Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHIÊN BẢN 2.0 GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn Anh em tham gia: Bùi Văn Cường, Lương Văn Thiện, Nguyễn Xuân Tùng, Mai Văn Chinh, Phan Ngọc Đức, Lê Nhất Duy, Đinh Thị Thu Hà, Ngô Lương Thanh Trà, Ngô Lương Thanh Trà, Hoàng Trung Hiếu Một số thông tin phiên 2.0: Số trang: 500 trang khổ A4 (phiên 1.0 – 368 trang) Ngày phát hành: 25/09/2015 Đặt trước sách Lovebook phiên 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0 Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze Kênh giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG LỜI NÓI ĐẦU Các bạn cầm tay tham khảo trình luyệnnữa!” thi Đại – chắn Cao Đẳng phần Hệ Phương Trình! lại lànghĩ mộtsách phương TôiHọc có không bạn, chí“Vâng, phần lớncó bạn học sinh cóthì suy vậyHệ cầm sách tay! Thực suy nghĩ đólượng đúng; lý thịxin trường nay, có điều nhiều, tìm đâu– thấy sách tham khảo phần Hệ Phương Trình luyện thibạn Đại Học Cao Đẳng Và chất sách có nhiều sách nên sách có chất lượng bình bình với Nhưng, nhấn mạnh không nên coi sách giống sách khác Nói làm nhiều, xin mời bạn theo dõibiệt đánh tập dụ mẫu saucả Bài trích đề thi Đại Học khối A năm 2014 Bàivígiải tậpngay hợp tất tâm lựctập củanày Bạntrong nhận khác nằm ởgiá x√12 − y + √y (12 − x ) = 12 (1) { x − 8x − = 2√y − (2) Hướng dẫn: Bài phương trình nhiều là(1) trình (1) Các 12 xuất hiệntoán nhiều lần phương trình (1) không phảiý, ngẫu nhiên, mà trí xuất chúng đicó kèm với dấuquả + Do gây chắn chúng taphương xử vị lý phương trình (1) trước; sau thay kết thu từ phương trình vàophải phương trình (2).sốhiện  Xử lý phương trình (1) Một lời khuyên là: bế tắc phương trình, nghĩ đến Bất đẳng thức! Và nghĩ đến Bất đẳng thức, nhanh chóng nhận thấy cách giải phương trình (1) xuất  Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Với bạn có kiến thức Bất đẳng thức mức khá, không khó để nhận sử dụng Bất đẳng thức vào phương trình (1), ta thấy kết mà thông qua bước biến đổi lắt léo Cụ thể biến đổi: [√12 − y x + √y (12 − ≤ (x + 12 − x )(12 − y + y) = 144 x )] ⇒ x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ 12 Vậy dấu “=” phải xảy ra! Phương trình (1) giải dòng! Các bạn tìm dạng tổng quát Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki phương pháp đánh giá Phương pháp tọa độ  Cách 2: Từ kết cách 1, dựa vào điều kiện xảy dấu “=”, tiến hành nắn để sử dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cụ thể biến đổi:  12  y  x 2 x 12  y  x 12  y       2 y  12  x ⇒ x√12 − y + √y ) ≤ 12 (12 − x y 12 x   Do đó, dấu “=” phải xảy Cách giải dễ hiểu  Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Để tạo đồng bậc thành phần phương trình (1), tiến hành phép đặt ẩn phụ a = √12 − y Khi y = 12 − a2 , khớp với √12 − x Và tiến hành đặt ẩn phụ không hoàn toàn, lại cách xử lý bình phương lên để khử căn, tiến hành biểu diễn ẩn qua Phương trình (1) trở thành: x a + √(12 − x )(12 − a2 ) =1 ⇔ √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 − xa ⇔ 12 ≥ x a (12 − x )(12 −2a2 ) = (12 − xa) 12 ≥ x a xa ≤ 12 ⟺ { ⟺ { (x − a) = x=a 12 −{ x > ⇒ x = √12 −x y = ⇒ Cách giải góp mặt môt