IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Đề minh hoạ THPT 2015 Bài Giải bất phương trình x2 + x + x − ≥ 3(x − 2x − 2) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác O AB có đỉnh A, B thuộc đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 12 = K (6; 6) tâm đường trịn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm ∆ cho AC = AO điểm C , B nằm khác phía so với A Biết C có hồnh độ tọa độ A, B 24 , tìm Bài Cho x ∈ R Tìm GTNN của: P= 3(2x + 2x + 1) + 2x + (3 − 3)x + + 2x + (3 + 3)x + Đề Sở GD-ĐT Phú Yên Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D có M , N trung điểm BC , C D Tìm tọa độ B, M biết N (0; −2), đường thẳng AM có phương trình x + 2y − = cạnh hình vng   27x + 3x + (9y − 7) − 9y = Bài Giải hệ phương trình 109  x + y + − 3x − =0 81 Bài Tìm GTLN GTNN biểu thức P = 52x + y , biết x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = THTT số 453 tháng 04 năm 2015 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , tính diện tích tam giác ABC biết H (5; 5), I (5; 4) trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cạnh BC nằm đường thẳng x + y − = Bài Giải phương trình (x − ln x) 2x + = x + Bài Cho < x < y < z Tìm GTNN P= Trang 68 x3z y4 z + 15x + + y (xz + y ) z (xz + y ) x2z http://diendantoanhoc.net THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) Bài Giải hệ phương trình 2x − y − + 3y + = x − 3x + = 2y − y x+ x + 2y Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D có tâm I ; Điểm M (6; 6) ∈ 2 AB N (8; −2) ∈ BC Tìm tọa độ đỉnh hình vng Bài Cho x, y, z ∈ (0; 1) thỏa mãn (x + y )(x + y) = x y(1 − x)(1 − y) Tìm GTLN của: P= 1 + x2 + 1 + y2 + 3x y − (x + y ) THPT Bố Hạ (Bắc Giang) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trực tâm H (−1; 3), tâm đường trịn ngoại tiếp I (−3; 3), chân đường cao kẻ từ đỉnh A điểm K (−1; 1) Tìm tọa độ ABC Bài Giải hệ phương trình x (x − 3) − y y + = −2 x − = y(y + 8) Bài Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn x + y + z = 9, x y z ≤ CMR 2(x + y + z) − x y z ≤ 10 THPT Chu Văn An (Hà Nội) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I (−2; 1) thỏa mãn điều kiện AI B = 90o , chân đường cao kẻ từ A đến BC D(−1; −1), đường thẳng AC qua M (−1; 4) Tìm tọa độ A, B biết A có hồnh độ dương Bài Giải bất phương trình: 3(x − 2) + Bài x2 − x + > x( x − + x − 1) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = x y z Tim GTNN S = 2x + y + 2z THPT chuyên Hà Tĩnh Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình bình hành ABC D có N trung điểm C D B N có phương trình 13x − 10y + 13 = 0; điểm M (−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC cho AC = 4AM Gọi H điểm đối xứng N qua C Tìm tọa độ A, B,C , D biết 3AC = 2AB H ∈ ∆ : 2x − 3y =   x + (y − y − 1) x + − y + y + = Bài Giải hệ phương trình  y − − x y − 2x − + x = Bài Cho a ∈ [1; 2] CMR: (2a + 3a + 4a )(6a + 8a + 12a ) < 24a+1 http://diendantoanhoc.net Trang 69 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình bình hành ABC D có ABC nhọn, A(−2; −1) Gọi H , K , E hình chiếu vng góc A đường thẳng BC , B D,C D Đường tròn (C ) : x + y + x + 4y + = ngoại tiếp tam giác H K E Tìm tọa độ B,C , D biết H có hồnh độ âm, C có hoành độ dương nằm đường thẳng x − y − = Bài Giải hệ phương trình    x (5y − 4x ) = 4y y (2x − y) + 2−x + y + + = x + y2 Bài Cho a, b, c > thỏa mãn 4(a + b ) + c = 2(a + b + c)(ac + bc − 2) Tìm GTLN: P= 2a b +c (a + b)2 + c + − 