B G I O D C V O T O TRNG I HC s PHM H NI _ * N G U Y N VN TH N G H I M P H N R T H E O T H I G IA N C A M T LP BAO H M THC V I P H N C P P H N S L U N V N T H C S T O N G I I T C H H NI, 2015 B G I O D C V O T O TRNG I HC s PHM H NI _ * N G U Y N VN TH N G H I M P H N R T H E O T H I G IA N C A M T LP BAO H M THC V I P H N C P P H N S C h u y n n g n h : T o ỏ n gii tớc h M ó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N G I I T C H N gi h ng d n k h o a hc: P G S T S T r n ỡn h K H NI, 2015 LI C M N Em xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Trn ỡnh K ó t n tỡnh hng dn em quỏ trỡnh thc hin lun ny Em xin chõn th nh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng sau i hc, cựng ton th cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni 2, ó ng viờn giỳp v to iu kin thu n li em cú iu kin t t nht sut quỏ trỡnh hc tp, thc hin ti v nghiờn cu khoa hc Do thi gian v kin thc cú hn nờn lun khụng trỏ n h nhng hn ch v thiu sút n ht nh Em xin chõn th n h cm n ó nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn hc viờn H Ni, ngy 08 thỏng 07 nm 2015 T ỏ c gi N guyn V n T h LI C A M O A N Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PG S.TS Trn ỡnh K, lun t t nghip N g h i m p h õ n r ó t h e o t h i g ia n c a m t lp h m b a o t h c v i p h õ n c p p h õ n s c hon th n h bi s nhn thc ca chớnh bn th õn tỏc gi v khụng trựng vi bt k lun no khỏc Trong quỏ trỡnh lm lun vn, tụi ó k th a nhng th n h tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, ngy 08 thỏng 07 nm 2015 T ỏ c gi N guyn V n T h M c lc M u 1 K i n t h c c h u n b 1.1 Gii tớch bc phõn s a tr n ộ n 1.2 o khụng compact v ỏnh x T n h g i i c t r n c ỏ c o n c o m p a c t 10 S 19 t n t i n g h im p h õ n ró 3.1 Nghim phõn r ó 19 3.2 p dng 27 K T LUN 33 T i li u t h a m k h o 33 ii M u l.L ý chn ti Chỳng ta nghiờn cu bi toỏn sau mt khụng gian Banach X DBut) e Au{t) + F(t,u(t)), t tk, t k e (0, + 0 ), k e A, (0 ) (0 ) A u(tk) = I k (u(tk)), (0.3) u(0) = g(u), õy D , a e (0,1), l o hm bc phõn s theo ngha Caputo, A v B l nhng toỏn t tuyn tớnh, úng v khụng b chn X , A c N , Ait(ớjfc) = u(tÊ) u(t^) Cỏc hm F, g v l l cỏc hm cho trc Phng trỡnh kiu Sobolev cú th tỡm thy cỏc cụng trỡnh ca Barenblat v cỏc cng s [5], ú cỏc tỏc gi l nhng ngi u tiờn a mt mụ hỡnh dũng chy ca cht lng mụi trng ỏ nt, ú l phng trỡnh d{u - d u ) - du = Mụ hỡnh ny sau ú c phỏt trin v nghiờn cu cỏc bi bỏo [7, 26] ú cỏc tỏc gi ó xột phng trỡnh phi tuyn tru tng Bu(t) Au( t) = dt )) khụng gian Banach, vi A v B l cỏc toỏn t khụng b chn Gn õy, gii tớch bc phõn s tr th n h mt cụng c hu dng miờu t cỏc hin tng vt lớ khỏc nh dũng chy mụi trng