BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu cá nhân hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Dương Quang Hòa Mục lục Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 1.1 1.2 1.3 12 Các MD-nhóm MD-đại số 12 1.1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 12 1.1.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 14 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 17 1.2.1 K-quỹ đạo nhóm Lie 17 1.2.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 18 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 20 Lớp MD(5,4)-phân 2.1 35 Phân 35 2.1.1 Phân bố khả tích đa tạp vi phân 35 2.1.2 Phân 36 Tôpô Phân 37 2.2.1 Không gian phân 37 2.2.2 Kiểu tôpô phân 38 2.3 Phân đo 38 2.4 Phân loại tôpô MD(5,4)-phân liên kết với MD(5,4)-nhóm 39 2.2 2.4.1 Các MD(5,4)-phân liên kết với MD(5,4)-nhóm 39 2.4.2 Phân loại tôpô MD(5,4)-phân 40 K-lý thuyết MD(5,4)-phân 46 C ∗ -đại số Connes liên kết với phân 46 3.1.1 Holonomy 47 3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy phân 48 3.1.3 Không gian nửa mật độ 48 3.1.4 C ∗ -đại số Connes liên kết với phân 50 3.1.5 Tích xiên 50 3.1.6 Các tính chất C ∗ (V, F) 51 Phép đặc trưng C ∗ -đại số phương pháp K-hàm tử 53 3.2.1 K-lý thuyết mở rộng C ∗ -đại số 54 3.2.2 KK-nhóm Kasparov 55 3.2.3 Bất biến số C ∗ -đại số 56 3.2.4 Đẳng cấu Thom-Connes tính tự nhiên 57 3.2.5 Hệ bất biến số C ∗ -đại số 58 3.3 K-lý thuyết phân 59 3.4 K-lý thuyết MD(5,4)-phân 60 3.1 3.2 3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân 3.4.2 60 Đặc trưng C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F2 F3 61 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 75 Danh mục công trình tác giả 77 Tài liệu tham khảo 78 Phụ lục 82 Danh mục ký hiệu • ⊕: Tổng trực tiếp • ⊗, • : Tích tenxơ tích tenxơ : Kết thúc phép chứng minh • Ad: Biểu diễn phụ hợp • ad: Vi phân biểu diễn phụ hợp • Aut(G): Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G • A=A ρ G: Tích xiên A G tác động ρ • C, R: Trường số phức, trường số thực • C (X): C ∗ -đại số hàm phức liên tục X • C0 (X): C ∗ -đại số hàm phức liên tục X triệt tiêu vô • C0 (R2 ): Đơn vị hoá C ∗ -đại số C0 (R2 ) • Cc∞ (H): Không gian hàm trơn H có giá compact, nhận giá trị phức • Cc∞ H, Ω1/2 : Không gian nửa mật độ H • C ∗ (V, F): C ∗ -đại số Connes liên kết với phân (V, F) • Cc (G, A): Không gian ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A • End(G): Không gian tự đồng cấu G • exp: Ánh xạ mũ • Ext (B, J): KK-nhóm Kasparov • G = Lie (G): Đại số Lie nhóm Lie G • G ∗ : Không gian đối ngẫu đại số Lie G • GL1 (C (S )): Tập ma trận cấp khả nghịch với phần tử thuộc C(S ) • GL02 (C (S )) := exp (Mat2 (C (S ))) - thành phần liên thông đường ma trận đơn vị cấp với phần tử thuộc C(S ) • Index A: (Hệ) bất biến số C ∗ -đại số A • Ki (A): Ki -nhóm C ∗ -đại số A • K: C ∗ -đại số toán tử compact không gian Hilbert vô hạn chiều tách • L2 Hx , Ω1/2 : Không gian nửa mật độ Hx bình phương khả tích • Matn (A): Tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A • P2 (C (S )): Tập phần tử chiếu C ∗ -đại số ma trận vuông cấp với phần tử thuộc C(S ) • S n : Mặt cầu đơn vị n-chiều • T V : Phân thớ tiếp xúc V • (V, F): Không gian phân • V /F: Không gian phân (V, F) • ΩF : Quỹ đạo Kirillov (hay K-quỹ đạo) qua F • 1/2 Ωx : Phân thớ nửa mật độ V x∈V • ΩF (G) := {FX | X ∈ G} • Λ: Độ đo hoành (đối với phân lá) • (δ0 , δ1 ): Cặp đồng cấu nối dãy khớp tuần hoàn thành phần MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát điểm vấn đề mà quan tâm toán “Đi tìm lớp C ∗ -đại số(1) có khả đặc trưng phương pháp K-hàm tử ” Năm 1943, I Gelfand A Naimark ([13]) đưa khái niệm C ∗ -đại số Các C ∗ -đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Toán học Vật lý Tuy nhiên, vấn đề mô tả cấu trúc C ∗ -đại số trường hợp tổng quát lại phức tạp toán mở Năm 1975, theo gợi ý A A Kirillov việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C ∗ -đại số lớp nhóm Lie giải K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) thành công việc sử dụng K-hàm tử đồng điều BrownDouglas-Fillmore (còn gọi K-hàm tử BDF ) để đặc trưng C ∗ -đại số C ∗ (Aff R) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực R Năm 1976, J Rosenberg ([18]) sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C ∗ -đại số C ∗ (Aff C) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng phức C C ∗ -đại số vài nhóm Lie giải khác Trong công trình này, J Rosenberg gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục C ∗ -đại số K-hàm tử BDF phương pháp Diệp (Diep’s method ) Năm 1978, Đ N Diệp ([12]) cải tiến phương pháp để đặc trưng C ∗ -đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, K-hàm tử BDF dường không thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho C ∗ -đại số phức tạp Từ đó, cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn sau: • Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để đặc trưng lớp rộng C ∗ -đại số • Vấn đề 2: Đi tìm khảo sát lớp rộng C ∗ -đại số lớp (1) Xem Phụ lục B nhóm Lie mà C ∗ -đại số chúng có khả đặc trưng K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov ([14]) nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quát hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử toán tử (còn gọi KK-hàm tử ) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như áp dụng đầu tiên, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để đặc trưng thành công C ∗ -đại số C ∗ (H3 ) nhóm Heisenberg H3 Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với C ∗ -đại số có cấu trúc phổ (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn bất khả quy với tôpô cảm sinh từ tôpô Jacobson) không phức tạp Đối với C ∗ -đại số nhóm, phổ đồng với đối ngẫu unita nhóm (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn unita bất khả quy nhóm) Đặc biệt nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy tập đối ngẫu unita nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian K-quỹ đạo Do đó, việc chọn lớp nhóm Lie có không gian K-quỹ đạo đơn giản cho phép ta đặc trưng C ∗ -đại số nhóm chúng phương pháp K-hàm tử Dựa ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đề nghị xét lớp C ∗ -đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo nên nói chung C ∗ -đại số chúng đặc trưng nhờ KK-hàm tử Giả sử G nhóm Lie thực, giải n chiều (n số nguyên dương) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo không chiều có số chiều số k (chẵn) không vượt n Khi k = n G gọi MDn-nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn-nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn-đại số ) Rõ ràng lớp MD lớp MD Đến đây, toán đặt là: “Phân loại MD-đại số đồng thời đặc trưng C ∗ -đại số MD-nhóm phương pháp K-hàm tử ” Năm 1984, H H Việt ([35]) phân loại triệt để MD-đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán Rn , đại số Lie(Aff R) đại số Lie(Aff C) Ngay sau đó, H H Việt dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C ∗ Aff C phủ phổ dụng Aff C nhóm Aff C Như vậy, với kết có trước Đ N Diệp J Rosenberg, toán MD-đại số MD-nhóm xem giải triệt để Bài toán tương tự MD-đại số MD-nhóm toán mở Ngoài ra, phân tầng đơn giản K-quỹ đạo lớp MDnhóm mà người ta nhận thấy rằng: MD-nhóm, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes ([8]) Các phân gọi MD-phân liên kết với MD-nhóm xét Đối với phân (V, F) tùy ý, toán quan trọng “tôpô phân lá” nghiên cứu không gian (hay vắn tắt không gian lá) phân Tuy nhiên, đáng tiếc không gian V /F thường có tôpô không Hausdorff, ta định nghĩa K-lý thuyết không gian (theo nghĩa thông thường) Đây trở ngại lớn nghiên cứu tôpô phân Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đề ý tưởng thay C0 (V /F) C ∗ (V, F), mà từ Connes định nghĩa: K i (V /F) = Ki (C ∗ (V, F)) , (i = 0, 1) Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết không gian phân (hay vắn tắt K-lý thuyết phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc C ∗ -đại số Connes C ∗ (V, F) liên kết với phân (hay vắn tắt C ∗ -đại số phân lá) Kể từ công trình [8] A Connes, việc nghiên cứu C ∗ -đại số phân K-lý thuyết phân trở thành hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 kỷ trước Vấn đề đặt là: “Liệu C ∗ -đại số Connes liên kết với phân có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không? ” Đáng ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) dùng KK-hàm tử để đặc trưng C ∗ -đại số phân Reeb xuyến T số phân mặt cầu đơn vị S Kết hợp hai hướng nghiên cứu làm nảy sinh toán “Nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C ∗ -đại số MDphân phương pháp K-hàm tử ” Năm 1990, L A Vũ ([2]) thành công việc nghiên cứu toán lớp MD4-phân 72 • Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng (γ3 ) đồng với dãy khớp: ZO / Z δ1 Zo Zo / Z  δ0 Z Kết hợp khẳng định với Nhận xét 3.4.13, ta được: • Index C ∗ (F2 ) = {γ1 , γ2 }, (γ1 ) xem đồng với đồng cấu nối δ0 ∈ Ext (B1 , J1 ) ≡ Hom (Z2 , Z2 ) (vì = δ1 ∈ Hom (0, 0)), (γ2 ) xem đồng với đồng cấu nối δ0 ∈ Ext (B2 , J2 ) ≡ Hom (Z, Z2 ) (vì = δ1 ∈ Hom (Z, 0)) • Index C ∗ (F3 ) = γ3 , với (γ3 ) đồng với cặp (δ0 , δ1 ) ∈ Ext (B3 , J3 ) ≡ Hom (Z, Z) ⊕ Hom (Z, Z) Như vậy, định lí hoàn toàn chứng minh ta tính xong đồng cấu nối Phép tính δ0 : K0 (A1 ) → K1 (I1 ) Vì K0 (A1 ) = K0 (C (S )) ∼ = Z2 có phần tử sinh [1] [p] − [ε1 ] nên ta cần tính δ0 ([1]) δ0 ([p] − [ε1 ]) Theo định nghĩa thông thường δ0 , với f ∈ Matn (C (S )) f phần tử chiếu, tức [f ] ∈ K0 (C (S )) δ0 ([f ]) = e2πif , f ∈ Matn (C (S )) cho hạn chế f lên Matn (C (S )) f • Lấy f = p, với p : S ≡ D/S → Mat2 (C) (xem Mệnh đề 3.4.12), ta chọn: p (x, y, z) = √ p (x, y) , (x, y, z) ∈ S 1+z Gọi p+ , p− hạn chế p R2 × R+ R2 × R− Khi đó: δ0 ([p]) = e2πip = = (w+ ([b] e2πip+ , e2πip− [u+ ]) ; w− ([b] ∈ K1 C0 R2 × R+ [u− ])) = ([b] ⊕ K1 C0 R2 × R− [u+ ] ; [b] [u− ]) Trong đó, w± = ∓1 2πi Tr R± d 2πip± −2πip± e e dz = ∓ dz R± √ 1 + z2 dz = 73 (công thức (3.12)) • Tương tự ta  δ0  0   = (0; 0) , δ0 ([1]) = (0; 0)  Từ hai điều trên, ta suy ra: δ0 =    Phép tính δ1 : K1 (A3 ) → K0 (I3 ) Bằng cách sử dụng tính khớp, dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng (γ3 ) phải đồng với hai dạng sau: ZO / / Z Z δ1 =1 Zo Zo δ0 =0  Z ZO / Z δ1 =0 Zo Zo / Z  δ0 =1 Z iϕ Để tính đồng cấu nối δ1  trường hợp  này, ta chọn a = e ∈ GL1 (C (S )) eiϕ −1   ∈ GL02 (C (S )) Ta chọn nghịch ảnh lấy b = a Lúc a ⊕ b = −iϕ e a ⊕ b GL2 (C (S )) sau:   eiϕ eiθ1 cos θ2 − sin θ2  ∈ GL02 C S , u (θ1 , θ2 , ϕ) =  sin θ2 e−iϕ e−iθ1 cos θ2 đó, (θ1 , θ2 , ϕ) ≡ (cos θ1 cos θ2 cos ϕ, cos θ1 cos θ2 sin ϕ, cos θ1 sin θ2 , sin θ1 ) ∈ S   −iϕ −iθ1 e e cos θ2 sin θ2  Ta u−1 =  − sin θ2 eiϕ eiθ1 cos θ2    (I1 , 01 ma trận đơn vị ma trận không cấp 1); Đặt q = I1 ⊕ 01 =  0   iϕ iθ1 cos θ2 e e cos θ2 sin θ2  ∈ P2 C0 (S × R2 ) p = uqu−1 =  −iϕ −iθ1 e e cos θ2 sin θ2 sin θ2 74 Khi đó, ta có rank (p) = Theo định nghĩa đồng cấu δ1 , ta được: δ1 ([a]) = ([p] − [I1 ]) = ∈ K0 C0 S × R2 Vậy dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng (γ3 ) là: ZO / Z δ1 =1 Zo Zo / Z  δ0 =0 Z Định lí chứng minh hoàn toàn Nhận xét 3.4.14 (i) Như vậy, ta giải xong toán đặc trưng cấu trúc C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân Cụ thể, C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F1 mô tả tường minh giải tích; C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F2 đặc trưng hệ bất biến số {γ1 , γ2 }; C ∗ -đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F3 đặc trưng bất biến số γ3 (ii) Thông qua việc giải toán trên, thấy rằng, kỹ thuật đặc trưng C ∗ -đại số cách sử dụng đẳng cấu Bott, đẳng cấu Thom-Connes, xây dựng mở rộng nhờ vào phức C ∗ -đại số ứng với tập mở bão hòa, thích hợp với C ∗ -đại số Connes liên kết với MD-phân mà cho phân thớ cho tác động nhóm Lie Rn – vốn đối tượng quen thuộc lớp MD-phân Do vậy, hy vọng áp dụng kỹ thuật C ∗ -đại số Connes liên kết với MD5-phân lại KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án, ta giải xong toán nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng cấu trúc C ∗ -đại số Connes liên kết với phân phương pháp K-hàm tử Chúng hy vọng rằng, sở kết ban đầu này, ta cải tiến để giải trọn vẹn toán tương tự toàn lớp MD5 Hơn nữa, hy vọng kỹ thuật dùng việc nghiên cứu lớp MD(5,4) ích cho trường hợp MD5 lại, mà hữu dụng cho trường hợp MDn tổng quát, đương nhiên với cải tiến thích hợp Một điều quan trọng là, kết luận án Định lí 1.3.1, 2.4.2, 3.4.3, 3.4.4 tất MD(5,4)nhóm liên thông (không thiết đơn liên), bất khả phân Cụ thể, G MD(5,4)-nhóm liên thông, bất khả phân tranh K-quỹ đạo G hoàn toàn trùng khớp với tranh K-quỹ đạo phủ đơn liên G (do Bổ đề 1.2.1, 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 MD(5,4)-nhóm liên thông, việc tính toán ΩF (G) phụ thuộc vào đại số Lie chung G G) Tiếp theo, họ K-quỹ đạo chiều cực đại G lập thành MD(5,4)-phân phủ đơn liên G Do đó, kết liên quan đến MD(5,4)-phân C ∗ -đại số Connes liên kết với chúng không thay đổi Từ kết đạt luận án, cách tự nhiên, chúng gợi ý cho ta hướng mở cần nghiên cứu sau: • Nghiên cứu toán tương tự toàn lớp MD5 xa lớp MDn với số chiều n tuỳ ý • Xây dựng lượng tử hóa biến dạng K-quỹ đạo tất MD(5,4)nhóm xét 75 76 • Thay đổi hướng tiếp cận toán phân loại lớp MD-đại số MD-nhóm tương ứng Cụ thể, thay phân loại chúng dựa theo số chiều đại số Lie (như thấy luận án, Mệnh đề 1.1.5), mô kỹ thuật phương pháp Arnal, Cahen Ludwig ([4]), cố định số chiều cực đại K-quỹ đạo để phân loại Do hạn chế trình độ, thời gian nhiều mặt khác, luận án dừng lại khuôn khổ định Chúng nhận thức rằng, chắn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chưa nhìn thấy Rất mong quý độc giả quan tâm dẫn Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, sai sót tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe cảm ơn quý độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận án Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2014 Tác giả Danh mục công trình tác giả A