WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM TUYỂN TẬP 99 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số f ( x) = x + 2(m − 2) x + m − 5m + ; (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vng cân 2.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 3.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −4 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB = 1200 4.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) ( m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 5.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x + 2mx + m + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 2 6.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x3 − mx + m3 14.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x − ( m + 1) x + x + m − (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1 2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua y= x đường thẳng 15.Câu I: Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm y = x3 − mx + m3 16.Câu ICho hàm số : 2 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=1 2/ Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đt y = x y= mx + (m + 1) x + 4m3 + m x+m (C m ) 17.Câu I Cho hàm số: 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số m= -1 2.Tìm giá trò tham số m để đồ thò (Cm ) có điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ (IV) mặt phẳng toạ độ x 18.Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) x-1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn 19.Câu I (2,0 điểm)Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m = Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ∞) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x 7.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x + mx3 − x − 3mx + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu (1) 8.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x − 2(m2 − m + 1) x + m − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 9.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + 9mx + 12m2 x + (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CĐ = xCT 10.Câu 1: ( 2điểm) Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 x2 thỏa x1 = - 4x2 11.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = mx + 3mx − ( m − 1) x − , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định giá trị m để hàm số y = f ( x) khơng có cực trị 20.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m = Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ∞) 21.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2 Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 − x ≤ 22.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định giá trị m để hàm số (1) nghịch biến khoảng có độ dài 12.Câu I: Cho hàm số y = x + mx − 2x − 3mx + (1) www.MATHVN.com 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu y = (m − 1) x + mx + (3m − 2) x 13.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM mx + (m + 2) x + 4m + 2m 34.Câu 1: Cho hàm số: y = x+m 23.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m tham số) (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 24.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x – mx2 +(m2 – 1)x + ( có đồ thị (Cm) ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2 Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu yCĐ+ yCT > 25.Câu I (2 điểm): Cho hàm số : y = (x – m)3 – 3x (1) Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 26.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + m − (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 27.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + mx – (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; 2) 28.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x +1 có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2;+∞ ) 29.Câu I.(2đ) Cho hàm số y = ( m − 1) x − 3mx + 1.Khảo sát với m=2 2.Tìm m để hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu 30.Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m − 5m + 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 2/ Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vng cân 31.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x − ( m + 1) x + 9x + m − (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 1) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x 32.Câu I:(2,0 điểm) Cho hàm số y = x − (3 x − 1) m (C ) với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = Tìm gíá trị m để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị chứng tỏ hai điểm cực trị hai phía trục tung 33.Câu 1: Cho hàm số y = (m − 1) x + 2(m + 1) x + m − 1) Định m để hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu 2) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=0 b) Dùng (C), biện luận theo tham số a số nghiệm phương trình: ( www.MATHVN.com 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) mặt phẳng toạ độ 2) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=-1 Dùng (C), biện luận theo a số nghiệm thuộc [0;3π ] phương trình: cos x + (m − 1) cos x + − m = 35.Câu 1: Cho hàm số y = (m + 1) x − 3(m + 1) x + − m (Cm) 1) Chứng minh họ đồ thị (Cm) có điểm cố định thẳng hàng 2) Khảo sát hàm số m=1 3) Tìm phương trình parabol (P) qua điểm cực đại, cực tiểu (C) tiếp xúc với y=4x+9 36.Câu 1: Cho hàm số y = x − 3ax + 4a (a tham số) có đồ thị (Ca) 1) Xác định a để (Ca) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đừơng thẳng y=x 2) Gọi (C’a) đừơng đối xứng (Ca) qua đừơng thẳng: x=1 Tìm phương trình (C’a) Xác định a để hệ số góc lớn tiếp tuyến (C’a) 12 37.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 38.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m +1) x2 + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2;+∞ ) 39.Câu I : ( điểm ) Cho hàm số y = x3 + ( – 2m)x2 + (2 – m )x + m + (Cm) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ 40.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m = Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ∞) 41.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x + 2mx − m − (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích 42.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Đường thẳng ( ∆): y = mx + cắt (C) ba điểm Gọi A B hai điểm có hồnh độ khác ba điểm nói trên; gọi D điểm cực tiểu (C) Tìm m để ADB góc vng 43.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2m x − (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích 32 44.Câu I (2 điểm) x2 − 2x + x2 − 2x + ) −8 +a =0 x − 4x + x − 4x + www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Cho hàm số y = x + 2mx + m2 + m (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 45.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đường thẳng qua hai điểm cực tiểu có diện tích 1 46.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + 3x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho tam giác MAB có diện tích 47.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = − x3 + 3x + ( m2 − 1) x − 3m − (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vng O 48.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x − mx + (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân 49.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − m (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = − Định m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vng 50.Câu ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 + 2(m – 1)x2 +(m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) vng góc với đường thẳng y = x + 51.Câu 1: ( 2,0 điểm)Cho hàm số y = x3 − 2(m − 1) x + x + − m (1) 1) Với m = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m ( m ∈ ℝ ) để hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = 2 Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu ( Cm ) cắt đường tròn tâm I (1;1) , bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn 55.Câu I: ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − mx + (1) 1/.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = −1 2/.Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính 56.Câu I:(2.0 điểm) Cho hàm số y = x − 2(1 − m ) x + m + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m = Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn 57.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 − 2x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) cho đường thẳng AB song song với trục hồnh khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến AB 58.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x + 2mx − m − (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích 59.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Đường thẳng ( ∆): y = mx + cắt (C) ba điểm Gọi A B hai điểm có hồnh độ khác ba điểm nói trên; gọi D điểm cực tiểu (C) Tìm m để ADB góc vng 60.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đường thẳng qua hai điểm cực tiểu có diện tích 1 61.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + 3x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho tam giác MAB có diện tích 62.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = − x3 + 3x + ( m2 − 1) x − 3m − (1), với m tham số thực 52.C©u I: (2 điểm) Cho h m số f ( x ) = x − 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x − + m (1) (m lµ tham sè) Khảo s¸t biến thiªn v vẽ ®å thị h m số (1) m = −2 T×m m ®Ĩ ®å thị h m số (1) cã cùc trÞ ®ång thêi kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm cùc ®¹i cđa đồ thị h m số (1) tíi trơc Ox b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm cùc tiĨu cđa đồ thị h m số (1) tíi trơc Oy 53.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x − 3m(m + 2) x −1 (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vng O 63.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x − mx + (1) với m tham số thực 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân 64.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + 2m − có đồ thị ( Cm ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=0 Tìm giá trị m để hàm số (1) có hai giá trị cực trị dấu 54.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + ( Cm ) www.MATHVN.com Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( C1 ) www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số m = 75.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + m + 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho với m = 2.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cho hai điểm cực trị đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + = khoảng 76.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ 77.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m-1)x + Chứng minh hàm số có cực trị với giá trị m Xác định m để hàm số có cực tiểu x = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số trường hợp 78.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O 79.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ 80.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + (3m + 1) x − (với m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = −1 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác 65.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 66.Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số m = –2 Chứng minh (Cm) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cố định 67.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x + (C ) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số 2.Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị ( C ) tiếp xúc với đường tròn có phương trình ( x − m ) + ( y − m − 1) 2 =5 68.Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y = x3 − (m + 3) x − 2(m + 1) x + (1) ( m tham số thực) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hồnh độ lớn 69.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = mx + 3mx − ( m − 1) x − , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định giá trị m để hàm số y = f ( x) khơng có cực trị 70.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O 71.Câu I : ( điểm ) Cho hàm số y = x3 + ( – 2m)x2 + (2 – m )x + m + (Cm) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ 72.Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = x + 6mx + x + 2m (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị cho độ dài cạnh đáy 82.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x ≤ 83.Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 3) 84.Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 3) 85.Câu I :( 2, điểm) Cho hàm số y = (m + 2)x + 3x + mx − , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số m = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại , cực tiểu A B cho diện tích tam giác ABC 7, với điểm C( – 2; ) 74.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m +1) x2 + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2;+∞ ) www.MATHVN.com lần độ dài cạnh bên 81.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 73.Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 3x + m − m + (1) m x−2 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Cho hàm số y = − x3 + 3x + ( m2 − 1) x − 3m − (1), với m tham số thực Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương 86.Câu 1: ( điểm) Cho hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 5m + (C m ) 1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2, Với giá trị m đồ thị ( Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác 87.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + ( Cm ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( C1 ) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu ( Cm ) cắt đường tròn tâm I (1;1) , bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn 88.Câu I: ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − mx + (1) 1/.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = −1 2/.Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính 89.Câu I:(2.0 điểm) Cho hàm số y = x − 2(1 − m ) x + m + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m = Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn 90.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Đường thẳng ( ∆): y = mx + cắt (C) ba điểm Gọi A B hai điểm có hồnh độ khác Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vng O 96.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x − mx + (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân 97.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + 2m − có đồ thị ( Cm ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số m = Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác 98.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2( m + )x + m (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại 99 C©u I.(2 ®iĨm) Cho hµm sè y = x3 +( 1-2m)x2 +(2-m)x + m +2 ( m lµ tham sè ) (1) Kh¶o s¸t Sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè (1) m = 2.T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè (1) cã ®iĨm cùc ®¹i ,®iĨm cùc tiĨu ,®ång thêi hoµnh ®é cđa ®iĨm cùc tiĨu nhá h¬n www.MATHVN.com ba điểm nói trên; gọi D điểm cực tiểu (C) Tìm m để ADB góc vng 91.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2m2 x − (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 10 Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích 32 92.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x + 2mx + m2 + m (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 93.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đường thẳng qua hai điểm cực tiểu có diện tích 1 94.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + 3x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho tam giác MAB có diện tích 95.Câu I (2 điểm) www.MATHVN.com www.MATHVN.com 10 Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRẦN SĨ TÙNG A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D ›š & ›š · Hàm số f đồng biến D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ · Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < g( x ) ln dấu với a + Nếu D = g( x ) ln dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > g( x ) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x ) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g( x ) dấu với a · So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG ìD ³ ï ìD ³ ï ïỵS < ïỵS > + x1 £ x2 < Û í P > + < x1 £ x2 Û í P > + x1 < < x2 Û P < · g( x ) £ m, "x Ỵ (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Ỵ (a; b) Û g( x ) ³ m ( a;b ) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) · Hàm số f đồng biến D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng (a ; b ) Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Ỵ (a ; b ) y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) ³ g( x ) Năm 2012 (*) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) www.MATHVN.com Trang www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa > ïïD > ìa > – Hàm số f đồng biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa > ïï ì – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > Û ía > Ú íD > ỵD £ ïS < ïỵ P ³ b) Hàm số f nghịch biến (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Ỵ (a ; b ) y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) (*) Khảo sát hàm số ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ỵd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trường hợp Nếu: f ( x ) ³ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) ³ trở thành: g(t ) ³ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x < a (a ; b ) (**) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa < ïï ì – Hàm số f nghịch biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < Û ía < Ú íD > ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa < ïï ì – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > Û ía < Ú íD > ỵD £ ïS < ïỵ P ³ a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g(t ) ³ 0, "t < (ii) ìa > ïïD > ìa > (ii) Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] ỵ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam c) Đồng biến (a ; b ) (**) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ Û h(m) ³ g( x ) Trần Sĩ Tùng b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ỵï g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï Û í d £a ỵï g(t ) ³ 0, "t > (iii) ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +¥ ) ỵ ìa > ïïD > ìa > (iii) Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ỵï g( x ) ³ h(m), "x Ỵ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước · f đơn điệu khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ (1) D>0 ì ỵ · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1x2 = d (2) ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến (-¥;a ) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = Tìm điều kiện để hàm số y = b) Nghịch biến (a ; +¥) c) Nghịch biến (a ; b ) ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ỵd þ dx + e dx ( ) ( + e) Tập xác định: D = R \ í a) Đồng biến (-¥;a ) b) Đồng biến (a ; +¥) Trang www.MATHVN.com Trang www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trường hợp Nếu f ( x ) £ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) £ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến khoảng (-¥;a ) a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ỵï g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï Û í d ³a ỵï g(t ) £ 0, "t < (ii) ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] ỵ ìa < ïïD > ìa < (ii) Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ b) (2) nghịch biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ỵï g(t ) £ 0, "t > (iii) ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +¥ ) ỵ ìa < ïïD > ìa < (iii) Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ Câu Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) đồng biến R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (-¥;0) Câu b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ỵï g( x ) ³ h(m), "x > a Trần Sĩ Tùng · Tập xác định: D = R y ¢= x + x - m y¢ có D¢ = 3(m + 3) + Nếu m £ -3 D¢ £ Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến R Þ m £ -3 thoả YCBT + Nếu m > -3 D¢ > Þ PT y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi hàm số đồng biến khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) ìD¢ > ï ìm > -3 ï ïỵS > ïỵ-2 > Do hàm số đồng biến khoảng (-¥;0) Û £ x1 < x2 Û í P ³ Û í-m ³ (VN) Vậy: m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +¥) Câu c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïỵ g( x ) ³ h(m), "x Ỵ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ · Tập xác định: D = R y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +¥) Câu · Hàm đồng biến (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ với "x Ỵ (0; +¥) Û f ( x) = 3x + x + ³ m với "x Ỵ (0; +¥) 4x + 1 6(2 x + x - 1) Ta có: f ¢( x ) = = Û x + x - = Û x = -1; x = 2 (4 x + 1) ỉ1ư Lập BBT hàm f ( x ) (0; +¥) , từ ta đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m è2ø Câu hỏi tương tự: b) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (1; +¥) c) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-1;1) a) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) Trang www.MATHVN.com Trang ĐS: m ³ 11 ĐS: m ³ ĐS: m ³ www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Câu www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (-¥;2) é( x ; x ) = (0; m) Û ê x2 - x1 = Û ê m - = Û m = ±1 ë0 - m = ë( x1; x2 ) = (m;0) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < ỵD £ Vậy: Với Câu ỵï3m - 2m - £ -1 £ m < hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) Cho hàm số y = x - 2mx - 3m + (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) · Ta có y ' = x - 4mx = x( x - m) + m £ , y ¢³ 0, "x Ỵ (0; +¥) Þ m £ thoả mãn + m > , y ¢= có nghiệm phân biệt: - m , 0, Câu 10 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +¥) m Vậy m Ỵ ( -¥;1ùû Hàm số (1) đồng biến (1; 2) Û m £ Û < m £ Câu hỏi tương tự: ĐS: m £ a) Với y = x - 2(m - 1) x + m - ; y đồng biến khoảng (1;3) Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) mx + x+m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;1) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > · Tập xác định: D = R \ {–m} ìm2 - < ìa < ï ïïD > ìïm - < ïï3m - 2m - > ìa < TH1: í Ûí TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ D £ S < m m £ ỵ ïỵ ï ï -2m - ïỵ P ³ ï TH2: í > Û í4m2 + 4m - 10 £ S > ï ï -2m - ïỵ P ³ ï >0 ỵï m + YCBT Û l = Û x1 - x2 = Û ( x1 + x2 )2 - x1x2 = Û m = Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam + Nếu m ¹ , y¢ ³ 0, "x Ỵ (0; m) m > y¢ ³ 0, "x Ỵ (m; 0) m < Vậy hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) ìï ì TH1: í a < Û ím 2- < Trần Sĩ Tùng x - 3x + m (2) x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (2; +¥) · Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 - 4x + - m ( x - 1)2 = f (x) ( x - 1)2 Ta có: f ( x ) ³ Û m £ x - x + Đặt g( x ) = x - x + Þ g '( x ) = x - Hàm số (2) đồng biến (2; +¥) Û y ' ³ 0, "x Ỵ (2; +¥) Û m £ g( x ) [2; +¥ ) Trang www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Dựa vào BBT hàm số g( x ), "x Ỵ (-¥; -1] ta suy m £ Vậy m £ hàm số (2) đồng biến (2; +¥) Câu 13 Cho hàm số y = Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = có nghiệm phân biệt · Hồnh độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y¢ = x - 3x + m (2) x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (1;2) Ta có: f ( x ) ³ Û m £ x - x + Đặt g( x ) = x - x + Þ g '( x ) = x - Hàm số (2) đồng biến (1;2) Û y ' ³ 0, "x Ỵ (1;2) Û m £ g( x ) · Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) Dựa vào BBT hàm số g( x ), "x Ỵ (-¥; -1] ta suy m £ Vậy m £ hàm số (2) đồng biến (1;2) · Gọi a góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 tan a = · Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 - 4x + - m ( x - 1) = f (x) ( x - 1) [1;2] B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu x - 2mx + 3m2 Câu 14 Cho hàm số y = (2) 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (-¥;1) · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ) Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Ỵ (-¥;1) Û í2m > ì ỵ g(t ) £ 0, "t < (i) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > ém = (i) Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - > ê íS > ëm ³ + ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1; +¥) - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = k-p = tan a (Đặc biệt d º Ox, giải điều kiện: k = tan a ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B D với trục Ox, Oy – Giải điều kiện SDIAB = S x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: Vậy: Với m ³ + hàm số (2) nghịch biến (-¥;1) Câu 15 Cho hàm số y = k1 - k2 + k1k2 f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Ỵ (1; +¥) Û í2m < ì ỵ g(t ) £ 0, "t > (ii ) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > (ii) Û ê ï Û m £2- Û êï ê í 4m - < ê íS < ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ì – Giải điều kiện: í D ^ d Vậy: Với m £ - hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) ỵI Ỵ d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Trang www.MATHVN.com Trang www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Giả sử d : ax + by + c = M ( x M ; yM )Ỵ d (1) · Thế k từ (2) vào (1) ta được: (1) (2) (2) f ( x ) = ( x – x M ) f ¢( x M ) + yM Cho hàm số y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Câu · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x ) = ( x – x M ) f ¢( x M ) + yM (3) · Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) 11 Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f ( x ) tiếp tuyến vng góc với Gọi M ( x M ; yM ) · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k ( x – x M ) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM í ỵ f '( x ) = k Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k ( x – x M ) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM í ỵ f '( x ) = k Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam (3) · Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) Û (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 · Hai tiếp tuyến vng góc với Û f ¢( x1 ) f ¢( x2 ) = –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục ì(3) có nghiệm phân biệt · Giả sử M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) Þ y0 = x03 - x02 + Ta có: y¢ = x - x PTTT D M: y = (6 x02 - x0 )( x - x0 ) + x03 - x02 + D qua P(0;8) Û = -4 x03 + x02 + Û x0 = -1 Vậy M(-1; -4) Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Câu · Giả sử A(a; a3 - 3a2 + 1), B(b; b3 - 3b2 + 1) thuộc (C), với a ¹ b Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y ¢(a) = y ¢(b) Û 3a2 - 6a = 3b2 - 6b Û a2 - b2 - 2(a - b) = Û (a - b)(a + b - 2) = Û a + b - = Û b = - a Vì a ¹ b nên a ¹ - a Û a ¹ Ta có: AB = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + - a3 + 3a2 - 1)2 = (b - a)2 + (b3 - a3 - 3(b2 - a2 ))2 hồnh í ỵ f ( x1 ) f ( x2 ) < = (b - a)2 + éë(b - a)3 + 3ab(b - a) - 3(b - a)(b + a)ùû = (b - a)2 + (b - a)2 éë(b - a)2 + 3ab - 3.2 ùû 2 = (b - a)2 + (b - a)2 éë(b + a)2 - ab - ùû = (b - a)2 + (b - a)2 (-2 - ab)2 AB = (b - a)2 éë1 + (-2 - ab)2 ùû = (2 - 2a)2 éë1 + (a2 - 2a - 2)2 ùû 2ù é = 4(a - 1)2 ëê1 + éë(a - 1)2 - 3ùû ûú = 4(a - 1)2 éë(a - 1)4 - 6(a - 1)2 + 10 ùû = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 Mà AB = nên 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32 Û (a - 1)6 - 6(a - 1)4 + 10(a - 1)2 - = (*) Đặt t = (a - 1)2 , t > Khi (*) trở thành: é a = Þ b = -1 t - 6t + 10t - = Û (t - 4)(t - 2t + 2) = Û t = Þ (a - 1)2 = Û ê ë a = -1 Þ b = Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(-1; -3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = x - x + 2; AB = ĐS: A(3;2), B(-2; -2) Cho hàm số y = f ( x ) = x + x + x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA = 2011.OB · PTTT (C) có dạng: y = kx + m Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: Câu Trang 56 www.MATHVN.com Trang 57 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam x02 f ¢( x0 ) = k Û + 12 x0 + - k = (1) Để tồn tiếp tuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Û D¢ = + 3k > Û k > -3 (2) Þ Toạ độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) tiếp tuyến nghiệm hệ: ì k -6 2k - x + ï y0 = 3 í ï3 x + 12 x + = k ỵ ìï y = x + x + x + 0 Û í 02 ïỵ3 x0 + 12 x0 + = k k -6 2k - x+ 3 Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA = 2011.OB nên xảy ra: + Nếu A º O B º O Khi d qua O Þ k = OB k -6 · = ±2011 + Nếu A ¹ O DOAB vng O Ta có: tan OAB = = 2011 Þ OA Þ k = 6039 (thoả (2)) k = -6027 (khơng thoả (2)) Vậy: k = ; k = 6039 Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = Câu 26 r · Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; -1) r Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) r r n n n1 n2 26 Ta có cosa = r r2 Û = k -1 2 k +1 Û 12k - 26k + 12 = Û k = Ú k= é ¢ é éD/ ³ é êy = ê3 x + 2(1 - 2m) x + - m = Û ê Û ê /1 Û ê8m - 2m - ³ ê 2 ê3 x + 2(1 - 2m) x + - m = ê y ¢= ëê 4m - m - ³ ëê D ³ êë êë 3 é 1 êm £ - ; m ³ 1 Û ê Û m £ - m ³ êm £ - ; m ³ êë Câu hỏi tương tự: Câu 26 ĐS: m ³ - Cho hàm số y = f ( x ) = mx + (m - 1) x + (4 - 3m) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y - = · (d) có hệ số góc - 2 f '( x ) = Û mx + 2(m - 1) x + (4 - 3m) = Û mx + 2(m - 1) x + - 3m = (1) YCBT Û (1) có nghiệm âm + Nếu m = (1) Û -2 x = -2 Û x = (loại) + Nếu m ¹ dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x = hay x= Vậy m < hay m > Câu - 3m m - 3m < Û m < m > m 3 Cho hàm số y = mx + (m - 1) x + (4m - 3) x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm giá trị m cho (Cm) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x + y - = · Ta có: y¢ = mx + 2(m - 1) x + - 3m ; d : y = - x + YCBT Û phương trình y¢ = có nghiệm dương phân biệt Û mx + 2(m - 1) x + - 3m = có nghiệm dương phân biệt ìm ¹ é ïïD¢ > ê0 < m < Ûí Û ê ïS > ê1 < m < êë ïỵ P > ỉ è 1ư 2ø ỉ1 2ư è2 3ø Vậy m Ỵ ç 0; ÷ È ç ; ÷ Cho hàm số y = x - mx + m - (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm M có hồnh độ x = -1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = theo dây cung có độ dài nhỏ Câu YCBT thoả mãn Û hai phương trình sau có nghiệm: a) Với y = x - 3mx + 2; d : x + y + = 0; cosa = Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Do để (1) có nghiệm âm Þ Phương trình đường thẳng d qua tếp điểm là: y = góc a , biết cosa = Trần Sĩ Tùng · Ta có: y¢ = x - m Þ y¢(-1) = - m ; y(-1) = 2m - (C) có tâm I(2;3) , R = PTTT d M (-1;2m - 2) : y = (3 - m) x + m + Û (3 - m) x - y + m + = d (I , d ) = 4-m (3 - m)2 + = + (3 - m) (3 - m)2 + £ (3 - m)2 + (3 - m)2 + = 2 Û (3) có hai nghiệm phân biệt khác Û í Û ím < -1 Ú m > ỵ f (2) ¹ ïỵm ¹ ì ï Vậy từ điểm M(m; 2) Ỵ (d) với ím < -1 Ú m > kẻ tiếp tuyến với (C) ïỵm ¹ Câu hỏi tương tự: a) y = - x + x - 2, d º Ox ém > ĐS: M (m;0) với ê ê -1 ¹ m < ë é x = -1 Û ê ë2 x - (3m + 2) x + 3m + = (4) YCBT Û (3) có nghiệm phân biệt + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1 Û m = -1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 Û m = ỉ è Ú m=2 ø Vậy điểm cần tìm là: (-1;4) ; ç - ;4 ÷ ; (2;4) Câu 10 Cho hàm số y = x - x + (m - 1) x + 2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm) · PT đường thẳng D qua M có dạng: y = k ( x - 1) + D tiếp tuyến (Cm) Û hệ PT sau ìï có nghiệm: í x 2- x + (m - 1) x + 2m = k ( x - 1) + ỵï3 x - x + m - = k Þ f ( x ) = x - x + x - 3(m - 1) = (*) Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt ỉ 109 Þ Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 - 3m), B ç ; - 3m ÷ è 27 ø é êm = é Do (*) có nghiệm phân biệt Û ê A Ỵ Ox Û ê B Ỵ Ox ë ê m = 109 êë 81 Ta có f ¢( x ) = x - 10 x + Þ f ¢( x ) = Û x = 1; x = Trang 60 www.MATHVN.com Trang 61 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d1 : y = + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ¹ ±1 , tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Dạng 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số trùng phương y = ax + bx + c Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) = x - x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với ì ¢ 3 khác ±1 Û íD = 4a - > Û -1 ¹ a < ¹ a > ỵ f (±1) ¹ 2 · Ta có: f '( x ) = x - x Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B k A = f '(a) = 4a3 - 4a, kB = f '(b) = 4b3 - 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y = f ¢(a)( x - a) + f (a) Û y = f ¢(a) x + f (a) - af ¢(a) y = f ¢(b)( x - b) + f (b) Û y = f ¢(b) x + f (b) - bf ¢(b) Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A = kB Û 4a - 4a = 4b3 - 4b Û (a - b)(a2 + ab + b2 - 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ¹ b , (1) Û a2 + ab + b2 - = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi: ìïa2 + ab + b2 - = ïìa2 + ab + b2 - = Ûí ( a ¹ b) Û í 4 ỵï-3a + 2a = -3b + 2b ỵï f (a) - af ¢(a) = f (b) - bf ¢(b) Giải hệ ta nghiệm (a; b) = (-1;1) (a; b) = (1; -1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị (-1; -1) (1; -1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là: ìa2 + ab + b2 - = í ỵa ¹ ±1; a ¹ b Câu 13 Cho hàm số y = x - 2mx + m (1) , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ ỉ3 è4 điểm B ç ; ÷ đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn ø · A Ỵ (Cm) nên A(1;1 - m) y ' = x - 4mx Þ y '(1) = - 4m Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y - (1 - m) = y¢(1).