Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 06 KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [Video] Giải phương trình x + x + = ( x + 1) x + + x + Ví dụ [Video] Giải phương trình ( x + ) x − x + x − x − + 3x − 8x + − x − + 6x − x2 Ví dụ [Video] Giải phương trình x3 − x − x + = x + + x + =0 Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x + x + + ( x − x − 1) x + = ( x + 1) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với x + x + − ( x + 1) x + + x + x + − ( x + ) x + + ( x − x + 1) x + = ( ) ( ) ⇔ ( x + 1) x + − x + + ( x + ) x + − x + + ( x − x + 1) x + = ⇔ ( x + 1) ( x − 3x + 1) ( x + ) ( x − 3x + 1) x + + 7x + + x + + 9x + + ( x − x + 1) x + = x +1 x+2   ⇔ ( x − x + 1)  + + x +  = (1)  x + + 7x + x + + 9x +  x +1 x+2 Ta có + + x + > 0, ∀x ≥ − x + + x + x + + 9x +  + −  Do (1) ⇔ x − x + = ⇔ x ∈  ;  Kết luận phương trình có hai nghiệm   Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − = x + − x + 14 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với x + − x + − x + − x + 14 + x − x − = ( ⇔ ) x − 3x − x − 3x − − + x − 3x − = x + + x + x + + x + 14 1   ⇔ ( x − 3x − )  − + 1 =  x + + x + x + + x + 14  2x + Nhận xét + x + 14 − x + = + > 0, ∀x ≥ − , dẫn đến x + 14 + x + 1 < x + + x + < x + + x + 14 ⇒ − +1 > x + + x + x + + x + 14  + 14 − 14  Do ta x − x − = ⇔ x ∈  ;  , kết luận phương trình có hai nghiệm   Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 1 x + 12 + = ( x ∈ ℝ) x + 10 5x + x + 5x + Lời giải Điều kiện x > −1 Phương trình cho tương đương với x − 3x − 1 x2 − x − − x − − x − 1 + + =0⇔ + + =0 x + 5x + ( x + 3)( x + ) x + 10 5x + x + 10 5x + Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình + ⇔ x2 − x − 1 1 − − + + =0 ( x + 3)( x + ) x + x + x + 10 x + ⇔ x2 − x − 1 1 + − + − =0 ( x + 3)( x + ) x + 10 x + x + x + ⇔ x2 − x − x + − x + 10 x + − x + + + =0 ( x + 3)( x + ) ( x + 3) x + 10 ( x + ) x + ⇔ x2 − x − x2 − x − + ( x + 3) ( x + ) ( x + 3) x + + x + 10 ( ) x + 10 + x2 − x −1 ( x + 2) ( x + + 5x + ) 5x + =0  x2 − x − =  1 ⇔ + + =0  ( x + 3)( x + ) ( x + 3) x + + x + 10 x + 10 ( x + ) x + + x + 5 x +  Rõ ràng 1 + + > 0, ∀x > −1 ( x + 3)( x + ) ( x + 3) x + + x + 10 x + 10 ( x + ) x + + x + 5 x + ( ( ) ) ( ( ) )  −1 + −1 −  Do ta có x − x − = ⇒ x ∈  ;  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm   Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x3 − x − x + = x + + 3x + 10 x + A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X − X + − X + − X + 10 X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −0, 732050808 Bấm SHIFT STO A để gán −0, 732050808 = A X − X − X + − X + − X + 10 X + =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = 2, 732050808 Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808 = B Nhập vào máy tính X − X − X + − X + − X + 10 X + =0 ( X − A)( X − B ) Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x − x −  A.B = −2 Ta cần cân ax + b = x + biết nghiệm x = A, x = B Nhập vào máy tính  Aa + b = A + ⇒ a = b = Bấm máy giải hệ   Ba + b = B + Ta cần cân cx + d = 3x + 10 x + biết nghiệm x = A, x = B Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  Ac + d = A2 + 10 A + Bấm máy giải hệ  ⇒ c = d =  Bc + d = 3B + 10 B + Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải  x ≥ − ĐK:  3 x + 10 x + ≥  (*) ) ) ( ( Khi (1) ⇔ x + − x + + x + − x + 10 x + − x − + x3 − x − x + = ( x + 1) − ( x + 3) + ( x + ) ⇔ 2 − ( x + 10 x + ) x +1+ 4x + + x3 − x − x − = x + + x + 10 x + x − 2x − x2 − x − ⇔ + + x ( x2 − x − ) + x2 − x − = x + + x + x + + x + 10 x +   1 ⇔ ( x2 − x − 2)  + + x + 1 = (2)  x + + x + x + + 3x + 10 x +  1 + + x + > Với x ≥ − > −1 ⇒ x + + x + x + + x + 10 x + 2 Do (2) ⇔ x − x − = ⇔ x = ± thỏa mãn (*) Đ/s: x = ± Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình ( x + 2) x + + ( x + 1) x + = ( x + 1) A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính ( X + ) X + + ( X + 1) X + − ( X + 1) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −0, 732050808 Bấm SHIFT STO A để gán −0, 732050808 = A X + + ( X + 1) X + − ( X + 1) Nhập vào máy tính ( X + 2) X + + ( X + 1) X + − ( X + 1) Nhập vào máy tính ( X + 2) =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = 2, 732050808 Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808 = B ( X − A)( X − B ) =0 Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x − x −  A.B = −2 Ta cần cân ax + b = x + biết nghiệm x = A, x = B  Aa + b = A + Bấm máy giải hệ  ⇒ a = b =  Ba + b = B + Ta cần cân cx + d = x + biết nghiệm x = A, x = B  Ac + d = A + c = Bấm máy giải hệ  ⇒ d =  Bc + d = B + Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC B Lời giải (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) − ( x + ) x + − ( x + 1) x + = ĐK: x ≥ − ( ) ( ) ⇔ ( x + ) x + − x + + ( x + 1) x − x + − ( x + x + ) − ( x + x ) + ( x + 1) = (2) x  3x 3 Ta có T = x + x x + + ( x + ) =  x + +  + ≥ 2  x  3x2  x = 3 Dấu " = " xảy ⇔  x + +  = = ⇔ 3 2   x + = Điều vô lý nên dấu " = " không xảy ⇒ T > Với x ≥ − ⇒ x + + x + ≥ + > 4 Do (2) ⇔ ( x + ) ⇔ ( x + 1) − ( x + 3) + x + 1+ 4x + ( x + 1) x3 − ( x + ) =0 T ( x + ) ( x − x − ) ( x + 1)  x ( x − x − ) + ( x − x − ) + T x + + 4x +  ( x + 1)( x + )  = x+2 ⇔ ( x2 − x − 2)  +  T  x +1 + 4x +  ( x + 1)( x + ) > x+2 Với x ≥ − > −1 T > ⇒ + T x +1 + 4x + =0 (3) Do (3) ⇔ x − x − = ⇔ x = ± thỏa mãn (*) Đ/s: x = ± Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − x + 11x − 12 x + = (x − x + )( x − x + 3) A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X + 11X − 12 X + − (X − X + )( X − X + 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 0,3819660113 Bấm SHIFT STO A để gán 0,3819660113 = A Nhập vào máy tính X − X + 11X − 12 X + − (X − X + )( X − X + 3) X−A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = 2, 618033989 Bấm SHIFT STO B để gán 2, 618033989 = B Nhập vào máy tính X − X + 11X − 12 X + − (X − X + )( X − X + 3) ( X − A)( X − B ) =0 =0 Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x3 − x + = A B  Đại lượng (x − x + )( x − x + 3) có nhân với nên việc cân bình thường khó khăn Chú ý ( x − x + 3) − ( x − x + ) = x − x + nên ta nhóm Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x2 − x + → x2 − x + ( ( x2 − x + − x2 − x + ) ) x − x + − x − x + − ( x − x + 3) + x − x3 + 11x − 12 x + = A Cụm A có dạng bậc 4, ta hoàn toàn tách A thành tích biết A có nhân tử x3 − x + Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải   7 ĐK: ( x − x + )( x − x + 3) ≥ ⇔  x −  +   ( x − 1) + 1 ≥ ⇔ x ∈ ℝ      (*) Khi (1) ⇔ x − x3 + 11x − 12 x + − x − x + 2 x − x + = ⇔ x2 − x + ( ⇔ 2x ⇔ ) x − x + − x − x + − ( x − x + ) + x − x3 + 11x − 12 x + = (x 2 ( 2x − x + − x + 3) − ( x − x + ) 2x − 4x + + x − x + 2 − 3x + 1) x − x + + x − x3 + x − x + + x ( x − 3x + 1) − x ( x − 3x + 1) + ( x − 3x + 1) = 2x − 4x + + x − x +   x2 − x + ⇔ ( x − x + 1)  + x2 − x +  =  x2 − x + + x2 − x +      2x2 − 4x + ⇔ ( x − x + 1)  + ( x − 1) + 1 =  x2 − x + + x2 − x +    3± ⇔ x − 3x + = ⇔ x = thỏa mãn (*) Đ/s: x = 2 3± Ví dụ 10 [Tham khảo] Giải phương trình x3 − x − + x − x = x3 − x + x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Tương tự ví dụ trên, thực bước: • Ta chưa xác định phương trình cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm khoảng nghiệm phương trình • • Nhập hàm số f ( X ) = X − X − + X − X − X − X − X + Vì điều kiện toán x ≥  x ≤ nên ta gán giá trị khởi đầu kết thúc tương ứng với điều kiện chặn với hai miền  nghiệm khác tức ứng với hai bảng giá trị TH1 Với điều kiện x ≥ Bảng giá trị hàm số F(X) o Start ? Nhập START = x ≥1 x≤0 o End ? Nhập END = X F(X) X F(X) o Step ? Nhập STEP = 0.5 ERROR −5.414 −4 TH2 Với điều kiện x ≤ ERROR −3.5 1.5 −5.709 o Start ? Nhập START = −4 ERROR − − 3.767 o End ? Nhập END = ERROR −2.5 2.5 1.0678 o Step ? Nhập STEP = 0.5 ERROR 9.5505 −2 Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm ERROR − 1.5 3.5 22.436  5   3.4142 −1 40.482 phương trình x ∈  2;  x ∈  − ;  −0.5 0.4215 4.5 64.441  2   −2 95.068 Và ta sử dụng đến công cụ SHIFT Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC • CALC để dò nghiệm hai khoảng nghiệm o Nhập phương trình cho vào máy  5 o Với khoảng nghiệm x ∈  2;  gán x = 2.25 suy nghiệm x = 2.414213562  2   o Với khoảng nghiệm x ∈  − ;  gán x = −0.25 suy nghiệm x = −0.414213562   Xét hai nghiệm tìm được, vào hai thức toán, ta có:  x1 + x2 = o Theo Viet đảo, thấy  nên nhân tử chung cần tìm x − x − x x = −  o Bài toán xuất ba thức, lại có x − x = x ( x − 1) = x ( x − 1)( x + 1) = x − x x + Vì ta tìm mối liên hệ x − x hai thức x +1  x − x = 1.847759065 ⇒ x2 − x = x + o Với x = 2.414213562 suy   x + = 1.847759065 x − x = x + , nhân tử chung o Tương tự với x = −0.414213562 ta có hay nói cách khác biểu thức liên hợp cần tìm ( ) x2 − x − x + TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát toán, ta có nhân tử chung hai ( ) x − x − x + , việc lại ghép biểu thức liên hợp với thức x3 − x , hay để đơn giản hóa ta giải phương trình g ( x ) = x3 − x − − x3 − x = • Nếu đề yêu cầu giải phương trình g ( x ) = ta thấy phương trình có dạng h ( x ) = k ( x ) nên hoàn toàn chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau chia đa thức tạo nhân tử Bình phương hai vế phương trình g ( x ) = với điều kiện x − x − ≥ ta (x − x − 1) = x3 − x o Với kỹ CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được: (x − x − 1) = x − x ⇔ x − x − x3 + 16 x + x + = o Nhân tử tìm x − x − nên tiếp tục thực phép chia đa thức để giảm bậc: x − x − x + 16 x + x + P= = x + x3 − x − x − x − 2x −1 o Và chứng minh x + x − x − x − = vô nghiệm với điều kiện xác định • x3 − x Còn trường hợp này, ta tìm biểu thức liên hợp với thức o Với hai nghiệm tìm được, ta có x = 2.414213562 suy ) ( x3 − x = 3.414213561 = x + Vì biểu thức liên hợp x + − x − x ) ( o Do đó, phương trình g ( x ) = tương đương với: ( x − x − ) + x + − x − x = ( ) ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) + x + − x − x = ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) + ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) − ( x + 1) ( x − x − 1) x + + x3 − x ( x + 1) − ( x3 − x ) x + + x3 − x =0   x +1 = ⇔ ( x − x − 1)  x + − =0 x + + x − x   Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC o Và lần nữa, sức mạng TABLE lên tiếng, ta dùng bảng giá trị để khảo x +1 sát nghiệm phương trình x + − = lại x + + x3 − x X +1 , ta xét khoảng điều kiện x ≥ Nhập hàm số f ( X ) = X + − X +1+ X − X Start ? Nhập START = X F(X) End ? Nhập END = 4.5 Step ? Nhập STEP = 0.5 1.5 2.8538 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng dấu 3.4494 hiệu cắt trục hoành ta khẳng định 2.5 4.0086 phương trình f ( X ) = vô nghiệm 3.5 4.5 Hướng chứng minh vô nghiệm ta khảo sát hàm số để HÀM TĂNG, biến đổi tương đương hay nhóm số đê đưa tổng đại lượng dương Ta có: x+2− x+2− 4.5505 5.0823 5.6077 6.1285   x +1 x3 − x = x + + 1 − = + + >0 x  x + + x3 − x x + + x3 − x  x + + x3 − x  x +1 x +1 x + + x3 − x = ) ( x + 2) ( x + + x3 − x − x + x + + x3 − x = x + x + + ( x + ) x3 − x x + + x3 − x  x ∈ ( −∞; 0] ∪ [1; +∞ ) o Suy g ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔  ⇔ x = 1±  x − x − = ( ) ( x − x)+( Từ đó, ta có lời giải sau: x − x − − x − x + ( ⇔ x3 − x − + x + − ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) − ) x + 1) = x2 − x − x + = x2 − x − ( x + 1) ( x − x − 1) x + + x3 − x + x2 − 2x − x2 − x + x +  x +1 ⇔ ( x − x − 1)  x + − + x + + x3 − x   =0 x − x + x +1   x3 − x ⇔ ( x − x − 1)  x + + +  x + + x − x   =0 x − x + x +  ⇔ ( x − x − 1) f ( x ) = ⇔ x = ± { } =0  f ( x ) >  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ± Ví dụ 11 [Tham khảo] Giải phương trình x3 = x + x + ( x + 3) x + + x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Bài toán chứa hai thức tư tưởng liên hợp cho căn, nhiên cần xác định nghiệm xác định biểu thức liên hợp Dùng chức SHIFT  x + = 2.618033989 = x + CALC ta có nghiệm x = 1.618033989 suy  nên biểu thức x + = 1.618033989 = x  ( ) ( ) liên hợp x + − x + x − x + , nhiên lại thấy x + trước thức 3x + ta cần thêm bớt đại lượng ( x + 1)( x + 3) Do đó, phương trình cho tương đương với: Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x − x −3 x − ( x + ) x + − x + = ( ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) + ( x + 3) x + − x + + x − ) ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) + =0 ) ⇔ x3 − x −3 x − ( x + 3)( x + 1) − x + ( x + 3) x + − x + + x − x + = ( ( x + 3) ( x − x − 1) x + + 3x + + ) ( ( x − x − 1) x + x +1 x+3   ⇔ ( x − x − 1) 3 ( x + 1) + + =0 x + + 3x + x + x +   ( ∗)  2 1+ x+3 x ≥ − Vì ( x + 1) + + > 0; ∀x ≥ − suy ( ∗) ⇔  ⇔x= 3 x + + 3x + x + x +  x2 − x − =  1+ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2x + 7x + + = ( x ∈ ℝ) 2 x − 3x 3x − 3x − PHÂN TÍCH CASIO Bài toán với kết cấu phức tạp, có chứa nhiều phân số khả lớn nhóm nhân tử chung liên hợp Tuy nhiên, trước hết ta cần tìm nghiệm phương trình cho chức SHIFT CALC, khảo sát TABLE ví dụ Ta  x = 0.3819660113 tìm hai nghiệm phương trình  suy  x = 2.618033989 Ví dụ 12 [Tham khảo] Giải phương trình  x − = 0.3819660113 = x  x + = 2.381966011 = x + = x − +  1 Mặt khác phương trình xuất ta ghép liên hợp với , biến đổi phương trình trở x 3x − thành: 2x + 7x + 1  1 7x + 1 − 3x + = ⇔ = ⇔ + − 7x + = 2 +  + 2 x − 3x 3x − 2 − 3x  x  3x − x 3x − 3x − 3x − ⇔ 2+ ( ) 1  1 − 7x + = − 3x − ⇔  −  + + 3x − − x + = x 3x − 3x −  x ( ) ( ) + 3x − − x − 3x − − x 3x − − x 3x − − x ⇔ + =0⇔ + =0 x 3x − + 3x − + x + x 3x − + 3x − + x +  3±   x ≥ ⇔ 3x − − x  + ⇔x=  = ⇔ x = 3x − ⇔   x 3x − + 3x − + x +   x − 3x + =  Cái khó toán nhận hai yếu tố cân để tìm biểu thức liên hợp biểu thức + x − = x + sau liên hợp ta được: ( ) + 3x − − (2 + 7x + = ) 3x − − x − + 3x − + x + Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = = ( 3x − − x ) + 3x − + x + 3± Ví dụ 13 [Tham khảo] Giải phương trình 11x + x + 15 x + = x + ( x + ) x + ( x ∈ ℝ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC PHÂN TÍCH CASIO Không khác ví dụ bao nhiêu, kỹ bản, tìm nghiệm phương trình SHIFT CALC đồng thời xét bảng TABLE tìm khoảng nghiệm, ta có x = 0.2679491924 nghiệm phương trình Với nghiệm ta thấy  x + = 2.267949192 = x + nên biểu thức liên h ợp 3 x x x + + = = + 15 2.267949192  (x + − )( ) x + 15 x + , x + − x + Khi đó, phương trình cho tương đương với: x − 11x + ( x + ) x + − x + 15 x + = ( ) ⇔ x − 12 x − + ( x + ) x + + x + − x + 15 x + = ⇔ ( x − x + 1) + ( x + ) ⇔ ( x − x + 1) − ( ) ( ) x + − x − + x + − x + 15 x + = ( x + ) ( x − x + 1) 8x + + x + + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 2) + ( x + ) x + 15 x + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − x + 1)  − + x + + x + ( x + ) + ( x + ) x + 15 x + +   ( ) ( ( x + 15 x + ) =0   =0  x + 15 x +   ) ( ∗) 8x + + x + − x − x + + 8x + x+2 = = > 0; ∀x ≥ − nên phương 8x + + x + 8x + + x + 8x + + x + 10 x + ≥ trình ( ∗) ⇔  ⇔ x = ± hai nghiệm phương trình cho x − x + =  Chú ý đến − Em gái thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016