3a + b + 2a(c + 2) a + b + c + 16 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) Bài Giải hệ phương trình x + 2y + − 2x = 4(y − 1) x + 4y + 2x y = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB : 2x+y −1 = 0, phương trình AC :, 3x+4y +6 = điểm M (1; −3) nằm BC thỏa mãn 3M B = 2MC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm [0; 2]: (m + 2)x + m ≥ |x − 1| 10 THPT chuyên Hưng Yên Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D có A(−1; 2) Gọi M , N trung điểm AD DC ; K = B N ∩ C M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác B M K , biết B N có phương trình 2x + y − = điểm B có hồnh độ lớn    (1 − y) x + 2y = x + 2y + 3x y Bài Giải hệ phương trình   y + + x + 2y = 2y − x Bài Cho x, y, z > thỏa mãn 5(x + y + z ) = 9(x y + 2y z + zx) Tìm GTLN của: P= Trang 70 x y + z2 − (x + y + z)3 http://diendantoanhoc.net 11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình thang ABC D có đáy lớn C D = 2AB , điểm C (−1; −1), trung điểm AD M (1; −2) Tìm tọa độ B , biết diện tích tam giác BC D 8, AB = D có hồnh độ dương 2 + 9.3x −2y = (2 + 9x −2y ).52y−x 4x + = 4x + 2y − 2x + Bài Giải hệ phương trình +2 Bài Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + = z Tìm GTNN của: P= 12 x y z2 + + + x + y z y + zx z + x y THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC Đường phân giác góc A có phương tình d : x − y + = 0, đường cao hạ từ B có phương trình d : 4x + 3y − = Biết hình chiếu C lên AB điểm H (−1; −1) Tìm tọa độ B,C x y(x + 1) = x + y + x − y Bài Giải hệ phương trình 3y(2 + 9x + 3) + (4y + 2)( + x + x + 1) = Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN của: S= 13 ab + ab + 2c bc + bc + 2a ca c a + 2b THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) Bài Giải hệ phương trình          y2 − x y2 + = 2x − x y2 + + 2x − = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho A(2; 1), B (−1; −3) hai đường thẳng d : x + y +3 = 0, d : x − 5y − 16 = Tìm tọa độ C ∈ d D ∈ d cho ABC D hình bình hành Bài Cho x, y ∈ R thỏa mãn x + y + x y = Tìm GTLN GTNN P = x + y − 3x − 3y 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 11 ; trung điểm AD E K : 19x − 8y − 18 = với E trung điểm AB , K thuộc cạnh C D sap cho K D = 3K C Tìm tọa độ C biết x E < Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D F http://diendantoanhoc.net Trang 71 |x − 2y| + = x − 3y x(x − 4y + 1) + y(4y − 3) = Bài Giải hệ phương trình Bài Cho a, b, c > CMR: a2 + b2 + c + 1 1 + + ≥ + + 2 4b 4c 4a a +b b +c c +a 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình thang ABC D vng A, D ; diện tích hình thang 6; C D = 2AB , B (0; 4) Biết I (3; −1), K (2; 2) nằm đường thẳng AD DC Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với trục tọa độ   x + x(x − 3x + 3) = y + + y + + Bài Giải hệ phương trình  x − − x − 6x + = y + + Bài Cho x, y > thỏa mãn x − y + ≤ Tìm GTLN của: T= 16 x + 3y 2x + y − x + y 5x + 5y THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho đường thẳng d : x − y + − = điểm A(−1; 1) Viết phương trình đường trịn (C ) qua A , gốc tọa độ O tiếp xúc đường thẳng d    x + y + 3(y − 1)(x − y) = Bài Giải hệ phương trình (x − y)2  x + + y + =  Bài Giả sử x y không đồng thời Chứng minh −2 − ≤ 17 x − (x − 4y)2 ≤ 2−2 x + 4y THPT Minh Châu (Hưng Yên) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A(−1; 4), trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M , đường thẳng C H cắt AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác H M N I (2; 0), đường thẳng BC qua điểm P (1; −2) Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng x + 2y − = Bài Giải hệ phương trình: Trang 72    ( x+   2(y − 4) y)2 + = x + y(2x − y) y + x(2x − y) 2x − y + − (x − 6) x + y + = 3(y − 2) http://diendantoanhoc.net Bài Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ 2, b ≥ 0, c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P= 18 a + b + c − 4a + − (a − 1)(b + 1)(c + 1) THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y Viết phương trình cạnh hình vng ABC D , biết đường thẳng AB,C D, BC , AD qua điểm M (2; 4), N (2; −4), P (2; 2), Q(3; −7) 2x − y − 7x + 2y + = (x, y ∈ R) −7x + 12x y − 6x y + y − 2x + 2y = Bài Giải hệ phương trình: Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c − 3b ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= 19 + + 2 (a + 1) (b + 2) (c + 3)2 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D Điểm N (1; −2) thỏa # » # » #» mãn 2N B + NC = điểm M (3; 6) thuộc đường thẳng chứa cạnh AD Gọi H chân hình chiếu vng góc A xng đường thẳng D N Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABC D biết khoảng cách từ điểm H đến cạnh C D lớn -2 Bài Giải hệ phương trình:    12 đỉnh A có hồnh độ số ngun 13 x − x − y − x − y − = y +   x + y +1+ 2x + y = 5x + 3y + 3x + 7y (x, y ∈ R) Bài Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 20 x2 + y + z2 + − (x + y) (x + 2z)(y + 2z) − (y + z) (y + 2x)(z + 2x) THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có AB = 2BC Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng B D; E , F trung điểm đoạn C D, B H Biết A(1; 1), phương trình đường thẳng B H 3x − y − 10 = điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh B,C , D http://diendantoanhoc.net Trang 73 Bài Giải hệ phương trình:   2(x + y + 6) = − y  1+x +xy + y2 = Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ≥ 1; c(a +b +c) ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 21 b + 2c a + 2c + + ln(a + b + 2c) 1+a 1+b THPT Thanh Chương III (Nghệ An) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB có phương trình x − y + = 0, điểm M (−4; 1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB    x + x y + x − y − y = 5y + Bài Giải hệ phương trình:   4y − x − + y − = x − Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 22 ab ab + 3c + bc bc + 3a + ca c a + 3b THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y −4x +6y +4 = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vng M N PQ nội tiếp đường trịn (C ) biết điểm M (2; 0) x2 y + = Tìm tọa độ điểm M (E ) 16 cho M F1 = 2M F2 ( với F1 , F2 tiêu điểm bên trái, bên phải (E )) Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho elip (E ) : Bài Giải hệ phương trình:    2.4 y + = 21+ 2x + log2 x y (x, y ∈ R)   x + x = (y + 1)(x y + 1) + x Bài Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 + c + 1 1 + + ≥ + + 2 4b 4c 4a a +b b +c c +a Trang 74 http://diendantoanhoc.net 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d : x+2y = 0, ∆ : 4x+3y = Viết phương trình đường trịn qua điểm M , có tâm thuộc đường thẳng d cắt đường thẳng ∆ hai điểm phân biệt A, B cho độ dài đoạn AB Biết tâm đường trịn có tung độ dương Bài Giải hệ phương trình:   x + 12y + x + = 8y + 8y x + 8y = 5x − 2y  (x, y ∈ R) Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= + + −a + b + c a − b + c a + b − c Trong a, b, c độ dài tam giác thỏa mãn 2c + b = abc 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trực tâm H (3; 0) trung điểm BC I (6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y − = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Xác định tọa độ cá đỉnh tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng DE x = điểm D có tung độ dương 2y − 3y + + y − = x + x + x y 2x + y − −3x + 2y + + 3x − 14x − = Bài Giải hệ phương trình: Bài Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + c a = Chứng minh rằng: 2b c2 − 2a + + a2 + b2 + c + 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình thang ABC D có đường cao AD Biết BC = 2AB, M (0; 4) trung điểm BC phương trình đường thẳng AD : x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết diện tích hình thang Bài Giải hệ phương trình: 54 A, B có tọa độ dương     3y + + 5x + = 3x y − y +    2(x + y ) + (x, y ∈ R) 4(x + x y + y ) = 2(x + y) Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + c a = 3abc Tìm giá trị lớn biểu thức: A= http://diendantoanhoc.net a + 2b + b + 2c + c + 2a Trang 75 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trực tâm H (3; 0) Biết M (1; 1), N (4; 4) trung điểm hai cạnh AB, AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC x − y + 3y + 32x = 9x + 8y + 36 (x, y ∈ R) x + + 16 − 3y = x + Bài Giải hệ phương trình: Bài Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 27 c2 b2 a2 + + c(c + a ) b(b + c ) a(a + b ) THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có đường phân giác góc ABC qua trung điểm M cạnh AD , đường thẳng B M có phương trình x − y + = 0, điểm D nằm đường thẳng ∆ : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABC D biết đỉnh B có hồnh độ âm đường thẳng AB qua E (−1; 2)  2   x − 2x − 2(x − x) − 2y = (2y − 3)x − Bài Giải hệ phương trình: 2x + x + x +   − − 2y = 2x + Bài Cho x, y hai số thỏa mãn: x, y ≥ 3(x + y) = 4x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y − 3( 28 1 + ) x2 y THPT Nghèn (Hà Tĩnh) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y ,cho hình vng ABC D có M , N trung điểm AB, BC , biết C M cắt D N điểm P 22 11 Gọi H trung điểm D I , biết đường thẳng AH cắt C D ; 5 ; Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABC D biết hoành độ điểm A nhỏ   (x + 5y )2 = x y(6 − x − 5y ) + 36 Bài Giải hệ phương trình:  5y − x = 6x + 2x y − 6y Bài Cho a, b, c số thực không đồng thời thỏa mãn: 2(a + b + c ) = (a + b + c)2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: a3 + b3 + c P= (a + b + c)(ab + bc + c a) Trang 76 http://diendantoanhoc.net 29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho đường tròn (C ) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = đường thẳng ∆ : x + y + = Từ điểm A thuộc đường thẳng ∆, kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C ) B C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC Bài Giải hệ phương trình:   x y(2 + 4y + 1) = x + x +  x (4y + 1) + 2(x + 1) x = Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn c = min(a, b, c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 30 a2 + c + b2 + c + a + b + c THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho tam giác ABC cân B , nội tiếp đường tròn (C ) : x + y − 10y − 25 = I tâm đường tròn (C ) Đường thẳng B I cắt đường tròn (C ) M (5; 0) Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C ) N −17 −6 ; Tìm tạo độ điểm A, B,C biết điểm A có 5 hồnh độ dương Bài Giải hệ phương trình: x + 3x + 6x + = y + 3y x (3y − 7) = − (1 + x )3 (x, y ∈ R) Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a(a −1)+b(b −1)+c(c −1) ≤ P= 31 Tìm giá trị nhỏ của: 1 + + a +1 b +1 c +1 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho đường tròn (C ) : x + y −2x +4y −20 = đường thẳng d : 3x + 4y − 20 = Chứng minh d tiếp xúc với (C ) Tam giác ABC có đỉnh A ∈ (C ), hai đỉnh B,C ∈ d , trung điểm cạnh AB ∈ (C ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết trực tâm tam giác ABC trùng với tâm đường trịn (C ) B có hồnh độ dương Bài Giải phương trình: 5x − 6x + + −10x + 8x + 7x − + x − 13 = Bài Cho số a, b, c ∈ R, a + b + c = 2(4a + 4b + c ) = (2a + 2b + c)2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = http://diendantoanhoc.net 8a + 8b + c (2a + 2b + 2c)(4ab + 2bc + 2c a) Trang 77   u=3 x2 − y = ⇐⇒ ⇐⇒  x+y =9 v =9 • x =5 y =4 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (5; 3), (5; 4) Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = Chứng minh rằng: a 2=b a + b 2+c b + c 2+a c ≥1 Lời giải Ta có: a 2+b a Tương tự: = a a + ba ≥ a + a + ba b 2+c b c 2+a c (do + a ≥ a) ≥ b + b + bc ≥ c + c + ac Cộng theo vế BĐT trên, ta có: a 2=b a + b 2+c b + c a b c + + + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + bc + bc a + babc + b + cb b + bc + abc b cb + =1 = bc + + b + b + cb b + bc + ≥ Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần Bài Cho đường trịn (C ) có phương trình x + y − 2x − 4y + = P (2; 1) Một đường thẳng d qua P cắt đường tròn A B Tiếp tuyến A B đường trịn cắt M Tìm tọa độ M biết M thuộc đường tròn (C ) : x + y − 6x − 4y + 11 = Lời giải Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2), bán kính R = Gọi M (a; b) Vì M ∈ (C ) nên a + b − 6a − 4b + 11 = Gọi K trung điểm I M , suy K Trang 216 (a) a +1 b +2 ; 2 http://diendantoanhoc.net Phương trình đường trịn đường kính I M : a +1 x− 2 b +2 + y− 2 = (a − 1)2 (b − 2)2 + 4 ⇐⇒ x + y − (a + 1)x − (b + 2)y − a − 2b = Vì A, B thuộc (C ) (I M ) nên suy phương trình đường thẳng AB : (a −1)x +(b −2)y +1−a −2b = Do P ∈ AB =⇒ a − b − = Từ (a) (b) suy (b) a =4 =⇒ M (4; 1) b=1 Bài Giải hệ phương trình x + y + 2y − + x − y = (x, y ∈ R) y2 + = x y + y Lời giải Điều kiện Đặt a =   2y − ≥ y≥ ⇐⇒  x ≥ y2 x−y ≥0 2y − 1, b = a2 + x − y (a, b ≥ 0) Khi   x − y = b2 Khi hệ cho trở thành Đặt    y= =⇒ x + y = a + + b a2 + b2 + a + b − = a2b2 + a2 + b2 − =  S + S − 2P = S = a +b (S, P ≥ 0, S ≥ 4P ) ta P + S − 2P = P = ab (a) (b) Trừ (a) cho (b) ta S − P = =⇒ S = P + Thay S = P + vào (b) ta P + P + 2P + − 2P = ⇐⇒ P + 3P − 2P − = ⇐⇒ (P − 1)(P + P + 4P + 2) = ⇐⇒ P =1 P + P + 4P + = Vì P ≥ nên (∗) ⇐⇒ P = =⇒ S = Từ a = b = =⇒ x =2 y =1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) http://diendantoanhoc.net Trang 217 Bài Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Hướng dẫn Kí hiệu P = P (a, b, c) = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Dễ thấy cần xét a, b, c ≥ Giả sử a = max{a, b, c} đặt s = b2 + c , p = bc Ta chứng minh: (81) P (a, b, c) ≤ P (a, s, s) Khi đó, để ý a + s + s = 3, toán đưa trường hợp có hai số Viết lại biểu thức theo s p , ta có: P (a, b, c) = 4s − 2p + 3p + 3a 2s + 2p = f (p) Xem f (p) hàm số biến p : 3a f (p) = −4p + + Vì ≤ p ≤ s ≤ ≤ a nên: f (p) ≥ −4 + + 2s + 2p 2+2 = >0 Do f (p) đồng biến [0, s] Suy ra: f (p) ≤ f (s) = P (a, s, s) (81) chứng minh xong Bây cần xét