Đang tải... (xem toàn văn)
Đa số các em đều gặp trở ngại khi cày hình Oxy, khi các em xem bài giảng, nghe thầy cô giảng thì hiểu nhưng khi bắt tay vào làm thì lại không làm được, 1 phần là do các em chưa nắm vững các kiến thức căn bản, 1 phần là do chưa biết cách tư duy. Có nhiều em thì lại nói với anh rằng lúc làm bài thì dễ mà đi thi sao lại khó lại phải kẻ vẽ thêm đường phụ, lý do là ở đâu ? Nhiều em cũng làm tốt Oxy nhưng sau khi đọc xong chuyên đề hệ phương trình ver 2.1 của anh thì lại cho rằng Oxy còn khó hơn cả hệ, và muốn anh chia sẻ những kinh nghiệm làm toán của mình. Ở bí kíp này, anh sẽ tập chung dậy các em tư duy Oxy đó mới là mấu chốt của bài toán, còn thì giải chi tiết cho em 100 bài không bằng định hướng để em tự làm được 1 bài, trên mạng tài liệu giải chi tiết rất nhiều, sách cũng có rất nhiều các quyển vài trăm trang… nhưng thử hỏi khi đọc xong em lĩnh hội được bao nhiêu ? Ở bí kíp này anh muốn chia sẻ 1 cách làm bài Oxy có thể là không mới nhưng cũng không quá gây khó cho các em. Anh cũng đã đi lang thang trên nhiều diễn đàn rồi xem các bài của các thầy nổi tiếng, nhưng anh thấy đây sẽ là tài liệu tổng hợp những phương án hay nhất và là duy nhất trên mạng, chưa từng có ai viết về nó. Anh không nổ đâu nhé, không lại đổi tên anh thành BLực ( Boom Lực thì tội anh, keke cứ gọi anh là Thế Lực BK tức là anh Lực chuyên viết Bí Kíp hay anh Lực học ở Bách Khoa cũng được, hehe )
Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Võ lâm bí tịch Oxy Cửu âm chân kinh Version 1.0 Chuyên đề đặc biệt I, Giới thiệu: Đa số em gặp trở ngại cày hình Oxy, em xem giảng, nghe thầy cô giảng hiểu bắt tay vào làm lại không làm được, phần em chưa nắm vững kiến thức bản, phần chưa biết cách tư Có nhiều em lại nói với anh lúc làm dễ mà thi lại khó lại phải kẻ vẽ thêm đường phụ, lý đâu ? Nhiều em làm tốt Oxy sau đọc xong chuyên đề hệ phương trình ver 2.1 anh lại cho Oxy khó hệ, muốn anh chia sẻ kinh nghiệm làm toán Ở bí kíp này, anh tập chung dậy em tư Oxy mấu chốt toán, giải chi tiết cho em 100 không định hướng để em tự làm bài, mạng tài liệu giải chi tiết nhiều, sách có nhiều vài trăm trang… thử hỏi đọc xong em lĩnh hội ? Ở bí kíp anh muốn chia sẻ cách làm Oxy không không gây khó cho em Anh lang thang nhiều diễn đàn xem thầy tiếng, anh thấy tài liệu tổng hợp phương án hay mạng, chưa có viết Anh không nổ đâu nhé, không lại đổi tên anh thành BLực ( Boom Lực tội anh, keke gọi anh Thế Lực BK tức anh Lực chuyên viết Bí Kíp hay anh Lực học Bách Khoa được, hehe ) II, Đặt vấn đề Trước nói nội dung anh trình bày anh xin nhắc lại số kiến thức bản: Hình Oxy ta có đối tượng quan trọng : Điểm; đường thẳng; đường tròn, elip… Các đối tượng hoàn toàn xác định ta biết điều kiện nó, thường toán cho ta sẵn kiện, ta phải tự tìm kiện lại thông qua kiện lại phải thông qua bổ đề vuông góc, nhau, song song Yêu cầu toán Tìm điểm, đường thẳng, đường tròn, elip… +Nếu tìm điểm tác giả cho sẵn thuộc đường thẳng hay đường tròn quan hệ độ dài +Nếu tìm đường thẳng cho vtcp vtpt tọa độ điểm +Nếu tìm đường tròn đa phần có biểu thức quan hệ độ dài hay khoảng cách để em tính bán kính Sau có kiện việc lại giải phương trình Bổ đề vuông góc, song song, Các em tiền hành xử lý, sử dụng công thức góc, khoảng cách, tham số hóa tọa độ điểm đề cho đường thẳng qua điểm đó… Mọi thứ đề tìm thêm mối liên hệ Dữ kiện