ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2015 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu I: 1) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a + 3a = b + 3b = a) Chứng minh a + b = −3 b) Chứng minh a + b3 = −45  x + y = xy 2) Giải hệ phương trình  2  x + y = xy Câu II 1) Tìm số nguyên x, y không nhỏ cho xy − chia hết cho ( x − 1) ( y − 1) 2) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x y + y + = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P= xy 3y +1 Câu III Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường trịn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E,F điểm đối xứng D qua IC,IB 1) Chứng minh EF song song với BC 2) Gọi M,N,J trung điểm đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M,N,P,J nằm đường tròn 3) Chứng minh ba điểm A,J,P thẳng hàng Câu IV 1) Cho bảng ô vuông 2015 × 2015 Kí hiệu ( i, j ) ô hàng thứ i , cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau : i) Số viết vào ô (1,1) 10 … ii) Nếu số k viết vào ô ( i, j ) , ( i > 1) số … … k+1 viết vào ô ( i − 1, j + 1) … iii) Nếu số k viết vào ( 1, j ) số k+1 … viết vào ô ( j + 1,1) (Xem hình 1.) Hình Khi số 2015 viết vào ô ( m, n.) Hãy xác định m n 2) Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac + abc ≤ Chứng minh a + b + c + a + b + c ≥ ( ab + bc + ac ) Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2015 MƠN THI: TỐN (vịng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1)Với a, b, c số thực thỏa mãn: (3a + 3b + 3c )3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 Chứng minh : ( a + 2b ) ( b + 2c ) ( c + 2a ) = x + y + xy = 3  27( x + y ) + y + = 26 x + 27 x + x  2) Giải hệ phương trình:  Câu II 1)Tìm số tự nhiên n để n + n + 30 số phương (số phương bình phương số ngun) 2)Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: + x + y + = x + y 3)Giả sử x, y, z số thực lớn 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x y z + + y+ z−4 z+ x−4 x+ y−4 Câu III Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB < AC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC.Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn AM.Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = 2MH 1) Chứng minh BN = AC 2) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm B, D, N , C thuộc đường tròn,gọi đường tròn ( O ) 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt ( O ) G khác D Chứng minh NG song song với BC Câu IV Ký hiệu S tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt mặt phẳng.Giả sử tất điểm S không nằm đường thẳng.Chứng minh có 2015 đường thẳng phân biệt mà đường thẳng qua hai điểm S Cán coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUN KHOA HỌC T NHIấN 2015-2016 Môn thi: Toán học (Dùng cho thí sinh thi vào trờng chuyên) Cõu 1: 1) Gi sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a + 3a = b + 3b = a) Chứng minh a + b = −3 b) Chứng minh a + b3 = −45  x + y = xy 2) Giải hệ phương trình  2  x + y = xy Hướng dẫn  a + 3a = 2 b + 3b = 2 a)  ⇔ a − b2 + ( a − b ) = ⇔ ( a − b) ( a + b) + 3( a − b) = ⇔ ( a − b ) ( a + b + 3) =  a − b = ( loai ) ⇔  a + b = −3 ( a + b ) = −27 ⇔ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −27 ⇔ a + b3 − 9ab = −27 a + 3a + b + 3b = ⇔ ( a + b ) − 2ab + ( a + b ) = ⇔ ab = −2 a + b3 = −45 2)Ta thấy x=y =0 nghiệm phương trình Nếu y ≠ nhân hai vế phương trình với y  xy + y = xy  2  x + y = xy  x + y = xy  x + y = xy  x + y = xy ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − y x + y = x + y = xy x − xy − y = ( ) ( )      2 x + y = xy ⇔ x = y =1  x − y = ( )  x + y = xy   ⇔  ( x − y ) ( x + y ) =  2 x + y = xy ⇔ x = , y = −  ( x − y ) = 5   2 3   Vậy hệ có nghiệm (x;y) ∈ ( 0;0) ; (1;1);  −   Câu 3) Tìm số nguyên x, y không nhỏ cho xy − chia hết cho ( x − 1) ( y − 1) 4) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x y + y + = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P= 1) ( x − 1) ( y − 1) xy 3y +1 Hướng dẫn Ta cú xy – M( x − 1) ( y − 1) suy xy - Mxy +1- x –y Mà xy +1- x –y Mxy +1- x –y Suy : (x-1) + (y -1) M( x − 1) ( y − 1) suy x-1 My -1 y-1 Mx -1 Suy x= y x2 – M(x -1)2 ta có x+1 M x-1 suy M x- suy x= x= xy − ( x − 1)( y − 1) + x + y − 1 = = 1+ + ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( y − 1) x −1 y −1 1 ≤ 1;0 < ≤ ⇒ 11 < a ≤ 3; a ∈ Z Với x; y ≥ ⇒ < x −1 y −1 x = 1 + ⇒ ( x − 2)( y − 2) = ⇒  *Với a=2 ta có: = x −1 y −1 y = Cách khác: đặt a = * Với a=3 ta tìm x=y=2 2) x y + y + = ⇔ y = − x y − ⇔ y = P= − x2 y2 −1 2 xy xy = ⇔ 3Px y + xy + P = 3( x y − 1) + −3 x y − ∆ = − 12 P 1 ≥ P2 ⇔ − ≤P≤ 3 −1 − −2 ⇔x= ;y = ⇔x= ;y = Vậy: Min( P) = ; Max( P) = 3 3 Phương trình có nghiệm ∆ ≥ suy – 12p2 ≥ Suy Câu Cho tam giác nhọn ABC khơng cân có tâm đường trịn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E,F điểm đối xứng D qua IC.IB 4) Chứng minh EF song song với BC 5) Gọi M,N,J trung điểm đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M,N,P,J nằm đường tròn 6) Chứng minh ba điểm A,J,P thẳng hàng Hướng dẫn a) Ta có : AD phân giác ⇒ BD AB = mà ∆BED, ∆CDF tam giác cân, DC AC BE AB = ⇒ BC P FE CF AC · · · b) Ta có : BC PFE ⇒ FED = EDB = BED · · mà ·APM = 180° − ·AEM = BED ⇒ ·APM = DEF · Tương tự : DFE = ·APN · · · ⇒ ·APN + ·APM = DFE + FED = MPN · · · · · mà MJN = MDN = EDF ⇒ MJN + MPN = 180° ⇒ MPNJ nội tiếp · · · · · c) Ta có : ·APM = DEF JPM = JNM = JEM ⇒ JPM = ·APM ⇒ A, PJ thẳng hàng ⇒ Câu 2) Cho bảng ô vng 2015 × 2015 Kí hiệu ( i, j ) ô hàng thứ i , cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau : i) Số viết vào ô (1,1) 10 … … ii) Nếu số k viết vào ô ( i, j ) , ( i > 1) số k+1 … viết vào ô ( i − 1, j + 1) … iii) Nếu số k viết vào ( 1, j ) số k+1 … j + 1,1 ( ) viết vào (Xem hình 1.) Hình Khi số 2015 viết vào ô ( m, n.) Hãy xác định m n 2) Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac + abc ≤ Chứng minh a + b + c + a + b + c ≥ ( ab + bc + ac ) Hướng dẫn Theo đề bài, số nguyên dương xếp theo hàng chéo bảng: Hàng chéo thứ có số, hàng chéo thứ hai có số, Giả sử số x nằm hàng chéo thứ k ta có:  −1 + + x  k (k − 1) k ( k + 1) −1 + + x + + 8x ) ( 1) ⇔ x3 + y + z + 3xyz ≥ x3 y + z x3 + z y 3 3 Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x + y + z + 3xyz ≥ xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) ⇔ x ( x − y ) ( x − z ) + y ( y − x ) ( y − z ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ với số thực khụng õm x, y , z Chứng minh BĐT : Do vai trò x, y, z , giả sử x ≥ y ≥ z ⇒ z ( z − x) ( z − y) ≥ 2 Ta xột : x ( x − z ) − y ( y − z ) = x − xz + yz − y = ( x − y ) ( x + y − z ) ≥ ⇒ x ( x − z) ( x − y) − y ( y − z) ( x − y) ≥ ⇔ x ( x − z) ( x − y) + y ( y − z) ( y − x) ≥ ⇒ x ( x − y) ( x − z ) + y ( y − x) ( y − z ) + z ( z − x) ( z − y ) ≥ ⇒ dpcm Ta có : x3 + y + z + 3xyz ≥ xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) ≥ x y + z x + z y x = y = z ⇒ a = b = c =1 Dấu = xảy   x = y, z = HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2015-2016 MƠN THI:TỐN(VỊNG II) Câu I.(3 điểm) 1)Với a, b, c số thực thỏa mãn: (3a + 3b + 3c )3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 Chứng minh : ( a + 2b ) ( b + 2c ) ( c + 2a ) = x + y + xy = 3  27( x + y ) + y + = 26 x + 27 x + x  3) Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn  3a + b − c = x  1) Đặt 3b + c − a = y  3c + a − b = z  (3a + 3b + 3c )3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 ⇔ ( x + y + z )3 = 24 + x + y + z ⇔ ( x + y + z )3 = 24 + ( x + y + z )3 − 3( x + y )( y + z )( z + x) ⇔ 24 − 3( x + y )( y + z )( z + x) = Ta có: ⇔ 24 − 3(2a + 4b)(2b + 4c)(2c + 4a) = ⇔ 24 − 24(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a ) = ⇔ (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a ) = 2) x + y + xy =   3  27( x + y ) + y + = 26 x + 27 x + x ( x + 2)( y + 2) =  ⇔ 3 27( x + y ) + y + = 26 x + 27 x + x ⇔ y + x3 + + 3( x + y )( x + 2)( y + 2) = 27 x + 27 x + x ⇔ y + x3 + + xy ( x + y ) + 12( x + y ) + 6( x + y ) = (3x + 1)3 ⇔ ( x + y + 2)3 = (3 x + 1)3 ⇒ x + y + = x + ⇔ y +1 = 2x x =1⇒ y = ⇒ ( x + ) ( x + 1) = ⇒   x = −3,5 ⇒ y = −8 Vậy ( x, y ) ∈ { ( 1,1) ; ( −3,5, −8 ) } Cách khác: từ PT(2) ta có: ( x + y + 2) = (3 x + 1) ⇔ x − y = x =  x = −3,5 Thay vào PT(1) ta (x+2)(2x+1)=9 ⇔ x + y − = ⇔ ( x − 1)(2 x + 7) = ⇔  Câu II.(3 điểm) 1)Tìm số tự nhiên n để n + n + 30 số phương (số phương bình phương số nguyên) 2)Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: + x + y + = x + y 3)Giả sử x, y, z số thực lớn 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x y z + + y+ z−4 z+ x−4 x+ y−4 Hướng dẫn 1)  n + = x2 ( x, y ∈ ¥ , x, y > ) Đặt   n + 30 = y ⇔ y − x = 25 ⇔ ( y − x)( y + x) = 1.25 ( x, y ∈ ¥ , x, y > )  y − x =1  y + x = 25 Lại có y − x < y + x nên   y = 13 ⇔  x = 12 Thay vào ta tính n = 139 thoả mãn 2) Ta thấy : + x + y + = x + y x, y ∈ ¥ ⇒ x, y số phương ⇒ x + y + 3, x , y ∈ ¥ Đặt x = a, y = b, x + y + = c ( a, b, c ∈ ¥ ) a + b = c + a + b = c +  ⇒  x + y = a + b2 ⇒  2 c − a − b =  x + y + = c2  ⇒ ( a + b − 1) − a − b = ⇔ 2a + 2b − 2ab = −3 ⇔ ( a − 1) ( b − 1) =  a =  x = ⇒  b =  y = ⇒  a =  x =  ⇒  b =  y = 3) Ta có : P= x y z + + y+ z−4 z+ x−4 x+ y−4 ⇔P= ≥ 4x 4y 4z + + y+ z−4 z+ x−4 x+ y−4 4x 4y 4z + + y + z −4+ x+ z −4+4 x+ y−4+  x y z  = 4 + + ÷≥  y+z x+z x+ y Dấu = xảy x = y = z = Min(P)=4 ⇔ x = y = Câu III.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB < AC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC.Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn AM.Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = MH 1) Chứng minh BN = AC 2) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm B, D, N , C thuộc đường tròn,gọi đường tròn ( O ) 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt ( O ) G khác D Chứng minh NG song song với BC Hướng dẫn Q N G D A H B C M P a ) P điểm đối xứng A qua M Suy HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN Suy H trung điểm NP Mà BH ⊥ NP nên Tam giác PNB cân B suy BN = BP Mặt khác lại có: M trung điểm BC, AP nên Tứ giác ACPB hình bình hành nên AC = BP suy AC = BN b)Do tứ giác ACPB hình bình hành suy ∠PAC = ∠APB Mà tam giác PBN cân B suy ∠APB = ∠ANB ⇒ ∠ANB = ∠PAC ⇒ ∠CAN = ∠BNQ Có : AC = NB, NQ = AN ⇒ VBNQ =VCAN ⇒ ∠NBD = ∠NCD ⇒ N, B, C, D thuộc đường tròn c) G giao điểm (DQG) với (DBC) ⇒ ∠CAG = ∠BQG Mà ∠GBQ = ∠GCA ⇒ Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA GA GQ GA GQ = ⇒ = AC QB NB NC Mà ∠BNC = ∠BDC = ∠AGQ ⇒ Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ ⇒ ∠GQA = ∠NCB → ∠NCB = ∠GDC ⇒ GC = NB ⇒ NG//BC ⇒ Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt mặt phẳng.Giả sử tất điểm S không nằm đường thẳng.Chứng minh có 2015 đường thẳng phân biệt mà đường thẳng qua hai điểm S Hướng dẫn Giả sử trịn mặt phẳng có n điểm thẳng hang tồn đường thẳng Theo điểm cho khơng nằm đường thẳng nên tồn điểm khơng nằm đường thẳng nối điểm với n- điểm cho ta n-1 đường thẳng với đường thẳng qua n-1 điểm ta n đường thẳng Thay n = 2015 tồn 2015 đường thẳng ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 Mơn thi :TỐN ( Dùng cho thí sinh vào trường chuyên )  a b  1   + + 1÷ − ÷ b a  a b  Câu (2.5 điểm ) Cho biểu thức P =  với a>0 , b>0 a ≠ b a b2  a b  + − + ÷ b2 a  b a  1 Chứng minh p = ab Giả sử a, b thay đổi cho 4a + b + ab = Tìm P Hướng dẫn 2  a + b + ab  ( a − 2ab + b ) a + b − a 3b − ab3  a b  1  ÷  + + 1÷ − ÷  ab a 2b  a 3b 1) P =  b a  a b  =  = = 4 3 3 a b a b a + b − a b − ab a + b − a b − ab ab + − + ÷ 2 2 b a b a ab ab 2) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có = 4a + b + ab ≥ ab ⇒ ≥ 25 ab Min(P)=25 b = 4a = 25ab suy = 100a2 suy a = ;b = ; 10 Câu ( điểm ) cho hệ phương trình  x − my = − 4m   mx + y = 3m + Với m tham số Giải phương trình m = 2 Chứng minh hệ ln có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0,y0) nghiệm của hệ 2 phương trình chứng minh đẳng thức x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = Hướng dẫn 1)Thay m = ta có o o o · · · · · Xét tam giác ABC: KCB = 180 − BAC − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC o o · · K = 180o − BKC · · · · = BC Xét tam giác BC1K: BIK 1 − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC · · ⇒ Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm) Suy KCB = BIK o · · · · ⇒ KAC Vì BIC = BAC = 60 ⇒ Tứ giác ACKC1 nội tiếp = KCC1 (cùng chắn cung KC1) · Và ·AKC1 = ·ACC1 (cùng chắn cung AC1) Mà ·ACC1 = KCC (GT) · · ⇒ Tam giác C1AK cân C1 ⇒ C1A = C1K (1) Suy KAC = AKC1 CMTT: B1A = B1K (2) Từ (1), (2) suy B1C1 đường trung trực AK nên AK ⊥ B1C1 (đpcm Câu ( điểm) Tìm số thực không âm a b thỏa mãn  3   1   a + b + ÷ b + a + ÷ =  2a + ÷ 2b + ÷  4   2  Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi  3  1  1  1   a + b + ÷ b + a + ÷ =  a + + b + ÷ b + + a + ÷ ≥  a + b + ÷  4   2  2  1   1   a + b + ÷ ≤  2a + ÷ 2b + ÷ 2   2  Dấu xảy a= b = ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2014 MƠN THI: TỐN (vịng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1)Giả sử x; y số thực dương phân biệt thỏa mãn y 2y2 4y4 8y8 + + + =4 x + y x2 + y x + y x8 − y8 Chứng minh y = x 2 x − y + xy = 12 2) Giải hệ phương trình  6 x + x y = 12 + y + y x Câu II 1) Cho x; y số nguyên lớn cho x y − x + y số phương Chứng minh x=y 2) Giả sử x; y số thực không âm thỏa mãn x + y + xy = x + y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P= 1+ x 2+ y + 2+ x 1+ y Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)và điểm P nằm tam giác thỏa mãn PB=PC.D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B D khác C) cho P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB E khác B Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC F khác C 1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F nằm đường tròn 2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Q khác A,đường thẳng AF cắt đường thẳng QC L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF 3) Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB chứng minh ∠QKL + ∠PAB = ∠QLK + ∠PAC Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử dãy gồm m tập A thỏa mãn đồng thời điều kiện i)Mỗi tập thuộc dãy có phần tử ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung phần tử số phần tử hai tập khác Chứng minh m ≤ 900 Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2014 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình ( )( ) 1+ x + 1− x + 1− x2 =  x − xy + y =  x + xy + y = 2 2) Giải hệ phương trình  Câu II 1) Giả sử x; y; z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh x 2y 3z xyz (5 x + y + z ) + + = 2 ( x + y )( y + z ) ( x + z ) 1+ x 1+ y 1+ z 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x y ( x + y ) + x + y = + xy Câu III Cho tam giác nhọn ABC với AB ) Vì ab+ac+bc = ⇒ x+ y+z = Suy 2( xy+yz+xz) ≤ + a 4b + b c + c a Áp dụng BĐT Côsi a 4b + b c ≥ 2a 2b 2bc = x y b c + c a ≥ 2b c ac = y z c a + a b ≥ 2a c ba = z x ⇒ 2( xy+yz+xz) ≤ + ( x y + y z + z x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi y ≥ yx y z + z ≥ yz z x + x ≥ zx ⇒ x y + y z + z x + ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + xz ) 4 4 = ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + xz ) = ( xy + yz + xz ) 9 ⇒ x y +y z + z x + ≥ 2( xy + yz + xz ) x2 y + Dấu “=” xảy x= y = z = 1/3 Suy a = b = c = Cách Áp dụng BĐT CơSi ta có: a 4b + c a + ab ab ab ab + ≥ 4 a 4b c a = a bc 9 9 3 ca ca ca ca + ≥ 4 c a b 4c = c ab 9 9 bc bc bc bc b 4c + a 4b + + ≥ 4 b 4c a 4b = b 2ca 9 9 c a + b 4c + Cộng BĐT theo vế ta được: ( ) ( ) ( ab + bc + ca ) ≥ a 2bc + b 2ca + c 2ab ⇔ a 4b + b 4c + c a + ≥ abc ( a + b + c ) ab + bc + ca = 10 Mặt khác: ( 1) ⇔ a 4b2 + b4c + c a + ≥ 4abc ( a + b + c ) 8   ⇔  a 4b + b c + c a +  + ≥ abc ( a + b + c ) + abc ( a + b + c ) 9 3  a 4b + b c + c a + ( ) ( ( ) ) BĐT cho CM CM được: 8 abc ( a + b + c ) ≤ ( ) Thật vậy: ( ) ⇔ 3abc ( a + b + c ) ≤ ⇔ 3abc ( a + b + c ) ≤ ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca = ⇔ ≤ ( ab − bc ) + ( bc − ca ) + ( ca − ab ) BĐT hiển nhiên 2 Từ suy đpcm HƯỚNG DẪN KHTN vòng -2104 Câu I 1)Giả sử x; y số thực dương phân biệt thỏa mãn y 2y2 4y4 8y8 + + + =4 x + y x2 + y x + y x8 − y8 Chứng minh y = x 2 x − y + xy = 12 2) Giải hệ phương trình  6 x + x y = 12 + y + y x Hướng dẫn 1) y 2y2 y (x4 − y ) + 8y8 y 2y2 4y4 4= + + = + + x + y x2 + y2 x + y x2 + y2 x + y4 x4 − y4 x − y4 ( ( ) )( ) ( y 2y x − y + 4y y 2y y( x − y) + y + = + = 2 2 x+ y x+ y x − y ( x + y )( x − y ) x +y x −y y ⇔4= ⇔ 4x − y = y ⇔ 4x = y x− y ⇔4= ( 2 )( 2 ) 2) 2 x − y + xy = 12(1) 2 x − y − y + xy = 12 ( x − y )( x + y ) = 12 ⇔ ⇔    6 x + x y = 12 + y + y x(2) 6 x − y + x y − y x = 12 ( x − y )( + xy ) = 12 ) Với x-y=0 ta có x=y thay vào PT (1) Vơ nghiệm x = y = Vậy x + y = + xy ⇔ x − + y − xy = ⇔ ( x − 3)( − y ) = ⇔  Với x=3 thay vào PT(1) ta có 18 − y + y = 12 ⇔ y − y − = ⇔ ( y − )( y + 1) = y =  y = −1  Với y=2 thay vào PT(1) ta có x − 12 + x = 12 ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x + 4)( x − 3) =  x = −4 ⇔ x = Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 3;2); ( 3;−1); ( − 4;2) ; ( 3;2)} Câu II 1) Cho x; y số nguyên lớn cho x y − x + y số phương Chứng minh x=y 2) Giả sử x; y số thực không âm thỏa mãn x + y + xy = x + y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P= 1+ x 2+ y + 2+ x 1+ y Hướng dẫn 1) x y − x + y = ( xy − 1) + xy − x + y − > ( xy − 1) 2 2 x y − x + y = ( xy + 1) − xy − x + y − < ( xy + 1) 2 Đặt x y − x + y =A Nên ( xy − 1) < A < ( xy + 1) Suy A = ( xy ) ⇒ x y − x + y = x y ⇔ x = y x + y + xy = x + y ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy = ( x + y ) − xy 3) Đặt x+y=a;xy=b ta có ( ) a − 3ab + 3b − a = ⇔ a ( a − 1) − 3b( a − 1) = ⇔ ( a − 1) a − 3b = x + y = a = ⇒  2 a = 3b ( x + y ) = xy Vì ( x + y ) ≥ xy; v ∀x; y ≠ suy x=y=0 x+y=1 Với x=y=0 P = 0 ≤ x ≤ Nếu x y khác ta có x + y = ⇒  0 ≤ y ≤ y = y = P (max) ⇔  ⇔ P = 4; P (min) ⇔  ⇔P= x = x = Câu III 1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F nằm đường tròn Ta co ∠AEP = ∠ADB (chắn cung AB (ABD)); Ta co ∠AFP = ∠ADC (chắn cung AC (ADC)); nên ∠AEP + ∠AFP = ∠ADB + ∠ADC = 180 nên AEFP nội tiếp 2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Q khác A,đường thẳng AF cắt đường thẳng QC L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF Xét ∆ABE; ∆CLF có ∠AEB = ∠CFL(cùngbù∠AFP) (1) ta lại có ∠BAE = ∠BAD + ∠DAE; ∠FCL = ∠BCL + ∠FCB mà ∠BAD = ∠BCL; ∠DAE = ∠FCB; Nên ∠BAE = ∠FCL (2) từ (1) (2) suy ABE đồng dạng với tam giác CLF (g,g) 3) Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB chứng minh ∠QKL + ∠PAB = ∠QLK + ∠PAC Theo 2) ABE đồng dạng với tam giác CLF nên LF.AE=BE.CF ta lại có KE.AF=BE.CF LF KE = ⇒ EF // LK AF AE Nên ∠AEF = ∠AKL; mà : ∠AEF = ∠APF ⇒ ∠APF = ∠AKL Nên ∠PAC + ∠PCA = ∠EKP + ∠QKL; mà : ∠PCA = ∠EKP ⇒ ∠PAC = ∠QKL Tương tự ∠PAB = ∠QLK suy ∠QKL + ∠PAB = ∠QLK + ∠PAC suy KE AF = LF AE ⇔ Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử dãy gồm m tập A thỏa mãn đồng thời điều kiện i)Mỗi tập thuộc dãy có phần tử ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung phần tử số phần tử hai tập khác Chứng minh m ≤ 900 Hướng dẫn Theo GT m tập thuộc dãy phân biệt A có 31 phần tử nên số tập có 31.30 gọi a k tập có k phần tử ( ≤ k ≤ 31) nằm dãy cho suy m = a + a3 + .a31 Xét tập có có k phần tử số tập có phần tử phần tử k k (k − 1) k (k − 1) suy a k tập có a k tập phần tử Theo GT phần tử 2 A khơng thể đồng thơì hai tập hợp có k phần tử dãy từ ak k (k − 1) 31.30 1   ≤ ⇒ a k ≤ 31.30 ⇒ a + a3 + + a31 ≤ 31.30 + +  2 k (k − 1) 31.30   2.1 3.2 1  1 m ≤ 31.301 − + − + + −  = 900 30 31   2 Vậy m ≤ 900 (đpcm) ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2013 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình 3x + + − x = 1  x + y + x + y =  2) Giải hệ phương trình   +  x +  = xy +   y  xy Câu II 1) Giả sử a; b; c số thực khác thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh a b c ab bc ca + + = + + + a + c b + c a + c ( a + b )( b + c ) ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b ) 2) Có số nguyên dương có chữ số abcde cho abc − (10d + e ) chia hết cho 101? Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) AB