Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC CHINH PHỤC MỤC TIÊU 26 ĐIỂM ĐẠI HỌC Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN Công thức 26 điểm trở lên: Toán 8.5; Lí 8,5; Hóa 9,0 trở lên VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M điểm đối xứng D qua C Gọi H, K chân đường cao hạ từ D, C lên AM Giả sử K (1;1) , đỉnh B thuộc đường thẳng x + y − 10 = Và phương trình đường thẳng HI : x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B Lời giải: Dễ thấy CK đường trung bình tam giác DHM K trung AD DH điểm HM Lại có ∆ADM ∼ ∆DHM ⇒ = = DM MH Do DH = HK = KM Mặt khác ∆ADH = ∆MCK ⇒ AH = CK ; lại có BAH = BCK đó: ∆BAH = ∆BCK ⇒ BH = BK ABH = KBC Suy ABH + HBC = KBC + HBC = 900 hay BH ⊥ BK ⇒ BHK = 450 Do ∆DHI = ∆KHI ⇒ DHI = KHI = 450 ( DHI = DAI = 450 ) Khi đó: BH ⊥ HI ⇒ BK / / HI ⇒ BK : x + y − = 1 5 Do B = d ∩ BK ⇒ B  ;  2 2  x + ( x + y )3 = y ( x + y ) ,  Câu 2: Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) 2  x − y + + y − x − = Lời giải Điều kiện x; y ∈ ℝ Phương trình thứ hệ tương đương với x3 + x + x y + xy + y = x y + y ⇔ x3 − x y + xy − y = 2 x2 + y = ⇔ x2 ( x − y ) + y ( x − y ) = ⇔ ( x2 + y ) ( x − y ) = ⇔  x = y 2 2x + y = ⇔ x = y = Với x = y phương trình thứ hai hệ trở thành x − x + + x − x − = (1) 1  Để ý x − x + =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ nên (1) đưa dạng 2  x2 − x + + x2 − x − = ⇔ x2 − x − = − x2 + x + 2 ⇔ x − x − = − ( x − x − ) ⇔ x − x − ≤ ⇔ ( x + 1)( x − ) ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Thử trực tiếp đến kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = ( t ; t ) với t ∈ [ −1; 2]  1+ 1+   1− 1−  suy hệ phương trình đề có hai cặp nghiệm ( x; y ) =  ; ; ,    2   Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình ( d1 ) : x + y + = 0, phương trình đường cao kẻ từ B ( d ) : x − y − = Viết phương trình đường thẳng AB, AC tìm tọa độ điểm A biết đường cao kẻ từ C qua điểm M ( 2;1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Lời giải Ta có B = d1 ∩ d ⇒ B ( 0; −1) Do C ∈ d1 : x + y + = ⇒ C ( t ; −t − 1)  t −t −  Gọi H trung điểm BC ⇒ H  ;   2 Đường thẳng AC qua C ( t ; −t − 1) vuông góc với d nên phương trình đường thằng AC : x + y − t + =  t −t −  Đường thẳng AH qua H  ;  vuông góc với d1 nên  2 phương trình đường thẳng AH : x − y − t − =  2t −t −  Ta có A = AC ∩ AH ⇒ A  ;   3 Do CM ⊥ AB ⇒ BA.MC =  2t t  Mà BA =  ; −  ; MC = ( t − 2; −t − )  3 2  11   5 ⇒ ( t − ) − ( −t − ) = ⇔ t = ⇒ A  ; −  C  ; −  3 9   3  11  Đường thẳng AB qua A  ; −  B ( 0; −1) nên đường thẳng AB : x + y + = 9   11   5 Đường thẳng AC qua A  ; −  C  ; −  nên đường thẳng AC : x + y + = 9   3  11  Vậy A  ; −  , AC : x + y + = 0, AB : x + y + = 9  ( x + y ) ( x + y ) = x + y  Câu 4: Giải hệ phương trình  x − 2  x − y −  40   +  =  y − x   y −  Lời giải Điều kiện x ≠ y ≠ Phương trình thứ hệ tương đương với x + x y + xy + y = x3 + y ⇔ x3 + x y + xy − y = x = y ⇔ x ( x − y ) + xy ( x − y ) + y ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = ⇔  2 ( x + y ) + y = Xét hai trường hợp ( x + y ) + y2 = ⇔ x + y = y = ⇔ x = y = 40  x −1   x −1  Với x = y phương trình thứ hai hệ trở thành   +  =  x   x−2 2 2 40 40 2  t   t  Đặt x − = t thu  ⇔ t ( t − 1) + t ( t + 1) = ( t − 1)  +  = 9  t +1   t −1  40 ⇔ t − 2t + t + t + 2t + t = ( t − 2t + 1) ⇔ 11t − 49t + 20 =   5  5 ⇔ ( t − )(11t − ) = ⇔ t ∈ 4;  ⇒ x ∈ 3; −1; + 1; − + 1 11 11   11   Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC     5 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) , ( −1; −1) ,  + 1; + 1 ,  − + 1; − + 1 11   11 11   11 Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm K, M điểm di động cạnh AB Trên cạnh AD, BC lấy điểm E, F cho AM = AE, BM = BF, phương trình EF : x − = Gọi H hình chiếu vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH x + y + x − y − 15 = A, H có tung độ dương Lời giải Ta có EAM = MHE = 90 ⇒ tứ giác AMHE nội tiếp ⇒ AEM = AHM = 450 Tương tự tứ giác HMBF nội tiếp ⇒ BFM = BHM = 450 ⇒ AHB = 900 ⇒ AH ⊥ BH Ta có AE = CF ⇒ K tâm hình vuông Ta có AHB = AKB = 900 ⇒ tứ giác AHKB nội tiếp Ta có H , K = EF ∩ ( ABH ) ⇒ H ( 2;3) , K ( 2; −1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm I ( −2;1) bán kính R = Đường thẳng AB qua I ( −2;1) vuông góc với IK nên đường thẳng AB : x − y + = Do A, B giao điểm A, B với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH nên tọa độ A, B thỏa mãn 2 x − y + =  y = 2x + x = ⇒ y =  A ( 0;5 ) C ( 4; −7 ) ⇔ ⇔ ⇒ ⇒      2  x = −4 ⇒ y = −3  B ( −4; −3)  D ( 8;1)  x + y + x − y − 15 = 5 x + 20 x = Vậy A ( 0;5 ) , B ( −4; −3) , C ( 4; −7 ) , D ( 8;1) ( x − 1) ( x − x + ) = y + y, Câu 6: Giải hệ phương trình  2 x − y + 15 = x + y Lời giải Điều kiện 2x ≥ y ( x; y ∈ ℝ ) Phương trình thứ hệ tương đương với ( x − 1) ( x − 1) + 3 = y + y ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = y + y   Đặt x − = u; ⇒ u + u = y + y ⇔ u − y + 3u − y = ⇔ ( u − y ) ( u + uy + y + 3) =   Với u + uy + y + = ⇔  u + y  + y = −1 (Vô nghiệm)   Với u = y ⇔ x + = y phương trình thứ hai hệ trở thành x + = x + x − 20 ⇔ ⇔ ( ) x + − = x + x − 24 x = 2x − = ( x − 3)( x + ) ⇔   = x+8 x +1 +  x + + (1) 2 ≤ = < ≤ x + 8, ∀x ≥ −1 ⇒ (1) vô nghiệm x +1 + 2 Từ suy hệ ban đầu có nghiệm ( x; y ) = ( 3; ) Rõ ràng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 9 3 Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với M  ; −  trung điểm đoạn BC 2 2 đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x + y − = Gọi E, F chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng qua hai điểm E, F có phương trình x − y + = Lời giải: Gọi I trung điểm AH ta có: IE = IF = AH Mặt khác ME = MF = BC nên IM đường trung trực EF  11  Khi đó: IM : x + y − = ⇒ I  − ;   2 Lại có: IEH = IHE; MEH = MBH ( IE = IH ; ME = MB ) Mặt khác IHE + MBH = 900 ⇒ IEH + HEM = 900 ⇒ IE ⊥ ME t =  7  11    Gọi E ( t ; 2t + ) ta có: EM EI = ⇔  t +  t −  +  2t −   2t +  = ⇔      2  t = −3 2 125  125  21   ⇔  − 3u  +  u −  = Với t = ⇔ E ( 2;6 ) Gọi A ( − 3u; u ) ta có: IA = IE = 2    u =  A ( 2;1) ⇔ ⇒ u =  A ( −13; ) 2 2  125  21   Với t = ⇔ E ( −3; −4 ) ⇒  − 3u  +  u −  = (tương tự TH trên) 2    Kết luận: A ( 2;1) hay A ( −13;6 ) 3 x − 11 y + y ( x + y ) + x + y = y  Câu 8: Giải hệ phương trình  3 x y − y + = y y − x3 Lời giải Điều kiện x + y ≥ 0; y ≥ Đặt a = 3x + y ; b = y ; a ≥ 0, b ≥ phương trình thứ trở thành a + 2ab − 3b + a − b = ⇔ a + 3ab + a − ab − 3b − b = ⇔ a ( a + 3b + 1) − b ( a + 3b + 1) = ⇔ ( a − b )( a + 3b + 1) = ⇒ a = b ⇒ x = y Phương trình thứ hai trở thành 3x − x + = x x − x3 Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét: x = không thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp x ≠ , phương trình cho tương đương với Đặt = t thu phương trình 3t − 5t + = 2t − ⇔ 3t + t = ( 2t − 1) + 2t − (*) x Xét hàm số f ( t ) = 3t + t ta có f ′ ( t ) = 9t + > 0, ∀t ∈ ℝ Do hàm số f ( t ) liên tục đồng biến ℝ Suy ( ∗) ⇔ f ( t ) = f ( ) 2t − ⇔ t − 2t + = ⇔ ( t − 1) ( t + t − 1) =  −1 − −1 +   − +  ⇒ t ∈ 1; ; ;  ⇒ x ∈ 1;  2  2    Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  − +  Thử lại, phương trình cho có tập nghiệm S = 1; ;  2   Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có AB = 2BC, D trung điểm cạnh AB E thuộc cạnh AC cho AC = 3EC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình  16  đường thẳng CD : x − y + = E  ;1   Lời giải Giả sử BC = a, AB = 2a ⇒ CD = a 2, AC = a CD + CA2 − AD Ta có cos DCA = = 2CD.CA 10  16  Đường thẳng AC qua E  ;1 nên gọi phương trình   16   đường thẳng AC : a  x −  + b ( y − 1) = 3  a − 3b Ta có cos DAC = cos ( CD, CA) = = 2 10 10 a + b a = ⇒ a − 3b = a + b ⇔ ( a − 3b ) = ( a + b ) ⇔ 8a + 6ab = ⇔   4a + 3b = • Trường hợp 1: a = ⇒ AC : y − = Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 2;1) Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A (12;1) Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 14; 2t − 1) Ta có AB = ( 6t − 26; 2t − ) , CB = ( 6t − 16; 2t − ) t =  B ( 4;5 ) Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − 26 )( 6t − 16 ) + ( 2t − )( 2t − ) = ⇔  ⇒  t =  B ( 7; )  • Trường hợp 2: 4a + 3b = chọn a = 3, b = −4 ⇒ AC : x − y − 12 = Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 8;3) Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A ( 0; −3) Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 2; 2t + 3) Ta có AB = ( 6t − 2; 2t + ) , CB = ( 6t − 10; 2t )   B (1; ) t=  Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − )( 6t − 10 ) + 2t ( 2t + ) = ⇒ 2⇒   B ( 4;5 ) t = Các khóa Vệ tinh chuyên sâu mảng Toán khó Moon.vn - Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY - Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT - Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!