Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm phức toán tử
1Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 1: Biến đổi Laplace•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 2 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phức và biến đổi Laplace. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản:Mục tiêu của môn học1. Các phép biến đổi Laplace, giải phương trình, hệ phương trình vi phân bằng các phép biến đổi Laplace, ứng dụng vào giải tích mạch điện.2. Giải tích phức: các phép đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, thặng dư và cách tính, ánh xạ bảo giác. 3 Biến đổi LaplaceBiến đổi Laplace ngược Ứng dụng biến đổi LaplaceHàm biến phức: đạo hàmtích phân hàm biến phức Ánh xạ bảo giácChuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent 4Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!). Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp.Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức trắc nghiệm (80%) 5Tài liệu tham khảo1. Dennis G. Zill. A first course in complex analysis with applications. Jones and Bartlett Publishers, 2003.2. Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. NXB ĐHQG tp.HCM, 2003. 3. Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. NXBĐHQG tp.HCM, 2002 4. http://www.tanbachkhoa.edu.vn 6Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Định nghĩa phép biến đổi Laplace.0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace. 70.1 Định nghĩa biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa biến đổi Laplace Cho là một hàm trên . Biến đổi Laplace của ( )f t[0,+ )∞f là một hàm F được định nghĩa bởi tích phân suy rộng 0( )stf t e dt+∞−∫( )F s ={ ( )}L f t = 80.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace.----------------------------------------------------------------- Nhắc lại: Tích phân suy rộng (1) được định nghĩa 0 0( ) lim ( )Nst stNf t e dt f t e dt+∞− −→+∞=∫ ∫ 90.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace -----------------------------------------------------------------1limsNNes s−→+∞ = − Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng ( ) 1, 0.f t t= ∀ > Giải0( ) 1stF s e dt+∞−= ⋅∫0limNstNe dt−→+∞=∫0limNstNes−→+∞−=1s= 100.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace -------------------------------------------------------------( )1lims a NNes a s a− −→+∞ = − − − Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm ( ) , .atf t e s a= > Giải0( )at stF s e e dt+∞−= ⋅∫( )0limNa s tNe dt−→+∞=∫( )0limNa s tNea s−→+∞=−1s a=− [...]... Tích phân của hàm gốc. Giả sử . Khi đó { ( )} ( )L f t F s = 0 ( ) { ( ) } t F s L f x dx s = ∫ Chứng minh. Sử dụng tính chất 7, đạo hàm của hàm gốc. 36 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Giải Ví dụ Tìm 2 , 0 1; ( ) 0, 1 t t f t t < ≤ = > ' { (t)}; { (t)}L f L f 2 2 2 ( ) [ ( ) - ( -1 )] ( ) - ( -1 )f t t u t u t t u t t u t= = 2 2 ( ) ( ) -[ ( 1) 2( 1) 1] ( -1 )f t t u t... t t π + = + = − 2 { ( )} - 1 s L g t a s + = + 2 {cos ( - )} - 1 s s L t u t e s π π − ⋅ = + 26 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm 2 ( ) ( 1) f t t u t= − Giải 2 ( ) [( 1) 2( 1) 1] ( -1 ) ( 1) ( 1) f t t t u t g t u t= − + − + = − − 2 ( ) 2 1g t t t= + + 3 2 2! 2 1 { ( )}L g t s s s ⇒ = + + 3 2 2! 2 1 { ( )} s L f t e s s s − = + + 45 0.2 Tính... c 2 1. 4 − s 3 2. s+2 2 5 3 3. − s s 3 4 1 4. 1 − +s s 2 3 5. 25+ s s 14 0 .1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic ( ) cosh 2 at at e e f t at − + = = Giải 0 ( ) 2 at at st e e F s e dt − +∞ − + = ⋅ ∫ 1 1 1 2 s a s a = + − + 2 2 {cosh } s L at s a = − 19 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm 2... đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm 4 ( ) 11 5 6sin 2 . t f t e t= + − Giải 4 0 ( ) (11 5 6sin 2 ) t st F s e t e dt +∞ − = + − ⋅ ∫ 2 11 5 12 ( ) 4 4 F s s s s = + − − + 4 0 0 0 11 5 6 sin 2 st t st st e dt e e dt t e dt +∞ +∞ +∞ − − − = ⋅ + ⋅ − ⋅ ∫ ∫ ∫ 8 0 .1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace. Nhắc lại: Tích phân suy rộng (1) được định nghĩa 0 0 ( ) lim ( ) N st st N f t e dt f... biến đổi Laplace của hàm 0 sin ( ) t x Si t dx x = ∫ sin 1 { }= arctg t L t s 0 sin 1 1 { } arctg t x L dx x s s ⇒ = ∫ 34 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm sin ( ) t f t t = Giải + 2 s sin { }= 1 ∞ ∫ + t dx L t x arctg 2 s π = − 1 arctg s = 41 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 4 1. ( ) 2 = t f t e 2 2.... đổi Laplace của hàm 2 1. ( ) (3sin 4 4 os4t) = − t f t e t c 2 2. ( ) sin=f t t t 3 6 3. ( ) − − − = t t e e f t t 2 20 4 1. ( 2) 16 − − + s s 2 2 3 6 2 2. ( 1) s s − + 2 2 3/ 4 3/ 4 3. 9 1s s − + + + 47 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 5. Tính các tích phân suy rộng sau + 0 cos6 cos4 1. t t dt t ∞ − ∫ 2 + 2 0 sin 2. t dt t ∞ ∫ 2 1) ln 3 2) 2 π 2 2 0 0 1 1 3 st t t e dt dt t...9 0 .1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1 lim sN N e s s − →+∞ = − Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng ( ) 1, 0.f t t= ∀ > Giải 0 ( ) 1 st F s e dt +∞ − = ⋅ ∫ 0 lim N st N e dt − →+∞ = ∫ 0 lim N st N e s − →+∞ − = 1 s = 7 0 .1 Định nghĩa biến đổi Laplace. Định nghĩa biến đổi Laplace Cho là một hàm trên . Biến đổi Laplace của ( )f t [0,+ ) ∞ f là một hàm F được... Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm os( - ), 6 6 ( ) 0, 6 c t t g t t π π π > = < Giải ( ) cos ( ) ( ) ( ) 6 6 f t t g t f t u t π π = ⇒ = − − 2 { ( )} 1 s L f t s = + 6 2 { ( )} 1 s s L g t e s π − ⇒ = + 10 0 .1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ( ) 1 lim s a N N e s a s a − − →+∞ = − − − Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm ( ) , . at f t e s a= > Giải 0 (... s − →+∞ = − 1 s a = − 2 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phức và biến đổi Laplace. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: Mục tiêu của môn học 1. Các phép biến đổi Laplace, giải phương trình, hệ phương trình vi phân bằng các phép biến đổi Laplace, ứng dụng vào giải tích mạch điện. 2. Giải tích phức: các phép đạo hàm, vi phân,... Laplace của hàm 1. ( ) sin h(5 ) = f t t 2. ( ) osh(3 )=f t c t 4 3. ( ) sinh(2 )= t f t e t 4 4. ( ) osh2 − = t f t e c t 2 5 1. 25 − s 2 2. 9 s s − 2 2 3. ( 4) 4s − − 2 4 4. ( 4) 4 s s + + − 27 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm ( ) cos ( )f t t u t π = ⋅ − Giải ( ) cos ; .g t t a π = = ( ) cos( ) cosg t a t t π + = + = − 2 { ( )} - 1 s L g t a s + . nghĩa biến đổi Laplace .-- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Định nghĩa biến đổi. đổi Laplace .-- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- 2. Tính chất dời theo s.