Thông tin tài liệu
NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Biên tập: Nguyễn Phú Khánh x x x y y Giải hệ phương trình: 3x y 2x y x y Lần – THPT QUỐC OAI Lời giải Điều kiện: y 0;1 3x 0 y x 3x x x 3x x y (1) 1 y y y y y Hệ phương trình x 3x 3x 4x 2 y 2x y x 1 y y y y a x a 2b 3a 2a 1 y Đặt: Khi ta có hệ: 3a 2a ab 1 b y Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được: a 2b 1 3a 2a 2a ab a 2b 1 3a 2a a 2b 3a 2a x 1 x y y y Thế vào (1) ta được: Với a 2b y 1 2 y y 2 y y 2 y y 2 y y 2 y 0 y x y y 2 y 0 14 2 y y x y y 11 11 y 14 ;x vào hệ, không thỏa mãn 11 11 a 3a a a 1 x y 4 a 3a 1 Thay y Với Khi đó: 1 x 2 x x 4; y Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm: x ; y 0;2;4; Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 1- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x xy 2 y 1 y y x 6 x 1 y x y 1 2 x y x y 2 xy 3 x y xy x 3 x y x 1 12 x x y 2 x y x y 3x y (3 x 2) y x 14 x y x y 1 xy y y 3 x y x y x x x y x y 3xy ( x y ) 24 y x 27 y 14 x y x y y y 4( x y 1) xy ( x 1) y x (2 y 1) x 3x 2 x x x y y x y x 1 xy y 21 ( x x 2) y x ( x x 1) y (2 x x ) y x y y y x x 13 x 12 10 x y Lần – THPT SỐ BẢO YÊN Lần – THPT THẠCH THÀNH Lần – THPT NGHỀ NHA TRANG Lần – THPT NGUYỄN TRÃI – KONTUM Lần – THPT PHẠM VĂN ĐỒNG Lần – THPT SỞ BẮC GIANG Lần – THPT BÌNH LONG Lần – THPT LỘC NINH Lần – THPT NGUYỄN DU Lần 1– THPT TRẦN BÌNH TRỌNG Hướng dẫn: x Phương trình đầu tương đương 2 y x 1 x y y x y x 0, x Thay vào phương trình thứ hai ta được: x 1 x x x 2 x x x 1 4 x 13 x 10 x x 1 x 2 y3 x 3 3 2x 9y = (x y )(2xy + 3) 2 x y ( x y )(2 xy x y xy ) 2 x y xy x + y = + xy 2 x y x y x y x 8y3 2 x y xy x y xy x y xy x y x x 2 3 y y y 1 - 2- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 3 x y x 1 12 3 x y x x 12 Hệ (1) x x y 3 x y x x u x y u.v 12 u u Đặt hệ (1) v x x u v v v x y u 3x y ; v x x x 2 y x 3 y 11 u 3x y v x x x y 2 x 0, y Đặt a x y 1, b x y 1, a, b Phương trình đầu suy a b a b (a b ) a b 5x y x y x y Thay vào phương trình thứ hai, ta : (3 x 2) x x 14 x x ( a ) 2 1 Với x (a ) trở thành 3 14 Đặt u u 3, x x x x x Khi đó, có phương trình: 2u 4u 3u 26 u u x 1 y x x 1 y 1 Đặt a x 1; b y ;a, b thay vào phương trình đầu ta được: x x y a 2b a ab 4b a 2b y x , thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x x x x x x x 1 (*) Đặt t x x 1; t , (*) trở thành: t 2t t thỏa điều kiện x y 4 Phương trình đầu tương đương ( x y ) 3( x y ) 2 y 2 2 y 2 x y 2 ( x y ) ( x y ) 2 y 2 2 y 3 y x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 1 x x x x x 1 x ( x 4) x (x 5) ( x x 2)( x 2) 3 x 1 x x 1 x x 23 x 2 x 1 x x 3 x x Phương trình viết lại y x 3x ( y 2)( y 2)( y x ) y 2 x x 2 1 y x 1 x x ( x ) ( x ) (vn ) 2 - 3- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 1, x y x x x y y x y x xy y x x y x y 2 x y 2x x y x x y Do x 1, x y x y , từ suy x y Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x y 2 x y xy x x x 21 x 1 1 x x 21 x 2 x x x 2 x x 21 x x 21 10 x 91 x 21 x 2 ( x ; y ) (0;0) nghiệm hệ, cặp nghiệm ( x ;0),(0; y ) với x 0, y không nghiệm x y xy y x x ( xy 1) y xy Với x 0, y x ( xy 1) xy ( xy 1) y x y x y x y y x y xy x 1 x ; y 1; ( x ) y x a 2b a x , b , a ab b 1 y x 4 1 1 1 x x x ; y ; 29 y y x x x x y x 10 x y 0, t x y (t 0) x y 3xy y y 1 Bài 3 x xy y x y Giải hệ phương trình: 5 x xy y x y Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU Lời giải 3 x xy y 3x y (1) Lấy (1).3 (2) theo vế, ta được: 5 x xy y 3x y (2) x xy y x y (2 x y ) 3(2 x y ) x y x y x y Với x y y x , thay vào (1) ta được: x x x y 7 x y Với x y y x , thay vào (1) ta được: x 11x x y 7 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm 0;1;1;0; ; ; ; 7 7 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 4- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x ( x y ) y x 1 x ( x y ) y x 504 y y 1008 2016 x x x x xy xy x x x y y x x x x y x y ( y 1) 6 x x y y xy 3 x 2 x y x y x y xy y x y 3 x y x 14 y 12 y x y x y ( x xy y 1) y y x 5 x 26 x 44 x 20 51 y y y x x x 1 x y x y y x x y x x y 17 x x y 2 y y y 1 x x xy x y y 3x x 14 x x x y y x x x 10 x y x y ( x 1) Lần – THPT GDTX NHA TRANG Lần – THPT HỒNG QUANG Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP Lần – THPT HỒNG QUANG Lần – SỞ QUẢNG NAM Lần – THPT BÌNH LONG Lần – THPT THỪA LƯU Lần – THPT THUẬN THÀNH Lần – THPT THANH HOA Lần – THPT THANH HOA Hướng dẫn: Nhận thấy x không nghiệm hệ x y y x Với x , hệ cho tương đương (*) y2 1 ( x y ) 7 x x y a a b Đặt y , hệ (*) trở thành hệ phương trình , hệ có nghiệm a 2b b x x x Từ ta tìm y y 2 Phương trình đầu tương đương: a a 5 b b 2016 x x 2016 2 y 2 y y ( x a x x x a x a để đảm bảo khác liên hợp) - 5- Email: phukhanh@moet.edu.vn x NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x x x y 2 x x 1 3x 25 x x x x 2 11 3 11 x x 2 x x y Thay y x 1; y Phương trình đầu tương đương: x x y y x x x x x x y x 1 x y x y x x x2 y x2 x x y x x y x2 x với x 1; y Thay x y vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x ( x 1) x x 1 x x 1 x 25 25 y 6 Phương trình đầu tương đương: y x y x 1 y 3 x y x Phương trình thứ hai ta có: y nên y 3 x không thỏa mãn Thay y x vào phương trình thứ hai ta x x x x , phương trình có nghiệm x y x y ( x y )( y 1) 2( y 1) (1) 3 x y x 14 y 12 (2) (1) xy xy 2 y 1 y 1 xy xy 1 x y Thay vào (2) ta được: y 1 y 1 y y (2 y 1) 14 y 12 y y y 10 y 11 4( y 2) 3( y 1) y 10 y ( y 3) y 1 (3) y y , : 1 y nên y 2 y 1 y 1 2 32 , 3 , y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y y không thỏa hệ x y 1 Phương trình thứ tương đương ( x 1) y x y 1 ( x 1)( x x 1) y ( x 1)( x y 1) ( x 1)[ x x xy y y ( x 1)[ x (3 y 1) x y y y x y 1 ] y x y 1 ] (*) A x (3 y 1) x y y 0, 3( y 1) 0, x - 6- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Với x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta y y y Phương trình đầu tương đương x x Thay vào phương trình thứ hai, ta ta tìm x y 1 1 17 y 1 y x2 4x 5 x x x x x 19 , đặt ẩn phụ, từ 23 341 353 19 341 23 341 353 19 341 y x y 2 2 x y Phương trình đầu viết lại 2 x y 1 x y x y 1 x y x y x y 1 x 0; y x y x y 1 x y x y x y 1 x y 1 x x y 1 y 1 x y 0 x y 1 x y x y x y TH1: x y y x 1 Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x x 14 x x x (a ) , điều kiện: x (a ) 6 x x 16 x x 3 x x x 9x x x 1 x x 16 x x x x x 0 x x 16 3x x 3x 1 x y x x x 16 3x x TH2: x y 1 x y x y x y y x x y Ta có: x y x y x y Trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được: x y y x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 16 x x x (b ) , điều kiện x x x 2 (b ) x x x (vô lý) phương trình vô nghiệm x x x x y ( x ; y ) (0;1) không nghiệm hệ 2 y x - 7- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 y 1 x Phương trình đầu viết lại: y y y 1 x x xy ( y x 1)( y 1 x x y 1) y x 1; y 1 x x xy y y 1 x x y 1 0, y y 1 x x y y x 3x 14 x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x x 14 x ( x 4) (1 x ) ( x 5)(3 x 1) ( x 5)( 3x 1 6 x x 1) x x 10 Phương trình đầu tương đương x ( x y x x ) ( x y ) y yx x x y ( x y )( x y x x x ) 2 x y x x x Vì suy x y Thay vào phương trình thứ hai : x x x x ( x 1) y Đặt t x x 1(t 0) t x x ( x 1) , tìm t x x x 25 25 25 x ( x 1) x x ( x ; y ) ; 16 16 16 4 x x 25 20 x x Bài x xy 2 y 1 y y x Giải hệ phương trình: 6 x 1 y x y 1 Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải Điều kiện: x Phương trình đầu tương đương: 2 y x 1 x y y x y x 0, x Thay y x vào phương trình sau ta được: x 1 x x x 2 x x x 1 với x 4 x 13 x 10 x y Với x x x Vậy, nghiệm phương trình ( x ; y ) (2;3) Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 xy x y 1 xy x y x y x 2 x y x x y x x x y x x y - 8- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lần – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 ( x y )( x xy y 3) 3( x y ) 4 x 16 y x y y x x xy y x y y x (1 y )( x y 3) x ( y 1)3 x x y x 2( y 2) Lần – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lần 1– THPT TÔN ĐỨC THẮNG 2 x x x y y x y x 1 xy y 21 x xy 2 y 1 y y x 6 x 1 y x y 1 xy y y x 1 y x 3 y 2x y 2x y x y 1 x 2x x y y 1 4 x y x x y x x 10 x x 11x y x y 12 x 12 y Hướng dẫn: x y Lần 1– THPT TRẦN PHÚ Lần – THPT TRẦN PHÚ Lần – THPT TRẦN QUANG KHẢI Lần – THPT VĂN GIANG Lần – THPT VIỆT TRÌ 2 Phương trình đầu tương đương: ( x y ) 2xy 1 ( x y 1)( x y x y ) x y x y 1 x y nên x y x y x 1 y Thay x y vào phương trình sau ta được: x (1 x ) x x x 2 y x y x y Phương trình (2) y x 1 , vào phương trình (1) ta được: x x x x x Từ có: x 1 x 2, y x x 4 x x x 1 x 16 Phương trình đầu tương đương ( x 1)3 ( y 1)3 y x Thay y x vào phương trình thứ hai, ta được: - 9- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 22 x x x 4 x 2 2 4( x 2) x 2 2 ( x 2) ( x 2)( x 2) 22 3x 3( x 2) 22 x 0 22 Nhận thấy VT hàm số đồng biến đoạn 2; , suy x 1 nghiệm 4 phương trình, với VT ( x 2) x 2 2 22 3x 4 y 1, x 0, y x Phương trình thứ hai biến đổi dạng: y x 1 y 1 x , thay y x vào y 1 x phương trình đầu, ta được: x x 1 x x Hàm số f ( x ) x x x x đồng biến f (2) x y x y Nhận xét x 1, y không nghiệm hệ Xét y phương trình x 0, y x 1, y x x x đầu viết lại x x ( y 1) 3( y 1) ( y 1) x ( y 1) 3 0 y 1 y 1 y 1 t x , t Khi đó, ta có t t t t 1t t 2t 3 t y 1 Với t , x y x , vào phương trình thứ hai, ta y 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 0 x x 2 3 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 3 x x x x x x 1 x 1 3 x 1 y 2 x 1, x y x x x y y x y x xy y x x y x y 2 x y x y 2 x y 2x x y x x y xy Do x 1, x y x y , từ suy x y Thay vào phương trình thứ hai, ta x x x 21 x 1 1 x x 21 - 10- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Đặt x x x x xy y y xy 1 2 y y y y Với y 0,(1) x 5xy y y 2 2 x t t [2; 4] y 2t 5t t t 2t (t 3) t ( t 1) (1 t ) 2t ( t 3) ( t 3) t t 3 t 1 1 t Thay x y vào (2) ta được: t x 3y x x 2x x x x x 1 x x x Xét hàm số f (t ) t t , f (t ) t Với f x f x Bài t2 0, t t2 x x x y 0; x y x x y x 1 y 1 x 1 Giải hệ phương trình: 3 x x x 1 y Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải Điều kiện: x 1; y 1 Phương trình đầu tương đương: x x x 1 x3 x2 x y x 1 y 1 y 2 y x 1 x 1 x x x x x 1 y y (*) Xét hàm số f t t t có f t 3t 0, t f (t ) đồng biến x f Nên (*) có dạng f x Thay x x 1 y 1 y 1 x 1 x x x 32 x x 1 13 x x x x 9 x 10 x 2 x 1 x x x x2 1 x 1 x 1 x x 1 y vào phương trình thứ hai, rút gọn ta x x x x Ta có y suy y Với x y 3 13 41 13 Với x y 72 - 26- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện 3 13 41 13 ; Hệ phương trình có hai nghiệm x ; y 3 3; , 72 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: x y x y 24 x 24 y 52 x Lần – THPT CAM RANH y x x 13x y y 10 Lần – THPT CAM RANH x y x y x x 10 y xy ( x 1) x y x y Lần – THPT CHUYÊN SƠN LA 3 y x 4 y x x x y x y 3x y 5 x y 10 y 2 y 6 x x 13 y x 32 Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC x y x y x y xy x 2015 x x y 2016 x x y y x y y x x xy y Lần – THPT LIÊN SƠN Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Hướng dẫn: 2 x 1 y Đặt t y Biến đổi phương trình đầu dạng x x 24 x t 3t 24 t x y Xét hàm số f x x x 24 x liên tục 2;2 , từ có hệ mới: x y 2 Phương trình đầu viết lại: x x 13 x y y 10 x ( x 2) y y (*) Xét hàm số f t t t , có f ' t 3t t f t đồng biến Do (*) y x Thay y x vào phương trình thứ hai ta được: 3x x x x 10 x 26 x x x x 10 x 24 (điều kiện : x ) 3 x 2 x 2 x 2 x x 12 3x x - 27- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 3x 1 2x x x 12 (*) (*) vô nghiệm với x x x 12 Phương trình đầu viết lại: x y x y 1 y x y x Với y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 4 x 2 1 x x 1 2 x 1 2 (3x )2 2 x 1 Xét f (t ) t (3 x ) ( a ) t có f '(t ) 0, t f (t ) hàm số đồng biến nên (a ) có dạng 1 f 2 x 1 f 3 x x x x y 5 Với y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: 3( x 1) x x 2 x x x x 2 Điều kiện : y y 7 Phương trình đầu viết lại x 1 x 1 y 1 y 1 3 a Xét hàm số f t t 5t , tập , f t 3t 0, t hàm số f t đồng biến Từ a có dạng f x 1 f y 1 x y b Thay b vào phương trình thứ hai ta được: 5 x x 10 x 2 x 6 x x 13 x x 32 c điều kiện: x 2 x x 10 x x x 5 x x 7 3 x x 5x 10 2x ( x 2) x 5 x x 2 2 c Với x y x ; y 2;2 Thỏa mãn Với 5x x 10 x 7 3 x x 10 x 7 3 2x x 2 2 x 5 x 5x 10 x 0 x 2 2 2x 1 1 5 x 5x 10 2x 6 vô nghiệm 0, x 2 x 0,x 2 x 2 0, x 2 8 xy x x x y - 28- Email: phukhanh@moet.edu.vn 0, x 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 1 y y y x x x y y y x 3x x 1 x x 1 x y y y x 1 x 1 x 1 Xét hàm số f t t 2t 3t , t Có f ' t 3t t t , suy f t đồng biến Ta 1 f y f x 1 y x 1 Thay y x vào 2 rút gọn phương trình * x 2015 x 2016 x Ta có 2015 2016 x x 2016 x 2015 x Xét hàm số g x x x 2016 x 2015 , x g ' x x x 8 x x 3 2016 x 2015 2016 x2 3 x2 8 x 8 x 3 2016 x 2015 2016 2015 Suy g x nghịch biến ; 2016 Suy phương trình g x (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm Mặt khác g 1 Từ ta x nghiệm phương trình (*) Với x y 2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu) x y y 3x (1) Ta có hệ phương trình y y x x xy y (2) Điều kiện: y 1, x 0, y x (2) y x ( y y 1) x ( y xy y ) y 1 x ( y 1) x y ( y x 1) y 1 x ( y x 1) y 1 x y x y x Do Thế y vào (1) ta y 1 x 0, y 1, x 0 y 1 x x x x x (3) Xét f ( x ) x x x x , f '( x ) 2x 1 x x 1 Xét g (t ) t t 3 x 1 x x 1 , g '( t ) ( t 3)3 x 1 (2 x 1) x 1 (2 x 1) 0, t suy g(t) đồng biến Do x x nên g (2 x 1) g (2 x 1) suy f '( x ) g (2 x 1) g (2 x 1) 0, x - 29- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Do f ( x ) đồng biến , nên (3) f ( x ) f (2) x y Bài 10 2 x x x 1 x 2 y y Giải hệ phương trình: x 14 x y 1 2 Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải Nhận thấy x nghiệm hệ, chia hai vế (1) cho x ta 2 y y 1 1 3 y y y * x x x x x Xét hàm f t t t , t , có f '(t ) 3t 0, t nên hàm f (t ) đồng biến 1 * có dạng f 1 f ( y ) y 3 x x x 15 x x 15 x 1 x 7 0 2 x x 15 x 15 0 111 Vậy, hệ cho có nghiệm x ; y 7; 98 Thế (3) vào (2) ta Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 x y y 9 x xy y x y x x y y x y 13 x 1 2 2 x x y x x y x x y2 x y2 y2 1 x x 2x 1 2 x 1 y x xy (2 x xy ) x x 3xy x ( x y ) x y y ( y 1) x y 5x 7( x y ) xy x x y y x y x x x y Hướng dẫn: - 30- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lần – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lần – SỞ GD TP HÀ NỘI Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Lần – THPT TRẦN QUÝ CÁP NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x y , để hệ có nghiệm y x 1 VT (1) x y VT (1) VP (1) hệ vô nghiệm VP (1) y Nếu y , từ phương trình thứ hai suy x x xy y y y (*) x x 2 Xét hàm số f (t ) t t , t 0; f '( t ) 2t t2 t (*) có dạng f f ( y ) y x x y x Thế x 9 vào phương trình đầu ta được: 2 y y Hàm số g ( y ) 2 y đồng y y y biến ;0 ; hàm số h( y ) y nghịch biến ;0 g (3) h(3) Phương trình đầu viết lại: x x y 1 y 1 (*) Xét hàm số f t t 3t có f t 3t 0, t f t đồng biến Do (*) x y Thế x y vào phương trình thứ hai ta được: x 1 x x 3 x 1 a Nhận thấy x không nghiệm phương trình Với x a viết lại dạng Xét hàm số g x Ta có: g x 2x 7x 2x 7x 2x 3 7 x 6 x x 1 x x 1 có D \ 1 3 g x 0, ; x 1, g không xác định x 1 Hàm số đồng biến khoảng ;1 1; Ta có g 1 0; g 3 Từ phương trình g x có hai nghiệm x 1 x Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;2 3;2 x y Phương trình đầu tìm được: x x y x x y , thay vào phương trình thứ hai, đưa 2 dạng: Xét hàm f t t t đồng biến x x x x 1 1 1 ;x ( x ; y ) ; Từ giải x 2 x x - 31- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x x xy Phương trình viết lại: 1 y 1 1 1 y y y (*) x x x x Xét hàm số f (t ) t t , t có f ( t ) hàm số đồng biến 1 Do (*) có dạng f ( y ) f y x x Khi đó, phương trình thứ hai (2 x 7) x 3x x 3x x (vì 2x 7 không nghiệm) 2 , với x ; \ 2x 7 3 2 10 g ( x ) , với x ; \ x 2 x (2 x 7) 2 7 7 Suy g ( x ) đồng biến ; ; Xét hàm số g ( x ) x x Mà g (1) g (6) nên phương trình có hai nghiệm x 1; x x y 0, y y không thỏa hệ x y y y x y y ( x y )( x y ) x y y ( x y )( x y x y 2y )0 x y Thay vào phương trình thứ hai, ta x x 14 x x x 1 ( x 1) 3( x 1) x x 3 x x dạng f ( x 1) f ( x x 8) x x 2 Xét hàm số f t t t 2; Ta có: f ' t 3t 0, t 2; Mà f t liên tục 2; , suy hàm số f t đồng biến 2; Do đó: x y 1 Thay vào phương trình (2) ta được: x x x3 8 x x 2 x x x x x x 2 2 x 2 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x 2 2 x 2x - 32- Email: phukhanh@moet.edu.vn x 2 2 (*) 0 x x 2 x y x 2x x 2 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Ta có VT x x x 1 3;VP 2 Bài 11 x 2 2 1, x 2; x xy x y x y y Giải hệ phương trình: x 3 y 1 y 1 x x 3 x Lần – THPT LƯƠNG TÀI Lời giải Đặt a x 3, b y a, b phương trình đầu trở thành: a 2b ab a b a b a 2b Với a, b a 2b vô nghiệm Xét a b y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 3 x 3 x 1 x 2x 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 2x 3 x 3 x 1 x y ( thỏa mãn ) x 3 Phương trình * x 2 x x 1 x 2x 3* x x 1 2 x 1 * * Xét hàm số: f t t 2t 2 , t có f ' t t f (t ) đồng biến nửa khoảng x x 3 y 5 x 3x 0; * * có dạng f x 1 f x 1 x x 1 Vậy, hệ cho có nghiệm ( x ; y ) 3;5 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 32 x y y ( y 4) y x ( y 1) x x 13( y 2) 82 x 29 ( xy 3) y x x ( y 3x ) y x 16 2 y x x 10 x y x y x y (2 x x 1)(2 y y 1) x x y y Hướng dẫn: 1 x , y 2 - 33- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT BỐ HẠ Lần – THPT PHAN THÚC TRỰC Lần – THPT THẠCH THÀNH Lần – THPT TRẦN PHÚ – VĨNH PHÚC NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Phương trình đầu viết lại: (2 x ) x ( y y ) y y (2 x ) x y 2 y (a ) Xét hàm số f (t ) t t , f '(t ) 5t 0, x f ( t ) đồng biến (a ) có dạng f (2 x ) f ( y 2) x y Thay x y ( x 0) vào phương trình thứ hai ta được: (2 x 1) x x 52 x 82 x 29 (2 x 1) x (2 x 1)(4 x 24 x 29) (2 x 1) x x x 24 x 29 2 x x 24 x 29 (b ) (b ) ( x 2) (4 x 24 x 27) x 2x 1 2x 3 2x 1 (2 x 3)(2 x 9) (2 x 9) c Đặt t x x t c trở thành t 2t 10 21 (t 3)( t t 7) Từ tìm t 29 13 29 103 13 29 thỏa mãn, suy x ,y 2 x 2; y 2 x Phương trình đầu viết lại: ( x 1) ( y 3) y ( x 1) x ( y 3) y ( x 1) x ( a ) 31 Với x thay vào phương trình thứ hai, ta được: 2 y y ( không thỏa ) Phương trình (a ) y y ( x ) x (b ) Xét hàm số f (t ) t t , t có f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến Phương trình (b ) có dạng: f ( y ) f ( x ) y x y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x x 16 32 x 16 2(4 x ) x 8(4 x ) 16 2(4 x ) ( x x ) ( c ) Đặt: t 2(4 x ) (t 0) ; phương trình ( c ) trở thành: 4t 16t ( x x ) t x t ( không thỏa ) 0 x x 4 6 2(4 x ) 32 x y x 3 y y ( x ; y ) (0;0) không nghiệm hệ x Với t 2 y y Xét x , chia hai vế phương trình đầu cho x , ta x x (1) x x - 34- Email: phukhanh@moet.edu.vn x NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét hàm số f t t 2t , t Ta có f ' t 5t 0, t Vậy hàm số f t t 2t đồng biến Do (1) x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y y x2 x y y (2) Xét hàm số g ( y ) y y 1, y 1 Ta có g '( y ) 0, y Vậy g(y) đồng biến khoảng 2 y5 y 1 ; x x 2 Mà g (4) nên (2) y y y 4 y y x x y (2 y ) (2 x) (2 x ) (*) Xét hàm số f (t ) t t có f '(t ) t t 1 Thay vào (2) ta t 1 t t 1 0, t suy hàm số đồng biến , (*) x y x x x 3x x x 4( x 1) x ( x 1) x 1 4 (chia vế cho x x không thỏa mãn) x x ( x 1) t , ta có phương trình mới: 4t t t x x y 1 ( x 1) 2 Tức x x x x 1 x x y 2 Bài 12 2016 x y ( x x )( y y ) Giải hệ phương trình: Lần – THPT SÔNG LÔ 25 x x x 18 y y 1 Đặt Lời giải Điều kiện : x Phương trình tương đương 2016 x ( x x ) 2016 y ( y y ) x ln 2016 ln( x x ) y ln 2016 ln[ ( y ) ( y )] (*) Xét hàm số : f (t ) t ln 2016 ln( t t ), t có f ' t ln 2016 t 2 số đồng biến Phương trình (*) có dạng f ( x ) f ( y ) x y Thay vào phương trình thứ hai, ta : 25x x x Nếu x 18 x 18 x ,7 x VT ( a ) VP (a ) (loại) x 1 - 35- Email: phukhanh@moet.edu.vn 18 x (a) x 1 0, t Do hàm NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 18 25 9 x x x 1 Đặt t (0 t ) ta x Nếu x 18t 18t 12 2t 9 t t 1 t 1 36(t 2) ( t 2) 2( t 2) 0 t 1 4t 36 2 (b ) t t 1 4t 9 36 Vì t 12 36 VT (b ) 0, t 0; 9t 1 ,y t Từ tìm x 2 1 Vậy, hệ cho có nghiệm ( x ; y ) ; 2 25 9 t 2t Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: x x x y1 Lần 1– THPT ISCHOOL – KHÁNH HÒA y y y 3x 1 2 y x x y y Lần – THPT TĨNH GIA 3 x x 2 y 2.2 x 6 y3 9.2 x 6 y3 22 x x 2 y 1.3 x 3 y 18.4 x x 2 y Hướng dẫn: u u 3v (1) u x 1, v y , , hệ trở thành v v 3u (2) Trừ (1) (2) vế theo vế ta có u u 3u v v 3v (*) t Xét hàm số f (t ) t t 3t có f '(t ) 3t ln 0, t t 1 Do (*) f (u ) f (v ) u v Với u v thay vào (1) ta u u 3u 1 u u 1 2 3u 3u u u 1(**) u u ln 0, u u 2 y x y Phương trình (1) y x y y x y 3 y x y Xét hàm số g (u ) 3u Từ : 2 x x 2 y u u , g '(u ) 3u 2 x y 2 x 6 y x x 2 y - 36- Email: phukhanh@moet.edu.vn x 3 y2 x x 2 y NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x x 2 y x 3 y 2 x x 2 y 1 x x 2 y 1 x x 2 y 3x 3 y2 1 x y 2 x x 2y x 3y 2 x y 2 x y 2 y x y 4 y y x x 12 TH1: x x y x y y y 2 x y 9 y y x 3 y x y x x y TH2: x x y x y y y x y Bài 13 4 x y x x x x y Giải hệ phương trình: x 12 y y 12 x 12 Lần – THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN Lời giải x y 12 Điều kiện: * y 12 x x x y Phương trình thứ hai tương đương: x 12 y 12 y 12 x 12 x 12 y 12 x 24 x 12 y 12 12 y y 12 x x 12 y 12 x 12 y x 3; y 12 Thay y 12 x vào phương trình ta được: x x x x 3x x x 1 3x x 5x 1 x x 3 x x x x x x x x Khi ta nghiệm x ; y 0;12 1;11 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm x ; y 0;12, 1;11 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 37- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4 y x y 85 50 x y 13 y x x xy y x xy y 3( x y ) 2 x y y 8 x y x xy x 11 12 x y x x xy 17 y 17 x xy y 5( x y ) ( x 1) x y (6 y 11) x x x x y y x y x y y x y x y x x Lần – THPT ĐOÀN THƯỢNG Lần – THPT QUỲNH LƯU Lần 1– THPT SỞ NAM ĐỊNH Lần – THPT NGUYỄN KHUYẾN Hướng dẫn: 11 23 11 Ta có x 3xy y ( x y )2 ( x y ) ( x y ) 6 36 6 Nên 11 11 11 x xy y ( x y ) x y x y 6 6 6 Tương tự x xy y ( Cộng lại ta : 11 11 11 x y)2 x y x y 6 6 6 x xy y x xy y 3( x y ) dấu xảy x y 11 23 ; ; sau : 6 36 2 x xy y (ax by ) c (x y) Do tính đối xứng nên giả sử : 4 x xy y (b x ay ) c (x y) a c Khai triển đồng hệ số ta có hệ số x b c a b VP 3( x y ) 11 23 Trừ vế (1) cho (2) kết hợp với (3), ta a ; b ; c 6 36 Chú ý : Cách tìm hệ số PT (1) 4 x x x 85 57 x 13 x x 4 x x 2x 5 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có : VT (4 x ) 12 ( x 2) (7 x ) (4 x ) 12 (5 x ) 4 x x 2x 5 x x 1 4x Dấu xảy x 3 x 2 2x 2 x , y - 38- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4x 8 y Đẳng thức xảy y x 4x y y 8 x y 8 x Đẳng thức xảy y x 2 x y 4( x 2) y Suy x y y 8 x y x Đẳng thức xảy y x Do phương trình tương đương y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 11 x 3x x x 3 3x x 1 x x 3 3x x x x 3 do x 2; 3x x 3x x 1 0 x x 3 3x x x x 1 x x (a ) (b ) 3x x 3x x x x 3 13 13 ( thỏa mãn ) x ( không thỏa mãn ) 2 7 3x x 2; : g ( x ) x x g '( x ) 1 0 3x 3x 7 1 g ( x ) g 3 3x x 7 1 x 2; x x 10 3x x 1 7 1 x 2; : nên (b ) vô nghiệm 3x x 3x x x x (a ) x x 2 , phương trình x y VT (1) ( x y ) ( x y ) (4 x y ) ( x y ) ( x y ) (4 x y ) x y x y thay x y ( x 1) x x (6 x 11) x x ( x x 12) x x x x x x ( x 2) x 6( x 2) x 2x x x 2 x2 x 2 6 x 2 0 x x x 0(do x 0) x x x 2 Đặt t x x 2 x x 2 , phương trình trở thành: 2t t t (2t 3)( t 2t 2) t 369 x x x x 18 x - 39- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ phương trình đầu hệ ta có đánh giá: x 3x x 3x 3.1.1 x 3x y2 3y 2 x 3x y y Từ phương trình đầu suy ra: x y x 1 x x y y 3 y 3y 2 y y .1.1 x y x y Thay y x vào phương trình thứ hai, liên hợp ta tìm nghiệm: 1 x ; y ; ,3;3 2 - 40- Email: phukhanh@moet.edu.vn [...]... 9 x 5 Giải hệ phương trình: x 3 y 3 12 x 3 y 3 y 2 6 x 2 7 Lời giải x 3 Điều kiện : y 1 - 17- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 1 4 t 0, t 2; 4 Lần 2 – THPT ANH SƠN 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3) Thay (3) vào phương trình thứ nhất... Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lần 1 – SỞ GD TP HÀ NỘI Lần 2 – THPT TÔ VĂN ƠN Lần 1 – THPT TRẦN QUÝ CÁP NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x y 6 0 1 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 x 1 VT (1) 2 x y 6 2 5 VT (1) VP (1) hệ vô nghiệm VP (1) 1 y 1 Nếu y 0 , từ phương trình thứ hai... 27 x 2 27 x 8 0(vn ) Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) (0;2) Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 x 3 4 x 2 3 x 1 2 x 3 2 y 3 2 y 1 x 2 3 14 x 3 2 y 1 - 23- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 2 Lần 2 – THPT HẬU LỘC NHOÙM TOAÙN 02 2 3 4 5 6 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 2 x 2 y 2 2 x 1 x 2 ... 1 y 1 vào phương trình thứ hai, rút gọn ta được 3 x 2 8 x 3 4 x x 1 2 Ta có y 1 suy ra y Với x 3 2 3 y 2 4 3 3 5 2 13 41 7 13 Với x y 2 9 72 - 26- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện 4 3 3 5 2 13 41 7 13 ; Hệ phương trình có hai nghiệm... được phương trình * x 2 8 2015 x 2 3 2016 x Ta có 2015 2016 x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 0 x Xét hàm số g x x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 , x g ' x x x 8 2 x x 3 2 2016 x 2015 2016 x2 3 x2 8 x 2 8 x 2 3 2016 0 x 2015 2016 2015 Suy ra g x nghịch biến trên ; 2016 Suy ra phương trình g x 0 (Phương trình. .. 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4 x 1 Phương trình đầu viết lại: ( x 2 y ) (2 x 3 4 x 2 y ) ( xy 2 2 y 3 ) 0 ( x 2 y )(1 2 x 2 y 2 ) 0 x 2 y Vì 1 2 x 2 y 2 0, x , y Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x 2( ) 2 x x 16 x 1 2 2 2 2 x 4x 7 x 8 x 4 x 4x 7 2 x 1 x 8 Phương trình. .. Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 xy y 2 2 y x 1 y 1 x Tương tự: 3 6 y 3 2 x 3 y 7 2 x 7 Lần 1 – THPT LÝ THÁI TỔ Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2 x 3 y 7 0 (*) x 0 Nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0 y 1 Khi đó phương trình đầu x ( y 1) ( y 1) 2 ... 0; xy 0;1 x 1 Từ phương trình thứ nhất, ta có được: x 0 y 0 x 0 Xét , thỏa mãn hệ phương trình y 0 - 14- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 y 1 1 0 y 1 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét x , y không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với: 9 y 2 2 y 3 y x 3 x 4 xy 4 x 0 9 y 2 2 y ... - 11- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 Bài 4 2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y Giải hệ phương trình: 2 2 9 2x y 9 3 2 x y 3 4 5 x Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3 Lời giải 4 Điều kiện: x ;2 x y 0 5 Phương trình đầu tương đương: 2 x 2 y 2 x 3( xy 1)... NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Ta có VT x 2 2 x 4 x 1 3 3;VP 2 2 Bài 11 x 2 2 1, x 2; x 3 xy x 3 y 3 x 1 2 y y 1 Giải hệ phương trình: x 3 y 1 y 1 x 2 2 x 3 x 1 2 Lần 3 – THPT LƯƠNG TÀI 2 Lời giải Đặt a x 3, b y 1 a, b 0 thì phương trình đầu trở
Ngày đăng: 16/05/2016, 22:11
Xem thêm: chuyên đề hệ phương trình qua kì thi thử 2016, chuyên đề hệ phương trình qua kì thi thử 2016