toán Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt Đó tư để giải Oxy, từ kiện lên anh nói thẳng có đường cho em đa phần em lạc lối Giống sau: Cùng mục tiêu đỗ đại học có đường + Chăm học học làm chăm Đỗ Đại Học + Đỗ Đại Học thi 24-27 điểm môn 8-9 điểm tập chung cày điểm lại phải có bước đột phá ( bí kíp hệ chẳng hạn )7 điểm đầu dễ chăm Chăm học Các em thấy chưa, mục tiêu, kiện, xác định từ ta có đến ta tìm kiếm mông lung nhiều ta lên hệ thống muốn có kết ta phải làm ta thực trình tự đó, ta kết Anh gọi tư ngược, trình học phải có bước đột phá bổ đề phụ toán Oxy Yêu cầu chung: Có Tinh thần đỗ Đại Học ý thức học tập, tháng cuối em Nắm kiến thức mặt phẳng Oxy III, Nội Dung *Nội dung : Hệ thống kiến thức SGK Tư ngược để giải toán Oxy Các Bổ Đề hình học hay dùng mặt phẳng Oxy cách chứng minh ( số bổ đề quan trọng, số có tính chất tham khảo) Về bố cục tài liệu gồm có: A- Hệ thống kiến thức SGK B-Tư ngược Gồm ví dụ phân tích chi tiết Các tự luyện Oxy thi ĐH có đáp số C – Bổ đề hình học: Tam giác, hình vuông, hình chữ nhật Bổ đề tam giác Bổ đề hình vuông, hình chữ nhật… Một số ví dụ minh họa Ở tài liệu anh này, phần lớn anh chia sẻ kinh nghiệm tư làm bài, số bổ đề mà phụ trách phần bạn anh anh Nguyễn Văn Nam – chuyên Toán Vĩnh Phúc, phần bổ đề chủ yếu giải khó có kiện đặc biệt… Hi vọng tài liệu không làm em thất vọng, Cảm ơn em dài cổ hóng anh suốt thời gian qua Thời gian qua anh vui nhận đón nhận nồng nhiệt từ em từ chuyên đề hệ, niềm tự hào áp lực cho anh để cố gắng cho tài liệu sau, anh cố gắng truyền đạt điều dễ hiểu tới em, có hay hay không lại lại vấn đề khác, anh hi vọng có ích thật nhiều cho em hạ gục thằng Oxy, không cảm thấy lo sợ Lúc đầu anh định trình bày kiến thức hình vuông sở thực thấy không ứng dụng nhiều nên anh bỏ qua phần mà tập trung vào phần kiến thức bản, tư nược, bổ đề phụ Tài liệu version 1.0 nên có nhiều sai sót anh hi vọng góp ý em ( đặc biệt sai tả ) Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt A- Hệ thống kiến thức Trực tâm: Giao đường cao Trọng tâm: Giao đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao đường trung trực Tâm đường tròn nôi tiếp: Giao đường phân giác Điểm Đi qua Đường thẳng Hs góc k: y k ( x xo ) yo Vtpt n (a; b) : a( x xo ) b( y yo ) Vtcp u (a; b) M o ( xo , yo ) Và có : Oxy Đi qua A(a;0) Ox x y pt : 1, ab a b B(0; b) Oy Đường tròn Chính tắc x xo y yo a b +Tâm I ( xo , yo ) +Bán kính R Tham số : x xo at y yo bt ( x xo ) ( y yo ) R a b2 a b c x y +ax+by+c=0 Tâm I ; R 2 2 a2 b2 4c2 Trục lớn: A1 A2 2a , nhỏ B1 B2 2b Độ dài Elip x2 y 1 a b Tâm sai Có tiêu cự F1 F2 2c với a b c , a, b, c e c 1 a x a S 4ab HCN sở H giới hạn y b C 4(a b) c MF a x a ex x2 y o a o M ( x , y ) ( E ) o o 1; MF MF 2a o o a b2 MF a c x a e x o a o Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt A( x1; y1 ) AB ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB B( x2 ; y2 ) Khoảng cách x2 x1 y2 y1 2 M ( xo ; yo ) ax byo c d ( M , ) o a b2 : ax by c '/ / , M ' d ( ', ) d ( M , ) Góc a1a2 b1b2 1 : a1 x b1 y c1 cos | cos(n1 , n2 ) | cos(u1 , u2 ) a12 b12 a22 b22 : a x b2 y c2 n1.n2 u1.u2 1 : y k1 x d1 k1.k2 1 : y k x d 1 abc a.ha bcsin A pr 2 4R R,r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Diện tích tam giác: S p( p a)( p b)( p c) B-Tư ngược Anh nêu pp để giúp hình thành tư cho em toán Oxy, để định hướng rằng, muốn có KQ ta cần tìm gì, từ ta ghép nối với kiện toán cho phù hợp Khởi động ta chiến A – 2014: Ví dụ 1(ĐH-A-2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N(2;-1) Hướng dẫn + Bước : Ta cần vẽ hình thật chuẩn A M(1;2) B I N(2;-1) D C + Bước 2: Xác định mục tiêu phương hướng : bẻ khóa, tìm điểm mấu chốt Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt *Mục tiêu: Viết phương trình CD, tay trắng, kiện trực tiếp Có hướng để em viết pt đường thẳng Là tìm điểm thuộc đường thẳng, ta đặc biệt quan tâm tới đầu mút trung điểm đoạn CD, điểm đặc biệt Ta tìm điểm vecto phương pháp tuyến Một điều đặc biệt quan trọng khiến chung ta phải quan tâm hình vuông hay hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành tọa độ tâm quan trọng, giúp ta nhiều việc biết tọa độ đỉnh tìm tọa độ đỉnh đối diện có khả dễ dàng tìm nhờ đỉnh lại Ở tâm hình vuông ABCD I, ta tìm I : +Dễ dàng xác định C, N trung điểm IC + Dễ dàng xác định trung điểm CD I trung điểm MP, với P trung điểm CD + Ta dễ dàng xác định IM vecto pháp tuyến CD ……… Vậy có tọa độ I, ta giải vấn đề toán Vậy câu hỏi làm để tìm I ? Ta nhận thấy mối liên hệ IM IN sau: AI IM IM IN , ta có phương trình, ta phải tìm phương trình IN AI Đến vui nè : có nhiều em hỏi anh là? Anh em biến đổi hồi lại ta 0x = , keke Đó em dùng kiện lần, đề tránh điều ? Ta phải biết dự kiện ta dùng rồi, kiên ta chưa dùng được: hcn, AC BD Từ kiện hình vuông: C 90, AB BC CD DA A B AM MI AB BC AI Khi ta dùng IM tức ta dùng điều kiện hình vuông coi dùng AB BC AM MI AI tức AN = NC dùng Tọa độ M, N phục vụ phương trình IM IN x, x , muốn tìm pt đâu ? IN Ta để ý độ dài MN 10 ta chưa có dùng, phải bám vào 135o Các em nối M với N, thấy tam giác IMN có góc NIM A M(1;2) B I N(2;-1) D C Các em áp dung định lý cosin : MN IM IN IM IN Cos NIM Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh 1 10 x x 2 x Chuyên đề đặc biệt 10 x x Tới ta có : 2 ( x 1) ( y 2) IM ( x 1) ( y 2) 2 IN ( x 2) ( y 1) 2x y x 1, y tới xong ( x 1) ( y 2) 10 y y x 11 , y x 3y 1 x 3y 1 5 Với I (1;0) C (3; 2) IM (2;0) vecto pháp tuyến CD nên : CD : y 11 Với I ( ; ) 5 12 12 C( ; ) IM ( ; ) vecto pháp tuyến: ( x ) ( y ) CD : 3x y 15 5 5 5 5 Vậy có phương trình CD : CD : y CD : 3x y 15 Ví dụ 2: (ĐH – B – 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) hình chiếu vuông góc B AD điểm G( ;3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Hướng dẫn: + Bước 1: Vẽ cẩn thận hình, mặt toán: H(0;-1) M(-3;0) A B I G D N C + Bước 2: Xác định mục tiêu Phương hướng : Tìm điểm mấu chốt, hạ gục toán Mục tiêu ta tìm tọa độ B D, ta để ý điểm đối xứng với tâm I tim hình bình hành, ta cần bám vào nhiều, nên cần tìm đươc B I tìm D Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt Các em gọi N trung điểm DC đằng lúc vẽ phải xác định vẽ trọng tâm từ BC D G kiện trọng tâm G có khả anh viết em tự hiểu nhé, hoàn toàn tự nhiên BG BN anh không đặt Về hình vẽ cần Mục tiêu tìm I B, em tháy có tọa độ I dễ àng suy B nhờ đường I N I trung điểm MN B GB 2GN thực chất tở ta cần tìm điểm I B xong, tìm B quy trình ngược lại cuối anh chọn tìm B thấy kiện đề cho vuông góc liên quan trực tiếp tới điểm B HB AH thực tìm điểm thôi, em thấy dễ làm trước Ta giả sử B ( xo , yo ) M trung điểm AB nên : A(6 xo , yo ) suy AH ( xo 6, yo 1) Ta có: HB ( xo , yo 1) Theo giả thiết: AH.HB xo ( xo 6) ( yo 1)( yo 1) (1) Vậy ta có phương trình, ta cần tìm phương trình nữa, ta sử dụng kiện đề vuông góc toạn độ H, M M trung điểm AB kiện ABCD hình bình hành G trọng tâm BCD, ta tập trung khai thác chúng xo 4 xN x 2( x ) N xo ; yo N Với G trọng tâm BCD nên : GB 2GN o 3 yo 2( yN 3) y yo n AD BC Rồi kiện ABCD hình bình hành AD / / BC Tức MN / / AD ta sử dụng điều kiện đã: 10 x y o o MN , 2 10 xo k ( xo 6)(a ) MN / / AD MN / / AH MN k AH ,k y o k ( yo 1)(b) Dễ thấy yo không thỏa mãn (b) nên ta hoàn toàn yên tâm khác vế phương trình (b) Ta nhân chéo (b) với (a) ta : (10 xo )( yo 1) ( xo 6)(9 yo ) xo yo (2) Các em lấy (2) thay vào (1) : yo 15 yo 15 yo xo 2 B(2;3) yo bị loại em nhé, không thỏa mãn (b) Nếu em muốn yên tâm làm này, đưa vuông góc cho thành phép nhân đỡ nguy hiểm MN / / AD MN / / AH MN HB MN HB 10 xo yo xo ( yo 1) xo2 yo2 10 xo yo 0(3) Từ (1) (3) suy : Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt 2 2 2 xo yo xo xo yo xo xo yo xo xo 2, yo B(2;3) x 0, y 1 B(0; 1) 10 16 8 (2 1) x y x y x y y x o o o o o o o o o Nhiều em điêu đứng chỗ đây, thân anh điêu đứng lần tìm điểm loại điểm lại, đó, có mặt, tránh vỏ dưa gặp vỏ dừa :D Hãy nhớ lại điều kiện = hình bình hành mà ta chưa dùng Với B(0; 1) ta có Ta dùng điều kiện : AD MN BC MN (5;5) N (2;5) , I ( , ) suy D(1;6) ; C (3; 4) nên BC (3;5) 2 Dễ thấy MN BC nên loại B(0; 1) Với B(2;3) ta có Ta làm y chang vây :D MN (6;3) N (3;3) , I (0, ) suy D(2;0) ; C (4;6) nên BC (6;3) Đó thấy MN BC B(2;3) thỏa mãn Vậy B(2;3) D(2;0) Đây phương pháp tư ngược, xử lý điều kiện mà anh muốn trình bày, anh choáng làm xong mở giải xem BGD, mà người ta kẻ vẽ ? kẻ thêm đường gì, hoàn toàn tự nhiên không gượng ép Ví dụ 3: ĐH – D – 2014 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC Hướng dẫn Các em thao khảo cuối cùng, phần tập áp dụng bổ đề trang gần cuối Ví dụ 4: ĐH – A – 2013 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x y A(4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5;-4) ĐS : B(4; 7); C (1; 7) Hướng dẫn Bước 1: Vẽ hình : Hình vẽ đơn giản Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt A(-4;8) B D C N(5;-4) M Bước 2: Xác định mục tiêu, phương hướng : tìm điểm mấu chốt Ở ta cần tìm B C, ta biết trước kiện C nên cần biết kiện xong Thực điều kiện C thuộc 2x y điều kiện liên quan tới C cả, em thấy điều có nghĩa em phải tự tìm điều đặc biệt liên quan tới C điểm có tọa độ lại , ta nối A với N độ dài AN có ích cho ta, nối C với N, C với A, điểm có tọa độ sẵn ta liên hệ với điểm cần tìm xem có đặc biệt không, kA-2014 ta nối thấy góc 135 độ, ? A(-4;8) B D C N(5;-4) M Lúc tác dụng việc vẽ chuẩn hình bắt đầu có tác dụng, ta thấy AN vuông với CN, vuông tốt, ta tìm tọa độ C Đây lí tai phải phân tích điểm cần tìm trước, điểm cần tìm sau để tìm mối liên hệ cho phù hợp, không vững vàng tư tưởng phòng thi rối cảm thấy ngột thở nghĩ không *Bây ta chứng minh AN vuông góc với NC : anh sử dụng cộng góc, em dùng tứ giác nội tiếp Ta để phải bám vào kiện đề cho àm ta chưa dùng : BN DM , BC CM Trong tam giác vuông NBC thấy NC trung tuyến tam giác nên NC BC CM Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh HBC Nên BCN tam giác cân C suy : HNC (1) Để ý chút nữa: Anh gọi thêm điểm H Chuyên đề đặc biệt B A(-4;8) H D C N(5;-4) M Thì ACMD hình bình hành, nên AC / / DM AC DM Tam giác BCN cân lại có CH đường cao nên đường trung tuyến hay H trung điểm BN Vậy tam giác ABN cân AH vừa đường cao, vừa trung tuyến nên ANH ABH (2) Từ (1) (2) suy ra: ANC ANH HNC ABH HBC ABC 90 AN NC ta có : Với C thuộc 2x y suy : C (c, 2c 5) AN (9; 12); NC (c 5, 2c 1) AN NC AN NC 9(c 5) 12(2c 1) c C (1; 7) Muốn tính tọa độ B ta tính thông qua H N ta biết rồi, H lại trung điểm BN ta cần viết phương trình AC NB x y 8 Phương trình AC: 3x y 7 Phương trình NB qua N vuông AC : ( x 5) 3( y 4) x y 17 3 x y 4 x 11 H ; Toa độ H nghiệm hệ : 2 x y 17 y 11 Do H trung điểm BN nên tọa độ H B(4;7) Đây cách anh làm thi năm 2013 anh, em đọc thấy khó, lúc phòng thi anh nghĩ cách thôi, cách anh tham khảo thêm BGD sau: Như anh nói trước, tim hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật tâm I nó, ta cần bám vào tâm Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 10 DE⊥KE F, E, K trung điểm AB, DO, CO AI=AD M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H theo bổ đề 1, DN⊥CM Dễ thấy AMCP hình bình hành => AP//CM hay PH//CI, mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP//CM => AP⊥DN 10 A, L, N thẳng hàng Do đó, AP vừa trung tuyến , vừa đường cao => tam giác ADI cân A => AD=AI http://www.toanmath.com/ I, 𝐼𝑎 tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC M, N L đối xứng với M qua I => A, I, 𝐼𝑎 thẳng hàng (1) Lại có: 𝐼𝐿 ⊥ 𝐵𝐶 => IL//𝐼𝑎 𝑁 (2) 𝐼𝑎 𝑁 ⊥ 𝐵𝐶 H, K tiếp điểm (I), (𝐼𝑎 ) với AB 𝐼𝐿 𝐼𝑎 𝑁 𝐼𝐻 =𝐼 𝑎𝐾 𝐼𝐴 =𝐼 𝑎𝐴 (do IH//𝐼𝑎 𝐾) (3) Từ (1), (2), (3) suy A, L, N thẳng hàng 11 BM=CP Đường tròn nội tiếp tâm I, tiếp xúc với BC M Kẻ đường kình Mn AN cắt BC P Kẻ tiếp tuyến (I) N, cắt AB, AC E, F K tiếp điểm (I) với AB IE phân giác góc 𝐾𝐼𝑁 Có IB phân giác góc 𝐾𝐼𝑀 𝐾𝐼𝑁 + 𝐾𝐼𝑀 = 180𝑜 nên 𝐸𝐼𝐵 = 90𝑜 =>∆BIE vuông I có IK đường cao =>𝑟 = 𝐼𝐾 = 𝐾𝐸 𝐾𝐵 = 𝑁𝐸 𝑀𝐵 Tương tự, 𝑟 = 𝑁𝐹 𝑀𝐶 𝑁𝐸 𝑁𝐹 𝑁𝐸+𝑁𝐹 𝐸𝐹 Do đó, NE.MB=NF.MC =>𝑀𝐶 = 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶+𝑀𝐵 = 𝐵𝐶 𝑁𝐹 𝐸𝐹 Lại có EF//BC nên 𝐶𝑃 = 𝐵𝐶 Do CP=BM 12 AM⊥PQ http://www.toanmath.com/ AD, BE, CF đường cao hạ từ A, B, C Đường thẳng qua A song song BE cắt CF P Đường thẳng qua A song song CF cắt BE Q APHQ hình bình hành Gọi I tâm giao AH PQ => I trung điểm AH Có: 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻𝑃 (do tứ giác BFHD nội tiếp) 𝐴𝑃𝐻 = 𝐵𝐴𝐶 (𝑑𝑜 𝑝ℎụ 𝑣ớ𝑖 𝑔ó𝑐 𝑃𝐴𝐹 = 𝐵𝐴𝐸 ) 𝑑𝑜 đó, ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑃𝐻𝐴 (g-g) có I , M trung điểm AH BC => ∆𝑃𝐼𝐻~∆𝐴𝑀𝐵 =>𝑃𝐼𝐻 = 𝐴𝑀𝐷 => IKMD nội tiếp =>𝐼𝐾𝑀 = 90𝑜 => đ𝑝𝑐𝑚 13 CH⊥HF F, E thuộc AB, AD thỏa mãn AF=AE H hình chiếu A lên BE Xét ∆AHF ∆BHC có: 𝐻𝐴𝐹 = 𝐴𝐸𝐻 = 𝐻𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐻 = => = 𝐴𝐸 𝐵𝐴 𝐴𝐹 𝐵𝐶 ∆AHF~∆BHC (c-g-c) 𝐴𝐻𝐹 = 𝐵𝐻𝐶 Mà 𝐴𝐻𝐹 + 𝐹𝐻𝐵 = 90𝑜 𝑛ê𝑛 𝐵𝐻𝐶 + 𝐹𝐻𝐵 = 90𝑜 HF⊥HC 14 𝐵𝐾𝐶 = 90𝑜 http://www.toanmath.com/ D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB EF cắt BI K Ta có 𝐵𝐼𝐶 = 90𝑜 + 𝐾𝐸𝐶 = 𝐴𝐸𝐹 = 𝐵𝐴𝐶 =>𝐾𝐼𝐶 = 90𝑜 − 180 𝑜 −𝐵𝐴𝐶 =90𝑜 − 𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐴𝐶 Do đó, 𝐾𝐼𝐶 = 𝐾𝐸𝐶 => Tứ giác EKCI nội tiếp, có 𝐼𝐸𝐶 = 90𝑜 𝑛ê𝑛 𝐼𝐾𝐶 = 90𝑜 Đpcm Bài tập áp dụng Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(2;0) điểm A(3;4) Viết phương trình đường thẳng BC Giải http://www.toanmath.com/ 𝐴𝐻 =(-2;-1) H trực tâm => AH⊥BC => VTPT BC 𝐴𝐻 = (−2; −1) hay 𝑛𝐵𝐶 =(2;1) Ta cần tìm thêm tọa độ điểm thuộc BC Điểm chân hình chiếu A lên BC, trung điểm BC, giao AI với BC Quan sát kiện đề bài, xuất A, H, I (tâm ngoại tiếp), ta liên hệ tới bổ đề: Mối quan hệ trực tâm H tâm O: 𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 Gọi M trung điểm BC, T đối xứng với A qua O => AT đường kính đường tròn tâm O B, C thuộc đường tròn đường kính AT nên BA⊥BT; CA⊥CT (1) H trực tâm nên BA⊥CH; CA⊥BH (2) Từ (1) (2) suy CH//BT; BH//CT => BHCT hình bình hành, có M trung điểm đường chéo BC nên M trung điểm đường chéo HT; O trung điểm AT => OM đường trung bình tam giác AHT 𝑂𝑀//𝐴𝐻 =>𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 Từ đó, ta nhận phải tìm tọa độ điểm M: Áp dụng bổ đề:𝐴𝐻 = 2𝐼𝑀=(-2;-1) 𝑥𝑀 = 2(𝑥𝑀 − 𝑥𝐼 = −2 1 => M(1;− ) 𝑦𝑀 = − 2(𝑦𝑀 − 𝑦𝐼 = −1 Do đó, phương trình đường thẳng BC qua M(1;-2), có vtpt 𝑛𝐵𝐶 =(2;1) là: http://www.toanmath.com/ (BC): 2(x-1)+1.(y+2)=0 (BC): 2x+y- 2=0 Ví dụ 2:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD cạnh a=1 M, N trung điểm AB, BC Biết phương trình đường thẳng CM, DN x+y-2=0; x+2y-3=0 Tìm tọa độ A biết A thuộc d: x-2y+3=0 Giải Tham số hóa A(2t-3;t) => cần tìm thêm phương trình liên quan Gọi I giao điểm CM, DN => I(1;1) Ta có bổ đề sau: AD=AI M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H theo bổ đề 1, DN⊥CM Dễ thấy AMCP hình bình hành => AP//CM hay PH//CI, mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP//CM => AP⊥DN Do đó, AP vừa trung tuyến , vừa đường cao => tam giác ADI cân A => AD=AI Áp dụng bổ đề: 1=AD=AI= (2𝑡 − + (𝑡 − t=1 t=8 A(-1;1) A(13;8) http://www.toanmath.com/ Ví dụ 3: (Khối A-2009) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc cạnh AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0 Viết phương trình đường thẳng AB Giải Viết phương trình đường thẳng AB, biết qua M(1;5) Ta cần tìm vectơ pháp tuyến (có thể tìm thêm điểm khác thuộc AB không khả thi) Nhận thấyIE⊥CD//AB => IE⊥AB , biết điểm I => cần tìm điểm E suy vtpt AB Điểm E thuộc ∆:x+y-5=0 => tham số hóa E(t;5-t) => cần tìm thêm phương trình Khi biết tọa độ tâm I, ta nghĩ đến tính chất đối xứng hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Nếu M∈AB, N đối xứng với M qua I N∈CD Do đó, N có tọa độ 2𝑥𝐼 − 𝑥𝑀 = 11 => N(11;-1) 2𝑦𝐼 − 𝑦𝑀 = −1 Từ đó, ta có phương trình liên qua đến t là: 𝐸𝐼 𝐸𝑁 = 𝐸𝐼 = (6 − 𝑡; 𝑡 − 3) ; 𝐸𝑁 = (11 − 𝑡; 𝑡 − 6) 𝑡=6 (6 − 𝑡 (11 − 𝑡 + (𝑡 − (𝑡 − = => 𝑡=7 - Nếu t=6 =>𝐸𝐼 = (0;3) => (AB): 3(y-5)=0 - Nếu t=7 =>𝐸𝐼 = (−1; 4) => (AB): -1(x-1)+4(y-5)=0 (AB) –x+4y-19=0 Ví dụ 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) 𝑥 + 𝑦 = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ B, C M(-1;-3); N(2;-3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết 𝑦𝐴 < Giải http://www.toanmath.com/ Biết 𝑦𝐴 < => tìm tọa độ điểm A trước Xuất chân đường vuông góc tâm ngoại tiếp, ta nghĩ đến bổ đề: Tính chất AO⊥EF BE, CF đường cao hạ từ B, C Kẻ tiếp tuyến A đường tròn tâm O 𝑥𝐴𝐵 = 𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 = 90𝑜 => BFEC tứ giác nội tiếp =>𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 Do đó, 𝑥𝐴𝐵 = 𝐴𝐹𝐸 => Ax//EF mà AO ⊥Ax nên AO⊥EF Áp dụng,ta có MN⊥AO ; 𝑀𝑁 = (3; 0) => VTPT AO 𝑛𝐴𝑂 = (3; 0) AO qua O(0;0), có vtpt 𝑛𝐴𝑂 = (3; 0) http://www.toanmath.com/ (AO): x=0 Tọa độ điểm A giao đường tròn © với AO: 𝑥=0 𝑥=0 (𝑑𝑜 𝑦𝐴 < 0) 𝑥 + 𝑦 = 25 𝑦 = −5 Phương trình AN: x-y-5=0 Phương trình AM: 2x+y+5=0 Điểm B, C giao AN, AM với đường tròn ©: 𝑥−𝑦−5=0 => 𝐵(5; 0) 𝑥 + 𝑦 = 25 2𝑥 + 𝑦 + = => 𝐶(−4; 3) 𝑥 + 𝑦 = 25 Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC cân A, trực tâm H(-3;2) Gọi D, E chân đường cao hạ từ B, C Biết A nằm đường thẳng d: x-3y-3=0 Điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE HD=2 Tìm tọa độ điểm A Giải A∈(d): x-3y-3=0 => A(3t+3;t) Ta cần tìm thêm phương trình liên quan đến A Tam giác ABC cân A, D, E chân đường cao hà từ B, C => DE//BC H trực tâm => AH⊥BC AH⊥DE hay AH⊥DF Sử dụng bổ đề sau: Tính chất AB⊥EF 𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 http://www.toanmath.com/ Áp dụng định lý Py-ta-go: 𝐴𝐸 = 𝐴𝐻 + 𝐸𝐻 ; 𝐵𝐸 = 𝐸𝐻 + 𝐵𝐻 =>𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐻 − 𝐵𝐻 Tương tự, ta có 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 = 𝐴𝐻 − 𝐵𝐻 Dó đó, 𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 Áp dụng:𝐹𝐴2 − 𝐹𝐻 = 𝐷𝐴2 − 𝐷𝐻 Theo Py-ta-go: 𝐷𝐴2 = 𝐴𝐻 − 𝐷𝐻 =>𝐹𝐴2 − 𝐹𝐻 = 𝐴𝐻 − 2𝐷𝐻 Biết tọa độ F, H, tham số hóa A, đoạn DH => ta phương trình t: (3𝑡 + + (𝑡 − − = (3𝑡 + + (𝑡 − 2 − 8 t=0 => A(3;0) Ví dụ 6:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(1;-1) J(1;0) tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A có tâm F(2;-8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đỉnh A có tung độ âm Giải http://www.toanmath.com/ Bổ đề liên quan đến đường tròn bàng tiếp: Phân giác AD cắt đường tròn (O) K=> I J đối xứng với qua K http://www.toanmath.com/ - Đường tròn bàng tiếp có tâm J giao đường phân giác đường phân giác tam giác ABC => có đường tròn bàng tiếp A,I,J nằm đường phân giác góc A => A, I, J thẳng hàng BI, BJ đường phân giác góc kề bù => BI⊥BJ => tam giác BIJ vuông B Theo 3.8, K tâm đường tròn ngoại tiếp BIC => KB=KI K trung điểm IJ => KI=KJ Áp dụng bổ đề: Hướng: Tọa độ A giao đường tròn ngoại tiếp tâm I với JF Gọi M trung điểm JF => M thuộc đường tròn ngoại tiếp tâm I tam giác ABC M(2 ; −4) => đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;-1), bán kính IM= (2 − 1)2 + (−4 + 1)2 = 37 => phương trình đường tròn tâm I là: (𝑥 − 𝑥−1 + (𝑦 + = 37 𝑦 −0 Phương trình đường thẳng JF là: 2−1 = −8−0 8x+y-8=0 Tọa độ điểm A thỏa mãn giao đường tròn ngoại tiếp ABC với đường thẳng JF: (𝑥 − + (𝑦 + = 8𝑥 + 𝑦 − = 37 4 97 x=2 x=130 Nếu x=2 y=-4 (thỏa mãn) 97 Nếu x=130 y>0 (loại) Vậy A(2 ; −4) Ví dụ 7:(Khối D-2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A D((1;-1) Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y-9=0 Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình x+2y-7=0 Viết phương trình đường thẳng BC Giải http://www.toanmath.com/ BC qua D(1;-1) Ta có hướng: tìm vtpt tìm điểm khác D thuộc BC - Hướng tìm vtpt không khả quan thiếu yếu tố vuông góc Đi theo hướng 2, tìm điểm khác D thuộc BC Gọi E giao điểm tiếp tuyến A đướng tròn ngoại tiếp ABC với BC => (AE): x+2y-7=0 Dễ dàng tìm tọa độ A: 3𝑥 + 2𝑦 − = A(1;3) 𝑥 + 2𝑦 − = Ta sử dụng bổ đề sau: Tiếp tuyến A (O) cắt BC P AD phân giác góc A => PA=PD 𝑃𝐴𝐷 = 𝑃𝐴𝐵 + 𝐵𝐴𝐷 = 𝐴𝐶𝐵 + 𝐷𝐴𝐶 = 𝐴𝐷𝑃 => tam giác PAD cân P => PA=PD Áp dụng bổ đề: EA=ED => E thuộc đường trung trực AD Phương trình đường thẳng AD: x=1 => phương trình trung trực AD có dạng y=m Trung trực ∆ AD qua điểm N trung điểm AD, có tọa độ N(1;1) nên m=1 http://www.toanmath.com/ (∆): y=1 Điểm E giao AE (∆): 𝑥−1 𝑥 + 2𝑦 − = E(5;1) 𝑦=1 𝑦+1 Phương trình BC: 5−1 = (BC): x-2y-3=0 1+1 *************************************************************************** Chào em, em đọc đến trang cuối “Bí Kíp Oxy cửu âm chân kinh” mà anh anh Nguyễn Văn Nam dày công biên soạn Để viết tài liệu nhiều thời gian tâm huyết, hi vọng đem lại kinh nghiệm quý báu cho em, giúp em làm tốt câu Oxy đề THPT Quốc Gia http://www.toanmath.com/ http://www.toanmath.com/ [...]... A2008−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 5 và 3 19 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh 2 2 x y 1 ĐS : 9 4 Chuyên đề đặc biệt Bài 29 (ĐH B2008−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam... Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x+ y+ 2= 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 4x 2y = 0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 ĐS : M (2; 4); M (3;1) Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 16 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Bài 11 (ĐH A2011−NC)... http://www.toanmath.com/ 15 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Bài 5 (ĐH A2012−NC) Chuyên đề đặc biệt Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 8 Viết phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông x2 y 2 1 ĐS : 16 16 3 Bài 6 (ĐH B2012−CB) Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn... bằng và điểm A có hoành độ dương 2 1 2 3 ) ( y )2 1 ĐS : (T ) : ( x 2 2 3 Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 17 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Bài 17 (ĐH A2010−NC) Chuyên đề đặc biệt Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và... mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x y 5 0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS : AB : y 5 0; AB : x 4 y 19 0 Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 18 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Bài 23 (ĐH A2009−NC)... tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x y 0 Đường tròn (C) có bán kính R = 10 2 2 2 2 cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Hướng dẫn Bước 1: Các em vứ vẽ cẩn thận cái hình không cần thêm bớt gì cả Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 11 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh. .. A2006−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS : M (22; 11); M (2;1) Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 20 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Bài 35 (ĐH B2006−CB) Chuyên... HK 4 2 còn dữ kiện IK 2 AB 4 2 Các em cứ tính hết tất cả các cạnh cũng được, tới đây là có điểm rồi mà Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 12 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt AB : x y 0 Vậy còn 2 dữ kiện là ta để ý HK chính là khoảng cách từ H tới AB vậy ta dùng công thức H Oy H (0; h) 0h h 8 khoảng cách : d( H , AB ) ... mỗi cái một tí nếu khả năng mình chỉ tới mức đó thôi, còn khong là cứ phải chén hết Tiếp tục nhé ở đây đề bài cho : Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 13 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh hinh _ thang _ can _ ABCD AD 3BC AC BD BD : x 2 y 6 0 H (3; 2) _va_la_truc_tam Chuyên đề đặc biệt AC BD ta đã dùng điều kiện H (3; 2) AC : 2(... vậy là em D đã xác định rồi, keke IB IC I ( 2; 4) IC (1; 2) Do D BD : x 2 y 6 0 D(6 2d,d) Chúc các em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực http://www.toanmath.com/ 14 Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt d 1 D(4;1) ở đây ta đã dùng hết điều kiện nên ID 3IC (8 2d )2 (d 4)2 9.5 (d 4)2 9 d 7 D(8;7) không có gì mà loại các em nhé, quan hệ