi chun li ngt ||.|| c xỏc nh ú ||.||0 l chun sup thụng thng ú ||a:||0 < ||a:|| < (1 + Ă) ||a:||0 vi x c [0; 1] Nh vy x (2) = Hn na mi khụng gian hai chiu E ca X l khụng gian li u Do ú vi E\ e0 (E ) = v E (e) > 42 vi e > suy X cú khụng gian hai chiu "gn nh vuụng" Do ú x (e) = 0; e [0; 2); (2) = v e0 (X) = T ú (.) liờn tc ti n h n g h a 3.6 Mt khụng gian Banach X c gi l khụng vuụng u nu e0 (X) < n h n g h a 3.7 Mt khụng gian Banach X c gi l siờu phn x nu mi khụng gian Y biu din hu hn X l t phn x Khụng gian Y c gi l biu din hu hn khụng gian X nu mi khụng gian hu hn chiu lo ca Y l "hu ng c" n khụng gian ca X, ý ngha rng vi bt kỡ A > u tn ti mt ng cu T : y >X cho: A \\y\\ < \\Ty\\ < A \\y\\ -,y e Y n h lý 3.3 (Jam e s, E nflo) i vi mi khụng gian Banach X nhng iu sau õy l tng ng: (a) X l siờu phn x (b) X cú mt chun tng ng khụng vuụng u (c) X cú mt chun tng ng li u Cú nhng khụng gian Banach phn x m khụng siờu phn x di y l mt vớ d V d 3.5 Cho X M v vi \x \n = max {|mI , , \ x \ J Vi X = (xi, ,xn) g M"; |s |" = y%=i \x i\ v = (R", l-li), L = (Mn; U ) v cỏc 43 biu din ca l2 khụng gian ^ } v {Z/Ê} nh sau: D, * = {z " }r i: Dô, = \ x = x" e i'; ^ ( m ) {*} : X" s 1; (l^ir)2 \x\\D < 00 = \\x\\n < 00 Mi khụng gian D\ v D 00 l phn x v mi khụng gian trờn l i ngu ca khụng gian Tuy nhiờn D (e) = D (e) = vi mi e [0; 2] 3.3 M i quan h gi a m ụ u n li v cu trỳ c chun t c n h n g h a 3.8 H s cu trỳc chun tc ca khụng gian Banach X c nh ngha l N (X) = sup { S f } vi K l li, b chn X v diam K > o T nh ngha ta thy N (X) < 1, nu N (X) < thỡ X cú cu trỳc chun tc u n h lý 3.4 Nu mụun li ca khụng gian Banach X tha (1) > 0(tc q (X) < 1) thỡ X cú cu trỳc chun tc u v N (X) < - ( ) C h n g m in h Gi K l li, b chn X vi diam K > t d = d i a m K Vi mi Ê > tn ti u ,v e K cho ||ri u|| > d e 44 t Z = ( u + v) e K , vi mi X Ê K ta cú ||ổ ợx|| < d, ||ổ v|| < d Suy \\x ~ ^ + ^ ll T õy ta cú: r(K) nờn N (X) < 1, vỡ vy X cú cu trỳc chun tc u N hn x ột 3.3 Khụng gian li u cú cu trỳc chun tc u nh lý 3.5 Cho X l khụng gian Banach, t Xi = (X, ll-IU v x2= (X, ||.||2) ú II.II1 v ||.||2 tng ng tc l tn ti a , ò > cho: ôllalli < IMI2 ^ /^llổlli vi mi X e X Dt k = -, ú ta cú: 1) JV(Xi) < JV(X2) < fcJV(X,) 2) Nu Êg (Xi) < v k [1 i (I)] < thỡ Ê0 (X2) < C hng m inh 1) Ly K l li X Gi T (K ), d (K ) ln lt l bỏn kớnh v ng kớnh Chebysher ca K theo ||.|| vi i = 1, ta cú: a n {K) < r2 {K) < ò n {K) Oidi {K) < r2 {K) < òdi { K ) 45 Do ú N (Xi) < N (X2) < k N (Xi) 2) Lõy e > vi mi X, y X tha ||a;||2 < 1, ||y ||2 < 1, ||rc y ||2 < e ta cú ||r c ||< O!-1, llyllj < O!-1, ||rc y II > e/3_1 Khi ú ta cú: I I ^ I L < ( - , (c*-1) ) ô - 1Suy l l ^ l l < ( - (efc-1)) k Theo nh ngha ca mụun li (e) l cn di ln nht nờn (e) > (l i (fc-1)) k > suy e0 (X2) < N hn x ột 3.4 nh lý trờn ch iu kin mt khụng gian cú cu trỳc chun tc u, iu ngc ca nh lý khụng ỳng lm rừ hn nhn xột trờn ta i xột vớ d sau: V d 3.6 Cho X = [l2, ll-ll) vi < A < \/2, t XA = (l2, ||.||A) ú ||a;|| = max {ll^lloo, A_1 ||a;||} Ta chng minh XA cú cu trỳc chun tc u Ta cú A-1 ||a:|| < ||a;||A < ||a;|| Do ú hai chun tng ng Vỡ X l khụng gian Hilbert nờn ta xỏc nh c mụun li ca X, ngoi ngi ta chng minh c N (X) = ^ Ta cú: ú(e) = l - ^ Gi x l mụun li ca XA Vi k = A ta cú: 6, (Ê) > - A ^/l Vỡ - \ J l - > vi mi > \/A nờn Ê0 (XA) < 2\/A Ly X = ( x - ,1 ,0 , ) , y = ( - y / x - 1,1,0, ) 46 Ta cú ||a;|| = 1, ||y||A = 1, ||rc y|| = 2y/x2 , ||rc + y|| = Do ú x (2 V ^ T ) = Vy e0 (XA) = y/x2 - Theo nh lý 3.5 ta cú N (XA) < XN (X) = x ^ Vỡ A < nờn N (XA) < 1, ú XA cú cu trỳc chun tc u Mt khỏc eo (X a) < < T õy suy e0 (XA) < X < x ^ ^ Vy, vi < A < \/2 thỡ o (X a) > nhiờn X a cú cu trỳc chun tc u 3.4 M i quan h gi a cu trỳ c chun t c v tớn h trn n h n g h a 3.9 Khụng gian Banach X c gi l trn nu vi mi X vi ||a;|| = 1, tn ti nht mt X* G X* cho ||a;*|| = X* X G (a;) = n h n g h a 3.10 Mt khụng gian Banach X c gi l trn u nu vi mi X, y G X; X 0; Px X* thỡ gii hn lim t [||a; + ty\\ - ||a:||] = Vx {y) t ^0 l u tn ti {(x , y ) : ||a;|| = ||y|| = } Do ú X l trn u nu vi mi > 0, tn ti > cho \t\ < v vi mi x , y G X v ||a;|| = ||y|| = ta cú: \\\x + ty\\ - ||z|| - y>x (y)I < e\t\ N h n x ộ t 3.5 Nh vy cú th m rng tớnh trn ca khụng gian Banach bng cỏch a mụun trn 47 nh ngha 3.11 Mụun trn ca khụng gian Banach X l hm: Px : [0 ; 00 ) > [0 ; 00 ) c nh ngha bi: Px (T) = sup {! [||x + T y \\ + \\x - Ty\w - : ||x|| = \\y\\ = l} N hn x ột 3.6 Cú th thy rng mt khụng gian Banach X l trn u v ch khi: p'x (0) = lim = nh lý 3.6 (Lindenstrauss-Tzafriri) Vi mi khụng gian Banach X: (a) P x * (T) = sup { ( ^ ) - x (e) : < e < } vi mi T > (b) p^ = lm = 2đ (c) X l li u v ch X* l trn u C hng m inh Vi mi T > 0; X, y X v X*, y* G X* ta cú: 2px* (T) = sup{\\x*+Ty*\\ + \ \ x * - T y * \ \ - : \ \ x * \ \ = \\y*\\ = 1} = sup {x* (z) + Ty* (z) + X* (y) - Ty* {y) - : ||z|| = \\y\\ = 1} = sup{||z + y\\ + T \ \ x - y \ \ - : ||z|| = \\y\\ = } = sup {||a: + y\\ + T e - : ||a: y|| = e; < Ê < 2} = sup {Te 2X (c) : < Ê < 2} Khng nh (a) v (b) c chng minh da vo iu trờn 48 nh lý 3.7 Nu mt khụng gian Banach X cú tớnh cht px (0) < \ thỡ X siờu phn x v cú cu trỳc chun tc Chng m inh T tớnh siờu li ca khụng gian ta cú i ngu m o < Nu X khụng l siờu phn x thỡ vi mi c < 1; tn ti Xi, X2 hỡnh cu n v ca X v x \ , x *2 hỡnh cu n v ca X* cho: x (xi) = x\ ( x 2) = x ( x 2) = 0; x *2 ( x i ) = Do ú vi mi T > 0: Px _ _ _ (T) > ( l l ổ + T x il l + \\x2 - T x i l l ) - > ^ [x (x + T x i) + x*2 (x - T x i)] - = c - Khi c < tựy ý ; Px (T) > J Bõy gi gi s X khụng cú cu trỳc chun tc ngha l tn ti mt dóy {x n} hỡnh cu n v ca X m w lim x n = 0; lim ||ổ|| = 1; n -o o n -o o diam {xi, x 2, } < Xột dóy {x*n} cỏc phim hm cú chun bng v x*n (x n) = 11 11 Khi X l phn x; ta cú th gi s rng {x*n} hi t yu n mt s x*E X Chn i \\x* (rCớ) 11 < ||a:n|| > vi mi n > sau ú cho j > i ln ta cú: (x* - X*) {X) < I v \xĂ {Xj)\ < e 49 Do ú \x* (ớEi)| < e v ta cú vi mi T G (0; 1): > ( K ((1 + T ) x i - x i)\ + k i (x i - (1 - T ) I i) |) - > ỡ((l+r)(l-e)-e + l-e-(l-T )e)-l = 2t Do e > tựy ý; Px > t ú p'x (0) > I trỏi vi gi thit p'x (0) < m 50 K t lun Lun ó trỡnh by c cỏc khỏi nim c bn ca ỏnh x khụng gión Mt s nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión cỏc khụng gian: Banach, Metric, Hilbert c bit l ba nh lý c bn ca Kirk, Browder, Gohde khụng gian Banach Trong ú nh lý ca Browder v Gohde cú kt qu trựng nhau; nh lý ca Kirk m rng mt phn c bn ca hai nh lý trờn Dựng kt qu nh lý ca Kirk chng minh hai nh lý ca Browder-Gohde Lun h thng c mt s nột c bn v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach nh: cu trỳc chun tc, mụun li, tớnh trn, Mi quan h gia cu trỳc chun tc v mụun li, mi quan h gia cu trỳc chun tc v tớnh trn H Ni, thỏng 8, nm 2015 Tỏc gi N guyn Hu Dng [...]... hỡnh hc ca khụng gian B anach 3.1 C u trỳ c chun t c nh ngha 3.1 Tp li K trong khụng gian nh chun X c gi l cú cu trỳc chun tc nu mi tp con li, úng, b chn H ca nú vi diamH > 0 u cha mt im X H sao cho: sup {\\x z\\ :z G H } < d ia m H V ớ d 3.1 Mi tp hp compact trong khụng gian Banach u cú cu trỳc chun tc T ht vy, ta chng minh bng phn chng Gi s tn ti tp compact K trong khụng gian Banach X sao cho... khụng gian nh chun khi ú ta cú cỏc nh ngha sau: nh ngha 1.8 Tp hp con K ca X c gi l cú cu trỳc chun tc nu mi tp con li b chn s ca K vi dam S > 0 u cú cha mt im khụng l im ng kớnh nh ngha 1.9 Mt tp li D trong khụng gian i ngu X* gi l cú cu trỳc chun tc yu * nu mi tp con úng, b chn, li s ca D vi dam S > 0 cú mt im khụng l im ng kớnh 1.4 K h ụn g gian liờn hp v tớn h p h n x Cho hai khụng gian Banach. .. Cho K l tp con li, úng ca khụng gian Banach X Tp K c gi l hu nh cú tớnh cht im bt ng i vi cỏc ỏnh x khụng gión nu cho mi ỏnh x khụng gión T : K > K ta cú: inf ||Ty y\\ = 0 15 N hn x ột 2.2 Bt kỡ tp con li, úng, b chn ca khụng gian Banach u tp hu nh cú tinh cht im bt ng i vi h cỏc ỏnh x khụng gión 2.2 n h lý c bn v im b t n g c a ỏn h x k h ụn g gión tro n g k h ụn g gian B an ach nh lý 2.2 (Kirk)... M nh 2.1 Cho X l khụng gian metric y , b chn Nu (X,C) cú cu trỳc li metric chun tc u thỡ (X,C) cú cu trỳc compact m c 24 H qu 2.1 Cho X khụng gian metric y , b chn v cp (X,C) cú cu trỳc chun tc u Khi ú mi ỏnh x khụng gión T : X >X cú im bt ng Sau õy ta ng dng kt qu trờn cho lp khụng gian metric siờu li B 2.5 Cho (X,d) l khụng gian metric siờu li Khi ú: 1) (X,d) l khụng gian metric y 2) (X, A... 1.5 Khụng gian Banach (X, ||.||) c gi l li ngt (li cht) Nu vi mi X y m \\x\\ < 1; ||y|| < 1 ta cú: ll^^ll < 1iu kin ny tng ng vi: Nu 11rr + y II = ||a;|| + ||y|| v y 0 'thỡ X = Ay\ vi mt A > 0 no ú nh ngha 1.6 Khụng gian Banach (X, ||.||) c gi l li u nu vi mi Ê > 0 u tn ti (c) > 0 sao cho vi mi x ,y e X m: \\x\\ < 1; ||y|| < 1; 11rr y II > Ê ta luụn cú: ll^^ll < 1 (e)- 8 nh ngha 1.7 Khụng gian mờtric... 0} : I < t < 1 Khi ú K l tp li, compact yu, T l ỏnh x ng c trong K (tc l IIT T g II = II/ K ( ) c D nu T D 12 Chng 2 Cỏc nh lý c bn v ỏnh x khụng gión 2.1 C ỏc khỏi n im c bn nh ngha 2.1 nh x T t khụng gian metric (X, d) vo khụng gian metric (z , p) c gi... li, úng, b chn trong khụng gian Hilbert : c ằc l ỏnh x khụng gión Khi ú, T cú mt im bt H q u 2.3 Cho H nh x T ng trong c 2.5 T ớn h cht c a t p im b t n g v t p cc ti u n h n g h a 2.5 Mt tp K khỏc rng, li, úng, b chn trong khụng gian Danach X gi l cú tớnh cht bt ng i vi ỏnh x khụng gión, nu vi mi ỏnh x khụng gión T : K > K u cú im bt ng n h n g h a 2.6 Mt khụng gian Banach X c gi l cú tớnh cht... im bt ng i vi ỏnh x khụng gión 28 M n h 2.2 Cho X mt khụng gian Banach cú tớnh cht tp im bt ng cho chựm hỡnh cu Cho K l mt tp con b chn, li, úng ca X v cho T : K ằ K l ỏnh x khụng gión thỡ hoc l F ix T = 0 hoc l T cú im bt ng trong mi tp con khỏc rng, li, úng, bt bin ca K theo T n h lý 2.7 Gi s K l tp con khỏc rng ca mt khụng gian Banach cú tớnh cht tp im bt ng cho chựm hỡnh cu v gi s T : K ằK... toỏn t T Ê(X , Y ) c cho bi: ||T|| = sup : a; e X; a; 7^ o| = sup {||Ta:|| : X X; ||a;|| = 1} nh ngha 1.10 Khụng gian liờn hp X* ca X; X* = Ê(X,M ) l khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn X: X* (s) = ( x , X*) ; X X, X* X* 9 nh ngha 1.11 Khụng gian X** = Ê(X *,K ) gi l khụng gian liờn hp th hai ca X nh x X I> X** gi l ỏnh x chớnh tc hay phộp nhỳng chớnh tc ca X trong X** nh ngha 1.12 Nu