Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moonv.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Dạng Nguyên hàm lượng giác hàm tanx cotx Cách giải: Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng đẳng thức   2  cos x = + tan x  tan x = − cos x  →   = + cot x cot x = −  sin x  sin x Nguyên hàm mà mẫu số đẳng cấp bậc hai với sinx cosx: A sin x + B sin x.cos x + C.cos x ta chia tử mẫu cho cos2x sin2x Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ tan x dx c) I = ∫ ( tan x + tan x ) dx b) I = ∫ tan x dx d) I = ∫ dx cos x Hướng dẫn giải:   a) I1 = ∫ tan x dx = ∫  −  dx = x − tan x + C  cos x  b) Xét I = ∫ tan x dx Cách 1: dx tan x sin x dx   tan tan tan I = ∫ tan x dx = ∫ tan x.tan x dx = ∫  − x dx = x − xdx = −∫ =  2 ∫ ∫ cos x cos x  cos x  tan x d (cosx) tan x = +∫ = + ln cos x + C cos x Cách 2: − cos x ) d (cos x) ( sin x sin x.sin xdx d (cos x) d (cos x) I = ∫ tan x dx = ∫ dx = ∫ = −∫ = −∫ +∫ = + ln cos x + C 3 3 cos x cos x cos x cos x cos x 2cos x Bình luận: Nhìn vào hai kết thu từ hai phương án tính khác nhau, nhìn gây cho cảm giác cách đúng, cách sai Nhưng quan sát kĩ, thực phép biến đổi đơn giản ta thu kết tan x 1 1  Thật vậy, + ln cos x + C =  −  + ln cos x + C = + ln cos x + C − 2 2  cos x cos x  ′  Do  C −  = ( C )′ = nên thực chất hai nguyên hàm có kết 2    c) I = ∫ ( tan x + tan x ) dx = ∫ tan x dx + ∫ tan x dx = ∫ tan x.tan x dx + ∫ tan x dx = ∫  − 1 tan x dx + ∫ tan x dx =  cos x  = ∫ tan x dx tan x − tan x dx + tan x dx = + C ∫ cos x ∫ Bình luận: Cách giải dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán Với nguyên hàm có chứa tannx thông   − 1 = tan n − x − tan n − x với n > thường ta tách theo sơ đồ: tan n x = tan n − x.tan x = tan n − x  cos x  cos x  Quá trình tách tiếp diễn đến cuối xuất tanx tan2x, mà cách nguyên hàm có công thức tính Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tuy nhiên, với toán có đặc điểm riêng mà ta trình bày cách giải ngắn gọn sau: dx tan x I = ∫ ( tan x + tan x ) dx = ∫ ( tan x + 1) tan x dx = ∫ tan x = ∫ tan x.d ( tan x ) = + C cos x dx dx tan x d) I = ∫ = = + tan x d tan x = tan x + + C ( ) ( ) cos x ∫ cos x cos x ∫ Bình luận: Với nguyên hàm có xuất tanx kèm theo cos2nx mẫu số ta sử dụng phép phân tích sau n −1 1   cos n x = cos n − x cos x = ( tan x + 1) cos x   dx = d ( tan x )  cos x Dựa phép phân tích ta mở rộng thêm số toán sau: 2 dx dx tan x tan x   dx = = = + tan x d tan x = + + tan x + C ( ) ( )   cos6 x ∫ cos x cos x ∫  cos x  cos x ∫ tan 2010 x dx tan 2013 x tan 2011 x 2010 2010 J2 = ∫ dx = tan x = tan x + tan x d tan x = + + C ( ) ( ) ∫ cos x cos x cos x ∫ 2013 2011 J1 = ∫ Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: dx a) I = ∫ sin x.cos5 x c) I = ∫ b) I = ∫ dx 2sin x − 5sin x cos x − 3cos x d) I8 = ∫ dx sin x.cos x dx ( cos x − sin x ) Hướng dẫn giải: dx a) I = = sin x.cos5 x ∫ = ∫ ∫ ( dx sin x cos x + 3tan x + 3tan x + tan x =− tan x 2tan x ∫ + 3ln tan x + dx sin x.cos x = ∫ ∫ (1 + tan x )3 ( tan x )3 d ( tan x ) = 3  −3  d ( tan x ) = ( tan x ) + + 3tan x + tan x  d ( tan x ) = tan x   ∫ b) I = ) cos x 3   dx = =   tan x  cos x  cos x 4 3tan x tan x 3tan x tan x + + C  → I5 = − + 3ln tan x + + + C 2 4 2tan x ∫ ( sin x cos x ) ⋅ −5 −2 −3 ( ) d ( tan x ) = − ( tan x ) + C = = tan x + C 2 cos x tan x dx ∫ Bình luận: Trong hai nguyên hàm I5 I6 dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung hai nguyên hàm mẫu số có chứa sinx cosx với tổng lũy thừa số chắn Phương pháp giải cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm Tuy nhiên, tổng lũy thừa lớn toán trở nên phức tạp nhiều! dx c) I = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos x Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx cosx Trong chuyên đề phương trình lượng giác ta biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm tương tự Chia tử mẫu số dx d ( tan x ) dt cos x cho cos x ta được: I = ∫ =∫ =∫ ; (t = tan x ) 2 2sin x 5sin x cos x 3cos x tan x − tan x − 2t − 5t − − − cos x cos x cos x dt t −3 (2t + 1) − 2(t − 3) dt 2dt 1 tan x −  → I7 = ∫ =∫ dt = ∫ − ∫ = ln + C = ln + C (t − 3)(2t + 1) 7.(t − 3)(2t + 1) t − 2t + 2t + tan x + dx d ( tan x ) dx −1 d − tan x cos x d) I8 = = = = = + C 2 2 − tan x − tan x cos x − sin x − tan x − tan x ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ( ) ) ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bình luận: Mẫu số nguyên hàm có dạng biểu thức lượng giác đặc biệt, nên ta tìm 1  π  sin x  = 2cos  x +  cách giải đặc biệt khác Thật vậy, cos x − sin x =  cos x − 3  2  Từ I = ∫ ( cos x − dx sin x ) π  dx+  dx 1 π 3  =∫ = ∫  = tan  x +  + C π π 3      cos  x +  cos  x +  3     Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, khai triển công thức lượng giác cho cách giải ta thu kết Nếu em không tự tin với khẳng định thầy chứng minh điều 1 π − − tan x + + tan x + tan π  3 +C = + C = tan x + + C = Thật vậy, tan  x +  + C = π 4 − tan x   − tan x − tan x.tan 1 1 ′  ′ =− + +C = +C − , rõ ràng  C −  = ( C ) = 4 − tan x 4 3 − tan x  ( ( ) ( ( ) ) ) Ví dụ 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ cot x dx b) I10 = ∫ cos x dx sin x Hướng dẫn giải: c) I11 = ∫ dx + sin x dx   a) I = ∫ cot x dx = ∫ cot x.cot x dx = ∫  − 1 cot x dx = ∫ cot x − ∫ cot x dx = sin x  sin x  − cot x dx − cot x   = − ∫ cot x d ( cot x ) − ∫  − 1 dx = − ∫ + ∫ dx = + cot x + x + C sin x  sin x  cos x dx 2) Xét I10 = ∫ sin x Cách 1: cos x dx d (sin x) −1 I10 = ∫ =∫ = + C 5 sin x sin x 4sin x Cách 2: cos x dx cos x dx dx cot x cot x = = cot x = − cot x + cot x d (cot x ) = − − + C ( ) ∫ sin x sin x ∫ ∫ sin x sin x sin x Bình luận: Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta thu kết với hai cách giải Tương tự nguyên hàm tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin2nx ta sử dụng thủ thuật phân tích n −1 1   sin n x = sin n − x sin x = + cot x sin x để đưa nguyên hàm có chứa cotx cot2x biết   dx = − d ( cot x )  sin x I10 = ∫ ( c) I11 = ∫ dx dx =∫ + sin x ( sin x + cos x ) ) π  dx+  dx 1 π 4  =∫ = ∫  = − cot  x +  π π 4    2sin  x +  sin  x +  4     d ( A sin x + B cos x + C ) = ( Acos x − B sin x ) dx Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  d ( A' sin x − B' cos x + C' ) = ( A' cos x + B' sin x ) dx Cách giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 ± sin x = ( sin x ± cos x ) Các nguyên hàm dạng thường sử dụng số công thức lượng giác  2 cos x = cos x − sin x Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân mẫu số: d ( A sin x + B cos x + C ) = ( A cos x − B sin x ) dx Ví dụ 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: cos x − sinx a) I1 = ∫ dx sinx + cos x cos x dx c) I = ∫ ( sin x + cos x ) b) I = ∫ d) I = ∫ cos x dx + sin x ( sin x + 2cos x ) dx cos x − sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) dx  → I1 = ∫ d ( sin x + cos x ) = ln sin x + cos x + C sin x + cos x d ( sin x + cos x ) cos x dx cos x − sin x cos x − sin x b) I = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + cos x + C + sin x sin x + cos x sin x + cos x ( sin x + cos x ) Bình luận: 1 Do cos2xdx = d ( sin 2x ) = d ( + sin 2x ) nên ta giải theo cách lấy vi phân trực tiếp sau: 2 d + sin 2x ) ( cos2x dx 1 I2 = ∫ = ∫ = ln + sin 2x + C = ln ( sin x + cos x ) + C = ln sin x + cos x + C + sin 2x + sin 2x 2 d ( sin x + cos x ) cos x dx cos x − sin x cos x − sin x −1 c) I = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = + C 3 2 ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) sin x + cos x d) Xét I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx cos x − sin x Vi phân mẫu số ta có d ( cos x − sin x ) = ( −2sin x − 4cos x ) dx  → ( sin x + 2cos x ) dx = − Từ ta I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx = − cos x − sin x 2∫ d ( cos x − sin x ) cos x − sin x d ( cos x − sin x ) = − ln cos x − sin x + C d( A sin x ± B cos x ± C ) ←  → ( A ∓ B ) sin x dx   Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  4  → − sin x dx d sin x + cos x ←  ( ) Cách giải: 1 − cos x Ta có sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x = − sin 2 x = − = + cos x 2 4   Từ d ( sin x + cos x ) = d  + cos4 x  = − sin x dx 4   Dạng nguyên hàm thường “ngụy trang” vào hàm số phức tạp, nên bạn cố gắng nhớ vi phân Với nguyên hàm lượng giác mà mẫu số “dài dòng” kinh nghiệm em lấy vi phân mẫu số xem tử số có quan hệ với vi phân hay không ? Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm chứa sin6 x + cos x = − sin 2x Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: sin x sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx 2sin x − 4cos x + 5cos x cos x + 4sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin x dx 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  → sin x dx = d ( cos x + 4sin x ) 2 2 sin x d ( cos x + 4sin x ) d ( cos x + 4sin x ) Từ I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos x + 4sin x + C 2 2 2 3 cos x + 4sin x cos x + 4sin x cos x + 4sin x Bình luận: Ngoài cách giải trên, mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng + cos2x − cos2x + = − cos2x + sau cos x + sin x = 2 2 5 5   d  − cos2x +  d  − cos2x +  sin 2x dx 2 2 Khi I1 = ∫ = ∫  = ∫  = − cos2x + + C 3 2 3 5 − cos2x + − cos2x + − cos2x + 2 2 2 Rõ ràng hai kết thu hoàn toàn giống nhau! 5 b) Ta có 2sin x − 4cos x + 5cos x = (1 − cos x ) − 4cos x + (1 + cos x ) = − cos x + 2 sin x dx sin x dx d ( 5cos x − ) Khi I = ∫ = −2 ∫ = ∫ = ln 5cos x − + C x − x − 5cos 5cos − cos x + 2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 2sin x dx sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 2010 4 sin x + cos x ( sin x + cos x ) c) I = ∫ sin x + 2cos x dx sin x + cos x d) I = sin x cos x dx x + cos6 x ∫ sin Hướng dẫn giải: Bình luận: Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thiệu cách làm thiên biến đối lượng giác kết hợp với vi phân 1 − cos x 2sin x dx 4sin x dx a) Ta có sin x + cos x = − sin 2 x = − = + cos x  → I1 = ∫ =∫ = 2 4 3 + cos x + cos x 4 d (cos x) d (3 + cos x) = −∫ = −2 ∫ = −2 + cos x + C  → I1 = −2 + cos x + C + cos x + cos x d ( cos x ) sin x dx b) Tương tự, thay sin x + cos x = + cos x  → I2 = ∫ =− ∫ = 2010 2010 4 3 3    + cos x   + cos x  4  4    d  cos x +  1 4  = −∫ = +C = + C 2010 2009 2009 4 3  3  2009 sin x + cos x ( ) 2009  + cos x   + cos x  4  4  sin x + 2cos x sin x + 2cos x 2sin x + 4cos x 2sin x 4cos x c) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx 4 2 sin x + cos x − sin x − sin x − sin 2 x − sin 2 x 2sin x 2sin x 2sin x d (cos x) ∫ − sin 2 x dx = ∫ − (1 − cos 2 x ) dx = ∫ + cos2 x dx = − ∫ + cos 2 x = arctan ( cos x ) + C1 ( ) ( )( ) ) t+ − t− 4cos x d (sin x) dt −2 −1  1  dx = = = ∫ − sin 2 x ∫ − sin 2 x ∫ − t 2 ∫ t − t + dt = ∫  t − − t +  dt = = ( −1 t − −1 sin x − ln ln + C2 = + C2 t+ 2 sin x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Từ ta I = arctan ( cos2 x ) + C1 + Facebook: LyHung95 −1 sin x − sin x − ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C sin x + 2 sin x +  sin x sin x cos x = sin x −d (cos x) 2sin x d) Ta có   → I4 = dx = dx = − 3sin x − + 3cos 2 x sin x + cos6 x = − sin 2 x − sin 2 x  ∫ ∫ −dt =− + 3t =− arctan Đặt t = cos x → I = ∫ ( dt ( ) 3t +1 =− ∫ ( 3t ) = − ∫ 3t + ( ) d ∫ arctan ( 3t ) + C ) cos x + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x dx + cos x b) I = ∫ dx sin x cos3 x c) I = ∫ dx (sin x − 2cos x ) Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ dx sin x − 6cos x b) I = ∫ sin dx x − 9cos x c) I = ∫ sin dx x − 2cos x + Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ( cot x + cot x ) dx b) I = ∫ 2cos x − 3sin x dx 2sin x − 3cos x + c) I = ∫ dx sin x − c) I = ∫ sin x dx sin x + cos x Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x dx 3sin x + cos x b) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x 2 2 Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x dx cos ( sin x + cos x ) b) I = ∫ sin x dx tan ( sin x + cos x ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!