Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH NỘI DUNG CHÍNH 4.1 – Ánh xạ tuyến tính 4.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 4.1.2 Các tính chất 4.1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.2 – Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 4.2.1 Nhân ảnh 4.2.2 Tìm sở Imf Kerf  Chương Ánh xạ tuyến tính 4.1 Ánh xạ tuyến tính 4.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.1.1 Cho U V hai không gian vectơ Ánh xạ f :U V gọi ánh xạ tuyến tính f thỏa mãn điều kiện sau đây: i) f (x y) f (x ) f (y), x, y U ; ii) f ( x ) f (x ), x U , Một ánh xạ tuyến tính f :V V gọi phép biến đổi tuyến tính V hay gọi toán tử tuyến tính V  Chương Ánh xạ tuyến tính Nhận xét 4.1.1 Hai điều kiện Định nghĩa 4.1.1 tương đương với điều kiện sau đây: f( x y) f (x ) f (y), , R, x, y U (*) Thật vậy, từ i), ii) suy f( x y) f ( x ) f ( y) Ngược lại, (*) chọn chọn f (x ) f (y) ta có i) ta ii) Như vậy, ta sử dụng (*) để kiểm tra ánh xạ có phải ánh xạ tuyến tính hay không mà kiểm tra i) ii  Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.1.1 1) Ánh xạ không : U 0(x ) V , xác định 0, x U ánh xạ tuyến tính 2) Ánh xạ đồng idV :V V , xác định id(x ) x, x V ánh xạ tuyến tính 3) Kí hiệu [x ] tập đa thức biến x , hệ số thực Khi đó, ánh xạ đạo hàm : [x ] [x ], xác định (f ) ánh xạ tuyến tính f (x ), f [x ]  Chương Ánh xạ tuyến tính 4) Phép chiếu p : xác định p(x1, x2, x ) (x1, x2 ) ánh xạ tuyến tính 5) Ánh xạ f : , xác định f (x1, x2, x ) (4, x1 x2 x ) ánh xạ tuyến tính Sinh viên tự chứng minh kết luận tập  Chương Ánh xạ tuyến tính 4.1.2 Các tính chất ánh xạ tuyến tính Định lí 4.1.1 Cho U , V không gian vectơ f :U V ánh xạ tuyến tính Khi đó, ta có 1) f (0U ) 0V 2) f ( x ) 3) f (x ), x U 1, 2, , n f ( 1x1 x 2 ; x1, x2, , xn U , x ) n n f (x1) f (x2 ) n f (xn ) Phép chứng minh định lí suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính  Chương Ánh xạ tuyến tính Định lí 4.1.2 1) Qua ánh xạ tuyến tính, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính biến thành hệ phụ thuộc tuyến tính 2) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng hệ vectơ, nghĩa với x1, x2, , xn U , ta có rank{f (x1), f (x ), , f (xn )} rank{x1, x 2, , xn } Chứng minh 1) Giả sử x1, x 2, , xn tính Khi đó, tồn , , , U hệ phụ thuộc tuyến không đồng thời không n cho x x 1 2 x n xn ) f (0) n n Do f ( 1x1 f (x1 ) 2x 2 f (x ) n f (xn ) 0  Chương Ánh xạ tuyến tính Mặt khác, , , , không đồng thời không nên hệ n vectơ {f (x1 ), f (x ), , f (xn )} phụ thuộc tuyến tính V 2) Giả sử hệ độc lập tuyến tính tối đại f (x i ), , f (x i ) k hệ vectơ {f (x1), f (x ), , f (xn )} Khi đó, ta có rank {f (x1 ), f (x ), , f (xn )} theo 1), hệ vectơ xi , , xi k k độc lập tuyến tính Do đó, hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ vectơ x1, x 2, , xn có không k vectơ Suy rank {x1, x 2, , xn } rank {f (x1 ), f (x ), , f (xn )}  Chương Ánh xạ tuyến tính Định lí 4.1.3 (xác định ánh xạ tuyến tính) Cho U không gian vectơ n chiều {x1, x2, , xn } sở tùy ý nó, V không gian vectơ y1, y2, , yn hệ vectơ tùy ý V Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f :U f (xi ) yi , i 1, n V thỏa mãn  Chương Ánh xạ tuyến tính Khi đó, dễ kiểm tra f ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (xi ) yi , i 1, n Tính nhất: Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f , g thỏa mãn điều kiện định lí, nghĩa f (xi ) yi , g(xi ) yi , i 1, n Khi đó, với x ta có x 1 x 2 x n n U  Chương Ánh xạ tuyến tính Định lí 4.2.1 Cho U , V không gian vectơ f :U V ánh xạ tuyến tính Khi 1) ker f , Im f không gian vectơ U V 2) Nếu {x1, x 2, , xn } sở U {f (x1), f (x ), , f (xn )} tập sinh Im f f (U ) Chứng minh 1) Rõ ràng với f :U ker f 0U ker f V ánh xạ tuyến tính {x U | f (x ) 0}  Chương Ánh xạ tuyến tính Với x, y ker f , ta có f (x ) f (y ) 0, f( x y) f (x ) f (y ) 0, , Suy x y ker f Vậy ker f , f (0U ) Ta có Im f Với x , y U f (U ) Im f Im f , tồn x , y f (x ) U cho x , f (y ) y Do x y f (x ) f (y ) f( x Vậy Im f V y) Im f , ,  Chương Ánh xạ tuyến tính 2) Giả sử {x1, x 2, , xn } sở U , x vectơ Im f Vì x n x i xi , i i Suy n f n x i i i i i f (xi ) , nghĩa x f (x1 ), f (x ), , f (xn ) , x Im f Vậy Im f U U sở {x1, x 2, , xn } sở U nên x f (x ), x f (x1 ), f (x ), , f (xn )  Chương Ánh xạ tuyến tính Ngược lại, x f (x1 ), f (x ), , f (xn ) , ta có biểu diễn n x i f (xi ), i i Do f ánh xạ tuyến tính nên n n x i i i f x i i i n n Vì f (xi ) i xi U nên x f x i i i Im f Suy f (x1 ), f (x ), , f (xn ) Im f  Chương Ánh xạ tuyến tính Do f (x1), f (x2 ), , f (xn ) Im f , Vậy {f (x1), f (x ), , f (xn )} tập sinh Im f Số chiều Im f ker f gọi hạng số khuyết ánh xạ tuyến tính f  Chương Ánh xạ tuyến tính 4.2.2 Tìm sở Imf kerf  Tìm sở Im f : Trước hết ta tìm sở {x1, x2, , xn } U Theo Định lí 4.2.1, ta có Im f f (x1), f (x ), , f (xn ) Hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ {f (x1), f (x ), , f (xn )} sở Im f Tìm ker f : Tìm tập vectơ x cho f (x ) OV  Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.2.1 Cho ánh xạ tuyến tính f : f (x, y, z, t ) (x 2x 2y 4z y z 7t, 3x 2t, 3x 2y với 5t, y 3z t ) 1) Tìm sở số chiều Im f 2) Tìm sở số chiều ker f Giải 1) Chọn sở tùy ý , chẳng hạn sở tắc {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} Khi đó, ta có  Chương Ánh xạ tuyến tính f (1, 0, 0, 0) (1, 3, 2, 3); f (0,1, 0, 0) (2, 2,1,1); f (0, 0,1, 0) (4, 0, 1, 3); f (0, 0, 0,1) ( 7, 5, 2, 1) Do đó, Im f (1, 3,2, 3); (2, 2,1,1); (4, 0, 1, 3); ( 7,5, 2, 1) Lập ma trận có dòng vectơ tập sinh Im f 3 2 1  Chương Ánh xạ tuyến tính Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận dạng bậc thang 3 2 1 d4 d3 d2 d4 d3 Vậy dim Im f Im f có d4 3d2 d3 2d2 d2 2d1 d4 d3 d1 d d2 sở 3 5 1 3 0 0 0 0 {(1, 3, 2, 3), (0, 4, 3, 5)} ,  