ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 62 44 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ, 2016 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoa học thông tin lượng tử, ngành khoa học phát triển gần đây, cho thấy nhiều ưu điểm vượt trội so với khoa học thông tin cổ điển phương diện Ví dụ tiêu biểu kể đến viễn tải lượng tử Viễn tải lượng tử biến liên tục thí nghiệm thành công, nhiên độ tin cậy đạt tương đối thấp mà nguyên nhân nguồn rối tạo có độ rối không cao Gần đây, nghiên cứu trạng thái phi cổ điển lên trạng thái đáng quan tâm, trạng thái thêm photon Chỉ cách tác dụng toán tử sinh photon vào trạng thái biến trạng thái thành phi cổ điển Điều gợi hy vọng việc tác dụng toán tử sinh photon lên trạng thái phi cổ điển làm tăng mức độ hiệu ứng phi cổ điển có hiệu ứng đan rối Đó lý nghiên cứu trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Như mong đợi, đề tài trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh độ rối tăng cường so với trạng thái nén, từ đề xuất phương pháp cải thiện độ rối: tác dụng nhiều lần toán tử sinh photon vào hai mode trạng thái có độ rối hữu hạn cho trước Mục tiêu nghiên cứu Chứng minh tác dụng tích cực thêm photon vào trạng thái nén hai mode tăng độ phi cổ điển cải thiện độ rối trạng thái Đồng thời đề xuất sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái nén dịch chuyển hai mode khảo sát chi tiết mối liên hệ độ tin cậy trạng thái tạo thành xác suất thành công Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm Wigner, đề xuất sơ đồ thực nghiệm để tạo trạng thái, khảo sát tính chất phi cổ điển có đan rối tính độ tin cậy trung bình trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp lượng tử hóa trường lần thứ hai thống kê lượng tử để đưa biểu thức giải tích sử dụng phương pháp tính số để biện luận kết thu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tìm cách để tăng cường độ rối cải thiện độ tin cậy viễn tải, từ góp phần phát triển lý thuyết thông tin lượng tử Ngoài ra, kết đề tài có vai trò định hướng, cung cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm việc dò tìm hiệu ứng phi cổ điển tạo trạng thái phi cổ điển Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục hình vẽ, danh mục công trình tác giả sử dụng luận án, tài liệu tham khảo phụ lục, nội dung luận án trình bày chương Chương trình bày tổng quan nghiên cứu liên quan đến đề tài Chương trình bày nghiên cứu chung trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm phân bố Wigner hai sơ đồ khác để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Chương trình bày nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm đan rối Chương trình bày nghiên cứu trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode Chương TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 1.1 Trạng thái phi cổ điển 1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển Trạng thái kết hợp, ký hiệu |α , trạng thái tạo thành ˆ cách tác dụng toán tử dịch chuyển D(α) = exp(αˆa† − α∗aˆ) lên trạng thái chân không ˆ |α = D(α)|0 , (1.4) α = |α|eiϕa Trạng thái kết hợp xem ranh giới cổ điển phi cổ điển để từ đưa định nghĩa trạng thái phi cổ điển 1.1.2 Trạng thái nén Trong trường hợp hai mode, trạng thái nén tạo thành tác dụng toán tử nén hai mode Sˆab(s) = exp(s∗aˆˆb − sˆa†ˆb†) s = reiθ Ví dụ, trạng thái chân không nén có dạng |s ab = Sˆab(s)|00 ab = cosh r ∞ (− r exp(iθ))n|n a|n b (1.17) n=0 Đây trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo tham số nén r ∞ Mô thực nghiệm toán tử nén hai mode chuyển đổi tham số không suy biến 1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon Trạng thái kết hợp thêm photon định nghĩa aˆ†m|α |α, m = α|ˆamaˆ†m|α (1.18) Đây trạng thái phi cổ điển thể đồng thời hiệu ứng nén subPoisson Hơn nữa, hai hiệu ứng tăng cường độ số photon thêm vào nhiều 