r thng, cỏc dao ng v iu khin (xem, chng hn [17, 24, 27]), phng trỡnh vi phõn bc phõn s ó c xut thay th cho cỏc phng trỡnh vi phõn bc nguyờn cỏc mụ hỡnh ny Mt s lp phng trỡnh vi phõn bc phõn s kiu Sobolev ó th u hỳt nhiu nghiờn cu vi nm gn õy Cú th k n cỏc cụng trỡnh [3, 4, 15, 19, 25], ú mt s kt qu v s tn ti v iu khin c ó c thit lp Liờn quan ti h (0.1)-(0.3), ỏnh x phi tuyn a tr F hỡnh th n h t nhiu bi toỏn khỏc nhau, ú cú bi toỏn chớnh quy húa phng trỡnh vi phõn thng vi v phi khụng liờn tc ([16]), cỏc bt ng thc vi bin phõn ([29]), cỏc bi toỏn iu khin phn hi ([21]), iu kin xung (0.2) l mt hiu ng xut hin hm trng thỏi chu s thay i t ngt, hin tng ny thng xu t hin sinh hc v k th ut iu kin khụng cc b (0.3) ln u tiờn c nghiờn cu [10], cho phộp mụ t d kin u vo t t hn cỏc iu kin ban u so vi cỏc bi toỏn Cauchy c in Trong ng dng, iu kin khụng cc b thng cú cỏc dng sau 771 u ( ) = UQ + ^ Cu(ti),C i i=1 u(0) = Uo + e R , t > 0, k(s)u(s)ds, b > 0, k l mt hm thc Mt quan trng liờn quan ti bi toỏn (0.1)-(0.3) l cõu hi v dỏng iu ca cỏc nghim thi gian t ln Chỳ ý rng lý thuyt t p hỳt ton cc (xem [11]) khụng th ỏp dng vi bi toỏn ny vỡ thiu tớnh cht na nhúm ca toỏn t nghim Ngoi ra, s dng hm Lyapunov phõn tớch s n nh ca cỏc nghim l khụng thc t nhng khú khn tớnh toỏn v c lng o hm bc phõn s, thm c trng hp hu hn chiu Bi nhng lớ trờn, kt qu v dỏng iu nghim vi cỏc phng trỡnh vi phõn bc phõn s thi gian ln ớt c bit n Trong mt s bi bỏo gn õy [12, 22, 23], cỏc tỏc gi ó nghiờn cu mt s mụ hỡnh phng trỡnh vi phõn bc phõn s na tuyn tớnh cỏc khụng gian Banach bao gm cỏc iu kin khụng cc b v cỏc hiu ng xung, ú s tn ti cỏc nghim phõn ró c chng minh bng cỏch s dng nguyờn lớ ỏnh x co Cỏch tip cn ny c gii thiu bi B urton v Furumochi [8, 9] nghiờn cu tớnh n nh cho cỏc bi toỏn phng trỡnh vi phõn thng v phng trỡnh vi phõn hm Tuy nhiờn, k th u t dựng [12, 22, 23] khụng s dng c bi toỏn cỏc hm phi tuyn F,g v I k khụng cú gi thit Lipschitz Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt bao hm thc vi phõn bc phõn s, tụi chn " N g h i m p h õ n r ó t h e o t h i g ia n c a m t lp b a o h m t h c v i p h õ n c p p h õ n s" cho ti nghiờn cu ca lun Cỏc kt qu c trỡnh by da trờn cụng trỡnh (0.2) Trong lun ny, chỳng tụi chng minh bi toỏn (0.1)-(0.3) cú mt compact cỏc nghim phõn ró VC([, +oo);X ) lm c vic ú, chỳng tụi xõy dng mt o khụng compact chớnh quy (MNC), gi l X* trờn mt khụng gian úng ca VC([0, + 0 );X ) , sau ú ch rng toỏn t nghim a t r l i n k t v i ( ) - ( ) l X *-Qộ n Lun c trỡnh by ba chng Chng bao gm cỏc kin thc chun b liờn quan n gii tớch bc phõn s v o khụng compact Chng trỡnh by tớnh gii c ca bi toỏn (0.1)-(0.3) trờn cỏc on