Chương Ánh xạ tuyến tính 2) Ta giải hệ phương trình tuyến tính x 2y 4z 7t 5t 3x 2y 2x y z 2t 3x y 3z t Thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính: 2 1 3 70 d1 d2 d3 d4 70 20 12 10 15 20 d1 2d2 d2 d3 3d2 d 5d2 d2 d3 d4 d2 d d3 2d1 d 3d1 0 40 0 0 0 0 0  Chương Ánh xạ tuyến tính Từ ma trận cuối ta nghiệm hệ , x z, t 2z t, y 4t 3z Như vậy, vectơ ker f có dạng (2z t, 4t 3z, z, t ) , z, t tùy ý Ta biểu diễn (2z t, 4t 3z, z, t ) điều có nghĩa ker f z(2, 3,1, 0) t( 1, 4, 0,1) , (2, 3,1, 0); ( 1, 4, 0,1) Hơn nữa, hệ vectơ {(2, 3,1, 0); ( 1, 4, 0,1)} độc lập tuyến tính nên sở ker f dim ker f  Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.2.2 Cho ánh xạ f : M2( ) M2( ) xác định f (M ) MA AM, với A 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều kerf Giải 1) Sinh viên tự kiểm tra  Chương Ánh xạ tuyến tính 2) Theo định nghĩa kerf , ta cần tìm ma trận M cho f (M ) 0 0 x y z t Theo định nghĩa f , ta có 0 f (M ) 0 x y 2 x y 0 z t 3 z t 0 2z 2x 2y 2z 2t 2z 0 0 Từ đẳng thức cuối cho ta hệ phương trình Hệ có nghiệm (t 2x 2y 2z 2t y, y, 0, t ) , với t, y số thực tùy ý  Chương Ánh xạ tuyến tính Vậy ma trận M cần tìm có dạng M t y y t Khi ta biểu diễn M t y y t y 1 0 t 0 , nghĩa ker f 1 , 0 Hơn nữa, hệ hai vectơ độc lập tuyến tính nên sở kerf dim kerf  Chương Ánh xạ tuyến tính [...]... 4 3 5 0 4 3 5 1 1 1 2 1 3 2 3 0 4 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 {(1, 3, 2, 3), (0, 4, 3, 5)} ,  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính 2) Ta giải hệ phương trình tuyến tính x 2y 4z 7t 0 5t 0 3x 2y 2x y z 2t 0 3x y 3z t 0 Thực hiện phép biến đổi sơ cấp dòng trên ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính: 1 3 2 2 4 0 2 1 1 3 1 3 70 5 0 d1 d2 d3 d4 1 0 2 1 4 3 70 4 0 20 0 3 9 12 0 10 0 5 15 20 0 d1 2d2 d2 d3 3d2 d 4. .. d4 d2 d 4 d3 2d1 d 4 3d1 1 0 0 1 2 3 1 0 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Từ ma trận cuối cùng ta được nghiệm của hệ là , x z, t 2z t, y 4t 3z Như vậy, các vectơ của ker f có dạng (2z t, 4t 3z, z, t ) 4 , trong đó z, t tùy ý Ta biểu diễn (2z t, 4t 3z, z, t ) điều này có nghĩa là ker f z(2, 3,1, 0) t( 1, 4, 0,1) , (2, 3,1, 0); ( 1, 4, 0,1) Hơn nữa, hệ vectơ {(2, 3,1, 0); ( 1, 4, ... (4, 0, 1, 3); f (0, 0, 0,1) ( 7, 5, 2, 1) Do đó, Im f (1, 3,2, 3); (2, 2,1,1); (4, 0, 1, 3); ( 7,5, 2, 1) Lập ma trận có các dòng là các vectơ trong tập sinh của Im f 1 3 2 3 2 2 1 1 4 7 0 1 3 5 2 1  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về dạng bậc thang 1 3 2 3 2 2 1 1 4 7 0 1 3 5 2 1 d4 d3 d2 d4 d3 Vậy dim Im f Im f 2 có một cơ d4 3d2 d3 2d2 d2 2d1 d4... (0,1, 0); x 3 (0, 0,1); x 4 (2,1); y3 ( 3, 0); y4 1x1 7x 3 (1, 5, 7); (1, 3) Giải Ta có x4 5x 2 Do đó f (x 4 ) 1f (x1 ) 5 f (x 2 ) 7 f (x 3 ) (1, 5) 5(2,1) 7( 3, 0) (32,10) Điều này trái với giả thiết f (x 4 ) y4 (1, 3) Vậy không tồn tại ánh xạ tuyến tính thỏa yêu cầu bài toán yi ,  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính 4. 1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4. 1.2 Cho U và V là các không gian vectơ trên... vectơ x sao cho f (x ) OV  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4. 2.1 Cho ánh xạ tuyến tính f : f (x, y, z, t ) (x 2x 2y 4z y z 4 7t, 3x 2t, 3x 4 2y với 5t, y 3z t ) 1) Tìm cơ sở và số chiều của Im f 2) Tìm cơ sở và số chiều của ker f Giải 1) Chọn một cơ sở tùy ý của 4 , chẳng hạn cơ sở chính tắc {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} Khi đó, ta có  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính f (1, 0, 0,... 2, 4) , ta có x(1, 0, 0) y(0,1, 0) z(0, 0,1) Do đó f (x , y, z ) f [x (1, 0, 0) y(0,1, 0) z(0, 0,1)] xf (1, 0, 0) yf (0,1, 0) zf (0, 0,1) x (1, 0) (x y(2,1) 2y 2z, y z( 2, 4) 4z) Vậy biểu thức của ánh xạ cần tìm là f (x, y, z ) (x 2y 2z, y 4z)  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4. 1.3 Tìm ánh xạ tuyến tính f : 3 2 biết f (xi ) trong đó x1 (1, 0, 0); x 2 y1 (1, 5); y2 (0,1, 0); x 3 (0, 0,1); x 4 (2,1);... cơ sở chính tắc của n mà không nhất thiết phải tính toán theo định nghĩa  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính 4. 2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 4. 2.1 Nhân và ảnh Định nghĩa 4. 2.1 Cho U , V là các không gian vectơ trên f :U và V là ánh xạ tuyến tính Tập hợp {x U | f (x ) 0} U được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f và kí hiệu là ker f Định nghĩa 4. 2.2 Cho U , V là các không gian vectơ trên f :U V... Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4. 1 .4 Cho ánh xạ tuyến tính f : f (x1, x 2 ) (x1 và cặp cơ sở tương ứng của B { B { 2 3 , 1 (1,1), 1 (1,1,1), 2x 2, x1 2 3 xác định bởi x 2, x 2 ), là (1, 0)}; 2 2 ( 1, 2,1), 3 (1, 3, 2)} 1) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở B, B 2) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc của Giải 1) Giả sử f ( 1 ) a1 1 a2 2 a 3 3, f ( 2 ) b1 1 b2 2 b3 3 2 và 3  Chương 4 Ánh xạ... , f (xn ) Im f  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Do đó f (x1), f (x2 ), , f (xn ) Im f , Vậy {f (x1), f (x 2 ), , f (xn )} là một tập sinh của Im f Số chiều của Im f và ker f lần lượt được gọi là hạng và số khuyết của ánh xạ tuyến tính f  Chương 4 Ánh xạ tuyến tính 4. 2.2 Tìm cơ sở của Imf và kerf  Tìm cơ sở của Im f : Trước hết ta tìm cơ sở {x1, x2, , xn } của U Theo Định lí 4. 2.1, ta có Im f f (x1),... bài toán, ta có hai hệ phương trình sau a1 a2 a1 2a2 a1 a2 a3 b1 3 3a3 0 và b1 2a3 b1 1 b2 b3 2b2 1 3b3 b2 2b3 1 0 Vì ma trận hệ số của hai phương trình trên là như nhau nên ta sẽ giải một lúc hai hệ trên bằng ma trận mở rộng sau d2 1 1 1 1 3 1 2 3 0 1 1 1 d2 d 3 d2 d3 d2 d1 d3 d1 2 10 1 0 1 1 3 1 1 1 1 1 0 2 1 4 1 d3 1 0 1 1 3 1 3 2 3 0 0 2 d3 2d2 1 4 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 6 3  Chương 4 Ánh