toán có hai số (cụ thể trường hợp a ≥ ≥ b = c ) Bài toán trở thành biến, tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm max a = b = c = a = 2b = 2c = 69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường cao AH có phương trình 13x − 6y − = 0, x − 2y − 14 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (−6; 0) Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ: x − 2y − 14 = =⇒ 13x − 6y − = Kẻ đường kính A A đường tròn ngoại tiếp Trang 218 x = −4 =⇒ A(−4; −9) y = −9 ABC http://diendantoanhoc.net A Khi A (−8; 9) Gọi K trực tâm ABC Dễ thấy B K C A có cặp cạnh đối song song nên B K C A hình bình hành Do M trung điểm A K Vì K M nằm đường thẳng AH AM nên tọa độ K (2k + 14, k) M m, M làtrung điểm A K , suy ra:  2k + 14 − = 2m 13m − =⇒  k + = I 13m − K H k = −1 =⇒ m=2 B K (12; −1) M (2; 4) C M A −−→ Đường thẳng BC qua M nhận AK làm vtpt nên BC : 2x + y − = Giả sử B (b; − 2b) Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên I A = I B ⇐⇒ + 81 = (b + 6)2 + (2b − 8)2 ⇐⇒ b=3 b=1 Với b = ta có B (3; 2) Do C đối xứng với B qua M nên C (1; 6) Với b = ta có B (1; 6) Do C đối xứng với B qua M nên C (3; 2) Bài Giải bất phương trình 2x + x > 11 + x −2 Lời giải Điều kiện x ≥ 0, x = Bất phương trình cho tương đương: 2(x − 2) + x > + 7x ⇐⇒ 2(x − 2) + x > x −2 x −2 Dễ thấy x = khơng làm nghiệm bất phương trình Xét < x = 2, chia vế BPT cho Đặt t = x −2 x x ta 2(x − 2) x +5 > x x −2 , BPT trở thành  t >1 2t + 5t − 2t + > ⇐⇒ > ⇐⇒ t (2t + 7)(t − 1) > ⇐⇒  − hay x ( x + 1)( x − 2) > ⇐⇒ x > x 7 x −2 Với − < t < ta có − < < hay 2 x 0 0, x, y ∈ R a b a +b Áp dụng đánh giá ta có: (a + b)2 − (a + b) (a + b)2 + = + −1 P≥ 2+a +b a +b a +b +2 a +b (a + b)2 Đặt t = a + b , = a + b + ab ≤ a + b + =⇒ a + b ≥ nên t ≥ Khảo sát hàm số f (t ) = t2 3 + − với t ≥ ta thu f (t ) ≥ f (2) = t +2 t Vậy P ≥ Đẳng thức xảy a = b = Vậy P = t2 3 Nhận xét Để tìm GTNN biểu thức + ta sử dụng kĩ thuật túy BĐT t +2 t sau: t2 t +2 1 t2 t (t + 2).2 + = + + − ≥3 − = t +2 t t +2 2t t (t + 2).2t t 2 Đẳng thức xảy t = hay a = b = 71 THPT Chuyên Lê Q Đơn (Bình Định) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho hình thang cân ABC D ( AD ∥ BC ) có phương trình đường thẳng AB : x −2y +3 = đường thẳng AC : y −2 = Gọi I giao điểm AC B D Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABC D , biết I B = I A 2, hoành độ I lớn −3 M (−1; 3) nằm đường thẳng B D Trang 222 http://diendantoanhoc.net Lời giải A A = AB ∩ AC =⇒ A(1; 2) D E Lấy E (0; 2) ∈ AC Suy E A = Qua E kẻ đường thẳng song song B D cắt AB F Theo I M F EA IA = =⇒ E F = E A = EF IB B C −→ Vì F ∈ AB =⇒ F (2t − 3; t ) Do E F = (2t − 3; t − 2)  t =1 11 Suy (2t − 3)2 + (t − 2)2 = ⇐⇒  t= −→ −→ Với t = F (−1; 1) =⇒ E F = (−1; −1) Vì E F ∥ B D nên E F vtcp B D , M ∈ B D nên phương trình B D : x − y + = Và I = B D ∩ AC =⇒ I (−2; 2) định lý Thales Vì B = B D ∩ AB =⇒ B (−5; −1) Bởi ABC D hình thang cân nên IB IB = =⇒ I B = I A ID −→ −→ 2.I D =⇒ I B = − I D =⇒ D − 2; +2 −→ −→ IA=− IC =⇒ C (−3 − 2; 2) Với t = 11 −→ E F = ; vtcp B D , từ phương trình B D : x − 7y + 22 = 5 I = B D ∩ AC =⇒ I (−8; 2) (loại x I > −3) Bài    (1 − y)(x − 3y + 3) − x = (y − 1)3 x (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình   x − y + x − = 2(y − 2) Lời giải    y ≥1 Điều kiện x ≥ y   x ≥0 x2 ≥ y x ≥ 1, y ≥ ⇐⇒ Đánh số phương trình đầu (a), phương trình sau (b) (a) ⇐⇒ 3(y − 1)2 − x(y − 1) − x = (y − 1) y −1 x Nhận xét y = không