ĐỀ ĐÈ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN – LÓP 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG Câu (4 điểm) Giải bất phương trình tập số thực x2 − x − − x2 − x − < 2 x + · · Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác cho MBA > MCA · · Giả sử BM CM cắt AC AB P, Q, chứng minh BP < CQ MBC > MCB Câu (4 điểm) Cho n ≥ số nguyên dương Chứng minh với a, b, c ≥ mà số 0, ta có n a b c +n +n ≥2 b+c c+a a+b Câu (4 điểm) Cho n số nguyên dương số xi , yi (i = 1, 2, , n) nhận giá trị Đặt S n = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn gọi An , Bn số ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn ) cho S n số lẻ số chẵn Chứng minh 2n An 2n − = Bn 2n + Câu ( điểm) Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn b + = ac c + = bd Chứng minh a + c = 3b b + d = 3c - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích thêm số TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG CÂU ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG Năm học 2014-2015 NỘI DUNG Điều kiện có nghĩa: x ≥ ĐIỂM 1,0 Bất phương trình cho tương đương với x − x − <  ( x + 2)( x − + 2 x +  ⇔ x − 14 x − < (2 x + 1)( x − 3) x + ⇔ 3(2 x − x − 3) − x − x − x + + ( x + 2) < ⇔ Câu (4 điểm) 1,0 x2 − 5x − 2x2 − 5x − −4 +1 < x+2 x+2 Giải bất phương trình bậc với ẩn x2 − 5x − , ta x+2  18 x − 46 x − 29 >   2 x − x − <  − 19 + 19 18   23 − 1051  x < 18  Kết hợp lại ta nghiệm bất phương trình 1,0 1,0 23 + 1051 + 19 MCA = MCA có 1,0 · · · · · · NBC = MBC + MBN > MCB + MCA = BCA Mặt khác dễ thấy · · · · · NBC + BCA < ABC + BCA = 180o − BAC < 180o · · · Từ suy BCA Khi đó, ta có < NBC < 180o − BCA · · · · sin BCA = sin BCA − sin NBC + sin NBC · · · · BCA + NBC BCA − NBC · · = cos sin + sin NBC < sin NBC 2 Rõ tứ giác BCPN nội tiếp đường tròn Ta gọi R bán kính đường tròn này, · · theo định lí sin, ta có CN = R sin NBC BP = R sin BCA Từ suy BP < CN < CQ Vậy ta có điều phải chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử tồn số a, b, c ≥ cho bất đẳng thức cho không Vì bất đẳng thức nên ta giả sử a + b + c = Khi n 1,5 1,0 1,0 a b c +n +n c0 , + c02 = b0b1 ≥ b02 ≥ (1 + c0 )2 = + 2c0 + c02 Điều vô lí, c0 > Từ kiện b0 = c0 , ta suy 2b02 + − kb02 = ⇒ k=2+ 1,0 ≤3 b02 Rõ ràng k > Vậy k = Như vậy, ta phải có b + c + = 3bc Từ suy  a + c = 3b ac + c = 3bc hay   b + bd = 3bc b + d = 3c 1,0 Người đề: Phạm Xuân Thịnh Số điện thoại: 0904 165 336 Email: phamxthinh@gmail.com