compact Chng s chng minh s tn ti nghim phõn ró v trỡnh by mt vớ d ỏp dng 2.M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớnh gii c trờn on compact v s tn ti nghim phõn ró t -> 00 ca h (0.1)-(0.3) Chng minh chi tit cỏc kt qu cỏc cụng trỡnh [18, 22] 3.N him v nghiờn cu Tỡm hiu v o khụng compact; Tỡm hiu v gii tớch bc phõn s; Nghiờn cu tớnh gii c ca h trờn on compact; Nghiờn cu iu kin tn ti nghim phõn ró t -> i 00 ca h tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờu cu: Bao hm thc vi phõn bc phõn s suy bin Phm vi nghiờn cu: iu kin tn ti nghim trờn on compact v iu kin tn ti nghim phõn ró 5.D kin úng gúp mi Chng minh chi tit cỏc kt qu cỏc cụng trỡnh [18, 22] 6.Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch bao gm: Gii tớch a tr, gii tớch bc phõn s, o khụng compact; Lý thuyt im bt ng cho ỏnh x nộn Chng K in thc chun b 1.1 Gii tớch bc phõn s Cho L1(0, T \ X ) l khụng gian cỏc hm kh tớch trờn [0,T], theo ngha Bochner n h n g h a 1.1 Tớch phõn bc phõn s cp a > ca hm s f e L1(0,T ;X ) c nh ngha bi = r(a) J (t - s ) a- { s ) d s ú r l hm Gamma, vi iu kin tớch phõn hi t n h n g h a 1.2 Cho hm e C-^QO,T];X ) , o hm Caputo bc phõn s cp a Ê (N - 1, N) c nh ngha Chỳ ý rng cú nhiu khỏi nim v o hm bc phõn s, ú nh ngha ca Riemann-Liouville v C aputo c s dng rng dói Nhiu bi toỏn ng dng, biu din bi phng trỡnh vi phõn bc phõn s, ũi hi cỏc iu kin u tớ(o), v o hm C aputo bc phõn s tha m ón cỏc iu kin xỏc nh Xột bi toỏn (1.1)-(1.3) D q B u (ỡ ) = Au( t ) + f ( t ) , t t k , h (0, + oo), k A, ( 1) A u ( t k ) = I k (u(t k )), (1.2 ) u(0) = g(u) (1.3) Gi thit rng D(B) c D(A), B l song ỏnh v cú ỏnh x ngc b chn p dng bin i Laplace cho phng trỡnh (1.1), ta c i r ( l - a) B Ê [ ( ) - * U'](A) = ^ [ ô ] ( A ) + m ( A), D qU = y(-) a * u', õy c l kớ hiu bin i Laplace ca hm nhn giỏ tr vector Suy ^ _ B [A Ê [ô ](A ) - e~ xtkh - ô(0)] = AC[u]{\ ) + Ê [ / ] ( A) fceA Bi vy BC[u}{\) =Xa~1(XaI - A B ~ l )~l Bu{0) + A_1(A - A B ~ l )~l B ^ e~MkI k + (XaI - A B ~ l )~l C[]{X), (1.4) ke A vi I l toỏn t ng nht xỏc nh trờn X Cho {T(ớ)} l Co- na nhúm sinh bi A B ~ l Th {T(ớ)} vo (1.4), ta c BC[ u\ { \ ) =A Q e - xasT ( s ) B u ( ) d s -'0 + Aa-1 / J e- ^ sT ( s ) B ' Y ^ e~MkI kds + / e~xasT(s)C[f](X)ds feeA J Do ú Ê[u](A) =A _1 B ~ 1e~^sT ( s ) B u ( ) d s 'o + x a~1 J B - 1e - xsT ( s ) B ^ e~XtkIkds+ k J B ~ 1e~x'sT(s)C[f](X)ds (1.5) S dng lớ lun nh [15], ta th u c u(t) =S a (t)Bg(u) + ^ sa(t - tk) B I k(u(tk)) < t k 0, '0 (1.6) õy s a (t) v p a (t) c gi l cỏc toỏn t nghim c trng cho bi cụng thc /ằ00 s a(t)x= / '0 B - 1a (6)T{ta6)xde, Bõy gi chỳng ta chng minh T gi VC bt bin, ngha l TPC) VCo, v l X*-Qộn