( x - 1) Û (4 - 4m) x - y - 3(1 - m) = Khi d ( B; D) = -1 16(1 - m)2 + £ , Dấu ‘=’ xảy Û m = Do d ( B; D) lớn m = Câu 14 Cho hàm số y = ( x + 1) ( x - 1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) · Ta có y = x - x + PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y = k ( x - a) ìï x - x + = k ( x - a) d tiếp tuyến (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: í ïỵ ìk = ( A) ỵx -1 = Ta có: (I ) Û í ìï í4 x( x - 1)2= k x3 - 4x = k ïỵ f ( x ) = x - 4ax + = (1) Trang 62 (I ) ( B) www.MATHVN.com Trang 63 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số biến y = Câu 15 Cho hàm số y = Trần Sĩ Tùng ax + b cx + d Câu hỏi tương tự: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : x + y - = Ta có: d ( M , d ) = Û x0 + x0 + x0 + y0 - 32 + 42 = Û x0 + y0 - 12 = x0 + y0 + = ỉ x0 + ÷÷ - 12 = Û è x0 + ø · Với x0 + y0 - 12 = Û x0 + çç é x0 = Þ M1(0;3) ê ê x = Þ M ỉç ; 11 ư÷ è3 ø ëê Câu 16 Cho hàm số y = a) Với y = x x -1 ỉ PTTT M4 ç - ; -1÷ y = -9 x - 13 è ø 2x -1 x -1 ĐS: y = - x; y = - x + Câu 18 Cho hàm số y = ( x0 + 1)2 y = f '( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) Û x + ( x0 - 1)2 y - x02 + x0 - = (*) Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) Û - x0 éx = = 2Û ê ë x0 = + ( x0 - 1) 2x (C) x+2 Û x0 = Ú x0 = Ú x0 = -2 4 2a y= ( x - a) + Û x - (a + 2)2 y + 2a2 = a+2 (a + 2)2 Tâm đối xứng (C) I ( -2;2 ) Ta có: 16 + (a + 2) £ Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + Câu 19 Cho hàm số y = 2x -1 x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI a+2 2.4.(a + 2) = a+2 2 a+2 Trang 64 2a - (a ¹ 1) a -1 2a - ( x - a) + a -1 (a - 1)2 PT đường thẳng MI: y = ( x - 1) + (a - 1)2 PTTT (C) M: y = - Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: - 1 é a = (b = 1) = -1 Û ê ë a = (b = 3) (a - 1)2 (a - 1)2 Vậy có điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Câu 20 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn · Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a ¹ -2 thuộc (C) có phương trình: a+2 x0 + Û x - ( x0 + 1)2 y + x02 + x0 + = x0 + Ta có: d ( A, d ) = d (B, d ) Û - 4( x0 + 1)2 + x02 + x0 + = -4 + 2( x0 + 1)2 + x02 + x0 + Các tiếp tuyến cần tìm : x + y - = x + y - = d (I , d ) = ( x - x0 ) + · Giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) Gọi M(a; b) Ỵ (C) Þ b = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến · Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Ỵ (C ) có phương trình: Câu 17 Cho hàm số y = 2x + x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(-4; -2) · Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm ( x0 ¹ -1 ) PTTT (d) y = é ỉ 7ư ê x0 = -5 Þ M3 ç -5; ÷ ỉ 2x + è 4ø · Với x0 + y0 + = Û 3x0 + çç ÷÷ + = Û ê ê x = - Þ M ỉ - ; -1ư è x0 + ø ç ÷ êë è ø ỉ 11 47 Þ PTTT M1(0;3) y = - x + ; PTTT M2 ç ; ÷ y = - x + ; 16 16 è3 ø ỉ 7ư 23 PTTT M3 ç -5; ÷ y = - x + ; 4ø 16 16 è Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam éa = d ( I , d ) lớn (a + 2)2 = Û ê ë a = -4 Từ suy có hai tiếp tuyến y = x y = x + 2x + có đồ thị (C) x +1 · Giả sử M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) Þ y0 = Trần Sĩ Tùng (2m - 1) x - m2 x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x · TXĐ: D = R \ {1} ì (2m - 1) x - m =x ï ï x -1 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = x thì: í ï (m - 1) = ïỵ ( x - 1)2 (*) (**) Từ (**) ta có (m - 1)2 = ( x - 1)2 Û ê x = m ëx = - m é =2 www.MATHVN.com Trang 65 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam · Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m = (thoả với m) Vì x ¹ nên m ¹ · Với x = – m, thay vào (*) ta được: (2m - 1)(2 - m) - m = (2 - m)(2 - m - 1) Û 4(m - 1)2 = Û m = Þ x = (loại) Vậy với m ¹ đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x Câu 21 Cho hàm số: y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh · Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) có hệ số góc k: y = kx + a ìx +2 = kx + a ïï d tiếp tuyến (C) Û Hệ PT í x - -3 có nghiệm ïk = ( x - 1)2 ỵï Û PT: (1 - a) x + 2(a + 2) x - (a + 2) = (1) có nghiệm x ¹ Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 Khi ta có: x1 + x2 = (*) 2(a + 2) a+2 3 ; x1 x2 = y1 = + ; y = 1+ x1 - x2 - a -1 a -1 x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + ỉ ưỉ Û ç1 + < Û 3a + > Û a > ÷ ç1 + ÷ - ïỵa ¹ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận, D tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến D Tìm giá trị lớn d ỉ -1 ( x0 + 1) ( x - x0 ) + x0 + 2 Û x + ( x0 + 1) y - x0 - ( x0 + 1)( x0 + ) = x0 + Khoảng cách từ I đến D d = Vậy GTLN d 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với m, đường thẳng d : y = x + m ln cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng · PT hồnh độ giao điểm d (C): x0 + 1 + ( x0 + 1) = ( x0 + 1) + ( x0 + 1) £ ìD¢ = m + 2m + > 0, "m ï g Vì í ỉ nên (*) ln có nghiệm phân biệt x1, x2 ïg ç ÷ ¹ ỵ è2ø -m - Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = -m; x1x2 = Giả sử: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) 1 Tiếp tuyến A B có hệ số góc là: k1 = ; k2 = (2 x1 - 1)2 (2 x2 - 1)2 Þ k1 + k2 = -4(m + 1)2 - £ -2 Dấu "=" xảy Û m = -1 Vậy: k1 + k2 đạt GTLN -2 m = -1 x+2 2x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O · Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm Þ y ¢( x0 ) = -1 (2 x0 + 3)2 Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Trang 67 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam é é ê y = - ( x + 1) + êy = - x + Ûê ê y = - ( x - 3) + ê y = - x + 13 ëê ëê 4 ỉ 2x x -2 ỉ -4 ( x0 - 2)2 ( x - x0 ) + x0 x0 - Tam giác vng OAB có AB = OA nên DOAB vng cân O Do d vng góc với hai đường phân giác d1 : y = x; d2 : y = - x khơng qua O + Nếu d ^ d2 -4 ( x0 - 2)2 -4 ( x0 - 2)2 = -1 Û x0 = Þ d : y = - x + = Þ vơ nghiệm · Gọi M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) PTTT M: y = -3 (2 x0 - 1)2 ( x - x ) + y0 Từ trọng tâm G DOAB có: yG = (2 x0 - 1) = 3x - ;cos· BAI = x +1 26 ĐS: D: y = x - D: y = x + 2x - có đồ thị (C) x -2 x02 + x0 - 3(2 x0 - 1)2 x02 - (2 x0 - 1)2 (2 x0 - 1) = x02 (2 x0 - 1)2 ỉ · Lấy điểm M ç m; + è ÷ Ỵ ( C ) Ta có: y¢ (m) = m-2ø (m - 2)2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình: Vì