Version (27/7/2013) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CAO HỌC TOÁN MÔN GIẢI TÍCH - PHẦN GIẢI TÍCH THỰC -1 Hàm nhiều biến  Hàm số, giới hạn, liên tục  Đạo hàm riêng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm riêng cấp cao, vi phân  Cực trị hàm hai biến (cực trị không điều kiện cực trị có điều kiện)  Tìm giá trị lớn nhỏ hàm hai biến miền đóng bị chặn Giải tập tài liệu Tích phân bội  Tính tích phân hai lớp, ba lớp  Ứng dụng tích phân bội; - Tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong - Tính thể tích vật thể - Tính khối lượng, tính moment quán tính tọa độ trọng tâm Giải tập tài liệu Tính tích phân đường  Tính trực tiếp tích phân đường loại loại (dùng công thức đưa tích phân xác định)  Tính công thức Green (nếu đường cong lấy tích phân đường cong kín)  Định lý mệnh đề tương đương ứng dụng  Ứng dụng tích phân đường loại loại (tính khối lượng, moment tĩnh tọa độ trọng tâm, diện tích hình phẳng) Giải tập tài liệu Tích phân mặt  Tính tích phân mặt loại loại (tính trực tiếp gián tiếp)  Ứng dụng tích phân mặt loại loại ( tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể, thông lượng trường vector) Giải tập tài liệu Phương trình vi phân  Giải số Phương trình vi phân cấp  Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Cần phân biệt rõ đề cho “ Giải phương trình” hay “Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình”, chúng có cách làm khác Giải tập tài liệu  Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Khánh, Giáo trình Vi Tích Phân A2, ĐHCT Nguyễn Đình trí, Toán cao cấp, NXB Giáo dục, 1995 (Tập 3) Adam R A., Calculus, Addision-Wesley Publishers Limited, 3rd Edition, 1995 Version (27/7/2013) NỘI DUNG ÔN TẬP HÀM NHIỀU BIẾN Chương I Hàm nhiều biến  Định nghĩa hàm nhiều biến Cho tập D   n Hàm f n biến qui luật cho ứng điểm ( x1 , x2 , , xn )  D với số thực f ( x1 , x2 , , xn ) Kí hiệu u  f ( x1 , x2 , , xn )  Liên tục  f(x, y) liên tục (x0, y0)  lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) x  x0 y  y0  f(x, y) liên tục D f (x, y) liên tục x, y)  D  Đạo hàm riêng f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) hay x 0 x f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  f y' ( x0 , y0 )  lim hay y 0 y  f x' ( x0 , y0 )  lim f x' ( x0 , y0 )   f ( x, y0  ' f y' ( x0 , y0 )   f ( x0 , y  x  x0 ' y  y0  Chú ý: f x' ( x0 , y0 ) , f y' ( x0 , y0 ) không suy f ( x , y ) liên tục ( x0 , y0 ) Chứng minh hàm  x3 y , x2  y   f ( x, y )   x  y  x2  y   gián đoạn điểm (0, 0) hàm có đạo hàm riêng điểm 2 f f  x thỏa điều kiện Tìm hàm f ( x, y ) thỏa phương trình  12 x y , y x f (0, 0)  , f (1,1)   ĐS: f ( x, y )  x y   Đạo hàm hàm ẩn i) y  y ( x) hàm ẩn biến xác định phương trình F(x, y) =  y '   ii) z = z(x, y) hàm ẩn hai biến xác định phương trình F(x, y, z) =  Fy' z Fx' z  ' ,  ' x Fz y Fz Cho z  z ( x, y ) hàm ẩn xác định phương trình x  y  z  f (3 x  y  z )  , Fx' Fy' Version (27/7/2013) z z f hàm khả vi Chứng minh G ( x , y, z )   không phụ thuộc vào y x hàm f  ĐS: G ( x , y, z )  1  Hàm khả vi vi phân  Hàm f(x,y) khả vi (x0, y0) f  Ax  By  x  y , A, B số  ,   x, y  z z Nếu z  f ( x, y ) dz  dx  dy x y  Tính chất: Nếu f ( x , y ) khả vi ( x0 , y0 ) f ( x , y ) tồn đạo hàm riêng liên tục điểm  Định lí Nếu hàm f ( x , y ) có đạo hàn riêng lân cận điểm ( x0 , y0 ) đạo hàm riêng liên tục ( x0 , y0 ) f ( x , y ) khả vi điểm f  df  (   x  y )  Định lí f khả vi ( x0 , y0 )  lim  0  Xét tính khả vi hàm sau điểm (0, 0): a) f ( x, y )  x  y ; b) f ( x, y )  x  y  ĐS: a) không khả vi f x' (0, 0) không tồn tại; b) không khả vi  Tìm cực trị hàm f (x, y) - Tìm điểm tới hạn - Tại điểm dừng ( x0 , y0 ) : A  f xx'' ( x0 , y0 ) , B  f xy'' ( x0 , y0 ) , C  f yy'' ( x0 , y0 ) ,  = B2 - AC Kết luận ( x0 , y0 ) : i)  < 0: A >  cực tiểu; A <  cực đại ii)  > 0: không đạt cực trị iii)  = 0: ( x0 , y0 ) điểm nghi ngờ - Tại điểm kỳ dị: dùng định nghĩa xét Tìm cực trị hàm sau: a) z  4( x  y )  x  y ; b) z  x  y  3xy ; c) z  xy  50 20  (x > 0, y > 0); x y d) z  x  y ; e) z  ( x  y )  ( x  y ) ; f) z   x  y ; Version (27/7/2013) 2 g) z  ( x  y )e ( x2  y )  ĐS: a) zCD  (2, -2), b) zCT  1 (1, 1), z không đạt cực trị (0, 0); c) zCT  30 (5, 2); d) zCT  (0, 0); e) zCT  (0, 0); f) zCT  (0, 0); g) zCT  (0, 0), đặt t = x  y  zCD  e 1 điểm đường tròn x  y  Tìm cực trị hàm z  z ( x, y ) xác định phương trình z  e z ( x  y )   ĐS: zCĐ = (0; 0) Tìm cực trị hàm ẩn z  z ( x, y ), z  , xác định phương trình: x  y  z  x  y  z  11   ĐS: z đạt cực đại M(1, -2) zCĐ = z(1, -2) =  Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm z  f ( x , y ) với điều kiện ràng buộc  ( x , y)  Lập hàm L'Agrange: F ( x , y,  )  f ( x , y)  . ( x , y )  Fx'   Giải hệ  Fy'  Ta nghiệm ( x0 , y0 , 0 )  '  F  Tính d F ( x0 , y0 , 0 )  Fxx'' ( x0 , y0 , 0 )dx  Fxy'' ( x0 , y0 , 0 )dxdy  Fyy'' ( x0 , y0 , 0 ) dy , xét với ' ' điều kiện  x dx   y dy  , dx  dy  i) d F ( x0 , y0 , 0 )   f ( x0 , y0 ) đạt cực đại có điều kiện ( x0 , y0 ) ii) d F ( x0 , y0 , 0 )   f ( x0 , y0 ) đạt cực tiểu có điều kiện ( x0 , y0 ) iii) d F ( x0 , y0 , 0 ) có dấu không xác định  f ( x0 , y0 ) không đạt cực trị ( x0 , y0 ) Tìm cực trị hàm z  x  y với điều kiện  ĐS: zCT  x y   36 12 ( 18 13 , 13 ) 13 Tìm cực trị hàm f ( x , y)   x  y với điều kiện x  y   ĐS: zCT =  45 , 35  zCĐ = 11   45 ,  53   Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm liên tục f (x, y) miền đóng bị chặn D - Tìm điểm tới hạn f(x, y) thuộc phần D tính giá trị hàm điểm - Tìm giá trị nhỏ lớn biên (dùng phép phương pháp nhân tử L'Arange) So sánh giá trị vừa tính f = số nhỏ nhất, f max = số lớn Version (27/7/2013) 10 Tìm cực trị hàm miền đóng bị chặn a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = x2 + 2y2 + 4xy - 4x miền D = {x  0, y  0, x + y  3} Hệ Giải  f x'  x  y    '  f y  x  y  nghiệm miềm mở x > 0, y > 0, x + y < Do GTNN GTLN f đạt biên D Trên biên x = (  y  3); y = (0  x  3) x + y = (0  x  3) hàm có điểm nghi ngờ M1(3; 0), M2(0; 3), M3(0; 0), M4(2; 0) So sánh giá trị f điểm ta fmin = - M4(2; 0) fmax = 18 M2(0; 3) b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = xy2 tập D = {(x,y): x2 + y2  1} Giải * Điểm dừng tập mở x2 + y2 < điểm có dạng (x0, 0) Ta có f (x0, 0) = * Trên biên: x2 + y2 =  y =  1 x  f = -x3 + x (-1  x  1)   2 2 Có giá trị cần xét f   ;  ; f  ;       3 3 3 3   Vậy fmin =  3     ,  2 2  ,    fmax = 3 3 3  c) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = x + y tập D = {(x,y): x2 + y2  1} Giải * Điểm tới hạn tập x2 + y2 < 1:  f x'   '  f y  * Lập hàm Lagrange:  Không có điểm tới hạn F ( x, y, )  x  y   ( x  y  1) Giải hệ Fx'   2x  Fy'   2y  F'  x2  y   Ta hai điểm tới hạn f ( M )   2 M ( 22 , 22 ) ứng với    f ( M )  Vậy f   M1 ( 22 ,  22 ) f max  M ( M1 ( 2 , ) ứng với   2 , ) Version (27/7/2013) d) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  x  y hình chữ nhật D:{0  x  2,  y  1};  ĐS: zmin  2 , zmax  / ; e) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  y hình tròn D:{ x  y  };  ĐS: zmin  4 (0, -2), (0, 2) zmax  (-2, 0), (2, 0); f) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x y (4  x  y ) miền D:{x = 0, y = 0, x + y = 6}  ĐS: zmin  64 (4, 2) zmax  (2, 1); g) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  sin x  sin y  sin( x  y ) miền D:{  x  2 ,  y  2 };  ĐS: zmin  (0, 0) zmax  3 ( 3 , 3 ) ; h) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  xy  x  y miền D:{  x  1,  y  2};  ĐS: zmin  3 (1, 0) zmax  17 (1, 2); i) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  y  xy  x  y miền D:{x  0, y  0, x + y  -3};  ĐS: zmin  1 (-1, -1) zmax  (-3, 0), (0, -3); j) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  xy miền D:{0  x  1,  y  1 x };  ĐS: zmin  x = (0  y  1) zmax  (1, 0) k) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z  x  x  y miền D: { x  y  }  ĐS: zmin    12 , 0 zmax  94   12 ;   11 Một hộp hình hộp chữ nhật hở phía tích 32 cm3 Hỏi cạnh phải có độ dài để hộp có diện tích chung quanh nhỏ nhất? 1  ĐS: Hộp có diện tích toàn phần S ( x, y )  xy  64(  ) S đạt x = y = x y  Các cạnh có độ dài 4, 4, Version (27/7/2013) TÍCH PHÂN BỘI Chương  Tích phân hai lớp tọa độ Descartes Tính I   f ( x , y )dxdy D D: { a  x  b , 1 ( x )  y  2 ( x ) } i) D hình thang cong loại 1: 2 ( x ) b I =  dx  f ( x , y)dy 1 ( x ) a ii) D hình thang cong loại 2: D: {c  y  d,  ( y)  x   ( y ) } d  ( y) I =  dy  f ( x , y)dx 1 (y) c iii) D hình chữ nhật: D: { a  x  b , c  y  d} b d d b I =  dx  f ( x , y)dy =  dy  f ( x , y )dx a c c a * Đặc biệt: Khi f ( x , y)  f1 ( x ) f2 ( y) b d I =  f1 ( x )dx. f2 ( y )dy a c Tính tích phân: a)  sin( x  y ) dxdy với D: {y = 0, y = x, x  y  2 }; D b)  x ydxdy với D: {y = 0, y  ax  x }; D c)  | x |  | y | dxdy với D: {| x | + | y |  1} D  ĐS: a) ; b) a5 ; c)  Tích phân hai lớp tọa độ cực Tính tích phân I =  f ( x , y)dxdy , D f ( x , y) chứa biểu thức x  y D có dạng hình tròn Đặt x  r cos  , y  r sin  (*) (0    2 -    ; r  0) Ta có x  y  r ; J = r D' miền , r có ảnh D qua phép biến đổi (*) I   f (r cos  , r sin  )rd dr D' Tính