trờn VCo thu c cỏc nghim phõn ró ca bi toỏn (0.1)-(0.3), ta phi thay th (A), (F), (G ) v (I) bi cỏc gi thit m nh hn ( *) Na nhúm { r ( i ) } t>0 tha (A) v cỏc h toỏn t {s a(t); Pa(ớ)}t>0 l n nh tim cn, ngha , lim IISa (ớ)II = 0, t-too lim ||PQ(ớ)|| = t-too ( F * ) F : R + X X -ằ K v ( x ) t m ó n ( F ) vi m i T > 0, vi m , k ( R + ) v F (r) < r vi mi r > (G *) Hm g : VC([0, +oo); X ) -> D ( B ) tha mn (G) vi bt kỡ T (I*) Cỏc hm bc nhy Ik : X -ằ D ( B ) tha (I) vi < +00 >0 fceA l < +0 v Mnh sau õy ch mt trng hp m (A*) c tha M n h 3.2 Gi s na nhúm {T'(ớ) } >0 sinh bi A B -1 liờntc theo chun v n nh m, ngha l, cú hai s dng , M cho ||T(ớ)|| < Me~at Khi ú tn ti hai s dng Cs v Cp tha IISet (ớ) II < M | | s _1 II (l, C s ớ- ) , ||Pa (i)|| < M llò -^ lm in ( - - , p i a \r(a) (3.6) Vớ > Chng minh Vic chng minh ging nh [2] (3.7) B 3.3 Cho (A*), (F*), (G *), (I*) c tha Khi ú TPCo) VC vi cỏc iu kin l rt t? = sup / ớ>0 J0 = sup f ||PQ(ớ s)|| m(s)ds < + 0 , (t s)Q_1||Pa (ớ s)|| m(s)ds < + 0 , i >0 J St vi e (0,1) no ú 21 (3-8) (3-9) Chng mi n h Ta ó bit F ( u)(t) = Sa (t)Bg(u) + ^ + I S a ( t - t k) B I k(u(tk)) < t k v > () Ta chng minh z e VC, hay z( t) ^ t ^ -0 Ly e > tự y ý cho trc Khi ú tn ti Ti > cho ||u(t)|| < 6, Vớ > (3.10) T gi thit Ê jfc < + 0 , tn ti No N cho keA h < e- Bõy gi vi t > 0, k>N0 ta cú ||*(ớ)ll ^ ) = ||5 (*)||(), E 2{t) = {R) l|5a(ớ - h)\\ h + S ^ ^ i R ) kN0 rớ E (t) = "'0 { t - s )\a - 4111 (ớ - s)|| m(s) íF (||u(s)||)ds Bi (A*) cú T2 > tha ||S()|| < e , || P Q(ớ)|| < e , V t > T 2, (3.11) Eiit) < 9(), Vớ > T2 (3.12) nờn 22 Ê 2( * ) < e ( x i lk + S ? ) * I ( R ) , V t > T + tNo (3.13) k ta cú E 3( t) = ( f + [ ) ( t - s r - ' W P v i t - s ) \\ m ( s ) V F(\\u(s)\\)ds 'o J St rụt < f(-R) / (ớ s)_1||Pa (ớ s)Il m(s)ds 'o + ]?() / (t - s)_1||pa (i - s)Il m(s)ds J St Pt 11q(ẻ p ' - [(1 - ^jt]1_I'o I|P 5)11m^ ds + / (t s)_1||pa (i s)Il m(s)ds J St (3.10) v 5t > T\ Gi ta chn T3 > y- cho R [(1 - ụ)t] < e, Vớ > 3, t ú ta c Es(t) < ( + ), (3-14) vi iù,K c a bi (3.8)-(3.9) Kt hp (3.12)-(3.14) suy ||z(ớ)|| < [() + ( h + ~ ) /( ) + + ô ] , k max{T2 + tNo,T 3} B t ng thc cui chng t z e vc B chng minh xong c B 3.4 Cho (A * ); (F*), (G*) v (I*) c tha Nu t? w thỡ T l x* nộn trờn VCChng minh Bi cỏc gi thit v B 3.3, ta cú th xột toỏn t nghim T : VC -> V { V C ) Cho D VC l mt t p b chn Ly r > tha 23 II II00 < r, Vu Ê D Ta Cể 7t t (D) b chn PC (I, ]; X ) Dựng cỏc lớ lun nh chng minh B 2.3, ta cú X t c { ^ t ( ^ ( D ) ) ) < T X t c (k t (D)), õy IT = ( v + ^ ^fc)5a + SUP [ i i - s)a~1\\p a ( t - s)x k(s)ds , , S(0,T) fe(o,T] Jo J vi II ||x l x-chun ca mt toỏn t tuyn tớnh b chn nh ngha bi (1.8) iu