B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I H ng H nh IM BT NG CA NH X KIU GIN TRONG KHễNG GIAN METRIC NểN LUN VN THC S TON HC H Ni Nm 2015 B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I H ng H nh IM BT NG CA NH X KIấU GIN TRONG KHễNG GIAN METRIC NểN C huyờn ngnh: Toỏn Gii tớch M ó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N HC NGềI HNG DN KHOA HC: T S H c Vng H N i N m 2015 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS H c Vng S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, ngy 21 thỏng nm 2015 Tỏc gi H ng H nh Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun ny tụi t lm di s hng dn ca TS H c Vng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 21 thỏng nm 2015 Tỏc gi H ng H nh iii B n g kớ hiu N Tp s t nhiờn R Tp s thc Tp s phc Tp rng in t(P ) Phn ca p Q uan h th t theo nún p d M etric dp M etric nún Kt thỳc chng minh M c lc Li cm n i Li cam oan ii B ng kớ hiu iii Li m u 1 K in th c chun b 1.1 Khụng gian m e t r i c 1.2 Khụng gian B a n a c h 1.3 Nguyờn lý ỏnh x co B a n a c h 14 im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian m etric nún 19 2.1 nh ngha v vớ d 19 2.2 S hi t khụng gian metric n ú n 23 2.3 im bt ng ca ỏnh x kiugión khụng gian metric n ú n 33 KT LUN Ti liu tham kho Li m u Lý chn ti Mt hp M tựy ý khỏc rng v ỏnh x T : M ^ Xq E M m T x Xq thỡ XQ M Nu tn ti c gi l im bt ng ca ỏnh x T trờn hp M Chng hn xột ỏnh x T : R ằ R xỏc nh bi: T x = x T a c ú Xq = th ỡ T x = Ti = = X Q V y X Q l i m bt ng ca ỏnh x T trờn hp M Cỏc kt qu nghiờn cu v lnh vc ny ó hỡnh thnh nờn Lý thuyt im bt ng (fixed point theory) Lý thuyt im bt ng phỏt trin gn lin vi tờn tui nhiu nh khoa hc ln trờn th gii nh: Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, KyFan, Ta ó bit, vi hp X bt k nh x d : X X X > R tha cỏc tiờn v metric c gi l mt metric trờn X Nh vy giỏ tr ca metric l mt s thc Nm 2007, Huang Long Guang v Zhang Xian l hai nh toỏn hc ngi Trung Quc ó gii thiu khỏi nim metric nún bng cỏch thay s thc nh ngha metric bi mt nún nh hng khụng gian Banach thc Cỏc tỏc gi ó gii thiu khỏi nim v s hi t v tớnh y ca khụng gian ng thi cỏc tỏc gi ó gii thiu kt qu v im bt ng ca ỏnh x co lp khụng gian ny Sau ú nhiu nh toỏn hc ó quan tõm v cỏc kt qu v im bt ng khụng gian metric nún ó ln lt c cụng b Nm 2011, Sarla Chouhan v Neeraj Malviya l hai nh toỏn hc ngi n ó cụng b kt qu v im bt ng cho lp ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún qua bi bỏo A F ixed P oint T h eoư rem for E xpansive T ype M appings in C one M etric Spaces [6] Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún, c s hng dn ca tin s H c Vng, tụi chn ti nghiờn cu: im b t n g c a ỏ n h x kiu gión tron g khụng gian m etric nún. M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún N him v nghiờn cu Tng hp kt qu v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu v khụng gian metric nún v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Ni dung chớnh da vo hai bi bỏo: Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mapư ping ca Huang Long Guang v Zhang Xian [3] A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metư ric Spaces ca Sarla Chouhan v Neeraj Malviya [6] Phng phỏp nghiờn cu Dch, c v nghiờn cu ti liu Tng hp, phõn tớch, dng kin thc cho mc ớch nghiờn cu úng gúp ca ti Lun l bi tng quan v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Lun c trỡnh by vi hai chng ni dung Chng Kin Thc chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v khụng gian metric, s hi t khụng gian metric, khụng gian metric y Tip theo chỳng tụi trỡnh by khỏi nim c bn v khụng gian Banach v cui cựng l nguyờn lớ ỏnh x co Banach Chng im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v nún, khụng gian metric nún, s hi t khụng gian metric nún v kt thỳc l nh lớ v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún 28 Bõy gi ta trỡnh by khỏi nim dóy Cauchy khụng gian metric nún n h n g h a 2.2.2 [3] Cho (X , dp) l khụng gian metric nún Dóy {xn} c gi l dóy Cauchy nu vi mi N nh lý 2.2.5 [3] Cho (x,dp ) khụng gian metric nún, p l nún chun tc v {x n} l mt dy X Kh ú {xn} dóy Cauchy v ch lim dp(xn, x m) = n , m yoo Chng minh Gi s {xn} l dóy Cauchy X Gi K l hng s chun tc ca nún p Vi mi Ê > 0, chn c thuc E cho N Hay \\dp(xn, xm)| < Ê, vi mi m , n > N Vy lim dp(xn, x m) = n , m ằ00 29 Ngc li ta cú, vi mi c E m cho II#II < ụ thỡ c Ê Ê in t(p ) (do in t(p ) l m) Vi > xỏc nh nh trờn tn ti N cho \\dp(xn, x m)\\ N Suy ra, c dp(xn, x m) E int(p) Ta nhn c dp(xn, x m) N, tc l lim dp(xn, x m) = n , m yoo Vy { x n} l dóy Cauchy X n n h lý 2.2.6 [3] Nu {xn} l dóy hi t khụng gian metric nún (X , dp) thỡ nú l dóy Cauchy Chng minh Gi s lim x n = X, X e X Khi ú, vi mi c e E, ôCp c thỡ tn ti Ti V00 s t nhiờn N cho dp(xn, x ) ôCp c , vi mi n > N Vỡ vy, vi mi m , n > N, ta cú d p ; *En) Vy dp(xn, x) t" dp(xm, x) 00 Ta cú dóy {xn} l dóy Cauchy p(x,y) = (a\x - y\, p\x - y\) 30 = (a\x - z + z - y\, p\x - z + z - y\) (a\x - z\,p\x - z\) + (a\z - y\, p\z - y\) = dp(x, z ) + dp(z, y ), Vx, y , z e X n N hn x ột 2.2.1 T nh ngha v metric nún ta nhn thy, nu p l mtnún khụng gian Banach thc E v (X , dp) l mt khụng gian metric nún thỡ \/u, V, w X , u ; Vxi e /2, Vi > t n J n>1 Xỏc nh ỏnh x dp vi dp {ah aj) = \x - Xj \ = I ^ X X X y E , Vi, j = 1,2, J n> Khi ú (X, dp) l khụng gian metric nún y n h n g h a 2.2.4 [2] Cho (X, d) l khụng gian metric v ỏnh x T : X -> X Nu tn ti hng s k > tha d (T x , T y ) < kd (x, y ) , Vx, y e X , thỡ T c gi l ỏnh x Lipschitz hay ỏnh x fc-Lipschitz Nu < k < thỡ T c gi l ỏnh x co Nu k = thỡ T c gi l ỏnh x khụng gión n h lý 2.2.7 [5] Cho (x,dp) khụng gian metric nún y , p l nún chun tc vi hng s K Gi s T : X ằ X l ỏnh x co, tc l dp (T x , T y ) o) Do ú vi n > m thỡ dp ) dp xn x n_ 1) b dp (_ _ 2) P , , p (^n ~b ~b dp ( -|-1 ) , + + fcm) ớp (#1, Xo) ^ J * ^ ) Do p l nún chun tc vi hng s , ta cú ll^p (*^n; *Ê) II ^ Vỡ ) II ' < nờn lim km = nờn ta cú m ằ00 lim dp (xn, x m) = n , m ằ00 Vy {:cn} l dóy Cauchy X l khụng gian y nờn ta cú l i m x n = X* G X n >0 Bõy gi ta chng minh X* l im bt ng ca ỏnh x T X Ta suy dp (Tx*,x*) dp (T x n, T x *) + dp ( Tx n,x*) P d p ( , X ) -b d p ( -| - , X ) Do p l nún chun tc vi hng s , ta cú Il dp (Tx*,x*) II < I\kdp (xn,x*) + dp (+1 ,*)|| 33 < K (k\\dp (xn,x*)\\ + ||dp (Ê+!,Ê*)II) M limdp (xn,x*) = 0, l i m d p ( x n+i,x*) = 0, n >00 71y 00 nờn ta Cể dp (T x * , x *) = hay Tx* = X* Vy X* l im bt ng ca ỏnh x T trờn X Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca im bt ng Gi s y* cng l im bt ngca T, ta cú: dp (x*,y*) = dp (Tx*,Ty*) X tha d { T x , T y ) < d { x , y ) , Vx, y Ê X Khi ú T c gi l ỏnh x khụng gión Nu ta cú d ( T x :T y ) > d ( x , y ) , V x , y E X thỡ T c gi l ỏnh x gión nh lý 2.3.1 [7] Cho (x,dp) mt khụng gian metric nún v {xn} 34 l mt dóy X Nu tn ti s k G (0,1) cho dp (xn-|-i, kdp (%nj *Enl) J 1) 2, (1) thỡ { x n} dóy Cauchy X Chỳng minh T iu kin (1) ta suy dpijEn+1 J *En) P kdp [xnỡ x ni) P k dp (xn_2) P P k dp (xi J3?o) Vỡ vy vi n > m ta cú dp^Xri'Em') P dp{xn %nl) I dp (xn_ i, x n (ai + a3) dp (xn+1, x n) 36 Nu + a3 = thỡ i + a2 + > suy a2 > 1, bt ng thc trờn dn n iu vụ lý Vy i + 7^ v a2 > Ta cú dp (xn--i, Xtỡ) - r-cp (tti + a3) x n) t h = 1~_^2 ta cú dp (x n+i , x n) aidp{xn+i , u ) + a2dp(xn+ux n) + a3dp(u,Tu) Cho n ằoo ta cú > (i + a3)d(u, z) Do i + a3 0- Vy ta c (w, 2;) = 0, hay u = z = Tu Ta cú z l im bt ng ca ỏnh x T trờn X nh lý 2.3.3 [7] Cho (X , dp) mt khụng gian metric nún y v T : X > X mt ton ỏnh Gi s rng tn ti mt hng s k > cho d (T x ,T y ) p> kd(x,y), \/x,yeX (3) Thỡ T cú im bt ng nht X Chng minh Trong nh kớ 2.3.2 ta chn a2 = a3 = 0, i = k thỡ T cú im bt ng z X Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca im bt ng 37 Gi s w cng l im bt ng ca T X T iu kin (3) ta cú dp (z,w) = dp ( T z , T w ) p > kdp (z, w ) Vỡ > ta suy dp (z, w ) = 0, vy z = w Hay im bt ng ca T X l nht n h lý 2.3.4 [6] Cho (x , d p ) mt khụng gian metric nún y vi p nún khụng gian Banach thc E T : X >X mt song ỏnh tha món: dp (Tx,Tt) + k[dp (x,Ty) + dr (.ợyij, > adp(x,Tx) + bdp{y,Tt) + cdp(x,y), ( 1) vi Vx, y G X , x y, a,b, , > 0, a+ b+ c >l + 2k > b + c > , > 2k Khi ú T cú im bt ng nht Chng minh Cho Xo l mt im tựy ý X , cú Xớ X cho T ( x i) = X q Ta lp dóy lp, t x n = T x n+1 , n = 0,1, 2, (2.2) Ta cú dóy { x n} X Nu x n = Xn+1 vi mt s n thỡ ta cú x n l im bt ng ca T Gi s rng khụng cú hai im liờn tip no ca dóy {xn} l trựng Trong (2.1) ta ly X = Xn+1 v = x n+2 cú ngha l dp(Ta;n+1, T x n+2) b h \dp(xn+ i , T x n+2) b dp(xn--2,X'ớcn-|-i)] p^ dp^Xn--i J -\-\) bdp{xnjr2i +2> ) cdpxn-)*^+2)- 38 Ta suy dp{%m x+i) dp(xn+i , x n) dpxn+i, xn-|-i) -b dp{xnjr2ỡ )] bdp{xn-!r2, Xn+è) cdp(xn--iJ x n--2) Hay dp{%m En+1 ) ~b ^ \d'p{%n+2 Ê4+1) ~b ^p(^n+ lj *^n)] cp(xn-|_i, xn) -- ềcp(xn-|-2j cdp(ớEn-|_;i, -|_2) - Tc l (1 + k - a)dp(xn+1, x n) > {b + c - k)dp(xn+1, x n+2) Vy (1 + ) Q/p \ X n + l i ' + ) P "77 I (0 + I J \ ) p v^n *^ n + 1) Do ú ta cú ^p(*Ên+l ; ^n+2) ú H = Hdp{xni xn-|-l) , < l ; v ỡ a + + c > + 2fc nờn ta cú H < Hay ta cú ^, xn-|-i) ^ Hd{xn1 , ), H G [0 , ) Do ú ta cú rf(rEn,rEn+i) < H nd{xlxi) (2.3) Bõy gi chỳng ta chng minh rng {x n} l mt dóy Cauchy Vi mi s nguyờn dng ta cú dpxni %+) dp{xn) xn-|-i) -b dp (Xx+I *En+2) b b dp(xn-\-k1 , xn-|-fc) < ( t f n + t f n+1 + +2 + + Hn+k~)dp(x0 ,Xi) 39 = {1 + H + H2+ + Hk~1)dp(x, Xl) p dp(x O x i) Vè H < nờn lim ^oo H n = Do ú {xn} l mt dóy Cauchy X , m X l khụng gian y nờn ta cú Hindoo x n = X, X G X Tip theo ta chng minh ỏnh x T cú im bt ng T ht vy, vỡ T l ton ỏnh nờn tn ti y E X m X = Ty Ta cú dpxnỡx) p^ dp(Txn+i , T y ) k [dp(xn+1, T y ) b dp(y, T x n-i-i)] +adp(xn+1, T x n+1) + bdp(y,Ty ) + cdp(xn+ly) Ta suy dp (x, X) (6 + k)dp(x, ) V ỡ ũ + C > nờn ta cú d ( x, ) = Vy x = y, (2.4) hay X l mt im bt ng ca T Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca im bt ng Gi s z cng l im bt ng khỏc ca T, thỡ ta cú T z = z Vỡ 40 d p (x ,z ) = dp( T x , T z ) p> [dp( x , T z ) + dp(z, Tx)] + adp( x , T x ) + bdp(z,Tz) + cdp(x,Tz) = /c [tip(, z) + dp(2:, rc)] + cdp(x, z) = (2; + c)d(rc, ) Vy ta cú dp(z,z) < ỗ M c > 2k nờn Vy X = z, hay > ta cú d(x, z) = X l im bt ng nht 41 KT LUN Lun chỳng tụi trỡnh by gm hai chng ni dung Chng Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi ó trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v khụng gian metric, khụng gian Banach v trỡnh by chi tit nguyờn lý ỏnh x co Banach Chng im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Trong chng ny chỳng tụi ó trỡnh by cỏc khỏi nim v nún, nún chun tc, t ú trỡnh by khỏi nim v khụng gian metric nún, s hi t khụng gian metric nún Tip theo chỳng tụi trỡnh by kt qu v im bt ng ca lp ỏnh x co khụng gian metric nún v cui cựng l kt qu v im bt ng ca lp ỏnh x khụng gión khụng gian metric Kt qu chớnh ca lun ó c tỏc gi Sarla Chouhan v Neeraj Malviya gii thiu bi bo "A Fixed Point Theorem for Expanxive Type Mappings in Cone Metric Spaces" (2011) trờn International Mathematical Form 42 Ti liu th am kho [A] Ti liu tin g V it [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc- K thut H Ni [2] Hng Tõn, Nguyn Th Thanh H (2002), Cỏc nh ý im bt ng, NXB i hc quc gia H Ni [B] Ti liu tin g A nh [3] Huang Long Guang, Zhang Xian (2007), Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, J Math Anal Appl 332, 1468-1476 [4] Sh Rezapour and R Hamlbarani (2008), Some Notes on The Paư per Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 345, No 2, 719- 724 [5] I Sahin and M Telci (2009), Fixed Points of Contractive Mappings on Complete Cone Metric Spaces, Hacettepe Journal of Mathematư ics and statistics, Vol 38, No.l, 59-67 [...]... ra T là ánh xạ CO Hơn nữa Ш là không gian metric đầy đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất □ 19 Chương 2 Đ iểm bất động của ánh xạ kiểu giãn tron g không gian m etric nón Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach... thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón 2.1 Đ ịn h n gh ĩa và v í dụ Đ ịnh nghĩa 2.1.1 [3] Cho E là không gian Banach thực, tập con p của E được gọi là một nón khi và chỉ khi 1 p không rỗng, p đóng và p Ỷ {0}j 2 a, b € K,... ta có thể trang bị các metric khác nhau để được các không gian metric khác nhau 2 Trong không gian định chuẩn (X , 11-11) nếu đặt d ( x , y ) = ||x —y II thì ta có (X , d) là không gian metric Vậy mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric 14 1.3 N g u y ê n lý ánh x ạ co B an ach Đ ịnh nghĩa 1 3 1 [2] Cho không gian metric (X , d) Ánh xạ T : X —>• X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số к... bất động của ánh xạ T Bây giờ ta chứng minh X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên X Giả sử tồn tại điểm y* G X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Thế thì d ( x\ y *) = d ( T x \ T y *) ^ kd(x*,y*) Suy ra d(x*,y*) - kd(x*,y*) ^ 0 Hay (1 —k)d(x*,y*) ^ 0 Do к < 1 nên ta có d{x*,y*) = 0 Suy ra Vì vậy X* X* = y* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Định lý được chứng minh □ 17 V í dụ 1.3.2 Chứng... { xn} là một dãy Cauchy trong ( Cị o 1 ], d) Đ ịnh nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X , d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X V í dụ 1.1.3 Không gian Cịahị các hàm số liên tục trên [a,b] với metric d ( x , y ) max |x(í) —y( t ) I là không gian metric đầy đủ a^t^b V í dụ 1.1.4 Cho X là tập hợp tấ t cả các hàm số không gian metric R sao cho phụ thuộc...4 Chương 1 K iến thứ c chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach và cuối cùng là Nguyên lý ánh xạ co Banach 1.1 K h ô n g gian m etric Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X Ỷ 0 cùng với một ánh xạ d : X X X —> R, thỏa mãn các điều kiện sau: 1 d(x,y) ^ 0,d(x,y)... dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ (X , d) Do đó {x n} hội tụ tới Ta chứng minh X* X* & X là điểm bất động của ánh xạ T trong X Ta có: d(Tx*,x*) ^ d(Tx*, xn) + d(xn, X*) = d( Tx * , Txn- 1 ) + d(xn,x*) 16 ^ kd(x*,xn- 1 ) + d(xn, X*), Vn = 1 ,2 , Do lim Ti—У00 d(xn,x*) = lim n— >00 d { x n - 1 ,X * ) = 0, nên ta suy ra d(Tx* , X*) = 0 hay Тж* = X*, nghĩa là X* là điểm bất động của ánh xạ T Bây... dp(x, y ) ■X là ánh xạ co, ta lấy điểm Xq bất kỳ, x ữ G X và lập dãy lặp Xi = T x... giới hạn của x n (í) trong cỉ' L0,2J Ta cũng có x ( t ) và 0 cùng là giới hạn của x n (í) trong c k -ị U’1] Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra: 1 nếu 0 ^ t ^ x(t) = x nếu 0 Vậy x ( t ) không liên tục tại t = 1 1 2 1 < t ^ 1 2 nên x(í) ơp 1J Do đó, dãy x n (í) không có giới hạn nào trong không gian ơ j p , hay dãy {rcn (í)} không hội tụ tới một x ( t ) trong ơp XJ Vậy ơp không là không gian Banach