tích phân: a)  xdxdy với D: { x  y  x }; D Version (27/7/2013) y x x b)  arctan dxdy với D:{ D  y  x ,  x  y  }; c)  xy dxdy với D: { x  ( y  1)2  , x  y  y  }; D d)  D  y x   dxdy với D:{  x  y  x } 2  ĐS: a)  ; b) ; c) 0; d)  3 Tính tích phân  ( y  x ) dxdy với D: {y = x + 1, y = x - 3, y   13 x  79 , y   13 x  } D  ĐS: -38/3  Thể tích vật thể hình trụ Vật thể hình trụ giới hạn phía mặt cong z  f2 ( x , y) , phía mặt cong z  f1 ( x , y) có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D Vật thể tích cho V   [ f2 ( x , y )  f1 ( x , y )]dxdy D Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: a) z  x  y , x  y  , z = 0; b) z  x  y , y  x , y = 1, z = 0; c) z  cos x cos y , z = 0, | x  y |  2 , | x  y |  2  ĐS: a) V =  88 105 ; b) V = , c) V =  Tính diện tích a) phần mặt nón z  x  y nằm bên mặt trụ x  y  ; b) phần mặt cầu x  y  z  (z  0) nằm mặt trụ x  y  y  ĐS: a) S = 2 ; S =  1  Tích phân lớp hệ tọa độ Descartes Tính I =  f ( x , y, z)dxdydz V V : {a  x  b, 1 ( x )  y  2 ( x ),  ( x , y )  z   ( x , y)} b  I =  dx a 2 ( x )  1 ( x )  ( x,y ) dy  f ( x , y, z )dz  ( x ,y) Tính  y cos( x  z )dxdydz với V:{ y  x , y = 0, z = 0, x  z  2 } V  ĐS:  2  1  Tích phân lớp tọa độ trụ Version (27/7/2013) Tính I =  f ( x , y, z)dxdydz V trường hợp V có dạng hình trụ f ( x , y, z ) chứa biểu thức x  y Đặt x  r cos  , y  r sin  , z = z (*) (0    2 -    ; r  0; - < z < ) Ta có x  y  r V' miền , r, z có ảnh V qua phép biến đổi (*) I=  f (r cos  , r sin  , z)rd drdz V' Tính tích phân sau tọa độ trụ: a)  x  y dxdy với V:{ x  y  z , z = 1}; V   b)  x  y dxdydz với V:{ x  y  z , z = 2} V   ĐS: a) 16 ; b)   Tích phân lớp tọa độ cầu Tính I =  f ( x , y, z)dxdydz V trường hợp V có dạng hình cầu f ( x , y, z ) chứa biểu thức x  y  z Đặt x  r cos  sin  , y  r sin  sin  , z  r cos  (*) (0    2 -    ;    ; r  0) Ta có x  y  r V' miền , r, z có ảnh V qua phép biến đổi (*) I=  f (r cos  sin  , r sin  sin  , r cos )r sin  d drdz V' Tính tích phân sau tọa độ cầu: a)  xyzdxdydz với V:{ x  y  z  , x = 0, y = 0, z = 0}; V b)  x  y  z dxdydz với V:{ x  y  z  z }; V   c)  x  y dxdydz với V:{  x  y  z  , z  0} V  ĐS: a) 1/48; b)  10 ; c) 124 15   Ứng dụng học Cho phẳng chiếm miền D mặt phẳng Oxy, có khối lượng riêng điểm (x, y) (x, y) Version (27/7/2013)   ( x, y)dxdy i) Khối lượng phẳng: M = D ii) Moment quán tính phẳng trục Ox, Oy gốc O I x   y 2 ( x , y )dxdy ; I y   x 2 ( x , y)dxdy ; Io   ( x  y ) ( x , y)dxdy D D D iii) Moment tĩnh trục Ox, Oy: I x   y ( x , y)dxdy ; I y   x ( x , y)dxdy D D iv) Tọa độ trọng tâm C bản: xc  My M , yc  Mx M Tìm tọa độ trọng tâm hình đồng chất giới hạn đường y  x , y  x , x = 1, x =  HD & ĐS: S(D) = ; xc  S  xdxdy  4528 ; yc  D S  ydxdy  279 70 D 10 Tìm moment quán tính trục Oz vật thể V có khối lượng riêng  = điểm V V:{  z  x  y , x  y  2ay }   HD & ĐS: Izz   ( x  y )dxdydz =  d V Chương a sin   r dr  r 3dz = 512 75 a5 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tính tích phân sau: a)  xyds , với L biên hình chữ nhật với đỉnh O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(0, 2) L b)  x ds , với L giao hai mặt phẳng x - y + z = x + y +2z = từ gốc O đến L điểm (3, 1, -2) c)  ( x  y) ds , với L: y  ax  x L  ĐS: a) 24; b) 14 ; c) a2 (  2) Tính tích phân a)  2( x  y ) dx  x ( y  3) dy , L đường gấp khúc OAB với O(0, 0), L A(1, 1), B(2, 0) b) dx  dy , ABCDA biên hình vuông với A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), ABCDA | x |  | y | D(0, -1)  10 Version (27/7/2013)  ĐS: a) ; b) 0;  Công thức Green Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục với đạo hàm riêng miền D   x  Py  dxdy   Pdx  Qdy Q D L L biên miền D Tính tích phân sau: a)  (1  x ) ydx  x (1  y ) dy L: x  y  R L x x  (e sin y  ky )dx  (e cos y  k )dy , AmO nửa đường tròn b) AmO x  y  ax chạy từ A(a, 0) đến O(0, 0) c)  ( x  y )2 dx  ( x  y) dy , L chu tuyến dương tam giác OAB với L O(0, 0), A(2, 0), B(4, 2) d)  2( x  y ) dx  x ( y  3) dy , L đường gấp khúc OAB với O(0, 0), L A(1, 1), B(2, 0)  ĐS: Dùng công thức Green a) R 2 b) ka 8 ; c) 16; d) Tính tích phân ( ,3) a)  xdy  ydx ; ( 1,2 ) ( 3,1) b) ( x  y) dx  ydy ( x  y)2 (1,1)   ĐS: a) 8; b) ln  14 Tính diện tích hình giới hạn đường sau: a) y  x , y  x  x , x = 0, x = b) x  a cos3 t , y  a sin t  ĐS: a) S = (a > 0) 3 a2  , b) S = ln Chương TÍCH PHÂN MẶT  Tích phân mặt loại Cho mặt cong S: z = g(x, y), g đơn trị có đạo hàm riêng liên tục miền D, với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy 11 Version (27/7/2013) '2 '2  f ( x , y, z )dS   f  x , y, g ( x , y)   g x  g y dxdy S D Tính tích phân sau: a)   z  x  43 y  dS , S phần mặt phẳng x  3y  4z  nằm góc phần S tám thứ   b)  x  y dS , S nửa mặt cầu x  y  z  R2 S  ĐS: a) 61 ; b)  R4  Tích phân đường loại Cho mặt cong S: z = g(x, y), g đơn trị có đạo hàm riêng liên tục miền D, với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy  P( x , y, z)dydz  Q( x , y, z)dzdx  R( x, y, z )dxdy  S   [ P( x , y, z ( x , y))(  xz )  Q( x , y, z ( x , y ))(  yz )  R( x , y, z ( x , y ))]dxdy D dấu + lấy theo phía S dấu - lấy theo phía S Tính tích phân sau:   a)  x  y dxdy , S mặt mặt tròn S: { x  y  R , z = 0} S b)  xdydz  ydzdx  zdxdy , S phía mặt cầu x  y  z  a S c)  ( y  z)dydz  (z  x )dzdx  ( x  y )dxdy , S phía mặt nón 2 S z  x  y , (0  z  h)  ĐS: a)  R  ; b) 4 a3 ; c)  Công thức Ostrogradski Nếu hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng miền V   Px  V Q y   Rz dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S Tính tích phân sau: a)  xzdydz  yxdzdx  zydxdy , S mặt hình chóp S V: {x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1} b)  x dydz  y dzdx  z dxdy , S mặt hình lập phương S V: {0  x  a,  y  a,  z  a} 12 Version (27/7/2013) 2 c)   xz dydz  ( x y  z )dzdx  (2 xy  y z )dxdy S với S biên nửa hình cầu giới hạn mặt x  y  z  a (a > 0) z = Tích phân mặt lấy theo phía S  ĐS: Dùng công thức Ostrogradski a) ; b) 3a c) P = xz2, Q = x2y - z3, R = 2xy + y2z  2  P  z Qy  x a 2 r r sin  dr x2 , , R z  y2 I = V ( x  y  z )dxdydz = 0 d 0 d  2  = 0 d 0 sin  d ( r5 ) |a0 = a5 ( |02 ).( cos |0 ) = 2 a5  Công thức Stoke Nếu hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng mặt S   Ry  S Q z  dydz   P z  Rx  dzdx   Q x   Py dxdy   Pdx  Qdy  Rdz L L biên S, tích phân mặt lấy theo phía S, tích phân đường lấy theo chiều dương tương ứng Tính tích phân sau: a)  ( y  z )dx  ( z  x ) dy  ( x  y) dz , L đường tròn giao mặt cầu 2 L x  y  z  a với mặt phẳng x + y + z = lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ dương trục Oz hướng b)  y dx  z dy  x dz , L chu tuyến tam giác với đỉnh A(1, 0, 0), L B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz  ĐS: Dùng công thức Stoke a) 0; b) -1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương  Phương trình có biến phân ly * Dạng: M(x)dx + N(y)dy = * Tich phân tổng quát:  M ( x)dx  N ( y)dy  C 1) Giải phương trình vi phân sau: a) y  dx  xydy  ĐS: Tích phân TQ: ln | x | C  b) y2 1 ( x  1) y ' xy  , y(0) =  ĐS: Nghiệm riêng ứng với ĐKBĐ y(ln|x2 - 1| + 1) = 13 c) Version (27/7/2013) 2x2yy' + y2 =  ĐS: TPTQ y   C e1 x , y   d) y '.cot x  y  , y(0) = -1  ĐS: y = -3cosx + e) ye x dx  (1  e2 x )dy   ĐS: y  C  e x f) y '  cos( x  y)  HD & ĐS: Đặt u = x - y  nghiệm y  x  k 2 tích phân TQ x  cot x 2 y  C  Phương trình đẳng cấp dy  f ( x, y ) , với f ( x, y )  g ( xy ) dx y dy du * Cách giải: Đặt u   ux x dx dx * Dạng: 2) Giải phương trình a) dy y2  dx xy  x  ĐS: y  Ce y b) x dy y (2 x  y )  dx x3  ĐS: x   y ln | Cx | , y = c) ( y  xy ) dx  x dy   ĐS: y = Cx(x - y) d) xy '  y  x.e y x  ĐS: y = -xlnln|Cx| e) xy ' y  x tan y x  ĐS: sin yx  Cx  Phương trình vi phân tuyến tính * Dạng: y' + P(x)y = Q(x)  P ( x ) dx   P ( x ) dx dx  C  * Nghiệm tổng quát: y  e    Q ( x )e    3) Giải phương trình 14 Version (27/7/2013) a) xy ' y  x sin x  ĐS: y = x(C - cosx) b) (1  x ) y '  xy  (1  x )  ĐS: c) y ' xy  xe x ;  ĐS: d) y  (1  x )( x  C )  y  e x C  x2  y ' y cos x  xe  sin x , y() = 0;  ĐS: y  ( x   )e  sin x e) y ' y  x ln x , x ln x  ĐS: y  f) y'  x2 y (e)  e2 ln x y ; x  y3  ĐS: x  y  y2  C  Phương trình Bernoulli * Dạng: y ' P( x ) y  Q( x ) y ,    ; P(x), Q(x) liên tục * Cách giải: + Khi  =  =  PTVP tuyến tính + Khi   0, 1: chia hai vế phương trình cho y đặt z  y1  PTVP tuyến tính theo z 4) Giải phương trình a) y ' y  3x y ; x b) y ' y  e x y ; y(0)   ĐS: y 1  Cx  x ; b) y  e x   ex  C  Phương trình vi phân toàn phần  Dạng: M ( x , y)dx  N ( x , y )dy  (*) với M ( x , y )dx  N ( x , y)dy  d ( x , y)  Điều kiện để (*) PTVP toàn phần: N M  x y  Cách giải: - Khi biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát:  ( x , y)  C - Không biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát: 15 Version (27/7/2013) y x x y  M ( x , y0 )dx   N ( x , y)dy  C hay  M ( x , y)dx   N ( x0 , y)dy  C x0 y0 x0 y0  Thừa số tích phân:  ( x , y)[ M ( x , y)dx  N ( x, y)dy]  phương trình vi phân toàn phần +    ( x)    e +    ( y)    e   M N  x y N N M  y x M dx dy 5) Kiểm tra phương trình sau phương trình vi phân toàn phần giải chúng a) xydx  ( x  y )dy  ; b) (2 x  sin y  ye  x )dx  ( x cos y  cos ye  x )dy  ; c) y dx  ( y3  ln x )dy  ; x  x  ( x  1) cos y d)    dx  dy  sin y  sin y  y3  C ; b) x  ( x  1) sin y  e  x y  C ; c) d) 2xsin1y  x  C  ĐS: a) x y  y4  y ln x  C ; 6) Giải phương trình y3 (2 xy  x y  )dx  ( x  y )dy  b\ cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x )  HD & ĐS:  = ex; e x ( x y  y3 ) C 7) Giải phương trình (1  x y ) dx  x ( y  x ) dy  cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x )  HD & ĐS:   x2   1x  xy  y2 C  Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi * Dạng: y " py ' qy  f ( x ) (1) * Nghiệm tổng quát: y  y  Y với y nghiệm tổng quát phương trình y " py ' qy  (3) Y nghiệm riêng (1)  Tìm nghiệm tổng quát y phương trình y " py ' qy  (2): Xét phương trình đặc trưng: k  pk  q  Phương trình có hai nghiệm k1 , k2 i) k1 , k2 hai nghiệm thực phân biệt  y  C1ek1 x  C2e k2 x ii) k1  k2    y  (C1  C2 x )e k1 x 16 Version (27/7/2013) x iii) k1,2     i  y  e (C1 cos  x )  C2 sin  x )  Tìm nghiệm riêng Y phương trình không y " py ' qy  f ( x ) ) f ( x )  e x Pn ( x ) , Pn ( x ) đa thức bậc n So sánh  với hai nghiệm k1 , k2 phương trình đặc trưng: i)   k1 ,   k2  Y  e x Qn ( x ) ii)   k1 ,   k2  Y  e x x.Qn ( x ) iii)   k1  k2  Y  e x x Qn ( x ) ) f ( x )  e x [ Pn ( x ) cos  x  Qm ( x ) sin  x ] So sánh    i với hai nghiệm k1 , k2 phương trình đặc trưng: i)    i  k1 , k2  Y  e x [Ur ( x ) cos  x  Vr ( x ) sin  x ] với r  max(n, m) ii)    i  k1  Y  e x [ xUr ( x ) cos  x  xVr ( x ) sin  x ] 7) Giải phương trinh vi phân sau: a) y " y ' y  e x ;  ĐS: y  C1e x C2 e3 x  15 e x b) y " y  sin x ;  ĐS: y  C1 cos x  C2 sin x  x cos x ; c) y " y ' 20 y  x e x ;  ĐS: y  C1e4 x  C2 e5 x  ( 13 x  x  x )e x d) y " y ' y  cos x  sin x , y(0) = 1, y'(0) =  ĐS: Nghiệm TQ: y  C1e2 x  C2 e x  sin x  Nghiệm riêng y  e x  sin x ; 8) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình sau: a) y " y ' y  e2 x  s in2x ;  ĐS: y  Ae2 x  B cos x  C sin x b) y " y ' 5y  e x  cos x ;  ĐS: y  C1e x  C2e 5 x  Axe x  B cos x  C sin x ; c) y " y  xe x  2e x ;  ĐS: y  C1 cos x  C2 sin x  ( Ax  B )e x  Ce  x 17 [...]... Dùng công thức Green a) R 4 2 b) ka 2 8 ; c) 16; d) 7 3 4 Tính các tích phân ( 2 ,3) a)  xdy  ydx ; ( 1,2 ) ( 3,1) b) ( x  2 y) dx  ydy ( x  y)2 (1,1)   ĐS: a) 8; b) ln 2  14 5 Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường sau: a) y  2 x , y  2 x  x 2 , x = 0, x = 2 b) x  a cos3 t , y  a sin 3 t  ĐS: a) S = (a > 0) 3 4 3 a2  , b) S = ln 2 3 8 Chương 4 TÍCH PHÂN MẶT  Tích phân... y)dy  d ( x , y)  Điều kiện để (*) là PTVP toàn phần: N M  x y  Cách giải: - Khi biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát:  ( x , y)  C - Không biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát: 15 Version 1 (27/7/2013) y x x y  M ( x , y0 )dx   N ( x , y)dy  C hay  M ( x , y)dx   N ( x0 , y)dy  C x0 y0 x0 y0  Thừa số tích phân:  ( x , y)[ M ( x , y)dx  N ( x, y)dy]  0 là phương trình vi phân...  x y  )dx  ( x 2  y 2 )dy  0 b\ 3 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x ) 2  HD & ĐS:  = ex; e x ( x 2 y  y3 ) 3 C 7) Giải phương trình (1  x 2 y ) dx  x 2 ( y  x ) dy  0 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x )  HD & ĐS:   1 x2   1x  xy  y2 2 C  Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi * Dạng: y " py ' qy  f ( x ) (1) * Nghiệm tổng quát:... C(0, 0, 1) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ chiều dương của trục Oz  ĐS: Dùng công thức Stoke a) 0; b) -1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương 5  Phương trình có biến phân ly * Dạng: M(x)dx + N(y)dy = 0 * Tich phân tổng quát:  M ( x)dx  N ( y)dy  C 1) Giải các phương trình vi phân sau: a) y 2  1 dx  xydy  ĐS: Tích phân TQ: ln | x | C  b) y2 1 ( x 2  1) y ' 2 xy 2  0 , y(0) = 1  ĐS: Nghiệm... 2 x dx  (1  e2 x )dy  0  ĐS: y  C 1  e 2 x f) y '  cos( x  y)  HD & ĐS: Đặt u = x - y  nghiệm y  x  k 2 và tích phân TQ x  cot x 2 y  C  Phương trình đẳng cấp dy  f ( x, y ) , với f ( x, y )  g ( xy ) dx y dy du * Cách giải: Đặt u   ux x dx dx * Dạng: 2) Giải các phương trình a) dy y2  dx xy  x 2  ĐS: y  Ce y b) x dy y (2 x 2  y 2 )  dx 2 x3  ĐS: x   y ln | Cx | ,... y 2  z 2  a 2 (a > 0) z = 0 Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S 1 8  ĐS: Dùng công thức Ostrogradski a) ; b) 3a 4 c) P = xz2, Q = x2y - z3, R = 2xy + y2z  2  2 và P  z 2 Qy  x a 2 2 r r sin  dr 0 x2 , , R z  y2 I = V ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz = 0 d 0 d  2  2 5 = 0 d 0 sin  d ( r5 ) |a0 = a5 5 ( |02 ).( cos |0 2 ) = 2 a5 5  Công thức Stoke Nếu các hàm P(x,... hàm riêng trên mặt S thì   Ry  S Q z  dydz   P z  Rx  dzdx   Q x   Py dxdy   Pdx  Qdy  Rdz L trong đó L là biên của S, tích phân mặt lấy theo phía trên của S, còn tích phân đường lấy theo chiều dương tương ứng 4 Tính các tích phân sau: a)  ( y  z )dx  ( z  x ) dy  ( x  y) dz , trong đó L là đường tròn giao của mặt cầu 2 2 L 2 x  y  z  a 2 với mặt phẳng x + y...Version 1 (27/7/2013)  ĐS: a) 7 3 ; b) 0;  Công thức Green Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền D thì   x  Py  dxdy   Pdx  Qdy Q D L L là biên miền D 3 Tính các tích phân sau: a)  (1  x 2 ) ydx  x (1  y 2 ) dy trong đó L: x 2  y 2  R 2 L x x  (e sin y  ky )dx  (e cos y  k... y3  ĐS: x  y  y2 2  C  Phương trình Bernoulli * Dạng: y ' P( x ) y  Q( x ) y , trong đó    ; P(x), Q(x) liên tục * Cách giải: + Khi  = 0 hoặc  = 1  PTVP tuyến tính + Khi   0, 1: chia hai vế phương trình cho y và đặt z  y1  PTVP tuyến tính theo z 4) Giải các phương trình a) y ' 2 y  3x 2 y 4 3 ; x b) y ' y  e x 2 y ; y(0)  9 4 3  ĐS: y 1 3  Cx 2 3  x 3 ; b) y  e x 7... f ( x , y, z )dS   f  x , y, g ( x , y)  1  g x  g y dxdy S D 1 Tính các tích phân sau: a)   z  2 x  43 y  dS , trong đó S là phần mặt phẳng x 2  3y  4z  1 nằm trong góc phần S tám thứ nhất   b)  x 2  y 2 dS , trong đó S là nửa trên của mặt cầu x 2  y 2  z 2  R2 S  ĐS: a) 4 61 ; b) 4 3  R4  Tích phân đường loại 2 Cho mặt cong S: z = g(x, y), trong đó g đơn trị và có các