1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối 1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối Với trạng thái hai thành phần thuần, độ rối xác định thông qua việc khảo sát entropy von Neumann Trong trường hợp không tìm entropy von Neumann, độ rối so sánh qua đại lượng có tên gọi entropy tuyến tính định nghĩa L(ρˆA) = − TrAρˆ2A, (1.24) ρˆA = TrB ρˆAB ma trận mật độ rút gọn ρˆAB Một trạng thái rối L > giới hạn L = ứng với trạng thái đan rối hoàn hảo 1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel Trên sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng, Shchukin Vogel đưa tiêu chuẩn đan rối mạnh Theo tiêu chuẩn này, trạng thái gọi rối tồn định thức âm DN = aˆ aˆ† aˆ† aˆ†aˆ aˆ†2 aˆ ˆb aˆ2 aˆˆb aˆaˆ† aˆ†ˆb ˆb† aˆ†ˆb† aˆˆb† ˆb†ˆb (1.36) 1.3 Viễn tải lượng tử 1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn Trong trình viễn tải lượng tử biến gián đoạn, thông tin cần gửi mã hóa trạng thái |ψin c = α|0 c + β|1 c Trước trình viễn tải thực hiện, người gửi A người nhận B chia sẻ với trạng thái đan rối qubit |ψE ab = √1 (|0 a |1 b − |1 a|0 b) A sở hữu qubit a qubit b gửi đến B Tại trạm gửi, A tiến hành phép đo Bell qubit a qubit c Sau phép đo, qubit b bị tách trạng thái sụp đổ bốn trạng thái −α|0 b − β|1 b, −α|0 b + β|1 b, α|1 b + β|0 b, α|1 b − β|0 b với xác suất tùy thuộc vào kết phép đo Sau đó, A gửi kết phép đo đến B qua kênh thông tin cổ điển thông thường với hai bit Với kết này, B biết xác trạng thái sở hữu trạng thái khả trên, từ tác dụng lên toán tử Pauli thích hợp để khôi phục lại trạng thái |ψin 1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục Trong viễn tải trạng thái với biến liên tục, phép đo Bell phép đo đồng thời hiệu tọa độ tổng xung lượng trạng thái cần chuyển |ψin c mode a trạng thái đan rối biến liên tục |ψCE ab Trong biểu diễn Fock, trạng thái riêng phép đo ứng với kết đo η có dạng |M (η) ac =√ π ∞ ˆ c(η) |i, i D ac , (1.55) i=0 η số phức Toán tử unita để khôi phục trạng thái cần ˆ viễn tải trường hợp toán tử dịch chuyển D(η) Trạng thái cuối trạm nhận trình viễn tải có dạng |ψout = Tˆ (η)|ψin , P (η) (1.60) ˆ b(η) ac M (η)|ψCE P (η) xác suất phép đo Tˆ (η) = D ab gọi toán tử viễn tải Độ xác trình viễn tải thể độ tin cậy trung bình d2ηP (η)| ψin|ψout |2 = Fav = d2η| ψin|Tˆ (η)|ψin |2 (1.62) Một trình viễn tải gọi hoàn hảo Fav = Chương TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE 2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Trạng thái nén dịch chuyển hai mode định nghĩa |α, β; s ab ˆ ab(α, β)Sˆab(s)|0, =D ab , (2.4) s = reiθ α = |α|eiϕa , β = |β|eiϕb Tác dụng toán tử sinh photon vào hai mode tạo thành trạng thái |m, n; α, β; s ab = Nmn(α, β, s)ˆa†mˆb†n|α, β; s ab , (2.5) gọi trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, Nmn(α, β, s) = (2.6) ˆn ˆmaˆ†mˆb†n|α, β; s ab ab α, β; s|b a Đặt Cmn(α, β, s) = ab α, β; s|ˆbnaˆmaˆ†mˆb†n|α, β; s n min[i,p] m Cmn(α, β, s) = i=0 p=0 × ∆ q=0 ab , ta tìm m!2n!2 (m − i)!(i − q)!(n − p)!(p − q)!q! (cosh r)2(i+n−p)−∆(− sinh r)2q−∆ (m − i + ∆)!(p − q + ∆)!(q − ∆)! × |α|2m−2i+∆|β|2p−2q+∆ei∆ϕ, (2.18) Hình 2.1: Sự phụ thuộc hàm G(|ξ|) vào |ξ| với (a) m + n = (b) m + n = ϕ = θ − ϕa − ϕb ∆ tổng ∆ chạy từ ∆ = max[i − m, q − p] đến ∆ = q 2.2 Hàm Wigner trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Chúng chứng minh trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh trạng thái nén thông qua việc chứng tỏ trạng thái có hàm Wigner âm Biểu thức giải tích thu hàm Wigner trạng thái có dạng (α, β, s) m!n!(− cosh2 r)m(− sinh2 r)n W (za, zb) = 4Nmn × exp(2|za|2 + 2|zb|2 − |α|2 − |β|2 − |ξ|2) min[m,n] min[m,n−i] × i j m!(−|ξ|2)j i+j Ln−i−j (|ξ|2)Ljm−j (|ξ|2) i!j!(m − i)! × exp[−(α∗β ∗eiθ + αβe−iθ ) r], (2.34) Lkm(x) đa thức Laguerre liên kết Kết (2.34) nói lên hàm Wigner W (za, zb) âm G(|ξ|) ≡ (−1)m+n min[m,n] min[m,n−i] × i j m!(−|ξ|2)j i+j Ln−i−j (|ξ|2)Ljm−j (|ξ|2) < (2.36) i!j!(m − i)! Dễ dàng nhận thấy hình 2.1 hàm G(|ξ|) nhận giá trị Hình 2.2: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm âm tính âm hàm Wigner mạnh thêm photon vào đồng thời hai mode 2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm minh họa hình 2.2 Hệ thống gồm DC ký hiệu cho chuyển đổi tham số kết hợp với dịch chuyển Da(α) Db(β) tạo trạng thái |α, β; s aˆ†m, mode a trạng thái |α, β; s ab ab Để mô tác dụng trạng thái |m a đưa vào thiết bị tách chùm BS1 đặt máy đếm photon PD1 để đếm photon mode a Tương tự cho mode b Khi photon vào PD1 lẫn PD2, trạng thái đầu hai mode a b |ΨBS ab rm+n † ˆ†ˆ √ taˆ aˆ aˆ†mtb bˆb†n |α, β; s = tm+n m!n! ab (2.44) Hình 2.3: Sự phụ thuộc độ tin cậy F ≡ FBS xác suất thành công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t thiết bị tách chùm BS1 BS2 α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) {2, 2} (đường gạch - chấm) với xác suất thành công PBS (1 − t2)m+n = m!n!t2(m+n+2) ∞ ∞ j=0 j =0 (1 − t−2)j+j Cm+j,n+j (α, β, s) (2.47) j!j ! độ tin cậy so với trạng thái mong muốn ∞ j=0 FBS = Cm,n (α, β, s) ∞ (1−t−1 )j+j j =0 j!j ! ∞ j=0 Cm+j,n+j (α, β, s) ∞ (1−t−2 )j+j j =0 j!j ! Cm+j,n+j (α, β, s) (2.49) Theo (2.44), hiệu ứng BS1 BS2 với điều kiện photon phát PD1 PD2 tương đương với † † tác dụng ta aa†mtb bb†n lên trạng thái |α, β; s ab Do hệ số truyền qua thiết bị tách chùm t < nên mà mong đợi trạng thái gần giống với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode lý thuyết t dần đến Cụ thể hơn, hình vẽ 2.3 thể độ tin cậy không tăng theo t tiệm cận đến t → Tuy nhiên, giá phải trả giảm xác suất thành công tăng t Hơn nữa, độ tin cậy xác suất thành công giảm tăng m hoặc/và n thể thêm nhiều photon gặp nhiều thách thức, 11 Figure 2.5: Schematic setup for generation of two-mode photon-added displaced squeezed states using downconverters for photon addition Figure 2.6: The fidelity F ≡ FDC , Eq (2.60), and the corresponding success probability P ≡ PDC , Eq (2.58), as functions of squeezing degree z of the two two-mode squeezers for α = β = s = 0.1 with {m, n} = {1, 1} (the solid line), {1, 2} (the dashed curve), and {2, 2} (the dash-dotted curve) and the fidelity (1−cosh z)j+j ∞ j,j =0 j!j ! FDC = Cmn(α, β, s) Cm+j,n+j (α, β, s) (− sinh2 z)j+j ∞ j,j =0 j!j ! (2.60) Cm+j,n+j (α, β, s) As seen from (2.57), the net effect of the DC2 (DC3), conditioned on the outcome that m (n) photons are detected by the photo-detector † PD1 (PD2), is the implementation of the action of aˆ†m(cosh z)−ˆa aˆ ˆ†ˆ (ˆb†n(cosh z)−b b) on |α, β; s ab So, the smaller the value of the DCs † ˆ†ˆ parameter z is the better aˆ†m(cosh z)−ˆa aˆ (ˆb†n(cosh z)−b b) simulates 12 aˆ†m (ˆb†n) This explains why in Fig 2.6 the fidelity always decreases with increasing z For z → the fidelity is approaching but never reaches because when z = nothing will occur Similarly to the previous scheme, an increase in the fidelity is accompanied with a decrease in the corresponding success probability, and both the fidelity and generation probability decrease with increasing m or/and n Chapter NONCLASSICAL PROPERTIES OF TWO-MODE PHOTON-ADDED DISPLACED SQUEEZED STATES 3.1 Sum squeezing Sum squeezing is a nonclassical effect occurring in a multi-mode field A state is said to be sum squeezed if there exists a φ such that (e−2iφ aˆ2ˆb2 ) − 2(e−iφ aˆˆb ) + aˆˆbˆb†aˆ† S≡ − < 0, (3.9) aˆaˆ† + ˆbˆb† − where (x) is the real part of x The moments in (3.9) have the form of Mlktv = aˆlˆbk ˆb†taˆ†v For the two-mode photon-added displaced squeezed states, we have obtained m+l n+k min[i,p] Mlktv = Nmn (α, β, s) i=0 p=max[0,k−t] × ∆ q=0 (m + l)!(m + v)! (m + l − i)!(i − q)! (n + k)!(n + t)!(cosh r)2(i+n+k−p)−∆(− sinh r)2q−∆ei∆θ (m + v − i + ∆)!(p + t − k − q + ∆)!(q − ∆)!