nghiệm hệ Xét y > 1, chia vế (a) cho (y − 1)2 ta được: x x 3− − y −1 y −1 Đặt t = = x y −1 x (t > 0), ta có: y −1 t + t + t − = ⇐⇒ http://diendantoanhoc.net t =1 ⇐⇒ t = t + t + 2t + = (do t > 0) Trang 223 Với t = y = x + 1, thay vào phương trình (b) ta x2 − x − + x − = 2(x − 1) ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − 1 + x − − (x − 1)3 3 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 6(x − x − 1) =0 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 x2 − x − (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 =0 =0 ⇐⇒ x − x − = ⇐⇒ x = Với x = 1+ (x ≥ 1) 1+ 3+ =⇒ y = 2 So điều kiện hệ có nghiệm (x, y) = 1+ 3+ , 2 Bài Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x + 3y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x y + y + 5(x + y ) − 24 8(x + y) − (x + y + 3) Lời giải Ta có 5(x + y ) = (4 + 1)(x + y ) ≥ 2x + y Và (x + y − 3)2 = x + y + + 2x y − 6(x + y) ≥ nên 2(x y + x + y + 3) ≥ 8(x + y) − (x + y + 3) Từ suy P ≥ 2(x y + x + y) − 24 2(x y + x + y + 3) Mặt khác từ giả thiết suy (2x + 3y + 5)2 x + y + x y = (x + 1)(y + 1) − = (2x + 2)(3y + 3) − ≤ −1 ≤ 24 Đặt t = 3 2(x + y + x y + 3) < t ≤ 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − − 24t với < t ≤ 2 Ta có f (t ) = 3t − 24 < ∀t ∈ (0; 2] 3 Vậy f (t ) nghịch biến (0; 2] Do f (t ) ≥ f (2 2) = 10 − 48 3 Vậy P ≥ 10 − 48 Đẳng thức xảy a = 2, b = Vậy P = 10 − 48 Trang 224 http://diendantoanhoc.net 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần Bài ; có đường trịn ngoại tiếp (C ) tâm I Biết điểm M (0; 1), N (4; 1) đối xứng I qua đường thẳng AB, AC , đường thẳng BC qua điểm K (2; −1) Viết phương trình đường trịn (C ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trọng tâm G Lời giải A Gọi H , E trung điểm M N , BC =⇒ H (2; 1) Từ giả thiết ta suy I AM B, I ANC hình thoi Suy AM N , I BC tam giác cân =⇒ N Hc AH ⊥ M N I E ⊥ BC =⇒ AH E I hình bình hành =⇒ G trọng tâm tam giác H E I =⇒ HG cắt I E F trung điểm I E Từ BC ∥ M N K (2; −1) ∈ BC Ta viết được: BC : y + = M G I F K C E B Mặt khác: −−→ −−→ H F = HG =⇒ F 3; − 2 E F ⊥ BC =⇒ E F : x = =⇒ E (3; −1) Vì F trung điểm I E nên I (3; 0) R = I A = H E = Suy phương trình (C ) (x − 3)2 + y = Bài Giải bất phương trình: 3(x − 1) 2x + < 2(x − x ) (82) Lời giải Điều kiện: x ≥ − Với điều kiện trên, ta có: (82) ⇐⇒ (x − 1)[2x − 3(x + 1) 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)[2(x + 1)2 − 3(x + 1) 2x + − 2(2x + 1)] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1)[2(x + 1) + 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1) > http://diendantoanhoc.net (a) Trang 225 ∀x ≥ − , ta xét hai trường hợp sau: Do 2(x + 1) + 2x + > 0, +) − ≤ x < Khi đó: (a) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) < ⇐⇒ x − 6x − < ⇐⇒ − < x < + Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm − < x < +) x > Khi đó: (1 ) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) > ⇐⇒ x − 6x − > ⇐⇒ x > 3+2 x < 3−2 Kết hợp điều kiện, ta nghiệm x > + Vậy ta nghiệm bất phương trình − < x < x > + Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x + z ≤ 2y x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy yz + − y + + z2 + x2 x3 z3 Lời giải Từ giả thiết ta có: xz ≤ y Chú ý rằng, với x, y ≥ a, b ta có: (x + y)2 x y ≤ + a +b a b (83) Thật vậy, (83) tương đương với (a y − bx)2 ≥ Khi đó: (z + y)2 yz (x + y)2 xy + − y3 + + − y + ≤ 2 3 2 1+z 1+x x z 4(1 + z ) 4(1 + x ) x z 2 (z + y) (x + y) + − y3 + = 2 2 2 4(x + y + 2z ) 4(2x + y + z ) x z P= ≤ x2 y2 z2 y2 − y + + + + x2 + z2 z2 + y x2 + z2 x2 + y x3 z3 = 1 y2 y2 1 + + − y3 + 2 2 4 z +y x +y x z ≤ 1 y2 y2 1 + + − y3 + 4 2y z 2x y x z = 1 y y y3 y3 + + − 3+ z x x z 1 + 1 ≤ + 1 = + ≤ Trang 226 y y y y y2 y y − +3 + + + z x x z xz x z y y y y 3 y y y y + − + + + + z x x z x z x z y y y y + − + z x z x http://diendantoanhoc.net Đặt t = y2 1 ≥ Khi P ≤ − t + t + zx y y + , t ≥2 z x Xét hàm số f (t ) = − t + t + Suy max f (t ) = f (2) = − [2;+∞) với t ≥ Ta có f (t ) = − t + < 0, ∀t ≥ 4 3 Suy P ≤ − , dấu đẳng thức xảy x = y = z = 3 Vậy giá trị lớn P − , dấu" = "xảy x = y = z = 73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có diện tích 16, đường thẳng AB, BC ,C D, D A qua điểm M (4; 5), N (6; 5), P (5; 2),Q(2; 1) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải AB qua M (4; 5) nên phương trình AB có dạng: ax + b y − 4a − 5b = (a + b = 0) BC ⊥ AB BC qua N (6; 5) =⇒ phương trình BC có dạng bx − a y − 6b + 5a = Ta có diện tích hình chữ nhật: S = d (P,AB ) d (Q,BC ) = 16 |a − 3b| |4a − 4b| = 16 a2 + b2 a2 + b2 ⇐⇒ a − 4ab + 3b = ±4(a + b ) ⇐⇒ ⇐⇒ 3a + 4ab + b = 5a − 4ab + 7b = ⇐⇒ a +b = 3a + b = (vô nghiệm) +Với a + b = 0, chọn a = 1, b = −1 ta phương trình AB là: x − y + = +Với 3a + b = 0, chọn a = 1, b = −3 ta phương trình AB : x − 3y + 11 = Bài Giải hệ phương trình: x − x y − y = 2x − x + (1) (x, y ∈ R) 2 y + x + + 16 − 3y = 2x − 4x + 12 (2) Lời giải http://diendantoanhoc.net Trang 227   x ≥ −2 16 ĐK:  y≤ Phương trình (1) =⇒ (x − y − 2).(x + 1) = ⇐⇒ y = x − Thay vào phương trình (2) ta được: 16 − 3(x − 2) = 2x − 4x + 12 (x − 2)2 + x + + ⇐⇒ x + + 22 − 3x = x + ⇐⇒ (x − 4) + 4(2 − x + 2) + (4 − 22 − 3x) = ⇐⇒ (x − 2) (x + 2) −   ⇐⇒  2+ x +2 + + 22 − 3x =0 x − = =⇒ y = (x + 2) − + =0 + x + + 22 − 3x Giải (*), ta xét hàm số: f (x) = (x + 2) − f (x) = + x + 2(2 + 2+ x +2 x + 2)2 + + + 22 − 3x 22 − 3x(4 + =⇒ f (x) liên tục đồng biến đoạn −2; (∗) đoạn −2; 22 − 3x)2 ≥0 22 ∀x ∈ −2; 22 22 22 , mà −1 ∈ −2; f (−1) = 3 Từ đó: (∗) =⇒ f (x) = f (−1) ⇐⇒ x = −1 ⇐⇒ y = −3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) (x; y) = (−1; −3) Bài Cho x; y; z số thực thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= (x + y)2 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z Lời giải Ta có P= (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 = = 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z z + 4(x y + y z + zx) z + 4(x + y)z + 4x y Ta có 4x y ≤ (x + y)2 nên P≥ Đặt t = (x + y) x y + z z z + (x + y)z + (x + y)2 = 1+4 x y x y + + + z z z z x y + , x, y, z ∈ [1; 2] nên t ∈ [1; 4] z z Trang 228 http://diendantoanhoc.net Ta có f (t ) = t 4t + 2t , f (t ) = >0 + 4t + t (1 + 4t + t )2 t ∈ [1; 4] Hàm số f (t ) đồng biến [1; 4] nên f (t ) đạt GTNN    x=y ⇐⇒ Dấu " = " xảy z = x + y   x, y, z ∈ [1; 2] Vậy P = t = x =y =1 z =2 x = y = 1; z = http://diendantoanhoc.net Trang 229 Tài liệu [1] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo Bất đẳng thức [2] Võ Quốc Bá Cẩn, Một số kỹ thuật nhỏ để sử dụng Cauchy - Schwarz [3] Nguyễn Anh Văn, Lê Hồng Nam, Chinh phục Hình học Giải tích mặt phẳng [4] Lê Minh An, Tuyển tập tốn Elip ơn thi Đại học [5] Hồng Ngọc Thế, Khám phá cách giải số tốn hình học giải tích mặt phẳng [6] Hồng Ngọc Thế, Bài toán phụ toán khảo sát hàm số [7] Các topic thảo luận http://diendantoanhoc.net Trang 230 http://diendantoanhoc.net