ny suy (3.16) X o o ( D ) ) < e - Xoo(D) Ta cn c lng dooD) Vi mi F(D), tn ti e D v / Vpiu) cho z(t) =S a (t)Bg(u) + ^ s a(t - tk) B I k(u(tk)) 0< t k < t + ( - a ) e_1P a ( t - a ) / ( a ) d a , V t > ' t ^ i ( ô ) ( ) = S a (t ) Bg( u), Ti(u)(t) = s a(t - t k ) B h ( u ( t k)), 0 0, tn ti T > cho vi mi Ti(D), i {1,2,3}, ||z(t)|| < Ce vi t > T , õy 24 = C(r) > Cho z Ti(D ), thỡ ta cú th ly u e D cho z(t) S a(t)Bg(u) Ta cú lk (ớ)|| < Vỡ II/Sa(ớ)II -> t -> +00 ||5 a ( ) l l * đ ( l l ô l | o o ) < | | S a ( ) l l đ s ( r )- nờn t b t ng thc cui suy vi mi z e F\(D), IIz (ớ) II < Ê $ j(r ) vi t > T\ > i vi ^ ( - ) , ta nhn thy rng vi z = j ( a ) , a D II*()II < ^ II5 ^ - 0 T2 > 0, - ú c xỏc nh bi (3.8) Chỳng ta gii quyt vi d a a ^ ^ D ) ) Ly z = T ( u ) ,u D, ta cú ỏi < (t-sr^Pait-snm^ds (Ê \ j 6t < K sup ||lớ(s)|| < K sup sup ||ô(s)||, Vớ > 0, uÊD s>t 25 ||U(3)|| vi c a (3.9) Ly T (0,ớ], ta thy rng |z(ớ)|| < sup sup * ) | | = KdT (D),Vt > T e b S>T Bi vy sup sup II-zr(i)Il < kcIt (D), z(iFi{D) t>T v nh ngha ca doo, ta c dooiD)) < K d ^ iD ) (3.19) T (3.17)-(3.19) suy d{J: (D)) < KdooiD) Kt hp vi (3.16), ta dn ti X * ( D ) ) = Xao ( D ) ) + oiD)) < { , \ (Xoo( D) + doo(-D)) = m a x { k , Ê } x *(D) B c chng minh xong Kt qu chớnh ca chỳng ta c th hin nh lớ sau n h lớ 3.5 Cho (A*), (F*), (G *) v (I*) c tha mn Khi ú bi toỏn (0.1)-(0.3) cú m t t p compact cỏc n g h i m p h õ n ró, vi cỏc i u k i n l 1? < + 0 v max{ớ,/)} < l, y c nh ngha bi (3.8), i c a (3.15) v p = lim inf - [ ( () + j(r-) ^ Ik) s r->00 r I \ ^ ' fc + sup i>0J0 (i s) _1 ||p a (i s )||m (s)d s (3.20) Chng minh Bi (3.20), bng cỏc lớ lun tng t nh chng minh ca nh lớ 2.4 ta cú mt hỡnh cu úng = B ( , R ) VC th a J ( B /ớ) T gi tr i, ta xột J7 nh l mt ỏnh x a tr t v chớnh nú Chỳ ý rng iu kin p < suy < Nờn bi B 3.4, T l x*-nộn Ta cũn phi ch rng T l mt ỏnh x a tr na liờn tc trờn Vit li T = T \ + T , vi F i { u ) { t ) = S a ( t ) Bg ( u ) + F2(u)) = | y s a (t - t k) B I k ( u( t k)), (t - s)a~1Pa (t - s ) f (s)ds : e p Ê(u) j , 26 ta thy rng T \ liờn tc, vỡ Bg v Bl liờn tc Ta s chng minh l na liờn tc trờn nh s dng B 1.6 Ly {ớXn} B R hi t ti u* v zn Ê n) cho zn -> z* (s hi t theo chun ca VCo) Ta kim tra z* e hay z*(t) e T i (tớ*)(ớ),Vớ > Nhng iu ny hon ton cú th c nh cỏc lớ lun nh chng minh ca B 2.2 Bõy gi chỳng ta kim tra tớnh ta compact Cho l mt t p compact v {zn} () Khi ú ta cú th ly {it} v / Vp( un) cho zn{t) = [ (t - s)a~1Pa(t - s ) f n(s)ds,t > ' Lớ lun nh chng minh ca B 2.2, ta c {-KT (zn)} l compact tng i vi mi T > 0, hay Xoo({zn}) = s u p x p c ({ttt(^ )} ) = T> Bõy gi s dng cỏc ỏnh giỏ doo nh chng minh ca B 3.4, ta thu c ^oo({2n}) ^ ^00 ({^n})iu ny suy X ({^n}) = Xoo{{z n}) b ^ooớớ^n}) ^ K X ({^ n }) = n h t n h c o m p a c t c a {ô} V ỡ t h x * ( { z n}) = v t n h c h ớn h q u y c a X*, t a c {z } compact tng i nh lớ hon ton c chng minh 3.2 p dng Mc ny s trỡnh by ng dng kt qu lý thuyt th u c i vi mt h phng trỡnh vi phõn o hm riờng bc phõn s Cho Q MN l mt trn, b chn Chỳng ta xột bi toỏn sau d u ( t , x ) - d A xu(t,x) - A xu(t,x) = (3-21) f ( t , x ) e c o { f i ( t , u ( t , x ) ) , f m(t ,u ( t, x) )} ,x e r, > u ( t , x ) = 0, l E d l , t > 0, / G(s, t k, k N, (3.22) (3.23) u(t+,x) = u(t~,x) + / H k(x,y)u(tk,y)dy, u(0, x) = v(x) + / ,ớ 7ớ X, X y)u(s, y)dyds, 27 (3.24) X E (3.25) h trờn, , a e ( |, 1), l o hm C aputo bc phõn s theo bin t, A x l toỏn t Laplace theo bin X, co {/ij v / m } / -ifi '-i ỡ ; / -i 1 Vi=1 1=1 J t X = L2(ớỡ), = A (toỏn t Laplace) vi D ( A ) = H 2(ớỡ) n H (f) Gi {A } > l cỏc giỏ t r riờng A vi cỏc vộc t riờng t n g n g {e}>i K h i ú t a bit rng < Ai < A2 < < A -> +00 n -> + 0 , hn na 00 A u = - ^ Xn{u, en)eT n= õy (, ) l kớ hiu tớch vụ hng X Bõy gi xột B = I - A vi D ( B ) = D(A) Ta bit rng B c biu din nh sau 00 BL = ^ ^ (1 + n) L, en)en 71 Do ú 00 1+ u = ^ ^ - - {u, en)en, n=l 00 71 1 , {^3 -LT* Atj en )en T ú suy na nhúm T(-) sinh bi A B ~ l cú th c biu din 00 T(t)u = ^ e ^ t u , en)eT n= Hin nhiờn, ||T(ớ)|| < e ^t ,Vớ > vi /3 = > Nờn ta c cỏc toỏn t + Ai nghim c trng sa(-),pa(-) l n nh tim cn v iu kin (A*) c tha Hn na, bi Mnh 3.2 ||S()|| < ll^-^lminớl.sr), { l Il-Fa(ớ)|| < \\B 1|| ( vr(a) , Cpt c bit, S = sup t>0 ||5a(ớ)ll < IIs -ll 28 \ ) 2a ) vi moi > (3.26) t F : M+ X X -ằ V ( X ) l ỏnh x a tr nh ngha bi F ( t , v ) ( x ) = c o { / i ( t , v ( x ) ) , f m ( t , v( x) ) } Ta gi s rng /j : R + x l - > R , i = 1, l cỏc hm liờn tc tha |/j(ớ,z)| < m(t)\z\,\/(t, z) e l + x l , (3.27) õy m ( R + ;M+ ) l khụng gian cỏc hm liờn tc b chn trờn R + , v tha m ó n I q Ii e S C ( R + ; R + ), n g h a l, /g mt) = 0(1) t -> 4-00 (3.28) D d n g n h n t h y r n g vi m i ( t , v) e R + X X , F ( t , v ) l m t t p úng, b chn ca khụng gian hu hn chiu x m = span{/i(ớ, v ( - ) ) , / m(ớ, v(-))} Nờn F ( t , v ) l m t t p c o m p a c t t r o n g X , hay, F n h n giỏ t r c o m p a c t Bi t n h liờn lc ca f i , i = ta cú th kim tr a c F(t,-) l mt ỏnh x a tr na liờn t c t r n , n g h a l, vi hi t v V t r o n g X v vi e > 0, F(t, vn) c F(t, V) + tB { 0,1), Vn > N(e), vi N(e) e N v 5(0,1) l hỡnh cu n v X Ta bit rng -1 l toỏn t compact, nờn iu kin (F*) c tha món, vỡ ta cú ll^ớớ.v)!! < ro(ớ)IMI, theo (3.27) Xột cỏc hm bc nhy I k c nh ngha bi h(v ) ( x ) = / H k(x,y)v(y)dy G i s r n g H : ớỡ X ớỡ -> R , k = 1, 2, l cỏc h m o c t h a m ó n H c ự n g vi A x H t h u c vo L 2( ỡ X 2) n h n g h a hk(x,y) = H k(x,y) - AxHk(x,y), thỡ B I k cú dng B I k(v)( x)= / hk (x,y)v(y)dy, v nú l mt toỏn t Hilbert-Schmidt c bit, B I k l toỏn t compact Ta suy l th a iu kin (I)(2) vi Hk = Thờm vo ú, ta cng cú th kim tra c l th a iu kin (I)(l) vi h = HMiằ(ớixn)> ^ i (r) = r^ r ^ 29 Vy (I*) c th a m ón nu ta gi thit h < 00 Vi hm khụng cc b, t g(w)(x) = v(x) + / / G(s, '0 'n C h ỳ n g t a a r a gi t h i t c vi G(t, , ), AxG(t, V y)w(s, y)dyds, w e VC([0, + 0 ); X) X, H 2{) v G : [0, 6] X ) e L 2(ớỡ X X -> R l m t h m o Q) t G(s ,x,y) = (I - Ax)G(s,x,y), ta cú Bg(w)(x) = v(x) Av(x) + I -'0 I G(s,x,y)w(s,y)dyds 'fi iu ny suy ||òs(w)|| < IMI^a + J || ế(ô,- )llira(nxn)ll^"(*> -)lld* < IMlir2 + lG^S, , -)llL2(nxn)^s^ IMIoo- Nờn ( G ) ( l) c tha m ón vi ^ s ( r ) = I M I + ^J ll J t (t) = (t s ) _ ||p a (ớ s)||m (s)d s (t - s)a_1||PQ(ớ - s)||m(s)ds Bi c lng ca p a (3.26) ta cú (t) < 1r(a) -1 " (t s ) a~ 1m( s ) d s -1 ||/g m (ớ) ( ) t > + 00 , J (3.28) Vỡ th = su p (t) < + 0 i> Gi ta kim tra 1? = sup / IIp a (t s)||m(s)ds < + 0 (ly s | ) t Ip(t) i>0 J IIp a (t s)||m(s)ds, ta s ch lim >(t) = T h t vy, bi c lng (3.26) t - Ơ + oo v m e ặC(R+ ; R +), ta c f>(t) < ||S _-li \\Cp ||Cp [/ \ (t s) am{s)s J0 l | s " | | p ( ) 20 J Q2 m(s)ds < B-^Cp Q t ^ -b00 31 Ta a õy mt vớ d TI tha m ón (3.28) Cho m(t) = - , t > 0, thỡ = Jr (ra r) J + sa T(a) y1 j * - + sa M ( t y - [* r(a) \ / ds J + aô Jt v +dssa J ớil r(l + a) + ( ! ) ' Vỡ th lim I q m(t) < - ^7-- + ớA+ (1 a ) r ( a ) ^ r ( l + a) Túm li, bi toỏn (3.21)-(3.25) cú mt t p compact cỏc nghim phõn ró nu p= '3 ) lli2(OxO)[...]... /?(ớ) vi mi e Vb(E), vi cừớỡ l bao li úng ca Mt M N C /3 c gi l i) n iu nu Q()j^i V b ( E ) , ớớo c ớới thỡ /3(o) < /3(ớới); ii) khụng suy bin nu /3({a} u fi) = /9(fi) vi mi a Ê E,Q e Vb(E); Ui) bt bin theo min vi tp compact nu 3(KuQ) = /3(ớỡ) vi mi tp compact tng i K c E v ớỡ e Vb(E); iv) na i s cng tớnh di nu /3(fo + ớ^i) < /3(ớớo) + y(ri) vi mi O: ớới r b(E); V) chớnh quy nu /3(r) = 0 thỡ tng ng vi. .. M n h 1.4 ([21]) Nu {w} c L l {Q,T]E) tha mn wn(t)\\E < v (t) vi m i t e [0,r] h.k.n, v vi mt V e L1(0,T), thỡ ta cú vi t Ê [0,T] Ta cng cn c lng MNC cho trng hp cỏc tp khụng m c M n h 1.5 ([2]) Cho D c L l (, T\ E) tha món (1) ||Ê(ớ)||.e < v{t), vi mi e D v vi m i t e [0,T] h.k.n, (2) x(D(t)) < q(t), vi m i t e [0,T] h.k.n, vi v,q e L 1(0,T) Khi ú õy D(s)ds = { (s)ds : Ê D} 0 8 Chỳng ta... r )- nờn t b t ng thc cui suy ra vi mi z e F\(D), IIz (ớ) II < Ê $ j(r ) vi t > T\ > 0 i vi ^ ( - ) , ta nhn thy rng vi z = 7 j ( a ) , a D II*()II < ^ 2 II5 ^ - 00 õy VC{[, + 0 0 ) ;X ) c nh ngha tng t nh VC{[,T]-,X) khi T = + 0 0 Khi ú VCo l mt khụng gian Banach mc ny, ỏnh x a tr Vp c nh ngha nh sau: vi u e VC([0, + 0 0 );X), Vp(u) = { / e L* (R+ ;X ) : f( t) e F ( t ,u ( t )) vi mi t e R + h.k.n } nh... * ) F : R + X X -ằ K v ( x ) t ha m ó n ( F ) vi m i T > 0, vi m , k ( R + ) v F (r) < r vi mi r > 0 (G *) Hm g : VC([0, +oo); X ) -> D ( B ) tha mn (G) vi bt kỡ T (I*) Cỏc hm bc nhy Ik : X -ằ D ( B ) tha món (I) vi < +00 >0 fceA l < +0 0 v Mnh sau õy ch ra mt trng hp m (A*) c tha món M n h 3.2 Gi s na nhúm {T'(ớ) } ớ >0 sinh bi A B -1 liờntc theo chun v n nh m, ngha l, cú hai s dng , M sao... l F ( t , u n(t)) F(t,u*(t)) + B e, vi mi n ln, õy e > 0 cho trc v B e l hỡnh cu trong X tõm ti gc bỏn kớnh 6 Nờn fn(t) Ê F(t,u*(t)) + B e, vi mi t e (0,T) h.k.n, v bao hm thc tng t cng ỳng cho fn(t) nh tớnh li ca F(t,u*(t)) + B e T ú, f ( t ) Ê F ( t , u * ( t ) ) + B e: vi mi t e (0,T) h.k.n Vỡ e l tựy ý, chỳng ta th u c /* Vp(u*) Tip theo ta cn ch ra rng vi mi V VC([0, ]-X ) , Vp(v) 0- T ... t h m c hn vi m i V G X v ỏnh x a tr F(t, ) l na liờn tc trờn vi mi t (0,T) h.k.n; 2 Tn ti cỏc hm m e Lp(0,T), p > - v F l hm khụng gim v liờn tc, nhn giỏ tr thc, tha mn \ \ F ( t , v ) \ \ < m F(\\v\\), vi m i V Ê X v vi m i t Ê (0 ,T ) h k n, õy ||.F(ớ, v)|| = sup{||Ê|| : ầ eF(t,v)}; 3 Nu B _1 v T(-) khụng compact, thỡ vụi bt kỡ tp con X , ta cú x ( F ( t , B ) ) < k(t)x(B), vi mi t Ê (0,T)... TTy(lớ)II00 < - , vi mi e D, õy TT (u) c xem nh mt hm trờn v c 0 theo ngha sau 7TT(ti) = < lo, t > T Bõy gi, do TT (D) l mt tp compact trong VC([0, T]; X ) , ta cú th vit N 7T (D) J (; ^), i= 1 (3.5) vi e VC([0, T ] ] X) ,i = 1 , N , kớ hiu ( r ) l hỡnh cu trong VC{[, T]]X) tõm ti bỏn kớnh r nh ngha , , u i(t) t Ê it) = < lo , t>T, thỡ { ự j} ^ 1 thuc V C Ta khng nh rng N D iui\ e)j i=1 vi {]) l... G : Y -> V{E) l m t ỏnh x a tr úng ta compact vi giỏ tr compact Khi ú G l na liờn tc trờn B 1.7 ([6], Mnh 2) Cho X l mt khụng gian Banach v 2 l mt tp con khỏc rng ca mt khụng gian Banach khỏc Gi s rng Q : -> V ( X ) l mt ỏnh x a tr nhn giỏ tr i, compact yu Khi ú G na iờn tc trờn yu nu v ch nu {x n} c vi x n Xo Ê Q v yn Ê G(xn) suy ra yn - /o Q{xo), theo mt dóy con Chỳng ta nhc li mt s khỏi nim... a 1\\Pa ( t - s ) \ \ x ( { f n(s)})ds = 0, 'Jo 1 13 (2.3) theo Mnh 1.4 p dng Mnh 1.3, {Qa(fn)} l Hờn tc ng bc Nờn theo nh lớ Arzela - Ascoli, ta thu c tớnh compact tng i ca {Qa(/n)}Vỡ fn( t) -> f*(t) vi mi t G (0,T) h.k.n, ta cú Qa(fn) -> suy ra Nờn t (2.3) ta rằớ z *(t) = I J/ '0n (t - s)a~1Pa(t - s)f*(s)ds = Qa(*)(t), vi mi t e [0, T], vi /* e Bc 2: Qa vy z* e Qa o ? ^ ( n ') l mt ỏnh x a tr