Các công trình công bố kết luận án Lê Anh Vũ, Dương Quang Hòa (2007), “Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, No 12 (46), 16 – 28 Vu L.A., Hoa D.Q (2009), “The topology of foliations formed by the generic Korbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360 Vu L.A., Hoa D.Q (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259 Vu L.A., Hoa D.Q (2011), “The structure of Connes’ C ∗ -Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, No 27 (61), 15 – 23 Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A (2014), “K-theory for the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of a class of solvable real Lie groups”, (preprint – to appear in Southeast Asian Bulletin of Mathematics) B Các công trình liên quan đến luận án Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn, Dương Quang Hòa (2013), “Phân loại tôpô phân liên kết với MD5-đại số có Ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, No 43 (77), 50 – 57 77 Tài liệu tham khảo [1] Đào Văn Trà (1984), Báo cáo hội thảo khoa học Viện toán lần thứ 12, 29.11.1984 – 1.12.1984, Hà Nội [2] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam [3] Lê Anh Vũ, Dương Quang Hòa (2007), “Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, No 12 (46), 16 – 28 [4] Arnal D., Cahen M., Ludwig J (1995), “Lie Groups whose Coadjoint orbits are of Dimension Smaller or Equal to Two”, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 33, 183 – 186 [5] Atiyah M.F (1976), K-theory, Benjamin, New York [6] Brown L.G., Douglas R.G., Fillmore P.A (1977), “Extension of C ∗ -algebra and K-homology”, Ann of Math, 105, 265 – 324 [7] Connes A (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products of a C ∗ -algebra by an Action of R”, Adv In Math., 39, 31 – 55 [8] Connes A (1982), “A Survey of Foliations and Operator Algebras”, Proc Sympos Pure Mathematics, 38, 521 – 628 78 79 [9] Connes A (1994), Noncommutative Geometry, Published by Academic Press Limited, London [10] Diep D.N (1999), Method of Noncommutative Geometry for Group C ∗ -algebras Reseach Notes in Mathematics Series, Vol 416 Cambridge: Chapman and HallCRC Press [11] Diep D.N (1975), “Structure of the group C ∗ -algebra of the group of affine transformations of the line”, Funktsional Anal I Prilozhen, (1), 63 – 64 (in Russian) [12] Diep D.N (1978), “The structure of C*-algebras of type I”, Vestnik Moskov Uni., No 2, 81 – 87 [13] Gelfand I., Naimark A (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat sb., 12, 197 – 213 [14] Kasparov G.G (1980), “The operator K-functor and extensions of C ∗ -algebras” Izv.Akad Nauk SSSR, Ser Mat 44, 571 – 636 (in Russian) [15] Kirillov A.A (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag Pub., Berlin – Heidenberg – New York [16] Rordam M., Larsen F., Laustsen N (2000), An Introduction to K-Theory for C ∗ Algebras, Cambridge University Press, United Kingdom [17] Rosenberg J and Schochet C (1981), “The classification of extensions of C ∗ algebras”, Bull A.M.S, Vol 4, 105 – 110 [18] Rosenberg J (1976), “The C ∗ -algebras of some real p-adic solvable groups”, Pacific J Math, 65 (1), 175 – 192 [19] Rosenberg J (1982), “Homological invariants of extension of C ∗ -algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38, AMS Providence R.I., 35 – 75 [20] Tamura I (2006), Topology of foliations: An Introduction, American Mathematical Society, Volume 97 80 [21] Taylor J.L (1975), “Banach Algebras and Topology”, Academic Press in Algebras and Analysis, New York, 118 – 186 [22] Torpe A.M (1985), “K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Component”, J Func Anal, 61, 15 – 71 [23] Vu L.A (1990), “On the structure of the C ∗ -Algebra of the Foliation formed by the K-Orbits of maximal dimendion of the Real Diamond Group”, Journal of Operator theory, 24, 227 – 238 [24] Vu L.A., Shum K.P (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific co, 353 – 371 [25] Vu L.A., Thanh D.M (2006), “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp – 16 [26] Vu L.A., Hoa D.Q (2009), “The topology of foliations formed by the generic Korbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360 [27] Vu L.A., Hoa D.Q (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259 [28] Vu L.A., Hoa D.Q (2011), “The structure of Connes’ C ∗ - Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, 27 (61), 15 – 23 [29] Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A (2013), “K-theory for the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of a class of solvable real Lie groups”, (submitted ) 81 [30] Vu L.A., Hieu H.V., Nghia T.T.H (2011), “Classification of 5-Dimensional MDalgebras Having Non-commutative Derived Ideals”, East-West Journal of Mathematics, Volume 13, No 2, 115 – 129 [31] Bourbaki N (1972), Groupes et Algébres de Lie, Ch.I-III, Hermann, 156, Boulevard Saint-Germain, Paris VI [32] Dixmier J (1969), Les C ∗ -algèbres et leurs reprénsentations, Gauthier-Villars, Paris [33] Reeb G (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci.Indust.1183, Hermann, Paris [34] Saito M (1957), “Sur certains groupes de Lie resolubles”, Sci Papers of the College of General Education, Univ of Tokyo, 7, 1–11, 157 – 168 [35] Son V.M., Viet H.H (1984), “Sur la structure des C ∗ -algebres d’une classe de groupes de Lie”, J Operator Theory, 11, 77 – 90 82 Phụ lục A Các khái niệm liên quan đến đại số Lie Các Ideal dẫn xuất Cho G đại số Lie • Ideal dẫn xuất thứ (hay đơn giản ideal dẫn xuất) G, ký hiệu [G, G] hay G , ideal G sinh tất phần tử [x, y], với cặp x, y ∈ G • Ideal dẫn xuất G gọi ideal dẫn xuất thứ G, ký hiệu G Như vậy, G := [G , G ] • Giả sử ideal dẫn xuất thứ (n − 1) G, ký hiệu G (n−1) , định nghĩa, n > Khi đó, ideal dẫn xuất G (n−1) , G (n−1) G (n−1) gọi ideal dẫn xuất thứ n G, ký hiệu G n Đại số Lie giải Theo định nghĩa trên, ta dãy giảm dần ideal dẫn xuất G sau: G ⊃ G ⊃ G ⊃ ⊃ G n ⊃ Đại số Lie G gọi giải tồn số nguyên dương n cho G n = {0} Đại số Lie khả phân bất khả phân Cho G đại số Lie • Ta nói G phân tích hay khả phân G biểu diễn thành tổng trực tiếp hai đại số không tầm thường thực G • Trong trường hợp ngược lại, ta nói G không phân tích hay bất khả phân 83 Phụ lục B Các khái niệm liên quan đến C ∗-đại số ∗ -đồng cấu Các khái niệm C ∗ -đại số • Đại số A gọi ∗ -đại số hay đại số đối hợp A có ánh xạ ∗ : A → A, a → a∗ , gọi phép đối hợp, thỏa mãn điều kiện sau: ¯ ∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ , (a∗ )∗ = a , ∀a, b ∈ A; ∀α, β ∈ C (αa + βb)∗ = α ¯ a∗ + βb Phần tử a∗ gọi đối hợp a • ∗ -đại số A trang bị chuẩn · cho A trở thành đại số Banach thỏa mãn điều kiện C ∗ : a∗ a = a , ∀a ∈ A gọi C ∗ -đại số Khi phép nhân A có đơn vị, ta bảo A C ∗ -đại số có đơn vị • Một C ∗ -đại số gọi tách chứa tập trù mật, đếm • Cho A C ∗ -đại số, (I, ≤) tập thứ tự Một đơn vị xấp xỉ A họ {ui }i∈I ⊂ A cho: (i) ui ≤ 1, ∀i ∈ I, (ii) ui x − x → 0; xui − x → i tăng, ∀x ∈ A Khi A tách chọn I = N • Cho A, B C ∗ -đại số Ký hiệu A ⊗ B tích tenxơ đại số chúng C Với phép nhân (a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ b2 ) = (a1 a2 ⊗ b1 b2 ) phép đối hợp (a ⊗ b)∗ = a∗ ⊗ b∗ A ⊗ B có cấu trúc tự nhiên ∗ -đại số Nói chung, có nhiều cách để trang bị C ∗ -chuẩn cho ∗ -đại số A ⊗ B để thu C ∗ -đại số Nhưng với C ∗ -đại số B, A ⊗ B có C ∗ -chuẩn A gọi C ∗ -đại số hạch 84 • Cho A C ∗ -đại số Trên tập A˜ = {(a, α) : a ∈ A, α ∈ C} với phép cộng phép nhân vô hướng theo thành phần, ta định nghĩa phép nhân phép đối hợp sau: (a, α)(b, β) = (ab + βa + αb, αβ) , (a, α)∗ = (a∗ , α ¯ ) , a, b ∈ A; α, β ∈ C Khi A˜ với chuẩn: (a, α) ˜ A := sup x∈A, x ax + αx A ≤1 A trở thành C ∗ -đại số có đơn vị với phần tử đơn vị (0, 1) A˜ gọi đơn vị hóa C ∗ -đại số A Các khái niệm ∗ -đồng cấu Cho C ∗ -đại số A, B ánh xạ ϕ : A → B • Ta gọi ϕ ∗ -đồng cấu bị chặn, tuyến tính, nhân tính bảo toàn đối hợp, tức với x, y ∈ A α, β ∈ C thì: ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) , ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) , ϕ(x∗ ) = ϕ(x)∗ Dễ thấy, ϕ ∗ -đồng cấu ϕ(a) ≤ a với a ∈ A • Một ∗ -đồng cấu đơn ánh đẳng cự, tức ϕ(a) = a với a ∈ A Một ∗ -đồng cấu đồng thời song ánh gọi ∗ -đẳng cấu • Một ∗ -đồng cấu π : A → B(H) (B(H) C ∗ -đại số toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H) gọi biểu diễn A không gian Hilbert H • Biểu diễn π : A → B(H) gọi trung thành π đơn ánh gọi không suy biến không tồn ξ ∈ H cho π(x)(ξ) = với x ∈ A • Gọi A, B tích xiên của A, B với nhóm Lie G Khi ∗ -đồng cấu ϕ : A → B gọi G-đẳng biến ϕ giao hoán với tác động nhóm Lie G Tức ϕ (g.x) = g.ϕ (x) , ∀g ∈ G 85 Phụ lục C Một vài khái niệm khác Tích tenxơ Với [u] ∈ Ki (A) [v] ∈ Kj (B), ta xác định phần tử Ki+j (A ⊗ B), ký hiệu [u] [v], gọi tích tenxơ [u] [v], cho bởi:    [u ⊗ v], i=j=0   [u] [v] := s−1 [v]) , i = 1, j = (si ([u])     (s ◦ s )−1 (s ([u]) s ([v])) , i = j = 1 1 đó, s0 : K0 (A) → K1 (SA) s1 : K1 (SA) → K0 (A) đẳng cấu nối dãy khớp tuần hoàn 6–thành phần cảm sinh từ dãy khớp: / SA / CA / A / với CA := {f ∈ C([0, 1], A) : f (0) = 0} , SA := {f ∈ C([0, 1], A) : f (0) = f (1) = 0} Đại số đa nhân tử - Đại số đa nhân tử • Cho A C ∗ -đại số, cặp toán tử liên tục T1 , T2 : A → A gọi cặp đa nhận tử nếu: x.T1 (y) = T2 (x) y, ∀x, y ∈ A • Gọi M (A) tập hợp tất cặp đa nhân tử Trên M (A) trang bị phép toán theo điểm, M (A) trở thành đại số Ta trang bị tôpô cho M (A) sinh họ nửa chuẩn: { (T1 , T2 ) a = T1 (a) + T2 (a) /a ∈ A} Khi đó, M (A) trở thành đại số định chuẩn gọi đại số đa nhân tử A 86 • Phép đối hợp M (A) định nghĩa cách tự nhiên: (T1 , T2 ) = T1 , T2 Nếu có nhóm Lie G tác động liên tục A, có tác động cảm sinh G lên M (A) sau: g (T1 , T2 ) (a) = g T1 g −1 a , g T2 g −1 a , ∀a ∈ A Tác động liên tục Rõ ràng A nhúng vào M (A) ideal phép nhúng: i : A → M (A) ; i (a) := (la , Ra ) (la , Ra ) phép nhân trái, phải với a Khi O (A) = M (A)/i (A) gọi đại số đa nhân tử A Phần tử Bott Xét C ∗ -đại số C0 (R2 ), đồng R2 ≡ C, M2 (C0 (R2 )) ta xét phần tử:     1  z z¯ z   , z ∈ R2 ≡ C p(z) = , q(z) =  + z z¯ 0 z¯ Nhớ lại rằng, nhóm cyclic K0 (C) ∼ = Z sinh phần tử [1] Trong trường hợp này, đẳng cấu Bott βC : K0 (C) → K1 (SC) = K0 (S C) ∼ = K0 (C0 (R2 )) ánh xạ phần tử sinh [1] K0 (C) ∼ = Z thành phần tử sinh [p] − [q] K0 (C0 (R2 )) Phần tử sinh [p] − [q] gọi phần tử Bott [...]... các MD5- phân lá của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ 2 Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5- nhóm, đồng thời đặc trưng C ∗ -đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử ” Cụ thể như sau: 1 Trên cơ sở định lí phân loại các MD5- đại... [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp 5 Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C ∗ -đại số thích hợp với phương pháp K- hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C ∗ -đại số Connes liên k t với các MD -phân lá Ngoài ra, các k t quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K- lý thuyết đối với không. .. với không gian lá của các MD(5,4) -phân lá và đặc trưng C ∗ -đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của các MD5- nhóm tương ứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K- quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân Tiếp... của L A Vũ và K P Shum ([24]), chúng tôi mô tả K- quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)nhóm, tức là các MD5- nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5- đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều 2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4) -phân lá tương ứng, tức là các MD -phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-nhóm được xét 3 Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không. .. đạo của A A Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K- quỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm • Tiếp theo, chúng tôi dùng một số k thuật của lý thuyết tôpô phân lá • Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các k thuật cơ bản của K- lý thuyết đối với C ∗ -đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C ∗ -đại số của phân lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu trong tài liệu [22] của. .. với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể Vì thế, các k t quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học 6 Bố cục và nội dung của luận án Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần k t luận Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học của đề tài, bố cục và nội dung của luận án... động K được gọi là K- biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G ∗ Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn được gọi là K- quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G ∗ ) Cụ thể, ứng với mỗi F ∈ G ∗ , K- quỹ đạo ΩF của G qua F được xác định bởi: ΩF = {K( g)F | g ∈ G} (1.1) 18 1.2.2 Phương pháp mô tả các K- quỹ đạo của các MD(5,4)nhóm Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K- quỹ đạo ΩF của. .. Những k t quả ban đầu đạt được trên lớp MD -phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các. .. xem xét các MD(5,4) -phân lá liên k t với các MD(5,4)-nhóm được xét (1) Xem Phụ lục A 10 Cuối cùng, chúng tôi xét C ∗ -đại số Connes liên k t với phân lá và khảo sát bài toán đặc trưng C ∗ -đại số của các MD(5,4) -phân lá bằng phương pháp K- hàm tử 4 Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số k thuật và phương pháp như sau: • Trước hết, chúng tôi đã dùng một số k thuật... chiều không giao hoán Do Hệ quả 1.1.4, nên ta chỉ cần xét bài toán trên lớp các MD5- đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều mà thôi Trong mục k tiếp dưới đây, ta sẽ giới thiệu lại các MD5- đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều 1.1.2 Lớp con các MD5- đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều Suốt mục này, G luôn là k hiệu để chỉ một MD5- đại số Ta chọn trước một cơ