SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề Câu (4 điểm)  2( x + y − 8) = ( y + x − + − y )( y + x − + + y ) Giải hệ phương trình:  2 2 x − 17 x + 15 = y − 13 y Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC; P, Q giao điểm EF với tiếp tuyến B C đường tròn (O); MF cắt AD L; ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động » cung BC c) Tính góc hai đường thẳng IK EL? Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: P ( x) = P ( x − y ) P ( y − x ) + P (3 y + x ) P (3 y − x ) với ∀x, y ∈ ¡ Câu (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x − 1)( x + x + 21) = 11( p n − 6) Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của tập bất kì của S để tập đó chứa ít nhất số nguyên liên tiếp b) Tính số tập gồm 16 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất số nguyên liên tiếp tập đó - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ………………………………………………………………………………………… Người phản biện Trần Thị Kim Diên SĐT: 0983496088 Người đề Triệu Văn Dũng SĐT: 0915 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình:  2( x + y − 8) = ( y + x − + − y )( y + x − + + y )  2 2 x − 17 x + 15 = y − 13 y ĐKXĐ: x + y − ≥ ; y + x − ≥ Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có: Điểm 2( x + y − 8) = ( x − 2) + (2 y + x − ) ≥ x − + y + x − = y + x − + y + x − + − y = ( y + x − + − y )( y + x − + + y ) Dấu bằng xảy x − = y + x − 2 ( x − 4) = (2 y )  x ≥ (2) (x-y-1)(2x+2y-15) = y = x − (4) hoặc y = 15 − x (5) +) Từ (4) và (3) ta được phương trình: y + y − = (x; y) = ( 2;1 ) (thỏa mãn) hoặc (x;y)= ( − 2;−3 )(loại) +) Từ (5) và (3) ta được phương trình: 3x − 52 x + 209 = (x; y) = ( 11; −7 19 ); ( ; ) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) là S = {( 2;1 ); ( 11; −7 19 ); ( ; )} Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC P, Q giao EF với tiếp tuyến B C (O) MF cắt AD L, ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động » BC c) Tính (IK,EL)? a) Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, · · · , suy tam giác PFB cân P, ta PB=PF AFE = ·ACB ⇒ PFB = FBP Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực BF Suy MP ⊥ BF hay MP//CF Tương tự, có MQ//BE (đpcm) 1,5 b) Ta chứng minh IJ qua M điểm cố định: Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, IE=IF=AH/2 Mà ME=MF=BC/2, suy MI đường trung trực EF » (đpcm) Hay MI qua J Vậy IJ qua M A di động BC 1,5 c) Ta IK ⊥ EL sau: Do FK//BC nên FK ⊥ IH suy LK − IK = LF − IF Theo định lí Pythagore cho tam giác IEK, IFL ta biến đổi: IL2 − IE = IL2 − IF = FL2 Và KL2 − KE = KL2 − IK + IE = FL2 − IF + IE = FL2 Suy KL2 − KE = IL2 − IE , hay IK ⊥ EL Vậy ( IK , EL) = π /2 Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn: P ( x) = P( x − y ) P ( y − x ) + P (3 y + x ) P (3 y − x ) với ∀x, y ∈ ¡ Giả sử tồn đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn toán Từ GT ta thay x 2y, suy ra: P (2 y ) = P ( y ) P (− y ) + P(5 y ) P ( y ) (1) với y thuộc ¡ *) Nếu P(x)=c (const), suy c = 2c hay c=0, suy p ( x) ≡ với x (thỏa mãn) n *) Nếu P(x) khác số, giả sử P(x) có dạng ∑a x i =0 i i ( n ∈ ¥ * , an ≠ ), so sánh hệ số dẫn đầu vế (1) ta thấy: 22 n an2 = (−1) n an2 + 5n an2 4n = (−1) n + 5n Hay +) Nếu n chẵn, suy điểu vô lí 5n + > n với n thuộc ¥ * +) Nếu n lẻ, suy 4n + = 5n suy n=1 Suy P(x)=ax+b ( a ≠ ) Mà từ GT, thay x=y=0 ta P(0)=0, nên b=0 Thay P(x)=ax vào GT ta có: a x = −a ( x − y ) + a (9 y − x ) với x,y thuộc ¡ , ⇔ x − xy − y = với x,y thuộc ¡ (Vô lí) 2 2 2 Vậy p ( x) ≡ đa thức thỏa mãn Câu 4: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x − 1)( x + x + 21) = 11( p n − 6) (*) (*) x + x + 14 x − 21 = 11 p n − 66 ( x + 5)( x + x + 9) = 11 p n Gọi d = ( x + 5; x + x + ), d ∈ N * => x + 5 d và x + x + 9 d => x + 5 d và ( x − 4)( x + 5) + 29 d => 29  d (1) => d ∈ { ; 29 } +) Nếu p = 11 => ( x + 5)( x + x + 9) = 11n +1 (2) Mà x + x + > x + x + > Nên kết hợp (1) và (2) suy x + x + = 11n +1 và x+5 =1 (vô lí vì x∈ N * nên x+5 > 1) => loại +) Nếu p ≠ 11, xét trường hợp: TH1: d = 29 => p = 29 vì p nguyên tố => Loại TH2: d = 1, suy 1 vô lí (loại) Vậy phương trình vô nghiệm, hay không tìm được bộ (x;p;n) nào thỏa mãn đề bài với p là số nguyên tố Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của tập bất kì ...