ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THPT MÔN: Toán – Thời gian 180 phút Ngày thi: 08/03/2016 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 1− x x −2 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x log x đoạn 2;e  Câu (1,0 điểm)  1  + i a) Tìm số phức z , biết z thỏa mãn z + (3 − i ) z − (1 − 2i ) =   2  b) Cho f ( x ) = 52 x +1 g ( x ) = x + x ln Giải phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) 2016 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x + x + + ( x + x ) ln ( x + x ) x + 3x Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ dx Oxyz , cho điểm M (2;3;1) , mặt phẳng x −1 y + z − = = Gọi A điểm thuộc d , B −1 hình chiếu vuông góc A ( P ) Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc với ( P ) : x − y + z + 16 = đường thẳng d : ( P ) Tìm tọa độ điểm A cho tam giác MAB cân M Câu (1,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn tan α = −  3π  α α α ∈  ;2π  Hãy tính A = sin + cos   2 2 b) Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số khác có tổng 18 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A ' mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A ' O = a Gọi M trung điểm cạnh AC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng BM , B ' C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích 40 (đvdt) AD = AB Gọi M trung điểm AD , E hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB Giả sử C (5;2) , M (1; ) đường phân giác góc CME có phương trình x −1 = Tìm tọa độ đỉnh lại hình bình hành, biết đỉnh A có tung độ nhỏ  x + y − y =  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình    x x + + y ( y + 1) − ( ) ( Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn giá trị lớn biểu thức P = ) x + ( y + 1) = (x ; y ∈ ℝ) a + b + b + 2c = b b > Tìm a b c + b + c a b + 2b Người đề: Huỳnh Đức Khánh Hết HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN −x + Bạn đọc tự làm x −2 ln x = ln Câu Hàm số viết lại f ( x ) = x log x = x ln x ln x Hàm số xác định liên tục đoạn 2;e   ln x −1 Đạo hàm f ' ( x ) = ln 2.   ln x   ln x −1 Suy f ' ( x ) = ⇔ ln   = ⇔ ln x −1 = ⇔ ln x = ⇔ x = e ∈ 2; e   ln x  Câu Hàm số viết lại y = Ta có f (2) = 2; f (e ) = e ln 2; f (e ) = Vậy max f (x ) =  2 2;e    e ln e ln x = e ; f ( x ) = e ln x = e 2; e    Câu  1  a) Ta có  + i  = i , suy  2   1   + i  2  2016  1   =  + i      1008 = (i ) Do giả thiết cho tương đương z + (3 − i ) z − (1 − 2i ) = 1008 =1 (1) Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) , suy z = a − bi Khi (1) trở thành a + bi + (3 − i )(a − bi ) − (1 − 2i ) = 4a − b − = a = ⇔ (4 a − b − ) − (a + 2b − 8)i = ⇔  ⇔ a + 2b − = b = Vậy số phức z cần tìm z = + 3i b) Ta có f ' ( x ) = 52 x +1 ln g ' ( x ) = x ln + ln = (5 x + ) ln Do f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔ 52 x +1 ln = (5 x + ) ln  x 5 = ⇔5 = + ⇔ 5.(5 ) − − = ⇔  x ⇔ x =0 5 = −  Vậy phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm x = x +1 Câu Ta có I = ∫ x x ( x + x ) ln ( x + 3x ) 3x + x + dx +∫ dx x + 3x x + 3x 2 ● x Tính I = ∫ 3x + x + dx x + 3x Ta đồng x + x + 3x + x + A B C = = + 2+ x + 3x x ( x + 3) x x x +3 Quy đồng cho mẫu đồng tử thức ta 3x + x + ≡ Ax ( x + 3) + B ( x + 3) + Cx  A + C =  A =    ⇒ 3 A + B = ⇔ B =   3B = C = 2 Do I = ∫ ● Tính I = ∫ 2  2 1 dx + ∫ dx + ∫ dx =  ln x − + ln x +  = + ln − ln  1 x x x +3 x 1 ( x + x ) ln ( x + 3x ) x + 3x Đặt t = ln ( x + x Do I = Vậy I = I + I = ) ⇒ dt = ln 20 ∫ ln tdt = t dx 3( x + x ) x + 3x ln 20 ln = dx Đổi cận: x = ⇒ t = ln 4; x = ⇒ t = ln 20 ln 20 − ln 25 ln 20 − ln + ln + Câu Mặt phẳng ( P ) có VTPT nP = (3; −3;4 ) Gọi ∆ đường thẳng cần tìm qua M (2;3;1) vuông góc với ( P ) nên có vectơ phương x = + 3t  u∆ = nP = (3; −3; ) Do ∆ :   y = − 3t  z = + t Theo giả thiết ta có AB ⊥ ( P ) Gọi H trung điểm AB Do tam giác MAB cân M nên MH ⊥ AB Từ (1) (2) , suy MH ( P ) nên d  A, ( P ) = AB = HB = d  M , ( P ) Vì A ∈ d nên A (1 + t ; −3 + 2t ;5 − t ) Thay vào (*) , ta (1 + t ) − 3(−3 + 2t ) + (5 − t ) + 16 + + 16 = (1) (2 ) (* ) − + + 16 + + 16  A (3;1;3) t = ⇔ −7t + 48 = 34 ⇔  ⇒  t = 82 /7  A (89 / 7;143 / 7; −47 / 7)   Do B ∈ ( P ) nên A M phải phía so với ( P ) Vậy ta chọn A (3;1;3) Câu  3π  a) Với α ∈  ;2π  , suy    α 0 ≤ sin < 2  Khi   α −1 ≤ cos < −  2 Ta có A = + sin α α  3π  ∈  ; π   2 , suy A = sin α α + cos < 2 Từ hệ thức sin α + cos α = , suy sin α = − cos α = − 16 = + tan α 25  3π  Vì α ∈  ;2π  nên sin α = −   vào A , ta A = Suy A = − 5 b) Số phần tử tập S A62 = 30 Thay sin α = − Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C 30 Gọi X biến cố '' số chọn có chữ số khác có tổng 18 '' Từ tập cho A có số {3; 4; 5; 6} thỏa mãn + + + = 18 ● Có A42 = 12 số có chữ số khác lập thành từ tập {3; 4; 5; 6} ● Giả sử ta chia 12 số thành nhóm sau: +) Nhóm I gồm số có chứa chữ số , có số +) Nhóm II gồm số không chứa chữ số , có số Khi ứng với số ab nhóm I, có số cd nhóm II thỏa mãn a + b + c + d = 18 Suy số phần tử biến cố X ΩX = 6.2 = 12 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = ΩX Ω = 12 = C 302 145 Câu a) Diện tích tam giác ABC S∆ABC = a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V = S∆ABC A ' O = a2 a3 a = (đvtt) 4 B' A' M' C' A B M O N C b) Gọi M ' trung điểm A ' C ' , suy BM B ' M ' nên BM ( B ' M ' C ) Do d [ BM , B ' C ] = d  BM , ( B ' M ' C ) = d  M , ( B ' M ' C ) (1) Ta có MC ⊥ MB , suy MC ⊥ M ' B ' Theo cách dựng A ' M ' CM hình bình hành nên A ' M M 'C  MC ⊥ BM Mà  ⇒ MC ⊥ A ' BM ⇒ MC ⊥ A ' M Từ suy MC ⊥ M ' C   MC ⊥ A ' O a Từ (1) (2 ) , suy MC ⊥ ( B ' M ' C ) nên d  M , ( B ' M ' C ) = MC = (2 ) Câu 8, 9, 10 hẹn chủ nhật đánh đáp án tiếp Khuya ngủ thoai, mai vơ với vợ rùi Các em thông cảm