(p − q)!q! |ηa|2m−2i+l+v+∆|ηb|2p−2q+t−k+∆ei(l−v−∆)ϕa ei(k−t−∆)ϕb × , (n + k − p)! where ∆ in the sum to ∆ = q ∆ (3.10) runs from ∆ = max[i − m − v, q − p − t + k] 13 Figure 3.4: The sum squeezing degree S as a function of the displacement parameter in (a) mode a (|β| is fixed at 20); (b) mode b (|α| is fixed at 5) with ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 for n = and m = (the solid line), m = (the dashed curve), m = 10 (the dashed-dotted curve) Figure 3.5: The sum squeezing degree S as a function of r with ϕ1 = ϕ2 = 0, and |α| = 2.5, |β| = for n = and m = (the solid line), m = (the dashed curve), m = 10 (the dashed-dotted curve) When considering the dependence of the sum squeezing on angles, we have recognized that the two-mode photon-added displaced squeezed states exhibit a maximum degree of sum squeezing under simultaneous conditions ϕ1 ≡ φ − θ = k1π and ϕ2 ≡ φ − ϕa − ϕb = k2π with k1, k2 integer For the role of the displacement parameter, as seen from Fig 3.4, the roles of |α| and |β| are not the same because of the asymmetry of mode a and mode b when photons are added only to mode a Figure 3.4a shows that for a given value of |β|, S < in a certain interval of |α| which is almost independent of the number of added photons m Contrastingly, if we fix |α|, then S, as a function of |β| (Fig 3.4b), is quite sensitive to m: with increasing m, the interval of |β| within 14 which S is negative widens As for the dependence on the squeezing parameter, Fig 3.5 implies that when r is increasing the degree of sum squeezing is first increasing until a critical value r1, but afterwards it is becoming smaller and smaller and, eventually disappears if r is beyond another critical value r2 Of interest is the property that the actual values of both r1 and r2 decrease with increasing m 3.2 Difference squeezing Difference squeezing is also a multi-mode nonclassical effect The difference squeezing is exhibited in the two-mode photon-added displaced squeezed states if D≡ e2iiφM2020 − 2 eiφM1010 + 2M1111 − M1001 − M0110 −1 |M1001 − M0110| (3.20) is negative for some φ For the difference squeezing, the degree of squeezing is maximal under the simultaneous conditions γ1 ≡ φ − θ + 2ϕa = 2k1π and γ2 ≡ φ + ϕa − ϕb = 2k2π with k1, k2 integer The dependence of D on the displacement parameters is illustrated in Fig 3.7 The roles of |α| and |β| are almost asymmetric, the same situation as the sum squeezing Although the minimum of D gets deeper for a greater m, its position moves to the left in Fig 3.7a but to the right in Fig 3.7b Also, for a fixed |β|, the interval of |α| within which D < is quite restricted while such an interval of |β| for a fixed |α| is much more spread From Fig 3.8, a plot of D as a function of r with other parameters kept constant, we can realize that the difference squeezing exists only with small values of r, a feature similar to the sum squeezing The distinction is, however, that the maximum achievable degree of the difference squeezing seems increasing with m 15 Figure 3.7: The difference squeezing degree D as a function of the displacement parameter in (a) mode a (|β| is fixed at 10); (b) mode b (|α| is fixed at 2) with γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 for n = and m = (the solid line), m = (the dashed curve), m = 10 (the dashed-dotted curve) Figure 3.8: The difference squeezing degree D as a function of r with γ1 = γ2 = 0, and |ηa | = 2, |ηb | = 10 for n = and m = (the solid line), m = (the dashed curve), m = 10 (the dashed-dotted curve) 3.3 Antibunching The generation of antibunched light is of fundamental importance in the context of quantum teleportation and quantum cryptography The criterion for the existence of inter-mode photon antibunching in a two-mode radiation field is defined as (k−1) ˆ (l+1) (l+1) (k−1) + Nˆa Nb Nˆa Nˆb − < 0, Rlk ≡ (k) ˆ (l) (l) ˆ (k) ˆ ˆ Na Nb + Na Nb (3.27) where Rlk is called the antibunching degree with order {l, k} satisfy satisfying the inequalities l ≥ k > For the two-mode photon-added 16 Figure 3.10: The antibunching degrees (a) R(1, 1) and (b) R(4, 2) as functions of r with |α| = 0.1, |β| = 0.7 and ϕ = π for n = and m = (the solid line), m = (the dashed curve), m = (the dashed-dotted curve) Figure 3.11: The antibunching degree Rlk as a function of r with |α| = 0.1, |β| = 0.7, ϕ = π, {m, n} = {1, 0} for different values of l and k: (a) k = and l changes from to 6, (b) l = and k changes from to displaced squeezed states, we have gotten l (k) Nˆa(l)Nˆb k = i=0 j=0 (−1)i+j l!2k!2 Cm+l−i,n+k−j (α, β, s), i!j!(l − i)!2(k − j)!2 (3.28) where Cm+l−i,n+k−j (α, β, s) is given by (2.18) Figure 3.10, plots of R11 and R42 versus r, shows that the antibunching becomes less pronounced with increasing m This is the opposite of the case of squeezing effects Luckily, this bad thing can be gotten over by adding the same number of photons to both modes of the states, as shown in Fig 3.13 It is clear from Fig 3.13 that 17 Figure 3.13: The antibunching degrees R11 (a), R22 (b) as functions of the squeezing parameter r with θ = π and α = β = 0.2 for {m, n} = {3, 3} (the solid line), {3, 4} (the dashed curve), {3, 1} (the dot-dashed curve), {3, 0} (the double-dotted, dashed curve) the antibunching effect will be the strongest if m = n More insight into the higher-order antibunching effect is displayed in Fig 3.11 It is interesting that neither l nor k alone decides the actual degree of antibunching These observations suggest that the difference l − k plays a role: the two-mode photon-added displaced squeezed state would be more antibunched with a greater value of l − k 3.4 Entanglement Firstly, the entanglement of the two-mode photon-added displaced squeezed states is detected via Shchukin-Vogel criterion by considering a sub-determinant of DN in (1.32) which has the following form E ≡ aˆ† ˆb aˆ aˆ†aˆ aˆˆb ˆb† aˆ†ˆb† ˆb†ˆb (3.30) To numerically calculate the entanglement coefficient E of the twomode photon-added displaced squeezed states, we replace the matrix elements in (3.30) with the corresponding Mlktv We have checked whether E < by analyzing it with regard to the squeezing parameter It is clear from Fig 3.15 that E is negative for any values of r and m 18 Figure 3.15: The entanglement coefficient E as a function of the squeezing parameter r with θ = π and α = β = 0.1 for {m, n} = {0, 0} (the solid line), {1, 0} (the dashed curve), {1, 1} (the dash-dotted curve), {2, 1} (the double-dotted, dashed curve) and {2, 2} (the dotted curve) Figure 3.18: The linear entropy M of the two-mode photon-added displaced squeezed states as a function of the squeezing parameter r with θ = π and α = β = 0.1 for {m, n} = {0, 0} (the solid line), {1, 0} (the dashed curve), {1, 1} (the dash-dotted curve), {2, 1} (the double-dotted, dashed curve) and {2, 2} (the dotted curve) More concretely, E gets more negative not only for a larger value of r but also for a greater value of m The latter implies that adding photons to a two-mode state may improve the degree of bimodal entanglement To confirm this, we have considered the linearized entropy We have gotten the linearized entropy associated with the reduced density matrix ρˆa of the two-mode photon-added displaced squeezed states in the explicit form as 19 ∞ ∞ Nmn (α, β, s) i(k+k l −l)π k+k +l+l L(ρˆa) = − e (− r) cosh4 r k,k =0l,l =0 × Cm(k , l , α)Cm(l, k, α)Cn(k, k , β)Cn(l , l, β), (3.44) where n Cn(k, k , β) = i,i =0 n i n 2n−i−i β i (k + i)!2 δk +i ,k+i k!k ! (3.43) with θ = π in the limit of real α, β As shown in Fig 3.18, when the number of added photons is increased, L, i.e., the degree of entanglement, becomes more and more increased and may tend to the highest degree of entanglement in the largest limit of r Chapter QUANTUM TELEPORTATION USING TWO-MODE PHOTON-ADDED DISPLACED SQUEEZED STATES AS ENTANGLED RESOURCES Using the quantum teleportation protocol based on the Fock representation, we have obtained the expression of the average fidelity of teleportation for input cohenrent state as follows Fav Nmn (s, 0, 0) = cosh2 r ∞ ∞ k=0 k =0 (tanh r)k+k (n + m + k + k )! , k!k !2m+n+k+k +1 (4.13) where α = β = and θ = π For input Fock state, |ψin = |N , the 20 Figure 4.1: The average fidelity of teleportation F as a function of the squeezing parameter r with θ = π for the coherent input state using the two-mode photon-added displaced squeezed entangled resource with α = β = for {m, n} = {3, 3}, {3, 2}, {3, 1} and {3, 0} Figure 4.2: The average fidelity of teleportation F as a function of the squeezing parameter r with θ = π for the Fock input state |1 using the two-mode photon-added displaced squeezed entangled resource with α = β = for {m, n} = {3, 3}, {3, 2}, {3, 1} and {3, 0} average fidelity of teleportation with α = β = 0, θ = π reads Fav Nmn (s) = cosh2 r ∞ ∞ min[m+k,N ] min[m+k ,N ] min[n+k,N ] min[n+k ,N ] k=0 k =0 p=0 p =0 q=0 q =0 (N !)2 k!k ! (m + k )!(m + k)!(m + n + k + k + 2N − p − p − q − q )! (m + k − p)!(m + k − p )!(n + k − q)!(n + k − q )!p!p !q!q ! (n + k)!(n + k )!(−1)p+p +q+q (tanh r)k+k × m+n+k+k +2N +1−p−p −q−q (N − p)!(N − p )!(N − q)!(N − q )! (4.14) × Based on the Eqs (4.13) and (4.14), we have considered the de- 21 Figure 4.4: The average fidelity of teleportation F as a function of the squeezing parameter r with θ = π for the Fock input state |2 using the two-mode squeezed entangled resource, and the two-mode photon-added displaced squeezed entangled resource for {m, n} = {1, 1}, {2, 2} and {3, 3} pendence of the average fidelity of teleportation F using the two-mode photon-added displaced squeezed entangled resources to teleport coherent and Fock states on the squeezing parameter r As seen from Figs 4.1 and 4.2, both the average fidelities become larger when the number of added photons is increased Furthermore, the degree of the fidelity corresponding to adding photons to both modes is higher than the case of adding photons to either modes as expected To compare the fidelities of teleportation between the photon-added entangled resource and the entangled resource without added photons, we plot in Fig 4.4 the fidelity of the input Fock state teleportation process using two different entangled resources: the two-mode squeezed state (the solid line) and the two-mode photon-added displaced squeezed states (the remain curves) It is clear that all three curves presenting Fav for the photon-added entangled resource have higher positions than the solid line corresponding to the normal squeezed entangled resource CONCLUSION We studied the nonclassical properties, entanglement of the two- 22 mode photon-added displaced squeezed states and the quantum teleportation using these state as entangled resources By using the methods in theoretical quantum optics such as the second quantization and the quantum statistics along with the numerical calculation method, we achieved main results as follows: We obtained the Wigner function of the two-mode photon-added displaced squeezed states and shown that it can be negative The negativity of the Wigner function reflects that the nonclassical depth of these states is more than one of the two-mode squeezed state whose Wigner function is always non-negative We considered two generation schemes of the two-mode photonadded displaced squeezed states and indicated their feasibility by considering the fidelity of the generated state with respect to the target state For both schemes, though perfect generation is impossible, the fidelity is approaching for t tending to or z tending to 0, at the cost of vanishing success probability As a consequence, a tradeoff should be made towards achieving sufficiently high fidelity accompanied with reasonably not too low success probability We showed that the two-mode photon-added displaced squeezed states exhibit many important nonclassical effects consisting of the sum squeezing, the difference squeezing, the higher-order antibunching, especially, the entanglement It is very interesting that the photon addition enhances these effects, except for the antibunching Furthermore, the more the photons are added the stronger the nonclassical effects reveal We pointed out that adding photons to the displaced squeezed states can improve the fidelity of the continuous variable teleportation 23 protocol This improvement is seen in many aspects of photon addition, adding photons makes teleportation more effective, adding photons to both modes is better than adding photons to either mode, and the fidelity can be better with the larger number of added photons In summary, the objectives of our study have been completed We pointed out that adding photons to the two-mode displaced squeezed states leads to an increase in the nonclassical depth, enhances the entanglement degree of the states, and therefore improves the the efficacy of teleportation These results have contributed towards efforts to explore strong nonclassical resources for possessing a high amount of entanglement that could be exploited to perform various useful global quantum tasks For simplicity, our research has been restricted to some approximations The first is to idealize the operator of the photo-detector in generation schemes of the two-mode photon-added displaced squeezed states To be closer to the experimental situation, it should be employed the real non-ideal photo-detectors with certain efficiency The second approximation is the use of theoretically perfect, instead of experimentally imperfect, two-mode photon-added displaced squeezed states in the calculation of average teleportation fidelities Therefore it is more practical if we connect generation setup of the entangled resource to quantum teleportation scheme Besides, our research can be also developed by considering further techniques to improve entanglement such as the combination of photon addition and substraction LIST OF THE AUTHOR’S PUBLICATIONS USED IN THE THESIS Truong Minh Duc and Nguyen Thi Xuan Hoai (2010), Entanglement criterion for bipartite quantum states: applications, Communications 24 in Physics, 20(3), pp 233-240 Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), Sum squeezing, difference squeezing, higher-order antibunching and entanglement of two-mode photon-added displaced squeezed states, International Journal of Theoretical Physics, 53, pp 899 - 910 Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), Generation of two-mode photon-added displaced squeezed states, Advances in Natural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology, 5, pp 032015-1 032015-6 Nguyen Thi Xuan Hoai and Truong Minh Duc (2015), Nonclassical properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed states, International Journal of Modern Physics B, 30, pp 1650032-1 - 1650032-15 Research is completed at: Hue University’s College of Education Supervisor: Assoc.Prof.Dr Nguyen Ba An Assoc.Prof.Dr Truong Minh Duc Reviewer 1: Reviewer 2: Reviewer 3: Thesis will be defended at the Hue university-level board of evaluation thesis at: Be able to find thesis at library: [...]... của trạng thái Bên cạnh đó, kết quả tính số cho thấy độ phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode mạnh hơn so với trạng thái ban đầu và gợi ý cho những nghiên cứu cụ thể hơn về tính chất phi cổ điển của trạng thái này, trong đó có tính chất đan rối Thứ hai, chúng tôi đã đưa ra và giải thích tường minh hai sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Kết quả tính số. .. khảo sát sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r cho hai trường hợp cụ thể của trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp (hình 4.1) và trạng thái Fock (hình 4.2) dựa trên các phương trình (4.13) và (4.14), một cách tương ứng Cả hai hình vẽ 4.1 và 4.2 đều cho thấy việc thêm photon vào cả hai mode sẽ... phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng thái, đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái nén dịch chuyển hai mode Các kết quả chính của luận án có thể được tóm tắt như sau: Thứ nhất, chúng tôi đã tính được biểu thức giải tích tường minh của hàm phân bố Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Hàm phân bố tìm được là cơ sở cho các nghiên cứu về tính chất. .. chấm) và {3, 3} (đường gạch - hai chấm) vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0 21 số lượng photon thêm vào thì độ tin cậy viễn tải càng được cải thiện Đây là một kết quả được mong đợi Để so sánh độ tin cậy trung bình của viễn tải giữa hai nguồn rối nén không và có thêm photon, chúng tôi vẽ trên hình 4.4 độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải trạng thái Fock cho trường hợp nguồn rối là trạng thái. .. một trạng thái không quá khác so với trạng thái mong muốn nhưng phải đảm bảo không phải đợi quá lâu để nhận được trạng thái này Thứ ba, qua việc khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển, chúng tôi chứng minh được trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode thể hiện nhiều hiệu ứng quan trọng như nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đặc biệt là hiệu ứng đan rối Các kết quả tính số cho ta vùng giới hạn của. .. nguồn rối Mức độ cải thiện của độ tin cậy viễn tải được thể hiện ở nhiều khía 23 cạnh khác nhau của việc thêm photon, thêm photon sẽ hiệu quả hơn không thêm, thêm photon vào cả hai mode cho ảnh hưởng lớn hơn so với thêm vào chỉ một mode và số lượng photon thêm vào càng nhiều thì độ tin cậy càng tăng Những kết quả này góp phần quan trọng vào nỗ lực tìm kiếm các trạng thái phi cổ điển mạnh với độ rối được... aˆ†ˆb† ˆb†ˆb (3.28) Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta thay các yếu tố ma trận trong (3.28) bởi các số hạng Mlktv tương ứng Những gì thể hiện trên hình 3.15 cho ta thấy trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode là trạng thái đan rối (E < 0) Hơn nữa hệ số đan rối E càng âm khi m càng tăng Điều đó nói lên rằng độ rối của trạng thái có thể tăng nhờ vào việc thêm photon Để chắc... và α, β thực Trên hình 3.18, L càng tăng (thể hiện độ rối tăng) khi số photon thêm vào càng nhiều Kết hợp với những gì quan sát trên hình 3.15, đến đây ta hoàn toàn có thể khẳng định rằng thêm photon cải thiện độ rối của trạng thái nén hai mode Thêm photon vào cả hai mode sẽ hiệu quả hơn so với thêm vào chỉ một mode và số photon thêm vào càng nhiều thì độ rối càng tăng 19 Chương 4 VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... trình viễn tải trạng thái Fock |1 sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 2} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm) Hình 4.4: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái Fock |2 sử dụng nguồn rối nén hai mode (đường nét liền) và nguồn rối. .. 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2} (đường chấm - chấm) một cách riêng lẻ mà xét hiệu của chúng, l − k, thì cả hai hình 3.11a và 3.11b đều có chung một đặc điểm là độ phản kết chùm tăng theo hiệu l − k 3.4 Tính chất đan rối Trước hết, tính chất đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sẽ được xác nhận bằng tiêu chuẩn Shchukin-Vogel thông qua việc khảo sát một định thức con trong (1.36)