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Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn xác suất thống kê - Giáo trình xác suất thống kê
Chuong ’’ ´ ` ´ ˆ ` ` ˆ ’ LY THUYET TU’ONG QUAN VA HAM HOI QUI ˜ ˜’ ´ ˆ ˆ ˆ ˆ MOI QUAN HE GIUA HAI ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN D .’ ´ ˜ ˜ ’ a u o e o o o Khi khao s´t hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y ta thˆy giua ch´ng c´ thˆ’ c´ mˆt sˆ ¯ ’ ’ a e a ’ ´ quan hˆ sau: e ´ ´ a e ˜ a a ’ ¯ ’ ’ a e a i) X v` Y dˆc lˆp voi nhau, tuc l` viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn n`y a ¯o a ’ ’ ´ e ˜ ’’ dˆn viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn ’ khˆng anh huong ¯e o a a ’ ¯ ’ ’ a e ’ ´ ´ ii) X v` Y c´ mˆi phu thuˆc h`m sˆ Y = ϕ(X) a o o o a o iii) X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan v` phu thuˆc khˆng tuong quan a o ’ o ’’ a o o ’’ ´ ˆ ˆ ’ HE SO TU’ONG QUAN 2.1 Moment tuong quan (Covarian) ’’ ˜ ¯ inh nghia D ˜ ’ * Moment tuong quan (hiˆp phuong sai) cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´ e ¯ ’.’ a e a ı ’’ ’’ ´ duoc x´c d nh nhu sau hiˆu cov(X, Y ) hay µXY , l` sˆ ¯ ’.’ a ¯i e a o ’ cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} ´ ˜ * Nˆu cov(X, Y ) = th` ta n´i hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y khˆng tuong quan e ı o ¯ ’.’ a e a o ’’ Ch´ y u´ cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) Thˆt vˆy, ta c´ a a o cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) 99 ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 100 ⊕ Nhˆn x´t a e ´ ` * Nˆu (X, Y ) roi rac th` e ı ’ n m cov(X, Y ) = i=1 j=1 xi yj P (xi , yj ) − E(X)E(Y ) ´ * Nˆu (X, Y ) liˆn tuc th` e e ı +∞ +∞ cov(X, Y ) = −∞ −∞ xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) ⊕ Nhˆn x´t a e ´ ˜ i) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` ch´ng khˆng tuong quan e a a ¯ ’ ’ a e ¯ˆ a ı u o ’’ ii) Cov(X,X)=Var(X) 2.2 Hˆ sˆ tuong quan e o ’’ ´ ˜ ˜ ’ ¯ inh nghia Hˆ sˆ tuong quan cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´ hiˆu rXY , D e o ’’ ¯ ’.’ a e a ı e ´ ´ l` sˆ duoc x´c d nh nhu sau a o ¯ ’.’ a ¯i ’ rXY = cov(X, Y ) SX SY ’ ´ voi Sx , SY l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn cua X, Y a ¯o e e a ’ ’ ´ ˜ ’ • Y nghia cua hˆ sˆ tuong quan e o ’’ ´ ´ ´ ¯ˆ a a o e ınh ˜ Hˆ sˆ tuong quan muc phu thuˆc tuyˆn t´ giua X v` Y Khi |rXY | c`ng e o ’’ ¯ ’ ’ ´ ´ ´ ´ ` ` gˆn th` mˆi quan hˆ tuyˆn t´ c`ng ch˘t, |rXY | c`ng gˆn th` quan hˆ tuyˆn a ı o e e ınh a a a a ı e e ’ leo” t´ c`ng ”long ’ ınh a 2.3 ’´ ’ Uoc luong hˆ sˆ tuong quan e o ’’ ’ ’ ´ ˜ ˜ Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WXY = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) (Xn , Yn )] a a a e E(XY ) − E(X).E(Y ) ´ De’ ’ ´ ’ ’ e o ’’ ta d`ng thˆng kˆ u o e ’ ´ ¯ ˆ uoc luong hˆ sˆ tuong quan rXY = SX SY R= XY − X.Y SX SY Y = n Yi , n i=1 d´ ¯o X= n Xi , n i=1 SX = n (Xi − X)2 , n i=1 SY = XY = n Xi Yi n i=1 n (Yi − Y )2 n i=1 ´ Hˆ sˆ tuong quan e o ’’ 101 ´ a e ˜ Voi mˆu cu thˆ’, ta t´ duoc gi´ tri cua R l` ınh ¯ ’ ’ a ’ a ’ rXY = xy − x.y sx sy d´ ¯o n x= xi , n i=1 s2 = x n y= yi , n i=1 n x − (x)2 , n i=1 i n xy = xi yi n i=1 s2 = y n y − (y)2 n i=1 i Ta c´ o n rXY = 2.4 n( xy − ( x2 ) − ( x)( x)2 n( y) y2) − ( y)2 ´ T´ chˆt cua hˆ sˆ tuong quan ınh a ’ e o ’’ ´ xy − x.y ’ ’ duoc d`ng dˆ’ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su ¯ ’ ’ u ¯e ¯´ a ´ ¯o a ’ ’ sx sy ´ ˜ ¯ ’ ’ a e a o o a ınh phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y , n´ c´ c´c t´ o ’’ e ınh ˜ ’ ´t sau dˆy: chˆ a ¯a Hˆ sˆ tuong quan r = e o ’’ ´ i) |r| ≤ ’ che ´ ´ ii) Nˆu |r| = th` X v` Y c´ quan hˆ tuyˆn t´ e ı a o e e ınh ´ ´ ´ iii) Nˆr |r| c`ng lon th` su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua X v` Y c`ng ch˘t e a ı ’ o ’’ e ınh ˜ a a a ’ ’ ´ ´ a o o o e ınh ’ ’ iv) Nˆu |r| = th` giua X v` Y khˆng c´ phu thuˆc tuyˆn t´ tuong quan e ı ˜ ’ ´ ´ v) Nˆu r > th` X v` Y c´ tuong quan thuˆn (X t˘ng th` Y t˘ng) Nˆu r < th` e ı a o ’’ a a ı a e ı ’ ’ X v` Y c´ tuong quan nghich (X giam th` Y giam) a o ’’ ı ` o e ¯ ’.’ ’’ ’ ’ • V´ du Tu sˆ liˆu duoc cho boi bang sau, h˜y x´c d nh hˆ sˆ tuong quan cua Y v` ı a a ¯i e o ’’ a ’ ´ ´ X X Y 4 ’ Giai ’ Ta lˆp bang sau a 11 14 ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 102 xi 11 14 x = 56 x2 i 16 36 64 81 121 196 x = 524 yi 4 y = 40 xi yi 16 24 40 63 88 126 xy = 364 yi 16 16 25 49 64 81 y = 256 ’ Hˆ sˆ tuong quan cua X v` Y l` e o ’’ a a ´ rXY = = 2.5 n n( xy − ( x2 ) − ( x)( x)2 n( 8.364 − (56).(40) 8.524 − (56)2 8.256 − (40)2 = y) y2) − ( y)2 672 = 0, 977 687, 81 ´ ’ o ’’ Ty sˆ tuong quan ´ ’ ’ ’ De’ ¯´ o ’’ e u a ´ ¯o a ’ ’ ’` ¯ ˆ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su phu thuˆc tuong quan phi tuyˆn, nguoi ta d`ng ´ ’ o ’’ ty sˆ tuong quan: ηY /X = sy sy d´ ¯o sy = n ni (yxi − y)2 ; sy = n mj (yj − y)2 ´ ´ ’ o ’’ Ty sˆ tuong quan c´ c´c t´ chˆt sau: o a ınh a i) ≤ ηY /X ≤ ii) ηY /X = v` chi’ Y v` X khˆng c´ phu thuˆc tuong quan a a o o o ’’ ´ iii) ηY /X = v` chi’ Y v` X phu thuˆc h`m sˆ a a o a o iv) ηY /X ≥ |r| ´ ´ ’ Nˆu ηY /X = |r| th` su phu thuˆc tuong quan cua Y v` X c´ dang tuyˆn t´ e ı ’ o ’’ a o e ınh 2.6 ˜ Hˆ sˆ x´c d.nh mˆu e o a ¯i a ´ ´ ´ ´ ’ Trong thˆng kˆ, dˆ’ d´nh gi´ chˆt luong cua mˆ h` tuyˆn t´ nguot ta c`n x´t o e ¯e ¯a a a ’ ’ o ınh e ınh o e ’ ’` ´ ´ ´ ˜ hˆ sˆ x´c d nh mˆu β = r voi r l` hˆ sˆ tuong quan Ta c´ ≤ β ≤ e o a ¯i a a e o ’’ o ’ ` Hˆi qui o 103 ` ˆ HOI QUI 3.1 ` K` vong c´ diˆu kiˆn y o ¯e e ˜ i) ¯ luong ngˆu nhiˆn roi rac D ’ ’ a e ` ’ ´ ¯ e` e ˜ * K` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac Y voi diˆu kiˆn X = x l` y o ¯ e` e ’ ¯ ’ ’ a e ` a ’ ’ m E(Y /x) = yj P (X = x, Y = yj ) j=1 ´ ¯ e` e ˜ * Tuong tu, k` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X voi diˆu kiˆn o ¯ e` e ’ ¯ ’ ’ a e ` ’ ’ ’’ ’ y Y = y l` a n E(X/y) = xi P (X = xi , Y = y) i=1 ˜ ii) ¯ luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc D ’ ’ a e e +∞ E(Y /x) = yf (y/x)dy −∞ +∞ E(X/y) = xf (x/y)dx −∞ d´ ¯o ’ ´ f (y/x) = f (x, y) voi x khˆng dˆi o ¯o ’ ’ ´ f (x/y) = f (x, y) voi y khˆng dˆi o ¯o ’ 3.2 ` H`m hˆi qui a o ´ ’ ` ’ * H`m hˆi qui cua Y dˆi voi X l` f (x) = E(Y /x) a o ¯o ´ a ´ ’ ` ’ * H`m hˆi qui cua X dˆi voi Y l` f (y) = E(X/y) a o ¯o ´ a ´ ´ ˜ Trong thuc tˆ ta thuong g˘p hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y c´ mˆi liˆn hˆ voi nhau, a ¯ ’ ’ a e o o e e ´ ’ ’` ’ ’ e ˜ c`n khao s´t Y th` kh´ hon thˆm ch´ khˆng thˆ’ khao ’ a ’ a ’ viˆc khao s´t X th` dˆ o ¯´ e ı e ı o ’ a ı o e ´ ´ ´ ` s´t duoc Nguoi ta muˆn t` mˆi liˆn hˆ ϕ(X) n`o d´ giua X v` Y dˆ’ biˆt X ta c´ thˆ’ a ¯ ’ ’ o ım o e e a ¯o ˜ a ¯e e o e ’’ ’ du do´n duoc Y ’ ¯ a ¯ ’ ’ ` ´ ´ ’ ¯ a ´ ’ ’’ e ’ a ˘ Gia su biˆt X, nˆu du do´n Y bang ϕ(X) th` sai sˆ pham phai l` E[Y − ϕ(X)]2 e ı o ’ E[Y − ϕ(X)]2 l` nho nhˆt ´ ´ ´ ’ a Vˆn dˆ duoc dat l` t` ϕ(X) nhu thˆ n`o dˆ a ¯e` ¯ ’ ’ ¯˘ a ım a ’ e a ¯e ´ Ta s˜ chung minh chon ϕ(X) = E(Y /X) (voi ϕ(x) = E(Y /x)) th` E[Y − ϕ(X)]2 e ´ ı ’ ’ ´ ’ a s˜ nho nhˆt e Thˆt vˆy, ta c´ a a o E[Y − ϕ(X)]2 = E{([Y − E(Y /X)] + [E(Y /X) − ϕ(X)])2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{[E(Y /X) − ϕ(X)]2 } +2E{[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)]} ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 104 ´ Ta thˆy E(Y /X) chi’ phu thuˆc v`o X nˆn c´ thˆ’ dat T (X) = E(Y /X) − ϕ(X) a o a e o e ¯˘ V` E[E(Y /X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆn ı e 2E[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y /X)]T (X)} = 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y /X)T (X)] = Do d´ ¯o E{[Y − ϕ(X)]2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2 ´ ’ a nho nhˆt E{[(Y /X) − ϕ(X)]2 = ` Ta chi’ cˆn chon a ϕ(X) = E(Y /X) (6.1) ` Phuong tr` (6.1) duoc goi l` phuong tr`nh tuong quan hay phuong tr`nh hˆi qui ınh ¯ ’ ’ a ı ı o ’’ ’’ ’’ ’’ 3.3 ` X´c d.nh h`m hˆi qui a ¯i a o ´ a) Truong hop ´ sˆ liˆu (tuong quan c˘p) a ’ ’` ’’ ’ ıt o e ´ ´ a ˜ ’ ’’ ˜ Gia su giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y c´ tuong quan tuyˆn t´ ¯ ’ ’ a e a o ’’ e ınh, tuc l` ’ ’ E(Y /X) = AX + B ’ Dua v`o n c˘p gi´ tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) cua (X, Y ) ta t` h`m a a ım a ’ a yx = y = ax + b (∗) dˆ’ uoc luong h`m Y = AX + B ¯e ’ ´ ’ ’ a ’ ´ ˜ ` (*) duoc goi l` hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu ¯ ’ ’ a o e ı a ´ ´ ’ ’ ’ V` c´c c˘p gi´ tri trˆn l` tri xˆp xi’ cua x v` y nˆn thoa (*) mˆt c´ch xˆp xi ı a a a e a a a e o a a Do d´ yi = axi + b + εi hay εi = yi − axi − b ¯o ´ ´ ’ a Ta t` a, b cho c´c sai sˆ εi (i = 1, n) c´ tri tuyˆt dˆi nho nhˆt hay h`m ım a o o e ¯o a ´ n S(a, b) = i=1 (yi − axi − b)2 ´ dat cuc tiˆ’u Phuong ph´p t` n`y duoc goi l` phuong ph´p b`nh phuong b´ nhˆt ¯ ’ e a ım a ¯ ’ ’ a a ı e a ’’ ’’ ’’ ´ ´ ` ’ a ¯e ’ Ta thˆy S s˜ dat gi´ tri nho nhˆt tai diˆ’m dung thoa m˜n a e ¯ a a ’ 0= n ∂S = −2 xi (yi − axi − b) ∂a i=1 0= n ∂S = −2 (yi − axi − b) ∂b i=1 ` Hˆi qui o 105 hay n n n x2 a + i i=1 xi b = i=1 n xi yi i=1 n yi xi a + nb = i=1 (6.2) i=1 ´ Hˆ trˆn c´ d.nh thuc e e o ¯i ’ n i=1 xi n i=1 xi D= n n i=1 xi n n =n i=1 n x2 i − xi i=1 ´ ’ ´ V` c´c xi kh´c nˆn theo bˆt dang thuc Bunhiakovsky ta c´ ( ı a a e a ¯˘ o ’ n ´ xi Do d´ D > Suy hˆ trˆn c´ nghiˆm nhˆt ¯o e e o e a i=1 a= b= ( ´ Nˆu dat e ¯˘ n x= xi , n i=1 n n i=1 n i=1 xi )2 < n i=1 xi yi − ( n xi ) ( n yi ) i=1 i=1 n n n i=1 xi − ( i=1 xi )2 x2 ) ( i n n n i=1 yi ) − ( i=1 xi ) ( n n i=1 xi − ( i=1 xi ) n y= yi , n i=1 n i=1 n xy = xi yi , n i=1 xi yi ) x2 n = x n i=1 i ´ ’ th` nghiˆm cua hˆ c´ thˆ’ viˆt lai duoi dang ı e e o e e ’ ’´ a= xy − x.y xy − x.y ; = − (x)2 s2 x x b= x2 y − x.xy x2 y − x.xy = s2 x2 − (x)2 x ´ ` a o T´m lai, ta c´ thˆ’ t` h`m yx = ax + b tu c´c cˆng thuc o o e ım a ’ ’ a= xy − x.y n( xy) − ( x)( y) = s2 n( x2 ) − ( x)2 x b = y − a.x Ch´ y u´ -bb-error = ´ ´ D ’` a u o a ¯ e’ ’ ¯ uong gˆp kh´c nˆi c´c diˆm (x1 , y1 ), ` (x2 , y2 ) , , (xn , yn ) duoc goi l` duong hˆi ¯ ’ ’ a ¯ ’` o ’ qui thuc nghiˆm e ’ ’ ˘ D ’` a ¯ ’ ’ ’’ ’ ¯ uong thang y = ax + b nhˆn duoc boi ´ b` phuong b´ nhˆt khˆng di qua ´ cˆng thuc ınh o e a o ¯ ’ ’’ ’ ´ ˘ duoc tˆt ca c´c diˆ’m nhung l` duong thang ¯ ’ ’ a ’ a ¯ e a ¯ ’` ’ ’ ´ ` ”gˆn” c´c diˆ’m nhˆt duoc goi l` duong a a ¯ e ¯´ a ¯ ’ ’ a ¯ ’` ’ ’ ng hˆi qui v` thu tuc l`m th´ hop duong ` ˘ tha o a ’ a ıch ’ ¯ ’` ’ ’ ng thˆng qua c´c diˆ’m du liˆu cho truoc ˜ e ˘ tha o a ¯e ’ ’ ’´ ´ ınh ` qui tuyˆn t´ duoc goi l` hˆi ¯ ’ ’ a o e ’ ` ` ˘ ¯´ ¯ e o ˘ e ¯ ’` o Theo trˆn ta c´ b = y − a.x, do diˆ’m (x, y) luˆn nam trˆn duong thang hˆi qui e o ’ ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 106 ´ ’.’ ´ ˜ ` • V´ du U’oc luong h`m hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu xua Y theo X trˆn co so bang tuong ı a o e ı a ’ e ’ ’ ’’ ’ ’’ quan c˘p sau a X 15 38 Y 145 228 23 150 16 130 16 160 13 114 20 142 24 265 ’ Giai ’ Ta lˆp bang sau a xi 15 38 23 16 16 13 20 24 x = 165 yi 145 228 150 130 160 114 142 265 y = 1334 x2 i 225 1444 529 256 256 169 400 576 x = 3855 xi yi 3175 8664 3450 2080 2560 1482 2840 6360 xy = 29611 Ta c´ o a= = n( xy) − ( x)( y) n( x2 ) − ( x)2 8(19611) − (165)(1334) 16778 = = 4, 64 8(3855)(165) 3615 b = y − ax = 1334 16778 − 3615 165 = 71 ´ ˜ ` Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 4, 64x + 71 a a o e ınh a a ´ ’ • V´ du ¯ ˆ ˆm cua khˆng kh´ anh huong dˆn su bay hoi cua nuoc son ı Do a o ı ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’’ ¯e ’ ’´ ’ ’ ´ a ´ ´ e e ˜ ¯o a ` ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu mˆi liˆn hˆ giua dˆ ˆm cua khˆng kh´ X v` dˆ ’ phun Nguoi e e o o ı a ¯o ’’ ’ ’ ` ´ ´ ´ bay hoi Y Su hiˆu biˆt vˆ mˆi quan hˆ n`y s˜ gi´p ta tiˆt kiˆm duoc luong son bang e e` o e a e u e e ¯ ’.’ ’.’ ’ ’ ˘ ’ e’ ´ ´ ’ c´ch chinh s´ng phun son mˆt c´ch th´ch hop Tiˆn h`nh 25 quan s´t ta duoc c´c sˆ a u o a ı e a a ¯ ’.’ a o ’ ’ liˆu sau: e ` Hˆi qui o ’ Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ a Do a Do (%) 35,3 29,7 30,8 58,8 61,4 71,3 74,4 76,7 70,7 10 57,5 11 46,4 12 28,9 13 28,1 bay hoi ’ (%) 11,0 11,1 12,5 8,4 9,3 8,7 6,4 8,5 7,8 9,1 8,2 12,2 11,9 ’ Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ a Do a Do (%) 14 39,1 15 46,8 16 48,5 17 59,3 18 70,0 19 70,0 20 74,4 21 72,1 22 58,1 23 44,6 24 33,4 25 28,6 107 bay hoi ’ (%) 9,6 10,9 9,6 10,1 8,1 6,8 8,9 7,7 8,5 8,9 10,4 11,1 ´ ˜ ` H˜y t` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b a ım a o e ınh a ’ Giai Ta c´ o n = 25 x = 1314, x2 = 76308, 53 y = 235, y = 2286, 07 xy = 11824, 44 Do d´ ¯o a= n( xy) − ( x)( y) 25 × 11824, 44 − (1314, × 235, 7) = = −0, 08 2) − ( n( x x) 25 × 76308, 53 − (1314, 9)2 b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, = 13, 64 ´ ˜ ` Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = −0, 08x + 13, 64 a a o e ınh a a ` ´ ’ b) Truong hop nhiˆu sˆ liˆu (tuong quan bang) e o e ’ ’` ’’ ’ ’ ’’ Gia su ´ a ´ X nhˆn c´c gi´ tri xi voi tˆn suˆt ni i = 1, k, a a a a ’ ` ´ a ´ Y nhˆn c´c gi´ tri yj voi tˆn suˆt mj j = 1, h, a a a a ’ ` ´ a ´ XY nhˆn c´c gi´ tri xi yj voi tˆn suˆt nij i = 1, k, j = 1, h, a a a a ’ ` ´ ´ ˜ ` Ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b truong hop c´ nhiˆu sˆ liˆu Theo ım o e ınh a e` o e ’ ’` ’ o (6.2) ta c´ o ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 108 k k k ni x2 a + i i=1 i=1 nij xi yj i=1 j=1 h k ni xi a + nb = i=1 k Thay k (6.3) mj yj j=1 h k ni xi = nx, i=1 h ni xi b = j=1 h ni x2 = nx2 , i mj yj = ny, i=1 mj yj = ny , j=1 h a ¯ ’ ’ nij xi yj = nxy v`o (6.3) ta duoc i=1 j=1 x2 a + x.b = xy (i) x.a + nb = y (ii) ` Tu (ii) ta c´ b = y − a.x o ’ Thay b v`o yx = ax + b ta suy a yx − y = a(x − x) ’’ Ta t` a boi ım a= k i=1 (6.4) nij xi yj − ( k ni xi )( h mj yj ) n2 xy − nx.ny j=1 i=1 = n k ni x2 − ( k ni xi )2 n.nx2 − (nx)2 i i=1 i=1 h j=1 = xy − x.y xy − x.y = − (x)2 s2 x x ´ ´ ˜ ` T´m lai, ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b voi a = o ım o e ınh a ’ xy − x.y , b = y − ax s2 x Ch´ y u´ ´ ´ i) Ta biˆt hˆ sˆ tuong quan rXY = e e o ’’ xy − xy sy nˆn a = rXY e sx sy sx Thay a v`o (6.4) ta c´ a o yx − y = rXY sy (x − x) sx hay (x − x) yx − y = rXY sy sx ´ ˜ ` ` Tu phuong tr` n`y ta c´ thˆ’ suy phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax+b ınh a o e ınh o e ınh a ’ ’’ ’’ mˆt c´ch thuˆn loi hon v` thˆng qua viˆc t` rXY ta da t´ sx , sy o a a ’ ’ ı o e ım ¯˜ ınh ’ ´ ii) Khi c´c gi´ tri cua X, Y kh´ lon, ta c´ thˆ’ d`ng ph´p dˆi biˆn a a ’ a ´ o e u e ¯o e ’ ui = xi − x0 hx (∀i = 1, k); vj = yj − y0 hy (∀j = 1, h) ` Hˆi qui o 109 d´ ¯o ´ ´ a o * x0 , y0 l` nhung gi´ tri t`y y (thuong chon x0 , y0 l` gi´ tri cua X, Y ung voi tˆn sˆ a ˜ a u ´ a a ’ ’ ` ´ ’ ’ ’` ’ ´ ´ ’ nij lon nhˆt bang tuong quan thuc nghiˆm), a e ’ ’’ ’ ´ ´ ’ * hx , hy l` c´c gi´ tri t`y y (thuong chon hx , hy l` khoang c´ch c´c gi´ tri kˆ tiˆp a a a u ´ a a a a e e ’ ’` ’ cua X, Y) ´ ’ ´ ´ ´ ` ’ Lˆp bang tuong quan dˆi voi c´c biˆn moi U, V v` t´ to´n c´c gi´ tri cˆn thiˆt ta a ¯o ´ a e a ınh a a a a e ’ ’’ ´ ˜ ` t` duoc h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu ım ¯ ’ ’ a o e ınh a vu = a0 u + b0 d´ ¯o a0 = uv − u.v , s2 u b0 = v − a0 u ´ ´ ¯ ’ ’ ım ’’ o Khi d´ ta suy h`m yx = ax + b voi a, b duoc t` boi cˆng thuc ¯o a ’ ’ a = a0 hy , hx b = y0 + b0 hy − a0 hy x0 hx ´ ˜ ` ’ • V´ du X´c d nh hˆ sˆ tuong quan v` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b cua ı a ¯i e o ’’ a a o e ınh a ´ ˜ ’’ ’ c´c dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y cho boi bang tuong quan thuc nghiˆm sau: a ¯ ’ ’ a e a e ’’ ’ X Y 10 20 30 30 1 48 20 ’ Giai ’ Ta lˆp bang sau a X Y 10 |20 30 1200 60 20 20 20 31 62 124 60 |30 |1 4320 49 147 441 |1 |48 mj yj mj yj 200 2000 31 200 20 ni ni xi ni x2 i mj 20 620 12400 49 1470 44100 n=100 x = 229 x2 = 585 y = 2290 y = 58500 xy = 5840 ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o 110 xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840 ` e o Phˆn trˆn g´c tr´i cua ˆ ghi c´c t´ nij xi yj Ta c´ a a ’ o a ıch o x= x2 = 229 = 2, 29; 100 585 = 5, 58; 100 y2 = y= 2290 = 22, 9; 100 58500 = 585 100 xy = 5840 = 58, 4; 100 =⇒ sx ≈ 0, 78 s2 = x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059 x y − (y)2 = sy = Do d´ ¯o a= 585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78 xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = = 9, 835 sx 0, 6059 b = y − a.x = 22, − 9, 835 × 2, 29 = 0, 378 ´ ˜ ` H`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 9, 835x + 0, 378 a o e ınh a a Hˆ sˆ tuong quan l` e o ’’ a ´ rxy = xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = ≈ 0, 982 sx sy 0, 78 × 7, 78 ` ˆ BAI TAP ˜ ’’ ’ Cho c´c gi´ tri quan s´t cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y o bang sau: a a a ’ ¯ ’ ’ a e a X Y 20 10 20 10 30 10 30 15 30 15 40 15 50 20 50 20 60 20 60 ´ ´ ` ’ ’’ Gia su X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ a o ’ o ’’ e ınh T` h`m hˆi qui tuyˆn ım a o e ˜ t´ mˆu: y x = ax + b ınh a ´ ’ Nguoi ta chiˆu d`i vˆt duc v` khuˆn th` thˆy ch´ng lˆch khoi qui d.nh nhusau: ¯ e` a a ¯´ a o ı a u e ¯i ’ ’` ’ X Y 0.90 -0,30 1,22 0,10 1,32 0,70 0,77 -0,28 1,30 0,25 1,20 0,02 1,32 0,37 0,95 -0,70 0,45 0,55 1,30 0,35 1,20 0,32 Trong X, Y l` c´c dˆ lˆch ¯´ a a ¯o e X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan a ¯i e o ’’ ´ ’ ` ´ ´ ´ ’ Sˆ liˆu thˆng kˆ nham nghiˆn cuu quan hˆ giua tˆng san phˆm nˆng nghiˆp Y voi o e o e ˘ e ´ e ˜ o a o e ’ ’ ’ ’ ’ ´ ’ tˆng gi´ tri t`i san cˆ d.nh X cua 10 nˆng trai (t´ trˆn 100 ha) nhu sau: o a a ’ o ¯i o ınh e ’ 111 B`i tˆp a a X Y 11,3 13,2 12,9 15,6 13,6 17,2 16,8 18,8 18,8 20,2 20,0 23,9 22,2 22,4 23,7 23,0 26,6 24,4 27,5 24,6 ´ ˜ ` X´c d.nh duong hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y x = ax + b Sau t` phuong sai sai a ¯i ¯ ’` o e ınh a ¯´ ım ’ ’’ ´ thuc nghiˆm v` khoang tin cˆy 95% cho hˆ sˆ g´c cua duong hˆi qui trˆn ´ o ’ ¯ ’` ` ’ sˆ ’ o e a a e o o e ’ ´ ’ ’ ¯ o chiˆu cao X (cm) v` luong Y (kg) cua 100 hoc sinh, ta duoc kˆt qua sau: D e` a ¯ ’ ’ e ’ ’ X Y 35 40 45 50 55 − − − − − 145 − 150 40 45 50 55 60 150 − 155 155 − 160 160 − 165 165 − 170 20 15 12 10 14 ´ ´ ´ ` ’ Gia thuyˆt X v` Y c´ mˆ phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ e a o o o ’’ e ınh T` c´c h`m hˆi qui ım a a o a) y x = ax + b; b) xy = cy + d ´ Theo d˜i luong phˆn b´n v` n˘ng suˆt l´a cua 100 hecta l´a o mˆt v`ng, ta thu o ’ ’ a o a a a u ’ u ’’ o u ´ duoc bang sˆ liˆu sau: ¯ ’ ’ ’ o e X Y 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 120 140 11 160 180 15 10 17 200 12 ´ ´ Trong X l` phˆn b´n (kg/ha) v` Y l` n˘ng suˆt l´a (tˆn/ha) ¯´ a a o a a a a u a ´ a) H˜y uoc luong hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ r a ’ ´ ’ ’ e o ’’ e ınh ’ ´ ´ b) T` phuong tr` tuong quan tuyˆn t´ ım ınh ’ ’ e ınh: y x = ax + b ’’ ´ ’’ ’ ’ ¯ o chiˆu cao v` duong k´ cua mˆt loai cˆy, ta duoc kˆt qua cho bo bang sau: D e` a ¯ ’` ınh ’ o ¯ ’ ’ e ’ a X Y 30 35 40 45 50 10 12 14 17 10 17 24 16 24 11 13 12 22 112 ´ ’’ ` Chuong L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui ’’ y e a a o Trong X l` duong k´ (cm) v` Y l` chiˆu cao (m) ¯´ a ¯ ’` ınh a a e` ’ ´ ˜ a) X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ mˆu r a ¯i e o ’’ e ınh a ´ ´ ˜ ` b) T` c´c phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu ım a ınh o e ınh a ’’ ’ ´ ´ c) C´c phuong tr` trˆn s˜ thay dˆi nhu thˆ n`o nˆu X duoc t´ theo don vi l` a ınh e e ¯o ¯ ’ ’ ınh ¯’ a ’’ ’ e a e m´t (m)? e ’ ` ` ˆ ’ • TRA LOI BAI TAP x = 14, y = 39, y x = x + 3 r = −0, 3096 y x = 0, 67x + 7, 18, σ = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176) a) y x = 0, 7018x − 61, 5537, b) xy = 0, 91y + 112, 96 r = 0, 8165; y x = 0, 017x + 0, 5622 a) r = 0, 69, b) y x = 0, 218x + 2, 434, xy = 2, 18y + 15, 87 c) y x = 21, 8x + 2, 434, xy = 0, 0218y + 0, 1587 ... qui d.nh nhusau: ¯ e` a a ¯´ a o ı a u e ¯i ’ ’` ’ X Y 0.90 -0 ,30 1,22 0,10 1,32 0,70 0,77 -0 ,28 1,30 0,25 1,20 0,02 1,32 0,37 0,95 -0 ,70 0,45 0,55 1,30 0,35 1,20 0,32 Trong X, Y l` c´c dˆ lˆch... thuc o o e ım a ’ ’ a= xy − x.y n( xy) − ( x)( y) = s2 n( x2 ) − ( x)2 x b = y − a.x Ch´ y u´ -bb-error = ´ ´ D ’` a u o a ¯ e’ ’ ¯ uong gˆp kh´c nˆi c´c diˆm (x1 , y1 ), ` (x2 , y2 ) , ,... ’ ’ a e o o e e ´ ’ ’` ’ ’ e ˜ c`n khao s´t Y th` kh´ hon thˆm ch´ khˆng thˆ’ khao ’ a ’ a ’ vi? ?c khao s´t X th` dˆ o ¯´ e ı e ı o ’ a ı o e ´ ´ ´ ` s´t duoc Nguoi ta muˆn t` mˆi liˆn hˆ