G Ỵ d nên x02 + x0 - (2 x0 - 1)2 x02 + x0 - 3(2 x0 - 1)2 = 2m - - ³ -1 ( x - m) + + m-2 è ø Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B(2m - 2;2) é ù ém = ú ³ Dấu “=” xảy Û ê ëm = (m - 2)2 úû Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1) Ta có: AB2 = ê(m - 2)2 + êë 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C), I giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến d (C) M cắt đường tiệm cận A B Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2p ỉ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng 17 2x - 2x - -1 · Ta có: I(2; 2) Gọi M çç x0 ; ÷÷ Ỵ (C ), x0 ¹ PTTT d: y = ( x - x0 ) + x0 - ø x0 - ( x0 - 2)2 è ỉ Trang 68 (m - 2)2 Câu 30 Cho hàm số 2x - (C) x -2 tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc · ABI y=- Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A ç 2;2 + ÷ m-2 1 Do để tồn điểm M thoả YCBT 2m - ³ - Û m ³ 3 Vậy GTNN m Câu 28 Cho hàm số y = x0 - ÷ , B(2 x0 - 2;2) x0 - ÷ø ỉ Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hồnh trục tung Þ yB = 2 x0 - x0 - 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn x +1 2x -1 x02 + x0 - ( x - x0 ) + Câu hỏi tương tự: Câu 29 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M Ỵ (C) mà tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y = 2m - Mặt khác: ( x0 - 2)2 è éx = IA · · Do cos ABI = nên tan ABI = = Û IB = 16.IA2 Û ( x0 - 2)4 = 16 Û ê IB 17 ë x0 = ỉ 3ư Kết luận: Tại M ç 0; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x + è 2ø ỉ 5ư Tại M ç 4; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x + è 3ø a) y = Vậy PTTT cần tìm là: y = - x + Câu 27 Cho hàm số y = y=- Giao điểm D với tiệm cận: A çç 2; · Gọi M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ), x0 ¹ PTTT M: y = Khảo sát hàm số 2x - Phương trình tiếp tuyến D M: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B cho AB = OA + Nếu d ^ d1 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam · I(2; 2) Gọi M çç x0 ; ÷÷ Ỵ (C ) , x0 ¹ x0 - ø è Khi có tiếp tuyến thoả mãn là: ê Câu 26 Cho hàm số y = Trần Sĩ Tùng , với I giao tiệm cận www.MATHVN.com 2x - d cắt tiệm cận A çç 2; ÷÷ , B(2 x0 - 2;2) è x0 - ø DIAB vng I S( IAB ) = 2p Û ( x0 - 2)2 + ( x0 - 2)2 Trang 69 é x = Þ M (1;1) =2Ûê ë x0 = Þ M (3;3) www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu 31 Cho hàm số y = 2x - x -2 Trần Sĩ Tùng ỉ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ ỉ 2x - -1 · Giả sử M çç x0 ; ÷÷ Ỵ (C ) x0 ¹ , y '( x0 ) = x0 - ø è ( x0 - ) ỉ 2ù é ù ú = p ê( x - 2)2 + ú ³ 2p ê ú êë ( x0 - 2) úû ë û éx = 1 Dấu “=” xảy ( x0 - 2)2 = Ûê ( x0 - 2)2 ë x0 = - 2÷ ÷ x è ø è ø Ta có: PIAB = IA + IB + AB = + x0 - + ( x0 - 1)2 + ≥ 4+2 x0 - ( x0 - 1)2 Câu 34 Cho hàm số y = + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x + 2x + có đồ thị (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ ỉ è + PTTT M có dạng: y = -3 ( x0 - 1)2 ( x - x0 ) + + ÷ Ỵ (C) x0 - ÷ø x0 - ỉ + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A çç 1;2 + è 3x + ĐS: M (0;1), M (-4;5) x+2 ÷ , B (2 x0 - 1;2) x0 - ÷ø × x0 - = 2.3 = (đvdt) x0 - + Ta có: SDIAB = IA.IB = × + DIAB vng có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ IA= IB 2mx + Câu 32 Cho hàm số y = x-m Û 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho DIAB có diện tích S = 64 · (C) có tiệm cận đứng x = m , tiệm cận ngang y = 2m Giao điểm tiệm cận I (m;2m) ỉ 2mx0 + 2mx0 + 2m2 + Gọi M çç x0 ; ( x - x0 ) + ÷÷ Ỵ (C ) PTTT D (C) M: y = x m x0 - m ( x0 - m)2 è ø ỉ 2mx + 2m + ÷ , cắt TCN B(2 x0 - m;2m) D cắt TCĐ A çç m; ÷ x0 - m è ø Ta có: IA = ỉ x +1ư · Giao điểm tiệm cận I(1;2) Gọi M çç x0 ;2 + Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = x D cắt TCĐ A çç 1; ÷÷ , cắt TCN B(2 x0 - 1;1) x -1 2x - Mặt khác I(2; 2) DIAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích ỉ x0 - + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x ; y + yB x - x A + x B + x0 - = = yM Þ M trung điểm AB = = x0 = x M , A x0 - 2 é x Gọi M çç x0 ; ÷÷ Ỵ (C ) ( x0 ¹ 1) PTTT D (C) M: y = ( x - x0 ) + x0 - ø x0 - ( x0 - 1)2 è é x0 = ë x0 = Toạ độ giao điểm A, B (D) với hai tiệm cận là: A çç 2; ; B x - 2;2 ) ÷÷ ( è x0 - ø S = p IM = p ê( x0 - 2)2 + çç Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Dấu "=" xảy Û x0 - = Û ê 2x - Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) M: y = ( x - x0 ) + x0 - x (0 ) -1 Ta thấy Trần Sĩ Tùng 4m2 + 58 ; IB = x0 - m Þ SIAB = IA.IB = 4m2 + = 64 Û m = ± x0 + m 2 éx = 1+ = x0 - Þ ê x0 - êë x0 = - Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + ) , M2 (1 - 3;2 - ) Khi chu vi DAIB = + Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ³ ab + 2ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S Dấu "=" xảy Û a = b Câu hỏi tương tự: a) y = 2x -1 x -1 Câu 35 Cho hàm số y = x Câu 33 Cho hàm số y = x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P = ( + ) · (C) có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = Giao điểm tiệm cận I(1;1) Trang 70 www.MATHVN.com ĐS: M1(0; -1), M2 (2;3) x -2 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận · (C) có TCĐ x = -1 , TCN y = Giao điểm tiệm cận I(-1;1) Trang 71 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số ỉ Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam x -2ư x -2 Gọi M çç x0 ; ( x - x0 ) + ÷ Ỵ (C ) PTTT D (C) M: y = x0 + ø÷ x0 + ( x0 + 1)2 è ỉ x -5ư D cắt hai tiệm cận A çç -1; ÷÷ , B(2 x0 + 1;1) Ta có: IA = ; IB = x0 + x0 + ø x0 + è Þ SIAB = IA.IB = Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp DIAB S Ta có: S = pr Þ r = = Do r lớn Û p nhỏ Mặt khác DIAB vng I nên: p p p = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ³ IA.IB + IA.IB = + Dấu "=" xảy Û IA = IB Û ( x0 + 1)2 = Û x0 = -1 ± ỉ 2m + ÷ , B(2m - 1;2) è m -1 ø PTTT M có dạng: y = y¢(m).( x - m) + yM Þ A ç 1; -3 nên AD // BC (m - 1)(n - 1) Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT x +3 x -1 4 PTTT (d) M0 : y - y0 = ( x - x0 ) x0 - ( x0 - 1)2 Giao điểm (d) với tiệm cận là: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 Þ M0 trung điểm AB 2 ỉ a+5ư ÷ , B(2a - 1;1) è a -1 ø ® ® ỉ IA = ç 0; ; IB = (2a - 2;0) Þ IB = a - ÷ Þ IA = a -1 è a -1ø Diện tích DIAB : S DIAB = IA.IB = (đvdt) Þ ĐPCM 2x - x +1 ĐS: S = 12 2x -1 1- x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ ỉ è · I (1; -2), A ç a; 2a - 2a - ( x - a) + ÷ PT tiếp tuyến d A: y = 1- a ø 1- a (1 - a)2 Ta có: xP + xQ = 2a = x A Vậy A trung điểm PQ IP = 2a +2 = ; IQ = 2(a - 1) Suy ra: 1- a 1- a 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi www.MATHVN.com SIPQ = IP.IQ = (đvdt) 2x -1 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2 + IB = 40 ỉ 2x - · (C) có TCĐ: x = -1 ; TCX: y = Þ I(–1; 2) Giả sử M çç x0 ; ÷÷ Ỵ (C), (x0 > 0) x0 + ø è PTTT với (C) M: y = x+2 (C) x -1 Trang 72 a+2 -3 a + 4a - Û y= x+ a -1 (a - 1) (a - 1) Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A ç 1; Câu 40 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB Câu 38 Cho hàm số : y = PTTT (d) (C) M: y = y ¢(a).( x - a) + ỉ 2a ÷ è 1- a ø Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q(2a - 1; -2) ỉ 2n + ÷ , D (2n - 1;2) è n -1 ø Þ ø Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến d: P ç 1; Tương tự: C ç 1; · Mo ( xo ; yo ) Ỵ (C) Þ y0 = + a+2ư è Câu 39 Cho hàm số y = 2x + x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang · Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D Câu 37 Cho hàm số y = ỉ · Giả sử M ç a; ÷ Ỵ (C) a -1 a) y = + Với x = -1 + Þ PTTT D: y = x + (1 - ) Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k = Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu hỏi tương tự: + Với x = -1 - Þ PTTT D: y = x + (1 + ) Câu 36 Cho hàm số y = Trần Sĩ Tùng ( x0 + 1)2 ( x - x0 ) + ỉ 2x - x0 - Þ A çç -1; ÷ , B ( (2 x0 + 1;2 ) x0 + ÷ø x0 + è ì 36 + 4( x0 + 1)2 = 40 ï IA2 + IB = 40 Û í ( x + 1)2 Û x0 = (y0 = 1) Þ M(2; 1) ïx > ỵ Câu 41 Cho hàm số y = x +1 (C) x -1 Trang 73 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) ì x +1 ì( y - 1) x - 2( y + 1) x + y + = (1) = kx + yo ïï o o ï o (*) (d) tiếp tuyến (C) Û í x 12 Ûí -2 =k ï =k ï x ¹ 1; 2 ( 1) x ỵ ïỵ ( x - 1) YCBT Û hệ (*) có nghiệm Û (1) có nghiệm khác ìy = ìy ¹ é ï o ï o x = ; yo = Þ k = -8 Ûí Ûê Ú í 2 ê x = 0; x= ïỵD ' = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = yo = -1 Þ k = -2 ỵï ë Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y = x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (m;2m + 1) Ỵ d PT đường thẳng D qua M có dạng: y = k ( x - m) + 2m + PT hồnh độ giao điểm D (C): k ( x - m) + 2m + = Û kx - [(m + 1)k - 2m ] x + [ mk - (2m + 4)] = x+3 x -1 (*) ïìk ¹ ïỵD = [(m + 1)k - 2m ] - 4k [ mk - (2m + 4)] = D tiếp xuc với (C) Û (*) có nghiệm kép Û í ìk ¹ 2 2 ỵ g(k ) = (m - 1) k - 4(m - m - 4)k + 4m = Ûí KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Cho hàm số y = - x + x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu 2) Tìm m để phương trình x - x = m3 - 3m2 có ba nghiệm phân biệt · PT x - x = m3 - 3m2 Û - x + x + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt Û < k < Û m Ỵ (-1;3) \ { 0;2} Cho hàm số y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu m x -1 · Ta có x - x - = m Û ( x - x - ) x - = m, x ¹ Do số nghiệm phương trình x -1 số giao điểm y = ( x - x - ) x - , (C ') đường thẳng y = m, x ¹ Với y = ( x - x - ) x - = í f ( x ) ì x > nên ( C ' ) bao gồm: ỵ- f ( x ) x < + Giữ ngun đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox Dựa vào đồ thị ta có: m < –2 m = –2 –2 < m < m≥0 vơ nghiệm nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu Qua M (m;2m + 1) Ỵ d kẻ tiếp tuyến đến (C) ém = ê Û ê m = -1 êm = êë m = Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x - x - = x +3 Câu 42 Cho hàm số y = (C) x -1 Û g(k ) = Trần Sĩ Tùng é D¢ = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê có nghiệm k ¹ Û ê D¢ = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê êë m - = Þ 16k + = Þ k = - Þ M (0;1) Þ M (-1; -1) Þ M (2;5) Þ M (1;3) 2) Tìm m để phương trình x - x + = log12 m có nghiệm · Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm Û log12 m = Û m = 12 = 144 12 Cho hàm số: y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - x + + log2 m = Câu · x - x + + log2 m = Û x - x + = - log2 m (m > 0) (*) + Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y = x - x + y = - log2 m + Từ đồ thị suy ra: 0[...]... hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1; +¥) 2 13 2 13 Dấu "=" xảy ra Û m = 0 Vậy min AB = khi m = 0 3 3 Câu 44 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân · y¢ = 3 x 2 - 6 x - m Hàm số có 2 cực trị Û y¢ = 0... x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Câu 23 Cho hàm số · Ta có y ¢= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) Hàm số (1) có cực trị Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û x... ç Câu 29 Cho hàm số y = x + 6mx + 9 x + 2m (1), với m là tham số thực đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Trang 21 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu 35 Cho hàm số y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị. .. Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0 Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x Câu 6 é · Ta có: y¢ = 3 x 2 - 6mx ; y¢ = 0 Û ê x = 0 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0 ë x = 2m uuur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0;... > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 A Kiến thức cơ bản · Hàm số ln nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị · Hàm số có 1 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm · Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt · Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0; c), B( x1; y1), C ( x2 ; y2 ) thì DABC cân tại A B Một số dạng câu hỏi thường gặp 1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các... AB 7 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hồnh độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et 8 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) hoặc K2 = (a ; +¥) y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 +... = Câu 51 Cho hàm số y = 3 4 1 2 1 4 3 x - mx 2 + 2 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại éx = 0 2 ëx = m · y ¢= 2 x 3 - 2mx = 2 x( x 2 - m) y ¢= 0 Û ê Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0 Câu 52 Cho hàm số y = - x 4 + 2mx 2 - 4 (Cm ) 1) Khảo sát. .. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2 · Ta có: y¢ = x 2 - 2mx + m 2 - 1 y¢ = 0 Û ê x = m + 1 é ëx = m -1 é1 2 Û ê ëm > 1 (1) (m là tham số thực) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và. .. - 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (ln đúng với "m) Trang 14 ïì x = 3 - 2m Ûí 2 ïỵ x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) -4 ± 34 4 ỵ Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi... 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2 Hàm số( 1) có cực trị trong khoảng (-¥;1) Û f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (-¥;1) Câu 49 Cho hàm số : y = 1 3 x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 Trang 24 www.MATHVN.com Trang 25 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt