40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 40 đề thi Học sinh giỏi Toán dùng cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh luyện tập trước kì thi học sinh giỏi ĐỀ SỐ Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x − x + + x + 10 x + 25 = y2 – 2y + = x + 2x + Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : A= x2 + x + ( x + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0  1 1 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c)  + + ÷ ≥ a b c Câu III (4,5 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 ĐỀ SỐ Bài (2đ): Cho biểu thức:    xy + x x +1 + + 1 : 1 −    xy + 1 − xy   A =  xy + x xy − − x +  xy +  a Rút gọn biểu thức b Cho 1 + = Tìm Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1+ 1   + = 1 + −  từ tính tổng: 2 n (n + 1) n n +1  1+ S= 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2005 20062 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x + 6a + − 5a (2a + 3) = x + a +1 ( x − a)( x + a + 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức:  x1  x  2   x2    + x   ≥3    Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m  +  x −1 y − =    − 3m =   y − x −1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp Giải hệ phương trình: y −9 x + 27 x −27 =  z −9 y + 27 y −27 = x −9 z +27 z −27 =  Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = ( x + 1)( y + 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ∆ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a Chứng minh AE vuông góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động đường thẳng AB cố định · Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ …………………………………………………………… http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐẾ SỐ Bài 1: Chứng minh: 3 -1 = (2 điểm) 3 + 9 Bài 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) Tính số trị biểu thức: M = (2 điểm) ab 4b − b 2 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = ta có: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bài 4: (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x + x + 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 Vẽ (P) Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A ∈ (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt Bài 8: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF, A,E ∈ (O); B, F ∈ (O’) a Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chứng minh: AE ⊥ BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo ∝ http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐẾ SÔ Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x + + x + + x + − x + = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 − 100 − 53 + 90 b, Rút gọn biểu thức : B= a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Với a + b + c = Câu 3(3đ) : a, Chứng minh : < 1+ 1 + + + < 10 2 50 b, Tìm GTNN P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đôi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ∆ ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ CE ⊥ BD a, Chứng minh : ∆ ABD ∞ ∆ ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD ⊥ BC (F = BA ∩ CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đường cao AH ∆ ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vuông góc với F a, Chứng minh : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chứng minh : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I trung điểm AA' Tính OI2 + IF2 http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐẾ SỐ Câu1: Cho hàm số: y = x − x + + x − x + a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c.Với giá trị x y ≥ Câu2: Giải phương trình: a − 12 x + x = b 3x − 18 x + 28 + x − 24 x + 45 = -5 – x2 + 6x c x + 2x − x+3 + x-1 Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = ( -1) + 2 − + 12 + 18 − 128 bB= +1 + 2+2 + + 2006 2005 + 2005 2006 + 2007 2006 + 2006 2007 Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên hình vẽ a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD Câu5: Cho hình chóp SABC có SA ⊥ SB; SA ⊥ SC; SB ⊥ SC Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐẾ SỐ I - PHẦN TRẮC NGHIỆM : Chọn đáp án : a) Rút gọn biểu thức : a (3 − a) với a ≥ ta : A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3) b) Một nghiệm phương trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 k −1 k −1 k −3 k −3 ; B ; C; D 2 2 x c) Phương trình: x - -6=0 có nghiệm là: A - A X=3 ;B X=±3 ; C=-3 ; D X=3 X=-2 d) Giá trị biểu thức: ( 2+ ) : 2+ 2 A ; B ; C ; D 3 II - PHẦN TỰ LUẬN : Câu : a) giải phương trình : x − 16 x + 64 + x = 10  x + + y − = b) giải hệ phương trình :   x + − y =  x  x − x x + x   ∼ − Câu 2: Cho biểu thức : A =  −  x −   2 x  x + a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -6 Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m b) Nếu gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm nghiệm Câu 4: Cho a,b,c số dương Chứng minh 1< a b c + + (ab + bc + ca) 2) 18 2 ≤ + + với a, b ; c dương a+b+c a b c CÂU III : Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai tiếp tuyến Ax By; gọi M điểm tuỳ ý cung AB vẽ tiếp tuyến M cắt Ax By tai C D a) Chứng minh : AC.BD=R2 b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OCD bé CÂU IV Tìm giá trị nhỏ A = x + y + xy − x − y + 2002 CÂU V: Tính   1      4  n +1 2) N= 75( 1993 + 1992 + + + 5) + 25 1)   M=  −  −  −   − CÂU VI : Chứng minh : a=b=c a + b + c = 3abc http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ SỐ 10 CÂU I : Rút gọn biểu thức A= − − 29 − 12 x + 3x + B= x +x +2 CÂU II : Giải phương trình 1) (x+4)4 +(x+10)4 = 32 2) x + x + 2004 = 2004 CÂU III : Giải bất phương trình (x-1)(x-2) > CÂU IV : Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a) Chứng minh : BE = CD BE ⊥ với CD b) Chứng minh tam giác MNP vuông cân CÂU V : a −1 b + c − = = 5a- 3b -4 c = 46 Xác định a, b, c a c 2a − 3ab + 5b 2c − 3cd + 5d = = 2) Cho tỉ lệ thức : Chứng minh : b d 2b + 3ab 2d + 3cd 1) Cho Với điều kiện mẫu thức xác định CÂU VI :Tính : S = 42+4242+424242+ +424242 42 http://violet.vn/c1kiman-to/ 10 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp x − x + 2006 A= x2 a) Tìm GTNN Câu IV (3đ ) Cho hình bình hành ABCD cho AC đường chéo lớn Từ C vẽ đường CE CF vuông góc cới đường thẳng AB AD Chứng minh AB AE + AD AF = AC2 CâuV (4 đ)Cho hình chóp SABC có SA ⊥ AB ; SA ⊥ AC ; AB ⊥ BC ; AB = BC AC = a ; SA = 2a Chứng minh : a) BC ⊥ mp(SAB) b) Tính diện tích toàn phần hình chóp SABC c) Thể tích hình chóp ĐỀ 28 * Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức : ( x + x + 1) x − x + + ( x − x + 1) x + x + A = Bài2 (2,0 điểm) x4 + x2 +1 : x2 + x +1 − x2 − x +1 Tính tổng : 2n + + + + + 2 2 (1 + + + + n )(n + 2) S= (1 + ).4 (1 + + ).5 Bài (2,0 điểm) Cho phơng trình : mx −(m + m + 1) x + m + = (1) Tìm điều kiện m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác –1 Bài4(2,0 điểm ) Cho x,y,z số không âm thoả mãn 2x + xy + y = 10 3y + yz +2z = z +zx +3x = http://violet.vn/c1kiman-to/ 28 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 2006 Tính gía trị biểu thức : M = x + y + z Bài 5(2,0điểm) Giải phơng trình : x + x + 23 (3x-1) x + = Bài6(2,0điểm) Cho parabol (P) : y = x đờng thẳng (d) qua hai điểm A B thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 M thuộc cung AB (P) có hoành độ a.Kẻ MH vuông góc với AB, H thuộc AB 1) Lập phơng trình đờng thẳng AB, MH 2) Xác định vị trí M để diện tích tam giác AMB lớn Bài7(2,0điểm) Cho dãy số :1,2,3,4, ,2005,2006 Hãy điền vào trớc số dấu + - có đợc dãy tính có kết số tự nhiên nhỏ Bài8(2,0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H trực tâm tam giác Chứng minh : 2(AB + BC +CA) > (AH + BH + CH) Bài 9(2,0điểm) Cho tam giác ABC, AD đờng cao ,D thuộc BC Dựng DE vuông góc với AB , E thuộc AB ,DF vuông góc với AC, F thuộc AC 1) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp 2) Dựng bốn đờng tròn qua trung điểm hai cạnh kề tứ giác BEFC qua đỉnh tứ giác Chứng minh bốn đờng tròn đồng quy Baì 10 Một hình chóp cụt có đáy hình vuông, cạnh đáy a b Tính chiều cao hình chóp cụt đều, biết diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy ĐẾ 29 Câu ( điểm ) Khoanh tròn chữ đứng trước kết câu sau: 1) Cho đường thẳng (D): y = 3x + Các điểm sau có điểm thuộc (D) A ( 2; ); B ( -2; -5 ); C ( -1; -4 ) D ( -1; ) 2) Cho đường tròn tâm O bán kính R độ dài cung 600 đường tròn bằng: A πR ; B ΠR ; C ΠR ; D ΠR 12 3) Kết rút gọn biểu thức: + + 14 − bằng: A - ; B ; C ; D + 4) Nghiệm hệ phương trình: x + y = 23 x + y2 = 377 http://violet.vn/c1kiman-to/ 29 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp A ( x = 4; y = 19 ); B ( x = 3; y = 20 ) C ( x = 5; y = 18 ); D ( x = 19; y = ) ( x = 4; y = 19 ) Câu ( điểm ): Giải phương trình: 2x 13 x + =6 3x − x + 3x + x + 2 Câu ( điểm ): Tìm m cho Parabol (P) y = 2x2 cắt đường thẳng (d) y = ( 3m + )x – 3m + điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Câu ( điểm ): Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x − 3x x2 + Câu 5: ( điểm ) Cho nửa đường tròn tâm 0, đường kính AB Lấy điểm M nửa đường tròn ( M khác A B ) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với đường kính AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến (d1; d2) tiếp xúc với đường tròn tâm M C D a) CM: điểm: C, M, D nằm tiếp tuyến với đường tròn tâm M b) AC + BD không đổi Khi tính tích AC.BD theo CD c) Giả sử: CD ∩ AB = { K } CM: OA2 = OB2 = OH.OK Câu 6: ( điểm ) Tính diện tích toàn phần hình chóp SABC Biết: ASB = 600; BSC = 900; ASC = 1200 và: SA = AB = SC = a ĐỀ 30 Câu ( điểm ) Cho biểu thức: x −1 − x P( x) = x − x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: Với x > P (x) P (- x) < Câu ( điểm ) Giải phương trình: a ) x +1 − x + x + − x = b) / x2 - x + / + / x2 - x - / = Câu ( điểm ).Hãy biện luận vị trí đường thẳng http://violet.vn/c1kiman-to/ 30 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp d1 : m2 x + ( m - ) y - = d2 : m x + ( m - ) y - = Câu ( điểm ) Giải hệ phương trình: ( x + y ) - ( x + y ) = 45 ( x - y )2 - ( x - y ) = Câu ( điểm ) Tìm nghiệm nguyên phương trình x6 + x3 + = y Câu ( điểm) Tìm gí trị lớn biểu thức A= y −2 y x −1 + x Câu ( điểm) Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn ( o ), M điểm cung nhỏ BC; AM cắt BC E a) Nếu M điểm cung nhỏ BC, chứng minh : BC2 = AE AM b) Trên AM lấy D cho MD = BM Chứng minh: DBM = ACB MA= MB + MC Câu ( điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh : MB qua trung điểm CH ĐỀ 31 I Đề : Câu I (4điểm) Tính giá trị biểu thức : A= B= http://violet.vn/c1kiman-to/ +1 + 2+2 + 3+3 + + 25 24 + 24 25 − (6 + + + ) 31 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp CâuII: (4điểm) Giải phương trình sau a; x + 2x2 – x -2 = b; x+2+4 x−2 + x+7+6 x−2 = CâuIII: ( 6điểm) 1; Cho số x, y thoả mãn đẳng thức : 8x2 + y2 + =4 4x Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ 2; Tìm số nguyên dương x,y,z,t thoả mãn 1 1 + + + =1 x y z t 3; Chứng minh bất đẳng thức : a+b ( a − b) − ab < 8b với a > b > Câu IV: ( 5đ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Trên cung nhỏ BC lấy điểm K AK cắt BC D a , Chứng minh AO tia phân giác góc BAC b , Chứng minh AB2 = AD.AK c , Tìm vị trí điểm K cung nhỏ BC cho độ dài AK lớn d, Cho góc BAC = 300 Tính độ dài AB theo R Câu V: (1đ) Cho tam giác ABC , tìm điểm M bên tam giác cho diện tích tam giác BAM , ACM, BCM (Hết) Câu1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức P = ĐÈ 32 40 − 57 - 40 + 57 3 −1 = + 9 Chứng minh 3 Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a + b + c = a b c Chứng minh: + b + + c + + a ≥ Câu2: (4 điểm) http://violet.vn/c1kiman-to/ 32 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 2− 3− 25 − 24 Cho A= + + + + ….+ 25 + 24 Chứng minh A < 0,4 Cho x, y , z số dương thoả mãn xyz ≥ x + y + z + tìm giá trị lớn x + y + z Câu3: ( điểm) Giải phương trình: a 3x − x + - x − = 3x − x − x − 3x + 1 b 2( x - x ) + ( x2 + x ) = c   x+ y − x− y =2  − =3  x+ y x− y  d x − x − + x + x − = Câu4: (2 điểm) Cho hàm số y = ( 2m – 1) x + n –2 a Xác định m, n để đường thẳng (1) qua gốc toạ độ vuông góc với đường thẳng có phương trình 2x – 5y = b.Giả sử m, n thay đổi cho m+n = Chứng tỏ đường thẳng (1) qua điểm cố định Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC ( AB = AC , góc A < 600) Trên nữa, mặt phẳng bờ Ac chứa B người ta vẽ tia A x cho Góc xAC = góc ACB Gọi c điểm đối xứng với C qua Ax Nôí BC’ cắt Ax D Các đường thẳng CD, CC’ cắt AB I K a Chứng minh AC phân giác đỉnh A tam giác ABC, b Chứng minh ACDC’ Là Hình thoi c Chứng minh AK AB = BK AI d Xét đường thẳng qua A không cắt BC Hãy tìm d điểm M cho chu vi tam giác MBC đạt giá trị nhỏ Chứng minh độ lớn góc BMC không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d Câu6: (2 điểm) Cho hình tứ giác SABCD có cạnh đáy cm chiều cao cm a Tính diện tích xung quanh hình chóp b Tính thể tích hình chóp ĐỀ 33 Câu I: (3đ) 1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 6x2 - 13x - 42 2, Xác định số hữu tỉ k để đa thức A= x3 + y3 + z3 + kxyz chia hết cho đa thức x+y+z Câu II: (4đ) http://violet.vn/c1kiman-to/ 33 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp Giải phương trình 1, 2x + 4x − - 2x − 4x − = 2, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + = Câu III: (2đ) 1, Cho hàm số y = x + x − x + a, Vẽ đồ thị hàm số b, Tìm giá trị nhỏ y 2, Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên 3x2 - 4y2 = Câu IV: (4đ) 1, (2đ) Cho số không âm x,y,z thoả mãn đẳng thức x+y+z=1 Chứng minh rằng: x + 2y + z ≥ 4(1- x) (1- y) (1- z) 2,(2đ) Cho biểu thức x − x + 11 Q= x − 2x + a, Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên b, Tìm giá trị lớn biểu thức Q Câu V: (6đ) Cho tam giác ABC vuông góc A, lấy cạnh AC điểm D Dựng CE vuông góc vơi BD 1, Chứng tỏ tam giác ABD BCD đồng dạng 2, Chứng tỏ tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp 3, Chứng minh FD ⊥ BC (F giao điểm BA CE) 4, Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tính AC, đường cao AH ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF ĐỀ 34 * Bài 1: Xét biểu thức: P= a) b) 1 1 − + − + 2− 3− 4− 1992 − 1993 Rút gọn P Giá trị P số hữu tỷ hay số vô tỷ ? Tại sao? http://violet.vn/c1kiman-to/ 34 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp Bài 2: Rút gọn:   2 +  y − yz + z  x y z   + − + ( x + y + z) 1 1 x y+z  +  + + y z  yz xy xz  Bài 3: Giải phương trình 1 x + x + x − x= 3 Bài 4: Giải hệ phương trình x+2 + y−3 =   x + − 5y = Bài 5: Bài 6: Giải phương trình Cho 4− 4+x = x y = − x (p) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Lập phương trình đường thẳng (D) qua (-2;2) tiếp xúc với (p) Bài 7: Câu 1: Tìm tất số tự nhiên n cho n9 n + 125 Câu 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x2+5y2=12 Bài 8: (Bài toán cổ Việt Nam) Hai tre bị gãy cách gốc theo thứ tự thước thước Ngọn chạm gốc Tính từ chỗ thân chạm đến mặt đất Bài 9: Tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Vẽ hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: ABH = ADH Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh DC Dựng hình chữ nhật có cạnh DE có diện tích diện tích hình chữ nhật ABCD ĐỀ 35 Câu 1: (1.5đ) Chọn câu trả lời câu sau: a Phương trình: x + x − + x + x − =2 http://violet.vn/c1kiman-to/ 35 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp Có nghiệm là: A.1; B.2; C ; D ≤ x ≤ b Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) , caca cung nhỏ AB, BC, CA có số đo : x+75 o ; 2x+25o ; 3x-22o.Một góc tam giác có số đo : A.57o5, B.59o, C 61o, D 60o Câu 2:(0.5đ) Hai phương trình :x2+ax+1 =0và x2-x-a =0 có nghiệm chung a bằng: A 0, B 1, C 2, D Câu 3: (1đ) Điền vào chỗ ( .) Trong hai câu sau: a.Nếu bán kính đường tròn tăng klên lần chu vi đường tròn lần diện tích đường tròn lần a B.Trong mặt phẳng toạ độ õy Cho A(-1;1);B(-1;2); C( ; ) đường tròn tâm O bán kính Vị trí điểm đường tròn Điểm A: Điểm B Điểm C PHẦN TỰ LUẬN: Câu 1:(4đ) Giải phương trình: a (3x+4)(x+1)(6x+7)2=6; b 3x − + − 3x = x − 20 x + 22 Câu 2:(3.5đ) Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : x + y + z = Xét biểu thức :P= x+y2+z3 a.Chứng minh rằng:P ≥ x+2y+3z-3? b.Tìm giá trị nhỏ P? Câu 4:(4.5 đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R C điểm thuộc đường tròn O (C ≠ A;C ≠ B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.Kẻ tia ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC , tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a Chứng minh cac tam giác BAN MCN cân? b B.Khi MB=MQ tính BC theo R? Câu 5:(2đ) Có tồn hay không 2006 điểm nằm mặt phẳng mà điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù? http://violet.vn/c1kiman-to/ 36 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ 36 * Câu 1(2đ) Cho x = + − Tính giá trị biểu thức : Câu 2(2đ) : Cho phân thức : 7+5 A = x3 + 3x – 14 x − x + x − x + 3x + B= x + 2x − Tìm giá trị x để B = Rút gọn B Câu 3(2đ) : Cho phương trình : x2 + px + = có hai nghiệm a b phương trình : x2 + qx + = có hai nghiệm b c Chứng minh hệ thức : (b-a)(b-c) = pq – (1) mx + y = 10 − m Câu 4(2đ) : Cho hệ phương trình :  (2)  x + my = (m tham số) Giải biện luận hệ theo m Với giá trị số nguyên m hệ có nghiệm (x,y) với x, y số nguyên dương Câu 5(2đ) : Giải phương trình : x + − x + + x + 10 − x + = Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có đường cao có phương trình : y = -x + y = 3x + Đỉnh A có toạ độ (2;4) Hãy lập phương trình cạnh tam giác ABC Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trước x,y>0 thay đổi cho : a b + = Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ x y Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0) có đường cao AH Gọi trung điểm BH P Trung điểm AH Q Chứng minh : AP ⊥ CQ Câu 9(3đ) : Cho đường tròn (O) đường kính AB Một điểm M thay đổi đường tròn ( M khác A, B) Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M a) Chứng minh CD tiếp tuyến (O) b) Chứng minh tổng AC+BD không đổi Từ tính giá trị lớn AC.BD c) Lờy điểm N có định (O) Gọi I trung điểm cuả MN, P hình chiếu I MB Tính quỹ tích P Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác S.ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh : AOB = BOC = COA = 900 http://violet.vn/c1kiman-to/ 37 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ 37 Bài (5đ) Giải phương trình sau: a, x − − x + = b, x + − x − + x + + x − = Bài (5đ) Cho biểu rhức  x −2 x +  − x    −   P=  x + x +    x −1 a, Rút gọn P b, Chứng minh 0< x c , Tìm giá trị lớn P Bài 3: (5đ ) Chứng minh bất đẳng thức sau a , Cho a > c , b >c , c > Chứng minh : c( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab b, Chứng minh 2005 2006 + > 2005 + 2006 2006 2005 Bài 4: (5đ) Cho ∆ AHC có góc nhọn , đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB vuông góc với AH , hai trung tuyến AM BK ∆ ABC cắt I Hai trung trực đoạn thẳng AC BC cắt O a, Chứng minh ∆ ABH ~ ∆ MKO b, Chứng minh http://violet.vn/c1kiman-to/ IO + IK + IM = 3 IA + IH + IB 38 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ 38 Câu I: ( điểm ): Câu 1( 2điểm ): Giải phương trình x + 15 + x − + x + 15 − x − = Câu ( 2điểm ): Giải phương trình ( x - 1) ( x - ) (x + ) (x + ) = 297 Câu ( điểm ) : Giải phương trình ax − x −1 + a ( x + 1) = x +1 x2 + Câu II ( điểm ) x y z = = ≠ abc ≠ a b c x2 + y + z Rút gọn biểu thức sau: X = (ax + by + cz ) 1 Câu (2điểm ) : Tính A = + + + 2+ 3+ 2004 + 2005 Câu ( 2điểm ): Cho Câu III ( điểm ) Câu ( điểm ) : Cho x > ; y > x + y = Tìm giá trị nhỏ của:  1 1  M =  x +  +  y +   y  x Câu ( điểm ): Cho ≤ x , y, z ≤ CMR x yz + + z y + xy + ≤ xz + Câu IV : Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Gọi M điểm đường chéo AC cho ABM = DBC I trung điểm AC Câu 1: CM : CIB = BDC Câu : ∆ABM ∆DBC Câu 3: AC BD = AB DC + AD BC Câu V : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên mặt đáy tam giác cạnh 8cm a/ Tính diện tích toàn phần hình chóp b/ Tính thể tích hình chóp http://violet.vn/c1kiman-to/ 39 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ 39 * 2 x+2  − x 3x − x + M = + − : −   Bài 1: - Cho x +1  x +1 3x  3x a Rút gọn biểu thức M b Tính giá trị biểu thức M x = 5977, x = + 2 c Với giá trị x M có giá trị nguyên Bài 2: Tìm giá trị M để: a m2 – 2m + có giá trị nhỏ 2m + b có giá trị lớn 2m + Bài 3: Rút gọn biểu thức A = − − 29 − 12 Bài 4: Cho B = a+6 a +1 a, Tìm số nguyên a để B số nguyyên b, Chứng minh với a = B số nguyên c, Tìm số hữu tỷ a để B só nguyên Bài 5: Cho tam giác ABC từ điểm D cạnh BC ta dựng đường thẳng d song song với trung tuyến AM Đường thẳng d cắt AB E cắt AC F a, Chứng minh AE AB = AF AC b, Chứng minh DE + DF =2AM http://violet.vn/c1kiman-to/ 40 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp ĐỀ 40* Câu1 (6 điểm): a) Chứng minh biểu thức: A= x − ( x + 6) x - (x - x + 3) (2 - x ) - 10 x - 2x - 12 - không phụ thuộc vào x b) Chứng minh a, b, c a', b', c' độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng thì: ++= c) Tính: B = 17 − + + 28 − 16 Câu2 (4 điểm): Giải phương trình: a) 10 x3 - 17 x2 - x + = b) + = Câu3 (2 điểm): Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > Câu (2 điểm): Chứng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Câu (6 điểm): Cho điểm M nằm đường tròn (O), đường kính AB Dựng đường tròn (M) tiếp xúc với AB Qua A B, kẻ tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn (M) a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng b) Chứng minh AC + BD không đổi http://violet.vn/c1kiman-to/ 41 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp c) Tìm vị trí điểm M cho AC BD lớn http://violet.vn/c1kiman-to/ 42 [...]... học sinh giỏi Toán , giỏi Văn của hai trường THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trường là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi toán của trường thứ hai là 12 Biết rằng số học sinh đi thi của trường thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trường thứ hai và số học sinh đi thi của trường thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Toán của trường thứ nhất Tính số học sinh đi thi. .. nhau tại O a, Chứng minh ∆ ABH ~ ∆ MKO http://violet.vn/c1kiman-to/ 24 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 b, Chứng minh IO 3 + IK 3 + IM 3 2 = 3 3 3 IA + IH + IB 4 ĐỀ 25 Câu I ( 4 điểm ) Giải phương trình: 1 2 x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0 x −1 + 4 x − 5 + 11 + x + 8 x − 5 = 4 CâuII (3 điểm ) 1 Tính P = 1 + 199 9 2 + 199 9 2 199 9 + 2000 2 2000 2 Tìm x biết x= 5 + 13 + 5 + 13 + Trong đó các dấu chấm... BCM bằng nhau (Hết) Câu1: (4 điểm) 1 Tính giá trị biểu thức P = ĐÈ 32 40 2 − 57 - 40 2 + 57 1 2 4 3 3 2 −1 = 3 + 9 9 9 2 Chứng minh rằng 3 3 3 Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 3 a b c 3 Chứng minh: 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 + a 2 ≥ 2 Câu2: (4 điểm) http://violet.vn/c1kiman-to/ 32 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 2− 1 3− 2 25 − 24 1 Cho A= 2 + 1 + 3 + 2 + ….+ 25 + 24 Chứng minh rằng... BC = 2a; AD = a Tính AC, đường cao AH của ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF ĐỀ 34 * Bài 1: Xét biểu thức: P= a) b) 1 1 1 1 − + − + 2− 3 3− 4 4− 5 199 2 − 199 3 Rút gọn P Giá trị của P là số hữu tỷ hay số vô tỷ ? Tại sao? http://violet.vn/c1kiman-to/ 34 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Bài 2: Rút gọn:   2 2 + 2  y 2 − yz + z 2  x 3 y z 2   + − + ( x + y + z) 1 1 1 1... A 1 - 3 2 ; B 2 3 ; C 3 2 ; D 2 3 + 1 4) Nghiệm của hệ phương trình: x + y = 23 2 x + y2 = 377 là http://violet.vn/c1kiman-to/ 29 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 A ( x = 4; y = 19 ); B ( x = 3; y = 20 ) C ( x = 5; y = 18 ); D ( x = 19; y = 4 ) và ( x = 4; y = 19 ) Câu 2 ( 4 điểm ): Giải phương trình: 2x 13 x + 2 =6 3x − 5 x + 2 3x + x + 2 2 Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm m sao cho Parabol (P) y... + 9 b, y = 1 2 x+3 -4 Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9( cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH http://violet.vn/c1kiman-to/ 19 40 đề luyện thi. .. tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N Chứng minh rằng: MN ⊥ AD http://violet.vn/c1kiman-to/ 13 40 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: (4,5 điểm) : Giải các phương trình sau: 1) 2) X 2 − 2X +1 + X 2 − 6X + 9 = 5 3 1 9 − = X + 1 X − 2 ( X + 1)(2 − X Câu 2: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + +