Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 03 KĨ THUẬT NÂNG LŨY THỪA VÀ DÙNG VI-ET ĐẢO Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Lý thuyết • Nếu đa thức f ( x ) có nghiệm phân biệt x1 , x2 đa thức f ( x ) chia hết cho x − Sx + P S = x1 + x2 P = x1 x2 • • • Nếu đa thức f ( x ) chia hết cho thu kết đa thức g ( x ) f ( x ) = ( x − Sx + P ) g ( x ) Để tính gần nghiệm phương đa thức bậc n ví dụ ta cần giải phương trình hữu tỷ sau: x − x3 + x − x + = Ta sử dụng máy tính CASIO theo bước, là: o Truy cập Mode 1, ta bấm X − X + X − X + = o Bấm SHIFT + CALC Máy tính hỏi giá trị X ta nhập giá trị X bất kỳ, ví dụ ta gán X = ( Bấm 0, sau ấn “ = “ ) o Đợi lúc, hình máy tính sau Và giá trị X = 0.476888865 nghiệm phương trình cho Các đẳng thức đáng nhớ cần áp dụng: o ( a ± b ) = a ± 2ab + b o o o • ( a ± b ) = a ± 3a 2b + 3ab ± b3 ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) Các dạng toán thường gặp, là:  f ( x ) h ( x ) ≥  f ( x ) ≥ o f ( x) = g ( x) ⇔  ; f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2  f ( x ) = g ( x )  f ( x ) = h ( x ) g ( x )  f ( x ) ≥   o f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ ;   f ( x ) = g ( x ) f ( x) q ( x) = h ( x)  f ( x ) h ( x ) ≥  g ( x ) ⇔ q ( x ) ≥ ( g ( x ) ≥ )  2  f ( x ) q ( x ) = h ( x ) g ( x ) Chú ý: Với tiêu đề NÂNG LŨY THỪA VÀ VIET ĐẢO, phương pháp cho ta tìm nghiệm đa thức bậc cao hay nói cách khác nghiệm phương trình vô tỷ có chứa thức Tuy nhiên trường hợp nâng lũy thừa giải được, ta quy ước sau: a) Bậc cao tối thiểu , tức toán dạng a f n ( x ) + b f n−1 ( x ) + + = với n ≤ Như dễ dàng việc khai triển đa thức b) Thường gặp toán đa thức bậc bậc , bậc ta tách thành = + tức thành đa thức bậc nhân đa thức bậc hai Vậy trường hợp SHIFT + CALC mà đa thức bậc vô nghiệm ta làm Cụ thể cuối viết Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Cở sở phương pháp tìm hai nghiệm phương trình, chí ba nghiệm để xét tổng hiệu x1 + x2 ; x1 x2 sau tìm nhân tử x − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 x2 + x − = ( x + 2) x + − ( x ∈ ℝ) x2 + PHÂN TÍCH CASIO Bài toán thực chất phát biểu gần giống với đề toán THPT Quốc Gia năm 2015 Bây giờ, trước hết ta dùng TABLE ( Mode ) để khảo sát miền nghiệm toán trước • Nhập hàm số X + 4X − F(X) = − ( X + 2) X + − X2 +2 • Vì điều kiện cho x ≥ −3 nên ta nhập giá trị sau: o START = −3 o END = o STEP = 0.5 • Dựa vào bảng bên ta thấy x = x ∈ ( 2; 2.5) nghiệm phương trình cho • Bây ta tự tin dùng SHIFT + CALC cho phương trình cho lưu ý gán x ∈ ( 2; 2.5) ( Ví dụ Giải phương trình ) ( • • • ( ) X + 4X − Nhập phương trình = ( X + ) X + − , gán X = 2.3 máy tính xuất X2 +2 nghiệm lại phương trình cho, là: Với hai nghiệm tìm được, ta thay vào  X + = thức ta   X + = 2.0302775638 = X Mặt khác: với x = x + x − = nên ta tách nhân tử chung với lượng x + − nên ta tìm nghiệm x = sau: ( x + 5)( x − 1) = x + x + − x2 + x − = ( x + 2) x + − ⇔ ( ) x +2 x2 +  x +3 − = ⇔ x =1 ( x + 5) x + + x + −  ⇔ = x + x + − ⇔ ( ) x2 + ( x + ) x + + = ( x + ) ( x + )  ( ( • ) )( ) ( ) ( ) ) ( ) Vấn đề lại giải phương trình ( ∗) , dễ thấy ta biến đổi ( ∗) dạng f ( x) = h ( x) g ( x) sau: ( x + ) x + = x3 + x − Khi đưa dạng quen thuộc rồi, ta mạnh dạn bình phương hai vế, ta được: ( x3 + x − ) = ( x + ) ( x + 3) 2 ( i ) Tiếp tục, theo trước, ta dùng máy tính để phân tích nhân tử đa thức, là: gán x = 100 , ta thấy: VP( i ) = ( x3 + x − ) = ( x + x + x − ) = ( x3 + x ) + ( x + x )( x − ) + ( x − ) 2 2 VT( i ) = ( x + ) ( x + 3) = x3 + 13x + 55 x + 75 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ( ∗) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Nên ta xét ( x + x )( x − ) + ( x − ) − VP( i ) = ( x + x )( x − ) + ( x − ) − x3 − 13 x − 55 x − 75 2 = x5 + x − 13 x3 − 37 x − 55 x − 39 Khi ( i ) ⇔ x + x + x − 13x − 37 x − 55 x − 39 = • Với phương trình ( i ) dùng SHIFT + CALC ta tìm hai nghiệm x1 = −1.302775638  x1 + x2 = nghiệm lại x2 = 2.302775638 Từ xét tổng, tích  nên ta có nhân tử x x = −  2 ( x − x − 3) , thực phép chia đa thức x + x5 + x − 13 x − 37 x − 55 x − 39 = x + x3 + 12 x + 14 x + 13 x − x−3 Và ta thấy phương trình x + x3 + 12 x + 14 x + 13 = (xem cách chứng minh ) Tuy nhiên, ta nhìn nhận theo hướng hàm số sau: ( ∗) ⇔  x + +  x + + = ( x + ) ( x + )   ( ) ( ) Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( t + ) , có f ' ( t ) = 2t ( t + ) + t + = 3t + 4t + = t + ( t + 1) > 0; ∀t ∈ ℝ nên suy f ( t ) hàm số đồng biến ℝ mà x ≥ + 13 x + = f ( x) ⇔ x = x + ⇔  ⇔x= x − x − = + 13 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = f ( ) Ví dụ Giải phương trình x − x − = x + ( x ∈ ℝ)  f ( x ) ≥ PHÂN TÍCH CASIO Đây dạng phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) ⇔  , nên f x = g x ( ) ( )  dễ thấy điều kiện toán x − x − ≥ Và giải pháp mà ta hướng tới nâng lũy thừa hai vế, ta phương trình cho ⇔ ( x − x + 1) = x + ⇔ x − x + x + x − = • Phương trình trên, dùng chức SHIFT + CALC ta tính gần bốn nghiệm  x1 = 2.4142135262 phương trình ( đa thức bậc bốn ), nghiệm  ,  x2 = −0.4142135262  x3 = 3.732050808   x4 = 0.2679491924 • Nhưng để xét tích tổng, ý đến cặp nghiệm hai nghiệm phương trình bậc hai ta cần chia nghiệm để chia thành hai cặp nghiệm ? Và ta cần ý  x = 2.4142135262 đến nghiệm có phần thập phân giống hai nghiệm  xét  x2 = −0.4142135262  x + x2 = −2  Do ta nhân tử x − x − hai nghiệm lại nhân tử  x1 x2 = −1 x − x + Và ta được: x − x3 + x + x − = ⇔ ( x − x − 1)( x − x + 1) = TƯ DUY LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ − Phương trình cho tương đương với: Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 2 x − x + ≥ x = 1− 2 x − x + ≥ 2x − 6x + = 4x + ⇔  ⇔ ⇔   2  x = + ( x − x + 1) = x + ( x − x − 1)( x − x + 1) = { } Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − 2; + Ví dụ Giải phương trình x ( x − ) = ( x − x + 10 ) ( ) 2x − − ( x ∈ ℝ) Ta thấy phương trình rút gọn lại thành: 2 x − − x + x − 10 ⇔ x − 14 x − 10 = ( x − x + 10 ) x − PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x ≥ x − x = ( x − x + 10 ) ( ∗) Phương trình nằm dạng phương trình  f ( x ) h ( x ) ≥ f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  mà giới thiệu trên, ta = f x h x g x ( ) ( ) ( )  ( x − 14 x − 10 )( x − x + 10 ) ≥ ( ∗) ⇔  2 2 ( x − 14 x + 10 ) = ( x − 1) ( x − x + 10 ) Bây sử dụng kiến thức cung cấp CHUYÊN ĐỀ ta khai triển đa thức sau: • • Đa thức ( x − 14 x + 10 ) = x − 84 x3 + 256 x − 280 x + 100 2 Đa thức ( x − 1)  x − ( x − 10 )  = ( x − 1)  x − x ( x − 10 ) + ( x − 10 )  ( cách làm ta   tách bình phương cho phá để nhân với đại lượng x − xuất bậc nhỏ ) = x ( x − 1) − x ( x − 10 )( x − 1) + ( x − 1)( x − 10 ) = x5 − x + ( x − 1) ( 36 x − 120 x + 100 ) − x ( x − 10 )( x − 1) Xét riêng với đa thức x ( x − 10 )( x − 1) , ta làm sau: Gán x = 100 suy x ( x − 10 )( x − 1) = 2348200000 ⇒ x ( x − 10 )( x − 1) − 24 x = −51800000 ⇒ x ( x − 10 )( x − 1) − 24 x + 52 x = 200000 ⇒ x ( x − 10 )( x − 1) − 24 x + 52 x − 20 x = Do suy ( x − 1)  x − ( x − 10 )  = x − 25 x + 124 x3 − 296 x + 320 x − 100 Vậy nên ta có ( 3x − 14 x + 10 ) = ( x − 1) ( x − x + 10 ) ⇔ x − 34 x + 208 x3 − 552 x + 600 x − 200 = 2 Bây ta dùng chức SHIFT CALC để tìm nghiệm phương trình bậc năm Nhập máy tính X − 34 X + 208 X − 552 X + 600 X − 200 = , gán giá trị X ta nghiệm phương trình x1 = 5; x2 = 3.414213562; x3 = 0.5857864376; x4 = 6.449489743; x5 = 1.550510257 Đến xuất bốn nghiệm lẻ ta ghép cặp ví dụ trên, ta thấy chọn tổng hai nghiệm  x2 + x3 =  x2 x3 = cho tổng số hữu tỷ có hai cặp nghiệm thỏa mãn   Khi  x4 + x5 =  x4 x5 = 10 ta nhóm nhân tử ( x − ) ( x − x + )( x − x + 10 ) Hoặc ta phát hai nhân tử bậc hai x − x + x − x + 10 ta thực phép chia đa thức: x − 25 x + 124 x3 − 296 x + 320 x − 100 x5 − 25 x + 124 x3 − 296 x + 320 x − 100 ; x2 − 4x + x − x + 10 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Phương trình cho tương đương với x − x = ( x − x + 10 ) x − − x + x − 10 LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ ⇔ x − 14 x − 10 = ( x − x + 10 ) x − x = ( x − 14 x − 10 )( x − x + 10 ) ≥ ( x − 14 x − 10 )( x − x + 10 ) ≥    ⇔ ⇔ ⇔ x = 2−   2 2 2 x − x − x + x − x + 10 = )( )( ) ( x − 1) ( x − x + 10 ) = ( x − 14 x − 10 ) x = + (  Vậy phương trình cho có ba nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình 3x − x + = x ( x − ) x − x − ( x ∈ ℝ)  f ( x ) h ( x ) ≥ nên PHÂN TÍCH CASIO Phương trình cho có dạng f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ⇔  2  f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ta chọn giải pháp nâng lũy thừa hai vế ta ( x − x + ) = 36 x ( x − ) ( x − x − 1) 2 • Đa thức ( x − x + ) để đơn giản hóa, ta tách thành sau: • 3x − ( x − )  = x − x3 ( x − 5) + ( x − 5) = x − 36 x + 30 x + 36 x − 60 x + 25   Đa thức x ( x − ) ( x − x − 1) tách thành x ( x − x + )( x − x − 1)  Vì ( x − x + )( x − x − 1) = x − x + x − nên suy 2 36 x ( x − ) ( x − x − 1) = 36 x − 180 x + 252 x − x 2 Do ( x − x + ) = 36 x ( x − ) ( x − x − 1) ⇔ 27 x − 144 x + 216 x − 30 x3 − 84 x − 25 = 2 Nhập máy tính 27 X − 144 X + 216 X − 30 X − 84 X − 25 = , gán giá trị X ta thu  x1 + x2 =  x1 = 2.632993162  hai nghiệm phương trình  ⇒ nên nhân tử  x2 = −0.6329931619  x1 x2 = −  = ( 3x − x − 5) 3 Và ta tìm đa thức lại phép chia đa thức, sau: 27 x − 144 x5 + 216 x − 30 x − 84 x − 25 = x − 30 x3 + 27 x − x + 3x − x − Phương trình bậc bốn lại vô nghiệm x2 − x − Cũng với nghiệm trên, ta có x − x − = x + nên ta chọn giải phép ghép biểu thức liên hợp hay nâng lũy thừa với số mũ to Chia biểu thức sau: 3x3 − x + − x ( x − ) x − x − x − x −1 − x −1 Và ý x − x + + x − x − = ( ) = x − 3x − − x − x − x − x − + + ( x − 1) ≥ Do phương trình cho ( )( ) ⇔ x − x − − x − x − 3x − − x − x − = ⇔ x − x − = x + ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 3± 3± Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC TỔNG QUÁT Phương pháp chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm Đặt vấn đề Giải phương trình f ( x ) = x + ax + bx + cx + d = Lời giải Dùng SHIFT CALC TABLE ( mode ) thấy phương trình vô nghiệm Ta chứng minh phương trình f ( x ) = sau: • • • • • ax   Tìm số α ∈ ℝ cho x + ax + bx + cx + d −  x + +α  >   Đạo hàm cấp f ' ( x ) = x + 3ax + 2bx + c Giải phương trình f ' ( x ) = x3 + 3ax + 2bx + c = ta nghiệm x = x0 o Một nghiệm suy điểm rơi toán o Nhiều nhiệm, ta cần thử xem nghiệm cho f ( x )min điểm rơi toán a Tìm α cho α ≈ − x02 − x0 2  ax  Sau tìm α ta tìm x + ax + bx + cx + d −  x + + α  = g ( x) >   Ví dụ xx Giải phương trình x + x3 + 12 x + 14 x + 13 = tập số thực Lời giải Xét đạo hàm hàm số f ( x ) = x + x3 + 12 x + 14 x + 13 , có f ' ( x ) = x3 + 15 x + 24 x + 14 Dùng máy tính CASIO ta có f ' ( x ) = ⇔ x = −1.178845902 Khi số α cần tìm là: a x0 = − ( −1.178845902 ) − ( −1.178845902 ) = 1.557437094 = 2 2 5x  255 x + 500 x + 1144  Do ta có x + x3 + 12 x + 14 x + 13 −  x + +  = > 5 100  Nên suy phương trình cho vô nghiệm α ≈ − x02 − Ví dụ xx Giải phương trình x − 30 x + 27 x − x + = tập số thực Lời giải Xét đạo hàm hàm số f ( x ) = x − 30 x + 27 x − x + , có f ' ( x ) = 36 x3 − 90 x + 54 x −  x = 1.654057332 Dùng máy tính CASIO ta có f ' ( x ) = ⇔  x = 0.7025109946 Và ta thấy f (1.654057332 )  x = 0.1434316734 Khi số α cần tìm là: a 30 α ≈ − x02 − x0 = − (1.654057332 ) + (1.654057332 ) = 0.02085656246 = 18 50 2 30  30  12300 x − 10500 x + 12473 x + 3x2 − x+ x+  = Do ta có x − −x − > 27 27  18 50  67500 Nên suy phương trình cho vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x + x − = x + A Phân tích CASIO Bình phương hai vế phương trình ta (x + x − 1) = ( x + 1) ⇔ x + x3 − x − x − = (2) Nhập vào máy tính X + X − X − X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 1, 618033989 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A X + 2X − X − 6X − =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −0, 618033988 Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B Nhập vào máy tính X + 2X − X − 6X − =0 ( X − A )( X − B ) Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B =1 Bấm A + B A.B ta  ⇒ (2) có nhân tử x − x − = A B = −  B Lời giải Nhập vào máy tính ĐK: x ≥ −1 (*) Khi ta có ( x + x − 1) = ( x + 1) ⇔ x + x3 − x − x − = ⇔ x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + ( x − x − 1) =   3 ⇔ ( x − x − 1)( x + x + 3) = ⇔ ( x − x − 1)  x +  +  =    2 ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = Thử lại ta x = Đ/s: x = C 1± 1+ thỏa mãn 1+ Chú ý quan trọng A + B Nếu ta tính  mà không đẹp ta thực chia tiếp  A.B X + 2X − X − 6X − Nhập vào máy tính = ( X − A )( X − B ) Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính giá trị x Gán giá trị C cách bấm SHIFT STO C  A + C B + C Sau tính  ,   A.C B + C Nếu thấy giá trị đẹp ta suy nhân tử không đẹp ta lại chia tiếp Ví dụ Giải phương trình x3 + x + = 3 x + A Phân tích CASIO Bình phương hai vế phương trình ta (x + x + ) = ( x + ) ⇔ x + x + x + x − 23 x − 14 = (2) Nhập vào máy tính X + X + X + X − 23 X − 14 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 1, 618033989 Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A X + X + X + X − 23 X − 14 =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −0, 618033988 Nhập vào máy tính Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B X + X + X + X − 23 X − 14 =0 ( X − A)( X − B ) Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B =1 Bấm A + B A.B ta  ⇒ (2) có nhân tử x − x − =  A.B = −1 B Lời giải Nhập vào máy tính ĐK: x ≥ − (*) Khi ta có ( x3 + x + ) = ( x + ) ⇔ x + x + x + x − 23 x − 14 = ⇔ x ( x − x − 1) + x3 ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + 14 ( x − x − 1) = ⇔ ( x − x − 1)( x + x3 + x + x + 14 ) = (3) x  15 x  Mặt khác x + x + x + x + 14 =  x +  + + x + 14 2  2  43  x   x 15 =  x +  +  + >  + 2  15   Do (3) ⇔ x − x − = ⇔ x = Thử lại ta thấy x = Đ/s: x = 1± 1± thỏa mãn 1± Ví dụ Giải phương trình x − x + = x + A Phân tích CASIO Bình phương hai vế phương trình ta (x − x + 1) = ( x + ) ⇔ x8 − x + x − x − 12 x − = (2) Nhập vào máy tính X − X + X − X − 12 X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 1, 618033989 Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A X − X + X − X − 12 X − Nhập vào máy tính =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −0, 618033988 Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B A + B =1 Bấm A + B A.B ta  ⇒ (2) có nhân tử x − x − = A B = −  B Lời giải ĐK: x ≥ − (*) Khi ta có ( x − x + 1) = ( x + ) ⇔ x8 − x + x − x − 12 x − = ⇔ x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + ( x − x − 1) = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ⇔ ( x − x − 1)( x + x + x3 + x + x + ) = (a) > −1 ⇒ x + x5 + x + x + x + > − − + 4.0 − + = 1± Do (a) ⇔ x − x − = ⇔ x = Thử lại thỏa mãn (1) 1± Đ/s: x = Với x ≥ − Ví dụ Giải phương trình x3 − x − = 3x + x + A Phân tích CASIO Bình phương hai vế phương trình ta (x − x − 1) = ( x + x + ) ⇔ x − x + x − x3 − 25 x − 54 x − 44 = (2) Nhập vào máy tính X − X + X − X − 25 X − 54 X − 44 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 3, 236067977 Bấm SHIFT STO A để gán 3, 236067977 = A X − X + X − X − 25 X − 54 X − 44 =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −1, 236067977 Bấm SHIFT STO B để gán −1, 236067977 = B A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (2) có nhân tử x − x −  A.B = −4 B Lời giải Nhập vào máy tính ĐK: x + x + ≥ ⇔ ( x + 1) + ≥ ⇔ x ∈ ℝ (*) Ta có ( x3 − x − 1) = ( x + x + ) ⇔ x − x + x − x3 − 25 x − 54 x − 44 = ⇔ x ( x − x − ) + x ( x − x − ) + x ( x − x − ) + 11( x − x − ) = ⇔ ( x − x − )( x + x + x + 11) = (3) Từ (1) ta có x3 = x + + 3x + x + > ⇒ x > ⇒ x + x + x + 11 > Do (3) ⇔ x − x − = ⇔ x = ± Thử lại ta x = + thỏa mãn (1) Đ/s: x = + Bài giảng miễn phí có groups facebook Đề thi thử hocmai,moon,uschool fb.com/groups/dethithu Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016