yếu tố cao siêu hai cách đầu Tuy nhiên để nhìn “đẳng cấp” x √12 − y dễ dàng  Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp - TH1: Nếu x √12 − y = √(12 − x )y; từ phương trình (1) ta suy ra: > x02 (12 − y) =x 36 >0 x √12{− y = √(12 − x )y = ⇔x { ⟺ x y(12 − x ) = Thử lại không thỏa mãn phương =y=6 36 trình (2) - TH2: Với x √12 − y − √(12 − x )y ≠ 0; Nhân vế phương trình (1) với x √12 − y − √(12 − x )y ta được: [x √12 − y + √(12 − x )y] [x √12 − y − √(12 − x )y] = 12 [x √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x (12 − y) − (12 − x )y = 12 (x √12 − y − √(12 − x )y) ⇔ x − y = x √12 − y − √(12 − x )y (3) Kết hợp (1) (3) ta có:  x  y  12 x 12  y    (12  x )y   12  y  x  x  0  y  12  x Cách xử lý có lẽ nghĩ đến, khó định hình tạo hệ phương x√12 − y trình với hai ẩn { √(12 − x )y  Xử lý phương trình (2) Sau xử lý xong phương trình (1) số cách giải trên, kết thu là: y = 12 − x2 Đem vào phương trình (2), thu phương trình vô tỉ không dễ nhìn: x − 8x − = 2√10 − x2 Đến đây, tiến hành “ép nghiệm” để giải toán Ngoài ta giải toán cách “khảo sát hàm số”; cách trình bày phần sau: x − 8x − = 2√10 − x ⇔ (x − 8x − 3) − (2√10 − x − 2) = ⇔ (x − 3) [x + 3x + + ] =0 2(x + 3) √10 − x + 2(x + 3) Do x ≥ nên x + 3x + + >0 √10 − x + Vậy toán giải hoàn toàn nhiều hướng suy nghĩ hoàn toàn khác Bài giải chi tiết  Biến đổi phương trình (1)  Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si: Áp dụng bất đẳng thứcxCô si cho số không âm ta có: + 12 − y x√12 − y ≤ |x|√12 − y ≤ √y (12 − x ) y + 12 − x2 ≤ Cộng theo vế bất đẳng thức lại, ta x + 12 có: −y x√12 − y + √y x ≥ 20 y + 12 − + x2 (12 − x ) ≤ x = |x| Dấu xảy2 khi: ⟺ { y = 12 − x { x = 12 − y  Cách 2: Bất đẳng thức Bu-nhi- = 12 ≤ (x + 12 − x )(12 − y + y) = 144 a-cốp-xki: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: [√12 − y x + √y (12 − x )] ⇒ x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ 12 Dấu"=" xảy khi: x √12 − x√y = √(12 − ⇔ { = √12 − y √y x≥0 x y = (12 − x )(12 − y) ⟺ { x )(12 − y) x≥0 y = 12 − x  Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt a = √12 − y, ta có: x a + √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 ⇔ ⇔ √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 − xa ≥ x a (12 2− x )(12 ) (12 − a =2 − xa) x a ≤ 12 ⇔ 12 ≥{x a (x − a)2 x = a =0 ⟺ { ⇒ =− √12 − y ⇒ { x = x12 x>0  Cách 4: =y=6 Nhân Nhân vế phương trình với x √12 − y − √(12 − x )y ta được: biểu [x √12 − y + √(12 − x )y] [x √12 − y − √(12 − x )y] = 12 [x thức √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x (12 − y) − (12 − x )y = 12 [x √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x − y = x √12 − y − √(12 − x )y (3) Kết hợp (1) (3) ta có: liên hợp: - TH1: Nếu x x√12 − y = x2 − y + 12 y 12x2+ − √(12 − x )y = x≥0 ⟺ y =2 {12 − x √12 −y { =  Biến đổi phương trình (2) √(12 Thay y = 12 − x vào phương trình (2) ta được: − x )y x − 8x − = 2√10 − x Từ phương trình (1) ta suy ra: x y √ x y x Thử lại không thỏa mãn phươ ng trình (2): - T H : x √ − y − ⇔ { − 36 ⟺ x { √ ( − x ) y ≠ ⇔ (x − 8x − 3) − (2√10 − x − 2) = ⇔ (x − 3) (x + 3x + + 2(x ) =0 + 3) √10 − x + 2(x + 3) Do x ≥ nên x + 3x + + >0 √10 − x + Suy x = Từ suy y = Thay vào thỏa mãn x = 3đề Vậy x = y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=3 Nguồn gốc: Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng, toán ta dựa tinh thần việc sử dụng Bất đẳng thức; bắt nguồn ý tưởng từ cách khó lòng mà chỉnh cho tạo kết ý muốn Vậy theo dõi xong Suy nghĩ bạn cảm thấy nào? Quyển sách khác sách khác Hệ phương trình mà bạn đọc qua điểm nào? Những điều hẳn người có câu trả lời cho riêng Và xin nói với bạn rằng, bạn cầm sách lên tay, có nghĩa bạn có duyên với sách, không nên lãng phí duyên nợ Tôi tin bạn không cảm thấy thất vọng trình sử dụng sách sách làm bạn thất vọng trước đây! Các bạn coi người bạn vô hình để đường, dẫn lối cho bạn bạn gặp phải vướng mắc trình sử dụng sách! Quyển sách trình bày đa số tập theo khung mẫu: Đề – Hướng dẫn – Bài giải chi tiết – Nguồn gốc Các tập sách nêu rõ nguồn gốc xuất xứ để tạo (nếu có) Việc có tác dụng trình luyện thi? Chúng định hướng lời giải trước phần Hướng dẫn, sau tiến hành giải chi tiết toán phần Bài giải chi tiết, cuối nêu Nguồn gốc cách để tạo toán Tác dụng phần Nguồn gốc lớn nhiều so với phần Bài giải chi tiết; biết nguồn gốc xuất xứ cách tạo toán, bạn giải toán cách chuẩn xác, mà hiểu rõ chất toán tạo vô số toán tương tự khác để phục vụ luyện tập thêm Đôi bạn biến tấu thành phần trình tạo toán để tạo toán có hình dạng khác so với toán ban đầu; điều có tác dụng lớn để hình thành phản xạ giải toán thân bạn Bạn không thấy bỡ ngỡ người đề biến đổi đôi chút đề cũ; bạn “đi guốc bụng” họ Về cách sử dụng sách cho đạt hiệu cao có thể, xin nêu cách thức sử dụng sách này, bao gồm hai loại hình Cá nhân Nhóm! Các bạn tham khảo tự tìm cho cách sử dụng sách cho hiệu thân Về mặt cá nhân: Bạn nên đọc qua hết phần lý thuyết nêu đầu phương pháp Khi nghiên cứu ví dụ, bạn không nên xem phần diễn thuyết bên đề bài, việc làm làm hạn chế tư bạn bạn làm dụng vào lời giải Bạn nên nháp để tìm lời giải cho riêng mình, tốt lời giải bạn tự thân nghĩ ra! Khi không nghĩ lời giải cho riêng mình, bạn xem phần Hướng dẫn Bạn nên xem từ từ, vừa xem vừa nghĩ xem suy nghĩ bị mắc chỗ mà giải được; suy nghĩ bạn bị mắc chi tiết mà nêu phần hướng dẫn Sau đọc xong phần hướng dẫn, thay đọc tiếp Bài giải chi tiết, bạn nên tự tìm lời giải cho toán tinh thần đọc hiểu phần Hướng dẫn Khi gặp vướng mắc trình trình bày lời giải, bạn xem phần Bài giải chi tiết Phần nên xem từ từ xem mắc chỗ Sau tiếp thu lời giải chuẩn toán, bạn nên tự trình bày lại lời giải toán theo ý mình; tự tìm cho cách giải khác cho toán Nếu bạn tìm điều đáng quý! Cuối cùng, trình bày xong, bạn nên suy nghĩ xem “do đâu mà lại có toán vậy, người đề tạo toán nào, liệu tạo toán tương tự biến thể khác không,….?”! Rồi bạn trình bày suy nghĩ bạn toán chỗ riêng Sau xong (hoặc chưa nghĩ nguồn gốc), bạn xem phần Nguồn gốc nêu sau toán để xem suy nghĩ có giống không! Bạn tiếp thu thêm khía cạnh nguồn gốc mà nêu ra, có số khía cạnh khác nguồn gốc toán mà bạn lại tự tìm được! - Về mặt nhóm: Các bạn cóthức thể tự lập theo cho nhóm bạn sử dụng sách để luyện tập thêm nhiều (lợikèm ích lềtrình rèn khả làm việc nhóm) Các bạn sử dụng sách này, bạn phải hoàn thành phần “cách sử dụng cánó nhân mà bày ởkhông Sau đó, bạn tạonhiều nhiều đề tương tự biến thể bạn tùy chỉnh, gửi cho làm; người làm ví dụ”đương người khác đặt Càng nhiều người có biến thể xuất Và nhiên không nên biến thể toán thành “quá khích” mà biến thành đố! Điều có chút tác dụng việc luyện tập, dễ gây tâm lýđánh sợ sệt giải toán! Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void Sự mát khiến trống rỗng - học cách không để đau khổ đóng lại trái tim tâm hồn Hãy để đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường điều - niềm vui chờ đợi để lấp đầy khoảng trống Pam Brown Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, kết thúc giọt nước mắt Khuyết danh +1< 2⇔ √ √ − + √x − + x 1> x +5 ⇔ [ x + x(∗) 3x + = − √ (x t + 2t + > √t + ⇔ t + 3t + 6t + 4t > ∀t > Do phương trình (*) vô nghiệm x ), ta √> 2 thấy: x + 3x x⇔ 3x = + −3x − Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { 1> − 1) 22√x −2 + + √x ⇔ (x + − x)2 + (x − + X é t p h n g tr ì n h ( * Đặt t = √x − > Khi ta thu được: √(x − 1)2 + 3)2 + 5x > ∀x + √ ( x − )2 + √ x − x + 3 √11 y= Chương IV: Tản mạn Hệ phương trình chương này, chúng takhông sẽhiện bàn luậntrong vài vấn đề rộng Hệ trình Các vấnthức đề xuất nhiều đềtathi đại học vài năm đây,phương cóTrong phần không xuất Tuy nhiên chúng mởmở rộng đểgần bổ trợ phần kiến cần thiết Trong phần này, trình bày theo phần sau: BÀI 1: MỞ RỘNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI: HỆ LẶP BA ẨN BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH: PHƯƠNG TRÌNH BÀI 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI THAM SỐ I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II III: MỘT SỐ HỆ KHÁC Bài 1: Mở rộng hệ phương trình đối xứng loại hai: Hệ lặp ba ẩn Hệ lặp ba ẩn (hay gọi hệ hoán vị vòng quanh) hệ phương trình có dạng: f(x) = g(y) {f(y) = g(z) f(z) = g(x) Nếu f g hai hàm số đơn điệu (cùng chiều ngược chiều) miền A (A⊂ℝ) x = y = z Chứng minh: Do vai trò x, y, z hệ phương trình nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z  Trường hợp 1: f g hai hàm đơn điệu chiều (giả sử đồng biến; tương tự với trường hợp nghịch biến) Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z  Trường hợp 2: f g hai hàm đơn điệu ngược chiều (giả sử f đồng biến g nghịch biến; tương tự với trường hợp lại) Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≥ z ⇒ f(y) ≥ f(z) ⇒ g(z) ≥ g(x) ⇒ z ≤ x x≤ y≤ Nên ta thu được: { ⇒ x=y=z z x ≤≤ x y≥ z Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z Lưu ý: Bạn tổng quát hệ lặp lên nhiều ẩn Kết thu tất ẩn Cách chứng minh tương tự Phương pháp 1: Những tập suôn sẻ 434 33 2 x(1) −3y 3− + ln(x − x− + 1)+ =1)y −3 =+ z ln(y y z+y 3x ++ 3z + ln(z z− + 1) =x Giải hệ phương trình: { Hướng dẫn: Trước tiên ta nhìn thấy hệ lặp ẩn vai trò x, y, z Đầu tiên vào làm hệ phương trình thiết phải đặt điều kiện Ở ta dễ dàng thấy điều kiện x,y,z ∈ R (do x − x + > 0) Làm phương pháp nêu ta phải xét hàm số f(t) = t + 3t − + ln(t − t + 1) tập ℝ f(́t) = 3t + + −1 2t — = 3t + 3t t2 − t + t+2 > 0, ∀t ∈ R t2 − t + 1 ⇒ f(t) đồng biến R Vậy toán trình bày tiếp giống phần lý thuyết nêu Bài giải chi tiết: Xét hàm số f(t) = t + 3t − + ln(t − t + 1) (t ∈ ℝ) Ta có: 2t − = 3t + f ′ (t) = 3t + + 3t — t+2 > 0, ∀ t ∈ R t2 − t + t2 − t + Nên hàm số f(t) đồng biến ℝ Do vai trò x, y, z hệ phương trình nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z Khi ta được: (1) ⇔ x + 2x − + ln(x − x + 1) = Xét h(x) = x + 2x − + ln(x − x + 1) ℝ Ta có: h′(x) = 3x + + 2x − = 3x + +1 x2 − x + Nên hàm số h(x) đồng biến ℝ 2x > 0, ∀x ∈ R x2 − x + Mà g(1) = ⇒ x = nghiệm phương trình x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {y = z=1 Kết luận: Hệ phương trình có x = − √2 x =1 − √2 ; y= y =1 { − √5 − √5 nghiệm là: { 510 2√xy − y + x + y = Giải hệ phương trình: { + √1 − y √5 − x = Bài giải chi tiết: Điều kiện:xy { x≥≤x y≤ 2√xy − y = − x −y hpt ⇔ { x+y≤ √5 − x + √1 − y 4(xy − x) = 25 − 10(x + y) + x + 2xy + y x+y ≤ 5⇔ { − x − y + 2√5 − x − 5y + xy = x +5y = 2 2 ⇔ {x + y − 2xy − 10x − 6y + 25 = ⇔ {x + y − 2xy − 10x − 6y + x=5 25 = ⇔ { y=0 2√2 − x − 5y + xy = x + 2√2 − x − 5y + xy = x + y − y−5 x=5 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { =1 y =20 x +5 4y = 511 Giải hệ phương (x + y − 1)√y − = (y − 2)√x + y trình: { Điều kiện: { y≥ Bài giải chi tiết: x+y≥ Hệ phương trình cho tương đương với: x + 4y = { (x + y)√y − − √y − − (y − 1)√x + y + √x + y = x + 4y = ⇔ { (√x + y √y − + 1)(√x + y − { √y − 1) = Do y ≥ nên nghiệm thỏa mãn x = −1 x + 4y = ⇔ {5 ⇔ x { + =5 4y ⇔ { x = −1 y=1 √ y = √y x+ −1 x = −1 y = ±1 x = −1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { 512 (2y Giải hệ phương trình:{ √4x − =2 y=1 + 11)(17 − y) + √y (1) y(y − 3x + 3) = 5(3x + 2) (2) x≥ Bài giải chi tiết: Điều kiện: y ≥40 { (2) (vì ⇔ 3x phương − 2) = 0trình ⇔ (1) y =trở 3x +4y2 − 17 yy(y ≥ Khi−đó, thành: −+ 20)5)(y = (2y + 11)(17 − y) (1) ⇔ √4 — + √y ⇔ √ 3 — y) √y = (2y + 11)(17 − y − 17 ⇔ = (2y + 11)(17 − y) ⇔ (y −4y 17) − 17 4y − 17 √y + ⇔ = 17 ⇒ x = (thỏay mãn) ( =0 + √y ) Kết luận: Hê phương trình có nghiệm là: { y17 = 513 + 2y + 11 x=5 Giải hệ phương trình: 4x = (√x + + 1) (x − y + 3y − 2) (1) { x + (y + 1)2 = (1 + ) (2) Bài giải chi tiết: Điều kiện: y ≠ (1) ⇔ (y + 2)(x + y − 1) = ⇔ [ x2 + y2 = y = −2 x=0 2 √ (1) Với y = −2; ⇔ 4x = x ( x + + 1) ⇔ [ x= ±2√2 x Ta nghiệm { ; {x = =0 ±2√2 y = −2 y = −2 Với x + y = ⇒ −1 ≤ x; y ≤ (1) ⇔ 4√x + − x + y − 3y − = + (4 − x 2) Ta có 4√x + − x + − ≥ ∀ x ∈ [−1; 1] 4x x = x = 4√x + + 4√x + + x 2 x Mặt khác y3 − 3y − + = y − 3y + = (y − 1)2 (y + 2) ≥ ∀ y ∈ [−1; 1] Suy 4√x + − x + y − 3y x− = 2≥ 0 Dấu “=” xảy { y=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { 514 = −x x=0 y = −2 x = ±2 x= ;{ √ ; {2 y= y=1 −2 7y y −22xy + Giải hệ phương trình: { + 7x + (1) √3y + 13 − √15 − 2x = √x + (2) Bài giải chi tiết: 15 Điều kiện: x ∈ [−1; ] Phương trình(1) tương đương với: (1) ⇔ y − 2xy + 7y + x − 7x − = ⇔ (y − x)2 + 7(y − x) − = ⇔ (y − x − 1)(y − x + 8) = ⇔ y [ =x+1 ⇔ x − ≤1 ⇒ y ≤ − y2 = x − − 15 Nhận thấy x ≤ Do y = x − không thỏa mãn đề Nên với y = x + 1; phương trình (2) trở thành: (2) ⇔ √3x + 16 = √15 − 2x + √x + ⇔ 3x + 16 = 16 − x + 2√(15 − 2x)(x x ≥+ 1) ⇔ 2x = √(15 − 2x)(x + 1) 2⇔ { 4x + (x + 1)(2 − 15) = x ≥ ⇔ ⇔ x = ⇒ y = ±2 6x − 13x − 15 = x=3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y= ±2 Phụ lục 2: Hướng tư pnđ (suy từ đáp số lời giải máy tính bỏ túi) dụng Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên VINACAL 570es trở lên sử Quy X  , tức nhập vào hình X2  , rút ước: gọn cho ALPHA ) x 5 Ứng dụng để giải hệ phương trình với phương pháp khảo sát hàm đại diện: x3  3x2  9x  22  y  3y  9y (1)  Ví dụ 1: (A-2012): Giải hệ phương trình: (2)  2 x  y  x  y   * Con đường tìm lời giải theo hướng tư PNĐ: - Vì thấy (2) có tính đối xứng đẹp nên chọn (2) điểm bắt đầu cho việc tìm hàm đại diện: + Thao tác: SHIFT CALC 1  2 X  Y  X Y , Can’t solve Tiếp tục: 2 X  Y  X Y SHIFT CALC 2  , Can’t solve Nhận định: (2) không chứa hàm đại diện - Vậy phải khai thác (1): + Thao tác: X3  3X2  9X  22 Y3  3Y2  9Y SHIFT CALC   , X=3 Tiếp tục: X3  3X2  9X  22 Y3  3Y2  9Y SHIFT CALC   , X=4 Tiếp tục: X3  3X2  9X  22 Y3  3Y2  9Y SHIFT CALC   , X=5 + Ý nghĩa thao tác: 3 X  3X  9X  22 Y  3Y  9Y SHIFT CALC   , Cố định Y=1, tìm X (X=3) X33  3X22  9X  22 Y33  3Y22  9Y SHIFT CALC   , Cố định Y=2, tìm X (X=4) X  3X  9X  22 Y  3Y  9Y SHIFT CALC   , Cố định Y=3, tìm X (X=5) (2 ;6 ; nhận định khoảng chứa nghiệm x, thay đổi số 2, 6,  nghiệm x hơn) giúp tìm nhiều Phụ lục 3: Hướng tư pnđ (suy từ đáp số lời giải dung máy tính cầm tay) cho phương pháp cộng đại số dụng Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên VINACAL 570es trở lên sử 2 Quy X  , tức nhập vào hình X  , rút ước: gọn cho ALPHA ) x  Quay ngược thời gian Năm lớp 9, làm quen với phương pháp cộng đại số sau: 495 Giải hệ phương trình sau: - Cách giải đơn giản, chất việc triệt tiêu ẩn (là x y) Lời giải chi tiết: - Lấy phương trình thứ nhân với 2, cộng vào phương trình thứ ta được: 2x  y  4x  2y  5y  20 x   16  Xong 4x  3y  4  4x  3y  4  4x  3y  4 y  Mở rộng vấn đề: Phải dễ mà nhiều người nhầm tưởng phương pháp cộng đại số nhiều ứng dụng lên cấp 3? Mời bạn đọc đọc ví dụ 496 Giải hệ phương trình sau: Điều kiện: x, y  Lời giải chi tiết: Lấy (2) nhân với -2 cộng với (1) ta được: 2 2xy  2x  y  y   7y  2(2y  2xy   7y)  2xy  4xy  2x  y  5y  7y   2y  4y  2 x  y  5y  7y    y  12  2x  y  3  y    y   2x hệ  Sau y vào (2) ta tìm nghiệm cho:    1được  ;2  (2;1)  ; 3 ;2   ;    2 Nh ận xkhác ét: Rõthì ràng “nhìn nhânnhân (2) với khátựkhó khăn Đối bài3hệ phương trình đâuviệc thiếtra” để phải với-2 số nhiên, đơn cửvới ví dụ sau: 497 Giải hệ phương trình sau: Điều kiện: x, y  Lời giải chi tiết Lấy (1) nhân với cộng với (2) nhân với  x  ta được:  x (x  4) ( y  3)   x  x y  x  22  2y   3x  6x  4y  24y  36  x y  2x y 2 2 2 2   x  4x  y  6y  9  x  x y  x  2y  22  (y  3)(x  2x  4y  12) 2 2 y  y   Để hệ có nghiệm   x  2x  4y  12  4y  x  2x  12  * Thay y=3 vào (2) ta tìm (x;y)=(2;3);(-2;3) Thay (*) vào (2) ta tìm  x;y   2;5 ;  2;5   Kết trênluận: Hệ có nghiệm Nhận xét: Đối với người giải đề này, “mò” hệ số để áp dụng thành công phương pháp cộng đại số hồi học lớp 9? Trở thực Cuối cùng, để khép lại cuối tiểu thuyết “Chinh phục Hệ phương trình” anh chị muốn ttặng em câu chuyện  TỪ BỎ LÀ ĐÁNH MẤT HẠNH PHÚC Chúng ta lần bỏ qua hội đón nhận hạnh phúc cho mình? Là lần dễ dàng buông tay đánh rơi hội khác nhau, lần cắt đứt tất cội rễ tình cảm để cố kiếm tìm khác xa xôi hơn? Mỗi lần từ bỏ, lần đánh hội để hạnh phúc Bởi may mắn vốn vài lần ghé qua Khi trẻ, người ta dễ dàng từ bỏ hội để hạnh phúc, người ta nghĩ rằng, có thứ hạnh phúc khác tìm đến Thế nhưng, người ta rằng, hạnh phúc thật đến lần đời mà Tức là, không nắm lấy vĩnh viễn, không trân trọng chẳng có lần sau Cuộc đời có thời gian để phung phí, hội đến lần đứng nhìn lướt qua? Từ bỏ hay khước từ, cách thức nhận thua sớm, trở thành kẻ hèn nhát gặp thử thách đón đường Từ bỏ đánh hạnh phúc Thế nên, tình yêu đến nắm lấy thật chặt, may đến biết tận dụng, có điều kiện phấn đấu cho mục tiêu, đừng buông bỏ thứ gì, kể ước mơ thời thơ bé Nếu bạn chưa cố gắng mà từ bỏ, bạn chưa thử níu kéo mà từ bỏ, bạn ngần ngại chần chừ mà từ bỏ, có thể, bạn bỏ qua hạnh phúc lớn lao đời Không từ bỏ cố chấp giằng co, không từ bỏ việc bạn thử cố gắng để giữ lại thứ thuộc mình, thứ nên thuộc mình, cố ngoái lại Không từ bỏ có nghĩa là, bạn đem tất khả nỗ lực thân đánh cược, để kể có thua không hổ thẹn buông tay sớm, không tiếc nuối cố gắng Từ bỏ đánh hạnh phúc Nhiều cho rằng, đời dài đằng đẵng, có nhiều hội dần đến phía sau lưng, nên đợi chờ mà không gắt gao nắm lấy mảnh vỡ nhỏ nhặt để ghép thành sống cho riêng Nhưng, qua, lấy lại lần hay sao? Hãy biết nâng niu thứ đến gần với sống bạn, biết trân trọng chút thứ hạnh phúc bé nhỏ thuộc mình, có ngày, bạn nhận thấy sáng suốt biết bao, không từ bỏ Hãy biết nỗ lực giây phút cuối cùng, thời điểm kết ngã ngũ, để không tiếc nuối dằn vặt hai từ “giá như” Những người hay nói “giá như”, người thường từ bỏ dễ dàng, người bỏ qua nhiều hội để hạnh phúc, người ôm nuối tiếc đến sau Vậy nên cho dù đừng từ bỏ điều dễ dàng, cần lần vô tâm mà nới lỏng tay, hạnh phúc theo thứ trượt khỏi sống bạn ấy, bay mất, không trở Bạn à, nên, đừng nghĩ đến việc từ bỏ sớm, đấy, cần kiên nhẫn chút, bạn giữ hạnh phúc đời Các em à, biết nỗ lực giây phút cuối cùng, thời điểm kết ngã ngũ, để không tiếc nuối dằn vặt hai từ “giá như” Thân thương, Anh chị Lovebook cute ^_^ [...]... với Bài giải chi tiết Trích Trích đoạn đoạn Chinh Chinh phục phục hệ phương hệ phương trình trình phiên phiên bảnbản 2.02.0 Lovebook.vn Lovebook.vn Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ phương trình làpháp tìm mối liên hệ giữa hai phương trình với hệ nhau Ngoài hệ phương trình có được phương giải quát hệ nhau; đối xứng, đẳng cấp thì có nhiều phương pháp diễn dưới nhiều bàinhư toán khác... 2√y + y 2 (1) Giải hệ phương trình: { 3x 2 + √y + 3 = √y (2) Chương I: Bổ sung kiến thức khi giải hệ phương trình Hệ phương trình gồm hai hay nhiều phương trình (thường là hai) Thực chất của việc đi giải hệ phương trình là việc tìm ra liên hệ giữa hai phương trình trong hệ với nhau Ta có thể làm việc đó bằng cách xử lý từng phương trình riêng lẻ, hoặc là xử lý đồng thời cả hai phương trình Để có thể xử... PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC HAI II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC CAO BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP THẾ BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẠI DIỆN BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA) BÀI 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ (HOẶC... ⇔ u < v ∀ u, v ∈ � *Phương pháp làm: - Từ Hệ phương trình biến đổi về dạng f(u) = f(v) - Chứng minh hàm đặc trưng f(t) đơn điệu trên �� Suy ra f(u) = f(v) ⇔ u = v - Từ u=v kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ phương trình để giải Hệ phương trình *Những chú ý khi làm bài bằng phương pháp này: 1 Cố gắng cô lập biến để chuyển phương trình thành F(x) = G(y) nếu có thể II Giải hệ phương (x + 2)√x 2... xin đề cập tới 2 phương pháp thường gặp nhất: - Phương pháp nhẩm nghiệm, đặc biệt là dùng máy tính để nhẩm nghiệm như đã trình bày ở phần Phụ lục 2: Hướng tư duy PNĐ - Phương pháp dùng phương trình bậc 2 để giải Hệ phương trình: Đây là một phương pháp khá hữu ích trong các bài Hệ phương trình ở mức độ thi đại học * Đặc điểm nhận dạng: Khi trong Hệ phương trình có xuất hiện phương trình bậc 2 với 1... Các hệ phương trình cơ bản I- Hệ phương trình đẳng cấp Đây l phương những hệ phương trình mà nhất ta trình sẽ có thểđẳng nhận rađồng tại của những yếu tố đồng bậc xuấttrình hiện ở cả hai phương Sự cấp ởđược đây có thể là bậc tương đồng về bậc ở hai vế ứng của hai phương hoặc là tương vềsự sựtồn lệch hai vế của từng Cách đơn giản giải quyết những hệ phương trình này là thực hiện nhân theo vế hai phương. .. ytrình xy ở cái cả rồi,hai vế! ta chỉ việc thay lên phương trình trên của hệ này, nghiễm nhiên sẽ khử được ẩn x! Bài toán đã được giải Trích Trích đoạn đoạn Chinh Chinh phục phục hệ phương hệ phương trình trình phiên phiên bảnbản 2.02.0 quyết toàn Lovebook.vn Lovebook.vn hoàn Bài giải chi tiết Hệ phương trình đã cho tương đương với:2 4 + x Hệyphương trình ⇔ { +1+ — 2xy 5 = 0 2xy 2 y 4 3x 2 y 6 − 2xy... luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=1 Các bạn có thể tham khảo cách giải khác trong cuốn “90 đề toán tập 2 – GSTT” Nguồn gốc: Để tạo ra được hệ phương trình trên, ta cần đi từ một phương trình một ẩn bất kỳ (1), tiến hành thay một ẩn bất kỳ trong (1) bằng một hệ thức bất kỳ (2), khi đó ta sẽ thu được phương trình (1’) từ (1) bằng phép đặt (2) Kết hợp hai phương trình (1’) và (2) lại ta sẽ được hệ phương. .. xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y và giải bình thường như một phương trình bậc 2 Lưu ý: Nếu tính ∆ mà không biểu diễn được dưới dạng bình phương thì phương pháp này không dùng được I xy + x − 2 = 0 (1) (D–2012) Giải hệ phương trình: 3{ 2 2x − x y + x 2 + y 2 − 2xy − y = 0(2) Nhận trình (1) bậcbậc 1 với cả y, x và phương Do đóthấy xemphương (2) là phương trình 2 với x lày,tham số: trình (2)... những phương pháp biến đổi cơ bản khi giải hệ phương trình Bước cuối cùng của việc giải hệ phương trình là việc giải phương trình Các kỹ thuật giải phương trình cũng cần được đầu tư và chú ý Tôi sẽ không đề cập đến những thứ quá cơ bản, mà chỉ đề cập đến những thứ thực sự cần thiết, tránh gây dài dòng nhiều chữ Trong phần này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần sau: BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC